On The Augmentation Categories of Positive Braid Closures
在本文中，我们证明了0-分辨率的交叉在Legendrian封闭的正辫子诱导上同调忠实的$A_\infty$函子的增广范畴。特别是，我们计算的双线性勒让德接触上同调这些结的增广引起的0-分辨率。
2015-09-30 math.SG
Augmentations and Rulings of Legendrian Knots
对（R^3，ker（dz-dzx））中的任意Legendrian纽结，证明了Z[t，t^{-1}]上Chekanov-Eliashberg微分分次代数的任意域的增广的存在性等价于前图的规则的存在性，推广了Fuchs，Ishkhanov和Sabloff的结果.我们还表明，任何甚至分级扩增必须发送t为-1。
2014-03-19 math.GT math.SG
The correspondence between augmentations and rulings for Legendrian knots
我们加强全纯和生成函数不变量的勒让德结之间的联系，通过建立一个公式有关的一些增广的结的接触同源完整的裁决不变的Chekanov和Pushkar。
2005-09-09 math.GT math.SG
The cardinality of the augmentation category of a Legendrian link
我们为标准接触R^3中的勒让德纽结或链环所对应的增广范畴引入了基数的概念。这个“同伦基数”是一个不变的类别，并允许加权计数的增广，我们证明是由执政的多项式的链接。我们提出了一个应用程序的双拉格朗日切片节的增广范畴。
2015-11-20 math.GT math.SG
Equivalence classes of augmentations and Morse complex sequences of Legendrian knots
设L是R^3中具有标准切触结构的勒让德纽结。在文献[10]中，从L的Morse复序列的等价类（它们是由生成族激发的组合对象）到L的Legendrian接触同调代数的增广同伦类构造了一个映射。而且，这个映射被证明是一个满射。我们表明，这种对应关系，事实上，是一个双射。作为推论，同伦增广确定L的相同分次正规律，并具有同构的线性化切触同调群。第二个推论指出，一个勒让德结的莫尔斯复序列的等价类的计数是勒让德同痕不变量。
2014-07-25 math.GT math.SG
Augmentation varieties and disk potentials II
Rutgers University（罗格斯大学）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文研究了圆纤维接触流形中Legendrian的Chekanov-Eliashberg代数及其增广品种，定义了Legendrian接触同调和链映射。
2026-01-26 math.SG
Families of Legendrians and Lagrangians with unbounded spectral norm
维泰博已经证明，任何拉格朗日在单位co-disc丛的环面，这是汉密尔顿同位素的零节满足一个统一的约束，其谱范数;最近的结果由谢卢欣表明，这确实是这样的。本说明的适度目标是探索上述几何设置的两个自然概括，其中谱范数的界失败：第一，在单位共盘丛的接触中传递到勒让德同位素（Hamilton同位素提升到勒让德同位素），第二，考虑Hamilton同位素，但在通过附加临界Weinstein单柄修改共盘丛之后。
2020-12-31 math.SG
Families of Legendrian Submanifolds via Generating Families
我们研究家庭的Legendrian子流形的1-jet空间的发展和应用理论的家庭的生成家庭的同调。这个理论允许我们检测嵌入在标准切触（2n+1）-空间（n>1）中的勒让德n-球面的无限族环，这些环在光滑范畴中是可收缩的，但在勒让德范畴中不是。
2013-11-03 math.GT math.SG
Skein relations for invariants of Legendrian surfaces
Ball State Unversity（Ball State University）；University of Massachusetts Amherst（阿默斯特马萨诸塞大学）
本文针对1-jet空间中勒让德曲面的增广数不变量建立纽结关系，通过二重点的扰动与拉格朗日手术等方式构造关系，并将其用于证明勒让德2-编织物增广与面着色的关系。
2026-08-18 math.SG
Bilinearised Legendrian contact homology and the augmentation category
本文构造了一个与jet空间的Legendrian子流形相关联的$\mathcal{A}_\infty$ -范畴。范畴的对象是Chekanov代数$\mathcal{A}(Λ)$的增广，态射空间的同调形成了一组新的勒让德子流形的不变量，称为双线性勒让德接触同调。这些都是作为线性勒让德接触的同源性使用两个增广，而不是一个的概括。考虑具有更多增广的相似构造，得到了范畴中的高阶合成映射，推广了[6]中的思想，其中$\mathcal{A}_\infty$ -代数是由一个增广构造的.当系数环是一个域而不考虑其特征时，这个范畴允许我们定义一个增广等价的概念。我们用简单的例子表明，双线性上同调群是有效的区分这些等价类。我们还推广了[12]中的对偶正合列，并用拉格朗日填充的弗洛尔同调对双线性同调作了几何解释（见[8]）。
2013-05-13 math.GT math.SG
Augmentation varieties and disk potentials III
Rutgers University（罗格斯大学）；Imperial College London（伦敦帝国学院）
本文研究了圆纤维接触 manifold 中 Legendrian 的 Chekanov-Eliashberg 代数，证明了连通 Legendrian 覆盖的增强变分等于盘势零水平集像，扩展了 Dimitroglou-Rizell 和 Treumann-Zaslow 的结果。
2026-05-12 math.SG
Augmentations and Rulings of Legendrian Links in $\#^k(S^1\times S^2)$
给出了$\#^k(S^1\times S^2)$中Legendrian环的定义，推广了Lavrov和Rutherford给出的$J^1(S^1)$中正规刻划的定义，证明了$\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$上Chekanov-Eliashberg微分分次代数的任意域的增广的存在性等价于前图的正规刻划的存在性.对于Legendrian结，我们还表明，任何甚至分级扩增必须发送$t$到$-1$。我们使用的对应给出了非零结果的辛同调的某些Weinstein $4$ -流形。我们显示了类似的对应关系的相关情况下的勒让德链接在$J^1(S^1)$，固体环面。
2015-10-20 math.GT math.SG
Legendrian grid number one knots and augmentations of their differential algebras
本文研究紧透镜空间中Legendrian纽结的微分分次代数（DGA）不变量。给定一个网格编号为一个结在L（p，q）的图，我们展示了如何构建一个特殊的拉格朗日图适合于计算DGA不变的勒让德结指定的图。然后，我们专门为L（p，p - 1），并表明，对于两个家庭的结，存在的DGA的扩增仅取决于p的值。
2010-03-18 math.GT math.SG
Augmentations are sheaves for Legendrian graphs
本文证明了带边界Legendrian图的增强范畴与可构造层DG范畴等价，推广了“增强是层”的结论至奇异情形。
2019-12-23 math.AT math.GT math.SG
On non-geometric augmentations in high dimensions
本文构造了高维Legendre子流形上非由恰当Lagrangian填充诱导的Chekanov-Eliashberg代数增强，利用Seidel同构和Gao-Rutherford的单射性结果作为障碍，并探讨了增强簇与球面纺纱的关系。
2023-09-25 math.SG
Augmentations and immersed Lagrangian fillings
对于具有$M = \mathbb{R}$或$S^1$的Legendrian链接$Λ\subset J^1M$，$Λ$的浸没精确拉格朗日填充$L \subset \mbox{Symp}(J^1M) \cong T^*(\mathbb{R}_{>0} \times M)$可以提升为$Λ$的圆锥形Legendrian填充$Σ\subset J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$。当嵌入$Σ$时，使用来自[30]的勒让德接触同调（LCH）的函子性版本，对于$Σ$的LCH代数的每个扩充$α: \mathcal{A}(Σ) \rightarrow \mathbb{Z}/2$，存在诱导扩充$ε_{(Σ,α)}: \mathcal{A}(Λ) \rightarrow \mathbb{Z}/2$。当$Σ$固定时，所有这样的诱导增广的同伦类的集合$I_Σ\subset \mathit{Aug}(Λ)/{\sim}$是$Σ$的勒让德合痕不变量。我们建立的方法来计算$I_Σ$的基础上Morse复族和增广之间的对应关系。这包括从[31]中开发关于Legendrian配边的细胞DGA的函性，并证明其与LCH的函性等价。对于任意的$n \geq 1$，我们给出的例子与$2n$不同的锥形勒让德填充区分其诱导增强集勒让德环面结。我们证明，当$ρ\neq 1$和$Λ\subset J^1\mat…
2023-01-20 math.GT math.SG
Isomorphism in the augmentation category
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Department of Mathematics, University of Oregon（俄勒冈大学数学系）
该研究通过量子流树技术，证明Legendrian子流形的两个增广在正增广范畴中同构当且仅当它们相差dga同伦和放大，并澄清了结接触同调与微局秩1层范畴的关系。
2026-02-13 math.SG
Braid-positive Legendrian links
任何作为正辫的闭包的链环都有一个自然的勒让德代表。这些在早期的论文中介绍过，其中也评估了它们的Chekanov-Eliashberg接触同源性。在本文中，我们重新措辞和改进的计算使用矩阵表示。特别是，我们提出了一种方法，找到所有的增广这样的Legendrians，构建一个增广，这也是一个裁决，并发现令人惊讶的联系，LU分解和Gröbner基地。
2006-08-18 math.AG math.SG
On Ruling polynomials of Legendrian links
该研究刻画了勒让德链的分次与非分次统治多项式，构造了实现对应多项式的勒让德链，其增广簇具平凡簇代数结构，还构造了满足特定条件的勒让德纽结。
2026-08-20 math.GT math.SG
Non-contractible loops of Legendrian tori from families of knots
本文通过结的弦代数，提出一种拓扑方法计算Legendrian接触同调中的monodromy，并构造了一个无限族非收缩的Legendrian环。
2026-02-12 math.GT math.SG
Obstructions to Lagrangian Cobordisms between Legendrians via Generating Families
生成族的技巧对1-喷丛的辛化中勒让德子流形之间的嵌入拉格朗日配边的存在性产生了障碍。事实上，生成族可以用来构建一个类似TQFT的理论，除了给出上述的障碍之外，还可以得到关于勒让德子流形不变量的结构信息。例如，本文设计的障碍物表明，Chekanov-Eliashberg Legendrian $m(5_2)$结之间不存在生成族相容的拉格朗日配边。此外，勒让德子流形的生成族上同调群限制了拉格朗日填充的拓扑。在结构上，勒让德子流形的生成族上同调满足一种亚历山大对偶，当勒让德子流形为零协边时，可以看作是相关拉格朗日填充的庞加莱对偶。这个对偶性暗示了具有线性无穷生成族的勒让德子流形的阿诺德猜想。结果是通过开发一个生成的家庭版本的包装Floer上同调，并建立长的确切序列，从查看这些上同调群的空间作为映射锥。
2012-09-01 math.GT math.SG
One parameter families of Legendrian torus knots
我们计算的切卡诺夫-Eliashberg接触的同源性，我们称之为Legendrian封闭的一个积极的辫子。我们还为每个这样的链接图构建了一个增强。然后，我们将前文建立的单值技术应用于正Legendrian（p，q）环面纽结空间L'中的某个自然环，证明了L'有一个非平凡的基本群，它通过包含诱导的映射非内射映射到K的基本群中（这里K是所有光滑正（p，q）环面纽结空间）.这是第一个例子，勒让德和经典的结在一个参数家庭的水平上表现不同。
2004-09-01 math.GT math.SG
Knotted Legendrian surfaces with few Reeb chords
对于$g>0$，我们构造了亏格$g$的曲面到$J^1(R^2)=R^5$中的$g+1$勒让德嵌入，这些嵌入位于两两不同的勒让德合痕类中，并且都具有$g+1$横Reeb弦（$g+1$是弦的最小数目）.此外，对于$g+1$嵌入的$g$，Legendrian接触同源DGA不允许对$Z/2Z$的任何扩增，因此不能线性化。我们还调查了这些表面的观点的理论产生的家庭。最后，我们考虑Legendrian领域和平面在$J^1(S^2)$从类似的角度。
2011-11-07 math.SG
Lagrangian Cobordisms via Generating Families: Constructions and Geography
勒让德子流形之间的嵌入拉格朗日配边是由采用生成族技术的合痕、旋转和手柄连接构造产生的。此外，任何具有生成族的Legendrian都具有具有相容生成族的浸入拉格朗日填充。这些构造在几个方向上都有应用，特别是在一个非经典的地理问题上：任何满足对偶条件的分次群都可以被实现为R^{2n+1}中连通勒让德子流形的生成族同调，或者在n至少为2的紧致n-流形的1-jet空间中。
2014-09-18 math.SG
Computing Homology Invariants of Legendrian Knots
勒让德纽结L的Chekanov-Eliashberg微分分次代数是勒让德纽结不变量的丰富来源，生成族理论也是如此。契卡诺夫-埃利亚什伯格代数的增广的同调群的集合P（L）是一个不变量，就像生成族理论中称为分次正规规则的对象的计数一样。这篇文章给出了两个结果证明有用的计算同调群的增广使用组合解释的生成家庭称为莫尔斯复杂的序列。首先，我们证明如果L在xz平面上的投影正好有4个尖点，那么|P（L）|小于或等于1。其次，我们证明了由Ng和Sabloff定义的增广与分次正规规则之间的多对一映射所关联的两个增广与同一分次正规规则不一定有同构的同调群。
2014-06-30 math.GT math.SG
Contact homology and one parameter families of Legendrian knots
我们考虑标准接触R^3中的勒让德纽结的S^1-族。我们定义这样的循环，这是一个自同构的Chekanov-Eliashberg接触同调的开始（和结束）点的单值。证明了这种单值性是循环的一个同伦不变量。我们还建立了技术来解决的问题Reidemeister移动拉格朗日投影的Legendrian链接。作为应用，我们给出了一个右手勒让德环面纽结环，它在勒让德纽结空间Leg（S^1，R^3）中是不可收缩的，但在光滑纽结空间Emb（S^1，R^3）中是可收缩的.对于这个结果，我们还计算接触的同源性，我们称之为Legendrian封闭的一个积极的辫子，并构建一个扩增每个这样的链接图。
2005-11-06 math.GT math.SG
Augmentations, Fillings, and Clusters
该研究用弗洛尔理论证明正辫子勒让德链环的增广簇是簇K2簇，其大量正合拉格朗日填充对应簇种子，还解决了非ADE型正辫子勒让德链环的无限填充问题。
2024-01-31 math.AG math.GT math.RT
Exact Lagrangian Fillings of Legendrian $(2,n)$ torus links
对于具有最大Thurston-Bennequin数的Legendrian $(2,n)$环面结或环，Ekholm、Honda和Kálman构造了$C_n$精确拉格朗日填充，其中$C_n$是第$n$个加泰罗尼亚数。我们表明，这些确切的拉格朗日填充是成对的非同位素通过确切的拉格朗日合痕。为此，我们计算由精确拉格朗日填充$L$到$\mathbb{Z}_2[H_1(L)]$引起的增广，并区分由此产生的增广。
2016-07-11 math.GT math.SG
A stable homotopy invariant for Legendrians with generating families
本文为具有无穷远线性生成族的勒让德子流形构造稳定同伦型谱不变量，提升生成族同调与填充情形的 Seidel 同构，并给出拉格朗日填充及生成族纤维维数的约束。
2025-06-10 math.AT math.SG
Ruling polynomials and augmentations over finite fields
对于（\R^3，\ker（dz-y\，dx））中的任何勒让德链L，我们将不变量Aug_m（L，q）定义为从L的勒让德接触同调DGA到q阶有限域中的增广的归一化计数，其中参数m是L的旋转数的两倍的除数。推广了Ng和Sabloff关于q =2的结果，证明了增广数Aug_m（L，q）是由m-分次规则多项式R^m_L（z）在z = q^{1/2}-q^{-1/2}处的特殊化决定的.作为推论，我们推导出统治多项式是由勒让德接触同调DGA。
2014-06-23 math.GT math.SG
Generating families and Legendrian contact homology in the standard contact space
我们表明，如果一个Legendrian结在标准接触${\bb R}^3$拥有一个生成家庭，然后存在一个增广的Chekanov-Eliashberg DGA，使相关的线性接触的同源（LCH）是同构的奇异同调群所产生的生成家庭。在这种情况下，我们表明Sabloff的对偶结果LCH可以被视为亚历山大对偶。此外，我们给出了一个显式构造的生成族的正面图与分级正常的规则，并给出了一个新的方法来扩大$\Rightarrow$正常的规则。
2010-12-08 math.GT math.SG
A combinatorial DGA for Legendrian knots from generating families
对于R^3中的勒让德纽结L，我们构造了一个微分分次代数（DGA），它的微分计数L的前投影中的“弦路”。DGA的定义的动机是考虑莫尔斯理论的数据生成家庭。特别是，当MCS产生的生成家庭，我们给我们的和弦路径的几何解释为某些破碎的梯度轨迹，我们称之为“梯度楼梯”。给定两个等价的MCS，我们证明了相应的线性化复形的DGA同构。如果MCS有一个标准式，那么我们表明，我们的DGA同意Chekanov-Eliashberg DGA后，通过增广改变坐标。
2012-08-09 math.GT math.SG
On Newton polytopes of Lagrangian augmentations
本笔记利用牛顿多面体研究 Legendrian 子流形的 Lagrangian 填充，证明其可区分无穷多填充，并在有限特征下计算发现存在具无穷多不可定向精确填充的 Legendrian 链环。
2023-12-28 math.CO math.GT math.SG
Non-fillable augmentations of twist knots
我们建立了新的例子，勒让德扭结，不能诱导定向拉格朗日填充的扩增。要做到这一点，我们使用一个版本的Seidel-Ekholm-Dimitroglou Rizell同构与当地的系数表明，任何拉格朗日填充点的增广品种的勒让德结必须位于内射图像的代数环面的尺寸等于第一个贝蒂数的填充。这是一个弗洛尔理论版本的结果从微局部层理论。对于增广问题，我们表明，没有这样的代数环面可以存在。
2021-03-05 math.GT math.SG
The homotopy cardinality of the representation category for a Legendrian knot
本文研究 Legendrian 纽结表示范畴，证明其 $n$ 维表示范畴的同伦基数是 $n$ 色 ruling polynomial 的倍数，并给出表示等价与共轭 DGA 同伦的关系及 Lagrangian concordance 应用。
2023-04-07 math.GT math.SG
Connections between Floer-type invariants and Morse-type invariants of Legendrian knots
我们定义了一个代数/组合对象的前投影$Σ$的勒让德结称为莫尔斯复杂序列，简称MCS。这个目标的动机是由理论的生成家庭，并提供了新的连接之间的生成家庭，正常的规则，并增加了Chekanov-Eliashberg DGA。特别地，我们在$Σ$上的MCS集合上放置一个等价关系，并构造一个从等价类到$L_Σ$增广的链同伦类集合的满射映射，其中$L_Σ$是$Σ$的Ng分解.在勒让德纽结类的情况下，承认代表与双桥前投影，这个地图是双射。我们还展示了两个标准式的MCS，并给出明确的算法，找到这些形式。
2010-09-15 math.GT math.SG
Smoothly non-isotopic Lagrangian disk fillings of Legendrian knots
本文构造了标准辛4-球中第一类具有相同边界勒让德纽结、非光滑同位素或非同胚外点的不同Lagrange带状圆盘.
2020-10-13 math.GT math.SG
Augmentation categories in higher dimensions
University of Oregon（俄勒冈大学）
本文在高维情况下构造了增强类别，扩展了Ng等人对接触流形的增强类别研究。
2026-02-11 math.SG
The augmentation category map induced by exact Lagrangian cobordisms
对于勒让德结，可以关联$\mathcal{A}_{\infty}$类别，即增强类别。两个勒让德结之间的精确拉格朗日配边给出了两个勒让德结的增广范畴的函子。我们研究了函子，并建立了一个长正合序列，它与两端态射的相应上同调有关。作为应用，我们证明了增广范畴之间的函子在对象等价类的水平上是单射的，并在线性化接触同调和统治多项式方面找到了精确拉格朗日协边存在的新障碍.
2017-05-23 math.GT math.SG
Families of knots that cannot be made Legendrian parametrically
本文证明对于每个n≥3，任何纽结类型的Legendrian代表及其形式代表在π_n层面上的群同态均非满射，并指出π_2层面的满射性依赖纽结类型，从而揭示了参数族在更高同伦层面的刚性。
2026-09-17 math.DG math.GT math.SG
The persistence of the Chekanov-Eliashberg algebra
我们将持久同调论的条码应用于Legendrian子流形的Chekanov-Eliashberg代数，推导出任意Legendrian的位移能量界。我们不要求完整的Chekanov-Eliashberg代数允许增广，因为我们只在某个动作水平以下线性化代数。作为一个应用程序，我们表明，这是不可能的$C^0$ -近似稳定的Legendrian的Legendrian承认一个增强。
2020-09-25 math.GT math.SG
Generalized normal rulings and invariants of Legendrian solid torus links
对于$S^1$的1-喷流空间中的Legendrian链接，我们证明了1-分次统治多项式可以从Kauffman skein模块恢复。对于这样的链接的一般化的概念，正常的裁决。我们表明，存在这样一个广义的正常的裁决是相当于锐度的考夫曼多项式估计的Thurston-Bennequin数，以及存在一个未分级的Chekanov-Eliashberg DGA的扩增。建立了HOMFLY-PT多项式和2-阶广义正规定则的并行结果。
2011-09-06 math.GT math.SG
Decompositions of augmentation varieties via weaves and rulings
本文证明了正辫子簇与 Legendrian 增广簇中由编织和裁决给出的分解在同构下一致，并与 Deodhar 分解及层论微局部分解重合，同时建立了簇变量与 Morse 复形序列的计算联系。
2025-08-27 math.AG math.CO math.RT
A product structure on Generating Family Cohomology for Legendrian Submanifolds
在具有标准切触结构的1-喷流空间$J^1M$中，通过Morse理论的生成族技术，得到了某些Legendrian子流形的不变量.本文推广了生成族上同调不变量，给出了生成族上同调不变量的乘积$μ_2$ .为了定义乘积，构造了流树的模空间，并证明了它具有带角的光滑流形的结构。这些空间由相交的半无限梯度轨道的功能，其临界点对应的里布弦的勒让德。本文奠定了基础的$A_\infty$代数将显示，特别是，$μ_2$是结合的，从而产生家庭上同调的环结构。
2018-02-14 math.GT math.SG
Generating families and constructible sheaves
设$Λ$是某流形$X$的喷流空间中的勒让德算子.对于$Λ$的生成族表示，我们在$X \times \mathbb{R}$上关联一个可构造的层，其无穷远的奇异支集是$Λ$，并且使得生成族同调正则同构于该层的自同态代数。也就是说，理论产生家庭的同源嵌入层理论，更具体地说，在[STZ]研究的范畴。当$X = \mathbb{R}$，即，对于标准接触$\mathbb{R}^3$中的勒让德结和链接的理论，我们使用来自h-配边定理的证明的思想来表明这种嵌入是等价的。结合[NRSSZ]的结果，这特别意味着一个纽结的生成族同调与它的线性化Legendrian接触同调是相同的。
2018-09-10 math.GT math.SG
Existence of generating families on Lagrangian cobordisms
本文研究精确 Lagrangian 配边上生成族的延拓问题，证明负端线性生成族经稳定化延拓当且仅当形式障碍消失，并推出平凡稳定 Gauss 映射的 Lagrangian 填充存在线性生成族。
2024-06-15 math.GT math.SG
