On colorings of variable words
Konstantinos Tyros
本文证明了Graham-Rothschild定理的基本情形，即，一个认为着色的（$1$维）变量的话，承认界类$\mathcal{E}^5$的Grzegorczyk的层次结构。
In this note, we prove that the base case of the Graham--Rothschild Theorem, i.e., the one that considers colorings of the ($1$-dimensional) variable words, admits bounds in the class $\mathcal{E}^5$ of Grzegorczyk's hierarchy.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Coloring Factors of Substitutive Infinite Words
在本文中，我们考虑无限的字出现的不动点的原始替代有限字母表和有限着色的因素。任何这样的无限词都表现出一种“层次结构”，这将使我们能够在强可识别性的附加条件下定义其因子的某些显着的有限着色。特别是，我们推广了两个组合的结果贾斯汀和Pirillo关于任意大的单色$k$ -权力发生在无限的话，鉴于最近的一份文件由德卢卡，Pribavkina和Zamboni，我们将给出新的例子类的无限的话$\mathbf{u}$和有限的着色，不允许无限的单色分解$\mathbf{u}=\mathbf{u}_1\mathbf{u}_2\mathbf{u}_3\ldots$。
Factor Colorings of Linearly Recurrent Words
在这篇短文中，我们研究了非周期线性递归无限词的因子染色。我们表明，总是存在一个着色，不承认单色分解成因素的字的长度增加。
A Coloring Problem for Sturmian and Episturmian Words
我们考虑以下公开问题的拉姆齐理论的精神：给定一个非周期的无限字$w$，是否存在有限着色的因素，使没有分解的$w$是单色的？我们表明，这样的着色总是存在时，$w$是一个Sturmian字或一个标准的episturmian字。
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
On the Long-Repetition-Free 2-Colorability of Trees
如果$\bar{u}$的长度至少为3，则字$\bar{w} = \bar{u}\bar{u}$是$long$ $square$;如果$\bar{w}$不包含长方形的子字，则字$\bar{w}$是$long$ - $square$ - $free$。我们可以使用词来生成图着色;如果图中每条路的着色所形成的词是无长平方的，则图着色称为$long$ - $repetition$ - $free$。我们的结果表明，半径小于或等于7的每一棵有根树都是长重复无二色的。证明了存在一类非长重复自由二色树。
A Coloring Problem for Infinite Words
本文在拉姆齐理论的基础上考虑如下问题：给定$x\in A^ω,$，其中$A$是一个有限非空集，是否存在$x$的非空因子的有限染色，且$x$的任何因子分解都不是单色的？我们证明了这个问题有一个肯定的答案，使用两种颜色的几乎所有的字相对于标准的伯努利测度$A^ω.$我们还表明，它有一个肯定的答案，为各种类别的一致递归的话，包括所有的非周期平衡的话，和所有的话$x\in A^ω$满足$λ_x(n+1)-λ_x(n)=1$的所有$n$充分大，其中$ λ_x(n)$表示的数目不同的因素$x$的长度$n.$
The structure of rainbow-free colorings for linear equations on three variables in Zp
设p为素数，Zp为p阶循环群，若Zp的一个着色不包含某个方程的彩虹解，即其元素具有两两不同的颜色，则称该着色为关于该方程的彩虹自由着色.本文描述了Zp关于所有三元线性方程的无彩虹3-着色的结构。因此，我们确定了那些三个变量的线性方程，其中Zp的每个3-着色（具有非空色类）包含它的彩虹解。
Analogue of DP-coloring on variable degeneracy and its applications on list vertex-arboricity and DP-coloring
在\cite{listnoC3adjC4}）中，Borodin和Ivanova证明了每个不含与$3$ -圈相邻的$4$-圈的可平面图都是列表顶点- $2$ -可省略的。事实上，他们证明了一个更普遍的结果。受这些结果和DP染色的启发，我们引入了包含列表顶点荫度的变量退化的一个推广。我们用这个概念推广了Borodin和Ivanova的一个一般结果。这一定理不仅推广了Borodin和Ivanova关于可平面图不含$3$ -圈的结果，而且推广了许多其他结果，包括Kim和Yu \cite{KimY}关于平面图不含$4$-圈的结果，即平面图是DP- $4$ -可着色的.
Quasi-Sturmian colorings on regular trees
本文研究正则树上的拟Sturmian着色，将其分为有界与无界两类，提出类似Sturmian着色的归纳算法，并利用回归函数区分这两类着色。
Plurigraph coloring and scheduling problems
我们定义了一种新的顶点着色，它推广了图，超图和单纯复形中的顶点着色。这种着色也推广了定向着色、无圈着色和星着色。在非对易变元中存在一个相关的对称函数，我们给出了它的一个删除-压缩公式。在图的情况下，这个对称函数的非交换变量同意色对称函数的非交换变量的格布哈德和萨根。我们的顶点着色是由Breuer和Klivans定义的调度问题的一个特例。我们展示了如何删除收缩法可以应用于调度问题。同时，我们证明了色对称函数决定了一致超树的度序列，但在$3$ -一致超树上也存在不同构但具有相同色对称函数的对.
Generalization of some results on list coloring and DP-coloring
本文利用DP-染色和变量退化的概念引入了DP-染色，并对以下文献的证明进行了改进：（i）不含$4$、$9$ -圈和来自$\{6, 7, 8\}$（R. Liu，S. Loeb，M. Rolek，Y. Yin，G. Yu，Graphs and Combinatorics 35（3）（2019）695-705），（ii）当$i$（P. Sittitrai，K. Nakprasit，arXiv：1801.06760（2019）preprint），（iii）每个可平面图都是$5$ -可选的（C. J. Combin. Theory Ser.B62（1994）180-181）。利用这种修改，我们得到了更多的结果列表着色，DP-着色，列表森林着色，变量退化。
Combining extensions of the Hales-Jewett\\ Theorem with Ramsey Theory\\ in other structures
Hales-Jewett定理指出，给定任何有限非空集$\A$和字母表$\A$上自由半群$S$的任何有限着色，存在$\A$上的{ \it变量字\/}，其所有实例都是相同的颜色。这个定理有一些扩展，涉及变量字中出现的几个不同的变量。我们表明，当结合一个充分良好的表现同态，相关的变量字同时满足拉姆齐理论的结论，在其他结构。作为一个例子，我们证明了：如果$τ$是从变量词集合到自然数集合的同态，它将每个变量词$w$与该变量在$w$中出现的次数联系起来，那么给定$S$的任何有限着色和任何无限自然数序列，存在变量字$w$，其实例是单色的，并且$τ(w)$是给定序列的不同成员的和。我们的方法依赖于$S$的Stone- \v Cech紧化和我们考虑的其他半群的代数结构。例如，我们证明了如果$τ$和上面的段落一样，则存在$β\ben$的紧致子半群$P$，它包含$β\ben$的所有幂等元，使得给定任何$p\in P$，任何$A\in p$和$S$的任何有限着色，存在变量字$w$，其实例是单色的和$τ(w)\in A$。最后，我们用一个新的简短的代数证明的无限扩展的格雷厄姆-罗斯柴尔德参数集定理。
Optimization Tools for Computing Colorings of $[1,\cdots ,n]$ with Few Monochromatic Solutions on $3$-variable Linear Equations
本文借助整数优化与半定优化工具，构造三变量非正则齐次线性方程的最优或近最优二着色，并将 Schur 方程的结果推广到多色情形。
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
On the number of alternating paths in bipartite complete graphs
令$C \subseteq [r]^m$为使得$C$的任何两个字具有至少$t$的汉明距离的代码。不难看出，确定具有最大字数的代码$C$等同于找到最大的$n$，使得存在$K_{m, n}$的$r$ -边着色，其性质是大小为$n$的类中的任何一对顶点至少具有长度为$2$的$t$交替路径（相邻边具有不同的颜色）。在本文中，我们考虑一个更一般的问题，从一个略有不同的方向。我们感兴趣的是找到最大的$t$，使有一个$r$ -边染色的$K_{m,n}$，使任何一对顶点类的大小$n$是由$t$内部不相交和交替的路径长度$2k$。我们还研究了一个相关的问题，在这个问题中，我们放弃了路径内部不相交的假设。最后，我们引入了一个新的概念，我们称之为交替连接。我们的证明利用随机着色结合一些整数规划。
Entropy Compression Method and Legitimate Colorings in Projective Planes
证明了L. Esperet和A. Parreau [11]可以应用于在Lovász局部引理的变量版本中制定的任何问题。作为应用，我们证明了小阶射影平面的合法染色的存在性，推广了N. Alon和Z. Füredi [2].事实上，我们允许不同数量的颜色，证明了任何阶数的射影平面都可以用42种颜色着色。
Black-White Cell Capacity in $k$-ary Words and Permutations
本文提出条形图新统计量黑白格容量，研究 $k$ 元词与排列中黑白格数量分布，给出生成函数、闭式公式及渐近，并特别关注黑白平衡词。
Variable degeneracy of graphs with restricted structures
Bernshteyn和Lee定义了一个新的概念，弱简并，它比普通简并稍弱。证明了严格$f$ -退化断面是列表染色、$L$ -森林染色和DP-染色的共同推广.在本文中，我们考虑三类图，包括图2中没有任何配置的可平面图，图5中没有任何配置的环形图，以及没有相交$5$ -圈的可平面图。我们给出了每类图的结构结果，证明了每类图的结构对于弱$3$ -退化是可约的，并且证明了严格$f$ -退化断面的存在性。作为推论，这三类图都是弱$3$ -退化的，并且具有严格的$f$ -退化断面.则这三类图的DP-paint数最多为4，列表点荫度最多为2。这大大改进了[2-4，11-13，16-18，22，25，32，34]中的所有结果。此外，第一类和第三类图的Alon-Tarsi数最多为4。
Categorification of Chromatic, Dichromatic and Penrose Polynomials
本文通过适当变量选择，将染色、双染色和Penrose多项式范畴化，利用双graded同调理论的欧拉特征解释染色评估，并探讨了颜色集上的关联代数结构。
Generalized DP-colorings of digraphs
本文将有向图的广义染色、变量退化与DP-染色三种概念统一结合，推广了Brooks、Gallai等经典图染色定理及Harutyunyan和Mohar的有向图对应结果，主要贡献是给出有向图DP-染色与变量退化的综合框架。
The Heawood approach to Tait colorings and defining vertex sets
本文基于Heawood的自旋方法研究平面三次图的Tait着色，通过线性方程组和定义顶点集的几何刻画，证明非二部图情形下存在$n-1$个顶点的定义集，并改进Tait着色数上界，同时给出图$CL_n$的精确着色数。
An optimal bound on the solution sets of one-variable word equations and its consequences
我们解决了两个长期存在的开放问题的文字方程。首先，我们证明了一个一元的常数字方程最多有三个或无穷多个解。证明了存在这样一个界，并且界3是最优的。其次，我们考虑了三变量无常数方程的独立系统。如果这样一个系统有一个非周期解，那么这个方程组的大小最多为17。虽然可能不是最优的，但这是第一个发现的有限边界。然而，该边界实际上是2的猜想仍然是开放的。
Variable degeneracy on toroidal graphs
本文研究环面图与平面图的严格$f$-退化横贯，通过结构分析证明若干禁止构型下图的DP-$4$-可染色性及列表顶点树性度至多2，改进了已有结果。
LLT cumulants and graph coloring
本文的目的是引入一族新的拟对称函数，称为LLT累积量，并讨论它的性质。我们定义LLT累积量使用的代数框架条件累积量，我们证明了麦克唐纳累积量有一个明确的积极的扩展方面的LLT累积量的带状，推广经典分解的麦克唐纳多项式。我们还发现一个自然的组合解释的LLT累积量的一个给定的有向图作为一个加权生成函数的着色的子图。我们使用这个图形理论框架来证明各种积极的结果。这包括单项正性、基本拟对称函数的正性以及由钩形索引的舒尔多项式系数的相关正性。我们还证明了$e$ -积极的垂直形状的LLT累积量，变量$q \to q+1$，这完善了最近的结果Alexandersson和Sulzgruber的移动后。所有这些结果都证明了LLT累积量的Schur正性，这是我们在这里推测的。我们证明了这一猜想意味着Schur积极的麦克唐纳累积量，我们提供了更多的证据，通过证明猜想的LLT累积量融化棒棒糖，完善最近的结果的Huh，Nam和Yoo。
On the chromatic symmetric homology for star graphs
本文针对星图证明了 Chandler 等人关于色对称同调的部分猜想公式并加以推广，深化了对该图不变量的理解。
Cover and variable degeneracy
设$f$是图的顶点集上的非负整数值函数。一个图是\textbf{strictly $f$-degenerate}，如果每个非空子图$Γ$有一个顶点$v$，使得$\mathrm{deg}_Γ(v) < f(v)$。本文定义了严格$f$ -退化断面的概念，它推广了列表染色、符号染色、DP-染色、$L$ -森林染色和$(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{s})$ -划分.图$G$的\textbf{cover}是具有顶点集$V(H) = \bigcup_{v \in V(G)} X_{v}$的图$H$，其中$X_{v} = \{(v, 1), (v, 2), \dots, (v, s)\}$ ;边集$\mathscr{M} = \bigcup_{uv \in E(G)}\mathscr{M}_{uv}$，其中$\mathscr{M}_{uv}$是$X_{u}$和$X_{v}$之间的匹配。顶点集$R \subseteq V(H)$是$H$的一个\textbf{transversal}，如果每个$v \in V(G)$有$|R \cap X_{v}| = 1$。如果$H[R]$是严格$f$ -简并的，则横截$R$是\textbf{strictly $f$-degenerate transversal}。本文的主要结果是一个度型结果，它推广了Brooks定理、Gallai定理、度可…
Words and polynomial invariants of finite groups in non-commutative variables
设V是一个复向量空间，其基为{x_1，x_2，.，x_n}和G是GL（V）的有限子群.复形上的张量代数T（V）同构于非交换变量x_1，x_2，.中的多项式，x_n为复系数。我们想给出T（V）分解为简单G-模的组合解释。特别地，我们想研究T（V）中关于G作用的不变量的分次空间。本文给出了将空间T（V）分解为以群G的Cayley图中的字为单位的单模的一般方法。为了将该方法应用于特定的群，我们需要从群代数的子代数到特征代数的同态。在G是对称群的情况下，我们从下降代数给出了这种同态的一个例子。当G是二面体群时，我们得到了特征代数作为群代数的子代数的实现。在这两种情况下，我们可以用这些词来解释不变空间的分级维度。
Further results on staircase (cyclic) words
本文为边界为1的词的变化次数统计量找到双变量生成函数，改进并扩展了阶梯词及循环词的已知结果。
Doubled patterns with reversal and square-free doubled patterns
在关于词的组合学中，如果不存在$w$的因子$f$使得$f=h(p)$，其中$h:Δ^*\toΣ^*$是非擦除态射，则在字母表$Σ$上的词$w$被称为避免在字母表$Δ$上的模式$p$。一个模式$p$被称为是$k$ -可避免的，如果在$k$ -字母表上存在一个避免$p$的无限单词。如果每个变量至少出现两次，则模式为\emph{doubled}。双重模式被认为是$3$ -可避免的。柯里、摩尔和拉姆珀萨德考虑了一个广义的概念，它允许变量的出现被颠倒。也就是说，$h(V^R)$是每个$V\inΔ$的$h(V)$的镜像。我们发现，反转的加倍模式是$3$ -可避免的。我们还推测，（经典）加倍模式，不包含一个广场是$2$ -避免。我们证实了这一猜想的模式，最多4个变量。这意味着，对于每个加倍模式$p$，避免$p$的三进制字的增长率至少是三进制无平方字的增长率。这篇论文的前一个版本仅包含第一个结果，已在WORDS 2021上发表。
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
The perimeter of uniform and geometric words: a probabilistic analysis
假设一个字是一个序列的$n$ i.i.d.。整数随机变量。单词的周长$P$是单词的边数，被视为polyomino。在本文中，我们提出了一个概率的方法来计算的时刻$P$。这适用于均匀和几何随机变量。我们还表明，渐近地，分布的$P$是高斯和，作为一个随机过程，周长收敛于分布的布朗运动
Doubled patterns are $3$-avoidable
在关于词的组合学中，如果不存在$w$的因子$f$使得$f=h(p)$，其中$h:Δ^*\toΣ^*$是非擦除态射，则在字母表$Σ$上的词$w$被称为避免在字母表$Δ$上的模式$p$。一个模式$p$被称为是$k$ -可避免的，如果在$k$ -字母表上存在一个避免$p$的无限单词。如果没有变量只出现一次，则称模式是加倍的。最多有3个变量的加倍模式和至少有6个变量的模式是$3$ -可避免的。我们发现，4和5个变量的双重模式也是$3$ -可避免的。
The Equivalence Problem of E-Pattern Languages with Regular Constraints is Undecidable
本文研究了带正则约束的擦除与非擦除模式语言的成员资格、包含和等价问题，证明在允许正则约束和变量相等的情况下，擦除等价问题变得不可判定。
Vizing-Goldberg type bounds for the equitable chromatic number of block graphs
图$G$的均匀染色是图$G$的适当顶点染色，使得任意两个色类的大小相差至多1。在本文中，我们提出了一个猜想，提供了一个间隙一界的最小数量的颜色需要公平的颜色每个块图。换句话说，我们的猜想的上界和下界之间的差至多为1。因此，在某种意义上，这种情况类似于色指数，我们有经典的Vizing定理和Goldberg猜想。文中的结果支持了我们的猜想。更准确地说，我们验证了它在类的覆盖良好的块图，这是块图中的每个顶点属于一个最大独立集。我们还表明，猜想是真实的块图，其中包含一个顶点，不在于一个独立集的大小大于2。最后，我们验证了一些类图块图的猜想。为了得到我们的结果，我们得到了这些类的块图的结构特征。
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