Lifshits Tails for Squared Potentials
Werner Kirsch, Georgi Raikov
我们考虑薛定谔算子的随机势是合金型势的平方。我们研究了它们的积分态密度，证明了Lifshits尾。我们对这种模型的兴趣是由随机扭曲波导的研究引起的。
We consider Schrödinger operators with a random potential which is the square of an alloy-type potential. We investigate their integrated density of states and prove Lifshits tails. Our interest in this type of models is triggered by an investigation of randomly twisted waveguides.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lifshitz tails for the Interband Light Absorption Coefficient
在本文中，我们考虑了各种模型的带间光吸收系数。我们表明，在光谱的上、下边缘的状态密度的Lifshitz尾行为意味着类似的行为在适当的能量ILAC。在对应于态密度内部带边的某些点上也表现出Lifshitz尾性质。
Lifshitz Tails for Generalized Alloy Type Random Schrödinger Operators
研究了随机薛定谔算子的Lifshitz尾，其中随机势是合金型的，即单点势是独立同分布的，但它们可以有各种函数形式.我们假设单点势分布在一个有限的函数集合中，并且我们证明了在适当的对称性条件下，除了特殊情况外，它们在谱的底部有Lifshitz尾。当单格点势关于所有轴对称时，我们给出了Lifshitz尾存在的一个充分必要条件。作为应用，我们证明了某些随机位移模型在谱的底部具有Lifshitz奇异性，并且还完成了arXiv：0804.4079中进行的连续Anderson型模型的研究
Spectral extrema and Lifshitz tails for non monotonous alloy type models
本文确定了某些非单调合金型模型的基态能量，并研究了在此能量附近Lifshitz尾的存在性。这里，非单调意味着进入合金随机势的单点势改变符号。特别地，随机算子不是随机变量的单调函数。
Classical magnetic Lifshits tails in three space dimensions: impurity potentials with slow anisotropic decay
本文确定了具有排斥泊松随机势的磁性薛定谔算符在其单个杂质势在无穷远处有缓慢各向异性衰减时积分态密度的低能下降.这种所谓的磁Lifshits尾与相应的经典积分态密度一致。
Lifshitz tails for a percolation model in the continuum
本文研究了连续Laplacian算子在连续点渗流情形下的Lifshitz尾。这意味着我们从$IR^d$中删除一个随机集$Γ_ω$，并考虑$D=IR^d\setminusΓ_ω$上的Dirichlet或Neumann Laplacian。我们证明了当我们考虑Dirichlet边界条件时，积分态密度在谱的底部表现出Lifshitz行为，而当我们考虑Neumann边界条件时，它从下面有界的van Hove行为。Lifshitz尾被证明独立于渗透概率，而对于van Hove的情况下，我们需要一些假设的体积的集，以及渗透概率。
Anderson Localization and Lifshits Tails for Random Surface Potentials
我们考虑$L^2(R^d)$上的薛定谔算子，其随机势集中在表面$R^{d_1}\times\{0\}\subset R^d $附近。我们证明了此类算子的积分态密度在谱底附近呈现Lifshits尾。从这个和多尺度分析Boutet de Monvel和Stollmann [Arch.Math.80（2003）87]，我们推断安德森局域化（纯点谱和动力学局域化）的低能量。我们的Lifshits尾的证明依赖于部分周期势的薛定谔算子的谱性质。特别是，我们表明，这种运营商的最低能量带是抛物线。
Lifshitz tails for the multi-particle continuous Anderson model
我们考虑了连续介质中的多粒子Anderson模型，证明了在对粒子间相互作用和外部势作一些较温和的假设下，它的谱下边缘几乎必然是常数，并且与单粒子模型的谱下边缘相同.然后，我们得到的多粒子哈密顿量的连续谱底部附近的Lifshitz渐近。
Spectrum and Lifshitz tails for the Anderson model on the Sierpinski gasket graph
本文研究了 Sierpinski gasket 图上的 Anderson 模型，确定了其几乎必然谱，并证明了积分态密度存在且具有由图体积增长率与随机游走维度比值决定的 Lifshitz 尾部。
Lifshitz tails for Schrödinger operators with random breather potential
我们证明了随机呼吸薛定谔算子的积分态密度的Lifshitz尾界。电势由平移的单点电势组成。单位点电位是集合$tA$的指示函数，其中$t$来自单位间隔，而$A$是包含在单位晶胞中的可测量集合。这个模型的挑战是：由于$A$不被假定为星形的参数$t$的潜在的依赖性是不是单调的。它也是非线性的，不可微的。
Lifshitz Tails in Constant Magnetic Fields
考虑二维Landau哈密顿量$H$受随机合金型势扰动，研究了$H$谱中相应积分态密度（IDS）在边缘附近的Lifshitz尾的渐近行为.如果一个给定的边缘重合的朗道水平，我们得到不同的渐近公式的幂，指数次高斯，和超高斯衰减的一个网站的潜力。如果边缘是远离朗道水平，我们施加一个合理的磁通量假设的磁场，考虑compensated支持一个网站的潜力，并制定了一个定理，这是类似的情况下得到的一个消失的磁场。
Lifshits tails caused by anisotropic decay: the emergence of a quantum-classical regime
本文研究了一类具有正随机势的薛定谔算符的积分态密度的Lifshits尾行为。设置包括合金型和泊松随机势。所考虑的（单点）杂质势$f: \mathbbm{R}^d \to [0, \infty[ $在无穷远处以各向异性方式衰减，例如，$f(x_1,x_2)\sim (|x_1|^{α_1}+|x_2|^{α_2})^{-1}$为$ |(x_1,x_2)| \to \infty $。正如从各向同性情况所预期的，如果$α_1$和$α_2$都足够大，则存在具有Lifshits指数$ d/2 $的所谓量子区域，并且如果两者都很小，则存在具有依赖于$α_1$和$α_2$的Lifshits指数的所谓经典区域。除此之外，我们发现两个新的制度的Lifshits指数表现出量子和经典行为的混合物。此外，这些制度之间的过渡线在一个非平凡的方式依赖于$ α_1$和$α_2$同时。
Lifshitz tails for alloy type models in a constant magnetic field
本文研究了随机合金型势扰动下二维朗道哈密顿量的Lifshitz尾，其中合金型势是由至少以高斯速度衰减的单点势构成的。我们证明了，如果朗道能级保持作为带边的扰动哈密顿量，在朗道能级，积分态密度有一个Lifshitz行为的类型$e^{-\log^2|E-2bq|}$。
Lifshits tails in the hierarchical Anderson model
我们证明了齐次分层Anderson模型在其谱的上边缘具有Lifshits尾。的Lifshits指数给出的齐次层次结构的谱维数。我们的方法是基于狄利克雷-诺依曼括号的层次拉普拉斯算子和大偏差的论点。
The multiformity of Lifshits tails caused by random Landau Hamiltonians with repulsive impurity potentials of different decay at infinity
对于欧氏平面上的带电量子粒子，在垂直恒定磁场和排斥性杂质的作用下，当杂质势按泊松定律随机分布时，我们确定了当单个杂质势为超高斯或规则亚高斯长距离衰减时积分态密度的主要低能衰减.由此产生的所谓的磁Lifshits尾巴的形式反映了这些衰变的巨大变化。总的来说，我们总结、统一和推广了K.布罗德里克斯湖埃尔德什，D. Hundertmark，W.基尔希和我们自己
Lifshitz tails in the 3D Anderson model
考虑具有零均值和有界i.i.d.的3D Anderson模型。随机势令$λ$为测量无序强度的耦合常数，并且$σ(E)$为能量为$E$的模型的自能量。对于任何$ε>0$和足够小的$λ$，我们得到几乎肯定的本地化带$E \le -σ(0)-λ^{4-ε}$。在这个能区，我们证明了典型的关联长度$ξ_E$的行为与$O((|E|-σ(E))^{-1/2})$大致相同，完成了T.斯宾塞
Local Wegner and Lifshitz tails estimates for the density of states for continuous random Schrödinger operators
我们介绍并证明了连续广义Anderson Hamilton算子的局部Wegner估计，其中单点随机变量是独立的，但不一定是同分布的。特别地，我们得到了一个常数的韦格纳估计，当我们接近谱的底部时，这个常数趋于零。作为一个应用，我们证明了（微分）态密度与积分态密度具有相同的Lifshitz尾上界。
From the Lifshitz tail to the quenched survival asymptotics in the trapping problem
研究了扩散粒子在随机陷阱中运动的生存问题。我们引入了一个简单的参数，从相关算子的Lifshitz尾效应导出生存概率的猝灭渐近性。特别是，上界证明在相当一般的设置和被证明是尖锐的情况下的布朗运动的泊松障碍。作为应用，我们导出了按随机扰动分布的陷阱中布朗运动的猝灭渐近性质。
Brownian survival and Lifshitz tail in perturbed lattice disorder
研究了随机分布陷阱中布朗运动的生存概率的退火渐近性。陷阱的配置是由独立的位移的晶格点。我们确定的生存概率的对数的长时间渐近的乘法常数。作为应用，我们给出了随机薛定谔算符的态密度的Lifshitz尾效应，并给出了抛物型Anderson问题的非线性强度的定量估计.
Extended States in a Lifshitz Tail Regime for Random Schrödinger Operators on Trees
我们解决了一个现有的问题，关于移动边缘的位置与跳跃项和随机潜在的Bethe格上的运营商。该模型是最早研究安德森局域化的模型之一，并且由于与许多粒子系统的局域化问题的类比而继续引起人们的关注。我们发现，扩展状态出现通过无序使能共振远远超出运营商的跳跃项的能带。对于弱无序，这包括非常低密度的状态的Lifshits尾制度。
Existence, Uniqueness and Anisotropic-Decay-Caused Lifshitz Tails of the Integrated Density of Surface States for Random Surface Models
本文研究了具有合金型随机表面势的薛定谔算子积分表面态密度（IDSS）的存在性、唯一性和Lifshitz尾.本文证明了负能IDSS的存在唯一性，它定义为截面为特殊长方体的带上定域算子的归一化本征值计数函数的热力学极限.在单格点杂质势各向异性衰减的附加假设下，我们还证明了负能IDSS在量子区、量子-经典/经典-量子区和经典区的几乎必然谱的底部附近存在Lifshitz尾.我们指出，量子经典/经典量子制度是新的随机表面模型。
Lifshits tails for randomly twisted quantum waveguides
本文研究了具有任意安德森型扭转$γ$的三维扭转波导上的Dirichlet Laplacian $H_γ$。引入了$H_γ$算符的积分态密度$N_γ$，并研究了$N_γ$的Lifshits尾，即$N_γ(E)$作为$E \downarrow \inf {\rm supp}\, dN_γ$的渐近行为.特别地，我们研究了在无穷远处的单点扭曲的衰减率的Lifshits指数的依赖性。
Lifshitz tails for a class of Schrödinger operators with random breather-type potential
本文导出了一类具有随机势的薛定谔算符的积分态密度的界。势取决于一系列随机变量，不一定是线性的。这种随机薛定谔算子的一个例子是由Combes，Hislop和Bertre引入的呼吸模型。对于这些模型，我们表明，根据所谓的Lifshitz渐近的积分态密度附近的频谱的底部的行为。这一结果可以用来证明在一定的能量/无序状态下的安德森局域化。
Edge localization and Lifshitz tails for graphs with Ahlfors regular volume growth
本文研究了具有阿赫尔索斯正则体积增长的图上的安德森模型，证明了在低能区存在谱和动力学定位，并推广了[4]的结果至阿赫尔索斯α-正则图。
Lifshitz tails for spectra of Erdős--Rényi random graphs
研究了具有$N$顶点和边概率$p/N$的Erdens-Rényi随机图上的离散Laplace算子$Δ^{(N)}$.我们感兴趣的是在亚临界制度$0<p<1$没有巨型集群出现的限制光谱特性的$Δ^{(N)}$作为$N\to\infty$。我们证明了在这个极限下，$Δ^{(N)}$的积分态密度的期望值在谱下边缘E=0处表现出Lifshitz尾行为。
Lifshitz tails for the fractional Anderson model
本文考虑了$d$维分数阶Anderson模型$(-Δ)^α+ V_ω$在$\ell^2(\mathbb Z^d)$上的情形，其中$0<α\leq 1$ .这里$-Δ$是负离散拉普拉斯算子，$V_ω$是由iid随机变量组成的随机Anderson势。我们证明了该模型在具有指数$ d/ (2α)$的谱的下边缘处具有Lifshitz尾。为此，我们证明了负离散分数拉普拉斯算子的非对角矩阵元素是负的，并且对于正常数$c_{α,d}$、$C_{α,d}$和所有$n\neq m\in\mathbb Z^d$满足双侧界$$ \frac{c_{α,d}}{|n-m|^{d+2α}} \leq -(-Δ)^α(n,m)\leq \frac{C_{α,d}}{|n-m|^{d+2α}} $$。
The umpteen operator and its Lifshitz tails
正如Kerov在20世纪90年代初提出并在随后的著作中阐明的那样，维格纳随机矩阵的许多性质被某些线性映射所共享，这些线性映射在对称群的表示论中发挥着重要作用。我们介绍和研究的代表性理论的起源，它承担一些类似的离散随机薛定谔算子作用于$d$维晶格的运营商。特别是，我们定义了它的积分态密度，并证明在尺寸$d \geq 2$它拥有类似于安德森模型的Lifshitz尾巴。该结构与19世纪流行的滑动拼图15拼图的无限板版本密切相关。我们使用新的Peierls参数估计谜题在$n$随机移动后返回其初始状态的概率。Lifshitz尾推导出使用识别我们的随机算子与行动的邻接矩阵的难题上的一个随机选择的表示的无限对称群。
Lifshitz tails for random diagonal perturbations of Laurent matrices
本文研究了作用于$\ell^2(\mathbb Z)$的一维随机算符的积分态密度，其中$T$是一个Laurent（也称为双无限Toeplitz）矩阵，$V_ω$是由i.i.d.随机变量我们假设算子$T$与一个有界的Hölder连续符号$f$相关联，该符号在有限个点处达到最小值。我们允许$f$通过代数方式达到其最小值。由此产生的算子$T$是长程的，具有弱（代数）非对角衰减。我们证明了该算子在谱的下边缘具有Lifshitz尾，其指数由$T$在谱的下边缘的积分态密度给出。证明依赖于广义的Dirichlet-Neumann括号的长程设置和广义的坦普尔不等式退化基态能量。
An effective medium approach to the asymptotics of the statistical moments of the parabolic Anderson model and Lifshitz tails
最初在固态物理学中引入，以模拟表现出无序诱导的金属-绝缘体转变的非晶材料和合金，在$l^2(\bZ^d)$上的Anderson模型$H_ω= -Δ+ V_ω $已经成为数学物理学以及概率论中无序效应相关性的范例。这里$Δ$是离散拉普拉斯算子，$V_ω = \{V_ω(x): x \in \bZ^d\}$是i.i.d.。在$\bR$中取值的随机字段。概率论中的一个流行模型是抛物线安德森模型（PAM），即$ \bZ^d \times \bR_+$上的离散扩散方程$\partial_t u(x,t) =-H_ω u(x,t)$，$u(x,0)=1$，其中随机源和汇由安德森哈密顿量建模。（PAM）的解决方案的一个特征属性是在大的时间限制内出现不稳定峰。这些非线性峰值确定了在概率文献中使用路径积分方法和大偏差理论广泛研究的热力学可观测量。对抛物型安德森模型的概率方法和安德森局部化的谱理论之间关系的严格研究至少在数学上是不太发达的。我们认为我们的出版物是朝着这个方向迈出的一步。特别是，我们将证明一个统一的方法过渡的统计矩$< u(0,t) >$和积分态密度从经典到量子制度使用有效介质的方法。作为一个副产品，我们将获得一个对数校正在传统的Lifshitz尾设置时，$V_ω$满足厚尾条件。
Surface Lifshits tails for random quantum Hamiltonians
我们考虑$L^{2}({\mathbb R}^{d})\otimes L^{2}({\mathbb R}^{\ell})$上的薛定谔算子的形式为$ H_ω~=~H_{\perp}\otimes I_{\parallel} + I_{\perp} \otimes {H_\parallel} + V_ω$，其中$H_{\perp}$和$H_{\parallel}$分别是$L^{2}({\mathbb R}^{d})$和$L^{2}({\mathbb R}^{\ell})$上的薛定谔算子，$ V_ω(x,y)$：= $\sum_{ξ\in {\mathbb Z}^{d}} λ_ξ(ω) v(x - ξ, y)$，$x \in {\mathbb R}^d$，$y \in {\mathbb R}^\ell$，是随机“表面势”.我们调查的$H_ω$的表面态的积分密度附近的光谱的底部和附近的内部带边的行为。本文的主要结果是，在适当的假设下，$H_ω$的积分表面态密度的行为可以从约化哈密顿量$H_{\perp}+W_ω$的积分态密度中读出，其中$W_ω$是$V_ω$相对于$y \in {\mathbb R}^\ell$的量子力学平均值。我们对$H_{\perp}$是磁性薛定谔算符的情况特别感兴趣，但我们也恢复了[24]中关于非磁性$H_{\perp}$的一些结果。
Long-time tails in the parabolic Anderson model with bounded potential
本文研究了具有随机独立同分布的抛物型Anderson问题$\partial_t u=κΔu+ξu$在$(0,\infty)\times \Z^d$上的解.潜在的$ξ=(ξ(z))_{z\in\Z^d}$和初始条件$u(0,\cdot)\equiv1$。我们的主要假设是$\esssupξ(0)=0$。根据厚度的分布$\prob(ξ(0)\in\cdot)$接近其本质上确界，我们确定的渐近时刻的$u(t,0)$和几乎肯定的渐近$u(t,0)$作为$t\to\infty$的变分问题。作为副产品，我们建立了随机薛定谔算子$-κΔ-ξ$在其频谱底部的Lifshitz尾。在我们的$ξ$分布类中，Lifshitz指数的范围从$d/2$到$\infty$ ;幂律通常伴随着低阶修正。
Lifshitz tail for continuous Anderson models driven by Lévy operators
本文研究了随机薛定谔算符$Φ(-Δ) + V^ω$在$L^2(\mathbb R^d)$，$d \geq 1$中的积分态密度$\ell$在零附近的行为，其中$Φ$是一个完全的Bernstein函数，使得对于某些$α\in (0,2]$，有$ Φ(λ) \asymp λ^{α/2}$，$λ\searrow 0$，而$V^ω(x) = \sum_{ \mathbf{i}\in \mathbb{Z}^d} q_{\mathbf{i}}(ω) W(x-\mathbf{i})$是一个具有紧支撑单点势$W$的随机非负合金型势.我们证明了存在常数$C, \widetilde C,D, \widetilde D>0$使得$$ -C \leq\liminf_{λ\searrow 0} \frac{λ^{d/α}}{|\log F_q(D λ)|}{\log \ell(λ)} \qquad \text{and} \qquad \limsup_{λ\searrow 0} \frac{λ^{d/α}}{|\log F_q(\widetilde D λ)|}\log \ell(λ) \leq -\widetilde C, $$其中$F_q$是格点随机变量$q_{\mathbf i}$的公共累积分布函数.特别是，我们确定如何$\ell$在零的行为取决于晶格配置。对于$F_q$的典型示例，可以从上述语句中删除常…
Random Block Operators
我们研究了随机块算子的基本光谱性质，这些算子在介观无序系统（如脏超导体）的物理建模中很常见。我们的结果包括各态历经性质、谱的位置、积分态密度的存在性和规律性以及Lifshits尾。特别注意的是所产生的块结构的特点，如在频谱的中间出现一个强大的差距。在非对角块中没有随机性的情况下，状态密度通常在间隙的边缘处表现出反平方根奇异性。在随机性的存在下，我们建立了一个韦格纳估计，是有效的，在所有的能量。这意味着奇异性被随机性抹去，态密度有界。我们还在这些带边缘显示Lifshits尾巴。从技术上讲，人们必须处理对随机耦合的非单调依赖。
The weak localization for the alloy-type Anderson model on a cubic lattice
考虑立方晶格上的合金型随机薛定谔算子，其随机性由符号不定的单格点势产生。我们推导出这类模型在Lifshitz尾制度，即当耦合参数$λ$是小的能量$E \le -C λ^2$的安德森安德森局域化化。
Schrödinger operators with random $δ$ magnetic fields
我们将考虑具有随机$δ$磁场的$\mathbf{R}^2$上的薛定谔算子。利用Laptev-Weidl的Hardy型不等式，在对$δ$ -场的位置和通量的适当条件下，证明了谱与$[0,\infty)$一致，积分态密度在谱底（Lifshitz尾）处指数衰减.我们还给出了IDS在频谱底部的下界。
An Invitation to Random Schroedinger operators
这篇评论是我的迷你课程的扩展版本，在研究的国家：操作者在巴黎13大学在2002年6月，由弗雷德里克·克洛普组织的暑期学校。这些课堂讲稿试图给出一些随机薛定谔算子的基础知识。它们是为非专业人士设计的，只需要对泛函分析和概率论有少量的了解。尽管如此，本综述还是包括了Lifshitz尾和安德森局域化的完整证明。
Localization for Schrodinger operators with random vector potentials
本文证明了周期磁薛定谔算子受Anderson型随机矢势扰动时在带边的安德森局域化.这是通过结合随机磁薛定谔算子积分态密度的Lifshitz尾行为的新结果来实现的，从而为这种模型提供了初始长度尺度估计和Wegner估计。
The band-edge behavior of the density of surfacic states
本文研究了离散表面Anderson模型的表面态密度在谱边附近的渐近性质。必须考虑两种类型的谱边缘：波动边缘和稳定边缘。每种类型都有自己的渐近类型。在波动的边缘的情况下，一个获得Lifshitz尾巴的参数，由初始运营商适当地“减少”的表面。对于稳定的边缘，表面态密度的行为类似于恒定（等于随机势的期望）表面势的表面态密度。在用来建立这一点的工具中，有恒定表面势的表面态密度的渐近性。
Multiparticle localization for disordered systems on continuous space via the fractional moment method
本文研究了在$ \mathbb{R}^d $上的$ n $粒子量子系统的光谱和动力学局域化，该系统受随机势的作用，并通过一个可能具有无限范围的对势相互作用。我们建立了两个条件，以确保频谱和动力学本地化附近的底部的$ n $ -粒子系统的频谱：i）本地化建立在制度的弱相互作用假设一个粒子本地化，和ii）本地化也建立在一个Lifshitz尾型条件下的稀疏性的频谱。在多项式衰减的相互作用的情况下，我们提供了一个上限的粒子的数量，这些条件适用。
The Integrated Density of States for Random Schroedinger Operators
本文综述了随机薛定谔算符积分态密度理论的一些方面。第一部分提出了问题的动机，介绍了相关的模型以及感兴趣的量。这个有趣的量，IDS的存在性的证明，在第二节中讨论。这次调查的一个中心议题是在光谱的边界处的积分态密度的渐近行为。特别是，我们感兴趣的Lifshitz尾巴和发生的经典和量子制度。在最后一节中，我们讨论了IDS的正则性。我们的重点是讨论根本问题和处理这些问题的中心思想。最后，我们讨论了当前研究的进一步发展和问题。
On the Integrated Density of States of Fractional Random Schrödinger Operators
本文基于各向同性α-稳定Lévy过程理论，证明了分数随机薛定谔算子积分态密度的存在性，并确定其谱右端Lifshitz尾部的渐近行为，凸显自相似性的核心作用。
Supersymmetric Cluster Expansions and Applications to Random Schrödinger Operators
我们研究离散随机薛定谔算子通过超对称形式。我们开发了一个集群扩展，收敛在强和弱的无序。我们证明了指数衰减的无序平均格林函数和平滑的局部状态密度无论是在弱无序和接近的未扰动谱的能量或在强无序和在任何能量。作为应用，我们建立了Lifshitz尾型估计的局域态密度，从而在弱无序的本地化。
A reduced model for domain walls in soft ferromagnetic films at the cross-over from symmetric to asymmetric wall types
我们研究的朗道-Lifshitz模型的多尺度过渡层的能量-称为“畴壁”-在软铁磁薄膜。畴壁将恒定磁化矢量$m^\pm \in \mathbb{S}^2$的畴分开，所述恒定磁化矢量相差角度$2α$。假设切向于壁的平移不变性，我们的主要结果是最佳过渡层能量的降阶模型的严格推导，其在一定参数范围内证实了实验、数值和物理预测：最小能量分裂成来自非对称、无发散核心的贡献，该核心在$\mathbb{S}^2$中执行角度$2θ$的部分旋转，以及来自两个对称的、几何衰减的尾部的贡献，每个尾部完成从$\mathbb{S}^1$中的角度$θ$到$α$的旋转。选择角度$θ$，使得总能量最小。来自对称尾部的贡献是明确已知的，而来自非对称核心的贡献在[7]中进行了分析。我们的降阶模型是分析从对称到非对称畴壁的分叉现象的起点。此外，它允许捕获不对称的畴壁，包括其延伸的尾部（这是以前无法访问的蛮力数值模拟）。
Understanding the Random Displacement Model: From Ground-State Properties to Localization
我们给出了一个详细的调查结果，在最近的五年中，导致了更深入的了解随机位移模型，一个模型的随机薛定谔算子描述的量子力学的电子在结构无序介质。这些结果开始识别配置的特征最小的能量，然后导致Lifshitz尾界的积分态密度以及Wegner估计附近的光谱最小值，这最终导致在低能量的多维随机位移模型的光谱和动力学本地化的证明。
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