Bayesian deep operator learning for homogenized to fine-scale maps for multiscale PDE
针对多尺度PDE精细解获取难、观测有限的问题，提出基于数学驱动神经算子的贝叶斯深度算子学习框架，训练多保真均匀化映射，实现无网格高效求解，经数值算例验证有效。
2023-08-27 cs.NA math.NA
Locally Subspace-Informed Neural Operators for Efficient Multiscale PDE Solving
AXXX；Institute of Numerical Mathematics（计算数学研究所）；North-Eastern Federal University（东北联邦大学）
本文提出一种局部子空间感知神经算子，通过学习子空间而非基函数，有效降低多尺度PDE求解的误差和计算成本。
2026-02-27 cs.NA math.NA
Multiscale Fourier Neural Operator for Inverse Wave Scattering in Highly Oscillatory Media
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；Department of Mathematics, Southern Methodist University（南方卫理公会大学数学系）
提出基于多尺度傅里叶神经算子(MscaleFNO)的Helmholtz方程逆介质问题算子学习方法，通过降低谱偏差的神经代理模型映射高振荡介质到散射波场，并引入扩散模型正则化最小二乘逆求解器，数值实验验证了高振荡介质重建的有效性。
2026-06-07 cs.NA math.NA
Learning a generalized multiscale prolongation operator
针对随机渗透率达西流动问题，提出用深度学习加速广义多尺度延拓算子构建的方法，设计子空间距离损失，利用对称性加速训练、KL展开增广数据，在保持预条件器效率的同时大幅缩短算子生成时间，且泛化性强。
2025-01-13 cs.NA math.NA
Assembly of multiscale linear PDE operators
在许多应用中，数学模型由跨低维流形耦合的不同过程组成。由于多尺度耦合，这种模型的有限元离散化提出了一个挑战。假设只有单尺度有限元形式可以组装，我们在这里提出了一个简单的算法表示多尺度模型为线性算子适合Krylov方法。该方法的灵活性是通过数值例子与耦合跨维度差距1和2。预条件的几个问题进行了讨论。
2019-12-19 cs.MS cs.NA math.NA
Numerical homogenization of a linear multiscale conservation law
École Nationale des Ponts et Chaussées, Institut Polytechnique de Paris, CNRS（巴黎路桥学校，巴黎理工学院，法国国家科学研究中心）；Inria Paris（法国国家信息与自动化研究所巴黎分部）
针对带振荡通量的线性标量守恒律，利用格式数值粘性进行均匀化得到有效方程并数值求解，以Lax-Friedrichs格式验证了方法的有效性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
The Frame Kernel Method for Multiscale Operator Learning
Kahlert School of Computing, University of Utah（犹他大学卡勒特计算机学院）；U.S. Air Force Research Laboratory（美国空军研究实验室）
该研究提出原生多尺度算子学习的框架核方法，用于多尺度PDE代理建模，其精度优于流行神经算子，可实现后验多尺度分解。
2026-09-02 cs.LG cs.NA math.NA
Contrast independent localization of multiscale problems
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）
本文研究了一种基于变分多尺度方法的多尺度方法，提出了一种新的插值算子，证明在合理假设下，该方法具有对比独立的定位误差特性。
2017-03-23 cs.NA math.NA
Dilated convolution neural operator for multiscale partial differential equations
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出扩张卷积神经算子DCNO，通过卷积与傅里叶层结合捕获多尺度问题中的高频和低频特征，在椭圆方程、Navier-Stokes方程等任务上实现了精度与计算成本的最优平衡。
2024-07-16 cs.LG cs.NA math.NA
A Dilation-based Seamless Multiscale Method For Elliptic Problems
本文将多尺度动力系统中的无缝方法引入数值均匀化问题，通过基于局部膨胀的新方法近似高维多尺度椭圆算子，在无需完全分辨率下平衡了不可处理性与准确性，并给出了误差估计与数值验证。
2025-06-28 cs.NA math.NA
Adaptive Fast-Slow Operator Splitting for Multiscale Biochemical Stochastic Dynamics
Northeastern University（东北大学）
本文提出自适应算子分裂框架，通过自适应离散化方法，实现多尺度生物化学随机动力学的高效准确模拟，结合比例-积分控制器优化时间步长选择。
2026-03-31 cs.NA math.NA
Multiscale solver for multi-component reaction-diffusion systems in heterogeneous media
研究了一类描述多组分（物种）相互作用的非线性耦合反应扩散方程。基于有限体积法的空间近似构造半离散形式的计算数值解。两种技术的时间近似，即全隐式（FI）和半隐式（SI）计划进行检查。全隐格式格式是用牛顿法构造的，在每次非线性迭代和时间迭代时，会导致方程组的耦合系统，计算量相当大。为了最小化后一个障碍，提出了一个高效快速的多尺度求解器，用于非均匀介质中的反应扩散系统。为了构造快速求解器，我们应用一个半隐格式，导致一个解耦系统的每个单独的组件。为了减小离散系统的尺寸，我们提出了一种多尺度模型降阶技术。多尺度求解器是基于问题的解耦算子，利用广义多尺度有限元法（GMsFEM）构造的。在GMsFEM中，我们使用算子的扩散部分，并构造多尺度基函数。我们收集多尺度基函数来构造投影/延拓矩阵，并在粗网格上生成降阶模型以快速求解。此外，延长运营商是用来重建一个精细的规模解决方案和准确的近似的反应部分的问题，然后导致一个非常准确和计算有效的多尺度求解器。本文给出了二维区域中含非均匀包含的两种群竞争检验问题的数值结果。我们调查的多尺度基函数的方法的精度和能力，以不同的扩散系数值的数量的影响。
2022-09-09 cs.NA math.NA
Multiscale analysis via pseudo-reversing and applications to manifold-valued sequences
本文针对流形值序列的多尺度表示问题，提出基于伪逆向的多尺度变换框架，解决了部分上采样算子缺乏实用逆向的难题，并展示了其在流形数据处理中的应用。
2025-07-07 cs.NA math.NA
Accelerating Multiscale Simulation of Complex Geomodels by Use of Dynamically Adapted Basis Functions
许多不同的多尺度方法已被开发作为一个强大的替代升级和作为一种手段，加速油藏模拟的高分辨率地质模型。在其基本设置中，多尺度方法使用限制算子在粗网格上构建简化的流动方程系统，并使用延长算子将压力未知数从粗网格映射回原始模拟网格。延拓算子由通过求解局部流问题数值计算的基函数组成。人们可以使用由此产生的多尺度求解器作为一个CPR预处理器在全隐式模拟器或作为一个有效的近似迭代线性求解器在顺序设置。后一种方法已成功地在商业模拟器中实现。最近，我们已经证明，如果你不使用一对约束算子，而是应用一系列这样的算子，其中一些算子适用于断层、裂缝、相或其他地质体，你可以获得更快的收敛速度。在这里，我们介绍了如何进一步加速收敛，如果你还包括额外的基函数，捕捉局部变化的压力。
2020-01-06 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Algorithmic Monotone Multiscale Finite Volume Methods for Porous Media Flow
本文针对多尺度有限体积方法产生非单调越界解的问题，提出对粗尺度模板作代数修改的 AM-MsFV/MsRSB 框架，在多种粗化比率下保证单调有界且不损失精度。
2023-08-12 cs.NA math.NA
A Multiscale Butterfly Algorithm for Multidimensional Fourier Integral Operators
Stanford University（斯坦福大学）；ICME, Stanford University（斯坦福大学计算数学与工程研究所）
本文提出多尺度蝴蝶算法高效计算多维傅里叶积分算子，利用低秩性质实现准线性复杂度，避免额外坐标变换提升效率，并通过二维三维实例验证其优势。
2015-02-05 cs.NA math.NA
Wavelet Sparse Regularization for Manifold-Valued Data
Universität Heidelberg（海德堡大学）；Hochschule Darmstadt（达姆施塔特应用技术大学）；Helmholtz Zentrum München（慕尼黑亥姆霍兹中心）
在本文中，我们考虑了流形值数据的稀疏正则化插值小波/多尺度变换。我们提出并研究了这项任务的变分模型，并提供其适定性的结果。我们提出的算法，这些模型的数值实现在歧管设置。此外，我们提供了实验结果，以显示所提出的计划的应用程序的潜力。
2018-08-01 cs.CV cs.NA math.DG
Sparse Operator-Adapted Wavelet Decomposition Using Polygonal Elements for Multiscale FEM Problems
本文提出了一种基于多边形元素的稀疏算子适应小波分解方法，用于高效求解多尺度有限元问题。
2025-12-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Mitigating spectral bias for the multiscale operator learning
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；University of Missouri-Kansas City（密苏里大学堪萨斯分校）
针对多尺度偏微分方程中神经算子的低频谱偏差问题，本文提出层次注意力神经算子HANO，通过尺度自适应交互、多层次自注意力和经验$H^1$损失增强高频学习，在代表性多尺度问题上超越SOTA方法。
2024-06-09 cs.AI cs.LG cs.NA
A Neural-network-based multiscale Hybridizable Discontinuous Galerkin method for solving PDEs in porous media
ECPI University（ECPI大学）；Old Dominion University（老道明大学）
该研究提出NN-MsHDG方法，用神经网络预测局部算子替代细尺度求解，中等对比度下可降低5至16倍在线计算成本，同时指出高对比度下需改进粗空间及算子表示。
2026-09-07 cs.NA math.NA
Optimal Multiscale Learning of Linear Operators
University of Chicago（芝加哥大学）
研究从含噪输入输出数据学习Sobolev空间之间有界线性算子的统计与计算极限，提出有限分辨率分块最小二乘估计器达到极小极大最优率，并实现自适应计算成本。
2026-06-16 cs.NA math.NA math.ST
Data-driven reduced-order modeling for nonautonomous dynamical systems in multiscale media
在这篇文章中，我们提出了数据驱动的降阶建模的非自治动力系统在多尺度介质中使用Koopman算子。与自治动力系统的情形不同，非自治动力系统的Koopman算子族对时间对有显著的依赖性。为了有效地估计时间相关的Koopman算子，采用移动时间窗对快照数据进行分解，并采用扩展的动态模式分解方法计算各局部时域的Koopman算子。多尺度介质中的许多物理性质通常在非常不同的尺度上变化。为了更好地捕获多尺度信息，所收集的数据的维度可能很高。为了准确地构造多尺度介质中动力系统的模型，我们使用高空间维的观测数据。使用高维数据计算Koopman算子是一个挑战。为此，提出了降阶建模的策略。降阶建模分为离线和在线两个阶段。在离线阶段，使用分块低秩分解来降低初始快照数据的空间维度。对于非自治的动力系统，可能需要实时观测数据来更新Koopman算子。提出了在线降阶建模的方法来修正离线降阶建模。提出了三种在线降阶建模方法：全在线、半在线和自适应在线。自适应在线方法自动选择全在线或半在线，可以实现建模精度和效率之间的良好权衡。
2023-01-08 cs.NA math.DS math.NA
Solving multiscale elliptic problems by sparse radial basis function neural networks
Soochow University（苏州大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Suzhou Institute for Advanced Research, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学苏州高等研究院）
提出一种稀疏径向基函数神经网络方法，通过将二阶椭圆型偏微分方程重写为一阶系统并引入 $\ell_1$ 正则化与特定优化算法，实现了在三维多尺度问题上的高精度、高鲁棒求解，且显著减少了所需基函数数量。
2023-09-01 cs.LG cs.NA math.NA
Pyramid Transform of Manifold Data via Subdivision Operators
多尺度变换已经成为许多数据处理任务中的关键组成部分。随着技术的发展，我们观察到的方法，以应付非线性数据结构，如流形值的需求不断增长。在本文中，我们提出了一个多尺度的方法来分析流形值数据使用金字塔变换。该变换使用一类独特的下采样运算符，使非插值细分方案能够作为上采样运算符。我们详细描述了这种结构，并提出了它的分析性质，包括稳定性和系数衰减。接下来，我们数值演示的结果，并显示我们的方法去噪和异常检测的应用。
2021-08-15 cs.NA math.NA
Analysis of regularization methods for the solution of ill-posed problems involving discontinuous operators
本文考虑一个求解不适定算子方程的正则化概念，其中算子由一个连续算子和一个不连续算子组成。一个特殊的应用是水平集正则化，我们开发了一个新的概念极小。所提出的水平集正则化能够处理不断变化的拓扑结构。给出了一个解释拓扑分裂的功能分析框架。水平集正则化方法的渐近极限是一个演化过程，这是数值实现和所提出的算法的质量证明通过求解反源问题。
2020-11-13 cs.NA math.NA
Super-localization of elliptic multiscale problems
数值均匀化的目的是在$d$维域上有效而精确地逼近具有任意粗糙系数的椭圆型偏微分算子的解空间。逆算子应用于某些标准有限元空间定义了一个近似空间，该近似空间相对于网格步长参数$H$具有一致的代数逼近率。这甚至适用于欠解析的粗糙系数。然而，数值均匀化的真正挑战是这样一个运营商相关的近似解空间的本地化基础的本地化计算。本文提出了一种新的本地化技术，强制执行超指数衰减的基础相对于$H$。这表明支持宽度为$\mathcal O(H|\log H|^{(d-1)/d})$的基函数足以保持$H$中的最佳代数收敛速度，而没有预渐近效应。一系列的数值实验说明了新的本地化技术的意义相比，到目前为止最好的本地化支持宽度$\mathcal O(H|\log H|)$。
2022-11-23 cs.NA math.NA
Deep Learning-based Surrogate Modelling of the LOD Method for Multiscale Problems
针对多尺度问题传统方法的局限，研究神经算子架构性能与局限，引入LOD-MSNO混合方法，结合LOD方法与数据驱动算子学习，克服计算瓶颈，给出理论误差估计，在多尺度输入精度上优于基线且保持计算效率。
2026-07-15 cs.AI cs.LG cs.NA
Sparse regularization of inverse problems by operator-adapted frame thresholding
我们分析了稀疏框架为基础的正则化反问题的对角框架分解（DFD）的前向算子，推广SVD。的DFD允许定义一个非迭代（直接）的运营商自适应帧阈值的方法，我们表明，提供一个收敛的正则化方法与线性收敛速率。这些结果将进行比较，以众所周知的分析和合成的稀疏$\ell^1$ -正则化，这通常是通过迭代方案实现的变种。如果帧是基础（非冗余情况），则稀疏正则化的三个版本，即$\ell^1$正则化的合成和分析变体以及DFD阈值化是等效的。然而，在冗余的情况下，这三种方法是成对不同的。
2019-12-12 cs.NA math.NA
Multiscale reverse-time-migration-type imaging using the dyadic parabolic decomposition of phase space
Lund University（隆德大学）；Purdue University（普渡大学）；CNRS, Institut de Recherche en Informatique de Toulouse (IRIT)（法国国家科学研究中心，图卢兹信息学研究所）
本文提出基于相空间双亲分解的反时迁移成像方法，利用傅里叶积分算子的规范关系图，通过波包求解波动方程，并开发了基于离散近似计算傅里叶积分算子作用的数值算法。
2015-09-23 cs.NA math.NA
Robust Numerical Upscaling of Elliptic Multiscale Problems at High Contrast
Institut für Numerische Simulation der Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）；Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）
本文提出一种新的数值上scaling方法，用于高对比率粗糙扩散系数的椭圆问题，通过局部可定位正交分解实现最优收敛性，无需预渐进行为。
2016-01-25 cs.NA math.NA
Optimal solutions employing an algebraic Variational Multiscale approach Part II: Application to Navier-Stokes
ETSIAE-UPM-School of Aeronautics, Universidad Politécnica de Madrid（马德里理工大学航空学院）；Delft University of Technology, Faculty of Aerospace Engineering（代尔夫特理工大学航空航天学院）；Center for Computational Simulation, Universidad Politécnica de Madrid（马德里理工大学计算模拟中心）
本文提出了一种基于变分多尺度方法的非线性扩展框架，用于求解二维不可压缩纳维-斯托克斯方程，通过最佳投射概念实现高阶精度和守恒性质。
2025-12-19 cs.NA math.NA
Optimal higher-order convergence rates for parabolic multiscale problems
Umeå University（于默奥大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）
本文提出一种高阶多尺度方法，用于处理具有高振荡系数的时间依赖问题，通过构建富集修正算子提高收敛速率，无需额外系数假设，并通过数值实验验证理论结果。
2026-05-14 cs.NA math.NA
Multiscale differential Riccati equations for linear quadratic regulator problems
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文研究多尺度操作符下线性二次调节问题的微分里茨方程近似解，提出局部正交分解法在粗网格上实现高精度计算，证明了二阶收敛性及低秩处理方法。
2018-06-18 cs.NA math.NA
Regularization of linear inverse problems with irregular noise using embedding operators
该研究针对带非正则噪声的线性反问题，提出利用伴随嵌入算子预处理噪声的正则化方法，给出一般方案收敛性分析，并在CT的Tikhonov正则化中导出新型基于傅里叶的滤波反投影算法，经数值实验验证有效。
2024-01-29 cs.NA math.NA
Analysis and Approximation of Stochastic Multiscale Subdiffusion Driven by Fractional Gaussian Noise
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Geotechnical and Structural Engineering Research Center, Shandong University（山东大学岩土结构工程研究中心）
本文针对由分形高斯噪声驱动的随机多尺度次扩散模型，采用解算子方法与扰动技术证明其温和解的适定性，提出两类数值格式并验证收敛速率，通过实验支撑理论结果。
2026-09-01 cs.NA math.NA
A multiscale method for semi-linear elliptic equations with localized uncertainties and non-linearities
Centrale Nantes（南特中央理工学院）；Université Paris-Est（巴黎东大学）
本文提出了一种多尺度数值方法，用于求解具有局部不确定性和非线性的半线性椭圆随机偏微分方程，通过域分解方法将不同不确定性和非线性源包含在感兴趣的子域（称为补丁）中，并通过迭代算法求解一系列线性全局问题和非线性局部问题，利用自适应采样基于最小二乘法构建稀疏多项式近似来解决非线性局部问题，证明了算法的一致性、收敛性和鲁棒性，并通过数值实验展示了方法的性能。
2019-01-20 cs.NA math.NA
A Multifidelity deep operator network approach to closure for multiscale systems
Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）
本研究提出多保真度深度算子网络（DeepONet）结合“在环内”训练方法，解决多尺度系统降阶模型（PROMs）的闭合问题，显著提升了模型在插值与外推区域的预测稳定性与准确性。
2023-06-02 cs.LG cs.NA math.NA
Solving and learning advective multiscale Darcian dynamics with the Neural Basis Method
Asia Pacific Technology, Inc.（亚太科技公司）；Institute for Scientific Computation, Texas A&M University（德克萨斯农工大学科学计算研究所）；Department of Mathematics, University of Houston（休斯顿大学数学系）
本文提出神经基底方法，通过结合物理一致的神经基底空间和操作符诱导残差度量，解决对流多尺度达西动力学问题，实现稳定可靠的求解与参数推断。
2026-04-10 cs.LG cs.NA math.NA
Fast Multiscale Diffusion on Graphs
在多个尺度上扩散图形信号需要计算拉普拉斯矩阵的几个倍数的指数的作用。我们收紧截断切比雪夫多项式近似的指数的近似误差的界限，从而显着提高了先验估计的多项式阶为规定的错误。我们进一步利用这些近似的属性分解的扩散算子的行动在多个尺度上的计算，从而大大降低其计算成本。
2021-04-29 cs.NA eess.SP math.NA
Regularization of Ill-Posed Problems with Unbounded Operators
针对无界闭算子（可能非线性），论证了变分正则化和拟解方法的合理性，并给出了简洁的一般性结果。
2001-11-08 cs.NA math-ph math.MP
An Application of Source Inequalities for Convergence Rates of Tikhonov Regularization with a Non-differentiable Operator
University of Vienna（维也纳大学）
本文利用源不等式方法，针对非可微算子方程，在真解不同光滑性假设下推导出Tikhonov正则化的收敛速度，最高可达线性收敛。
2012-09-11 cs.NA math.NA math.OC
PAS-Net: Physics-informed Adaptive Scale Deep Operator Network
Utah State University（犹他州立大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；University of Missouri-Kansas City（密苏里大学堪萨斯城分校）
针对含小参数和局部特征的非线性奇异摄动发展偏微分方程求解问题，提出物理信息自适应尺度深度算子网络PAS-Net，通过多尺度嵌入改善收敛性与精度，实验验证其优于现有DeepONet类模型。
2025-11-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Parameter learning and fractional differential operators: application in image regularization and decomposition
在本文中，我们专注于学习基于偏微分方程的图像正则化和分解的最佳参数。首先，我们学习的正则化参数和微分算子的灰度图像去噪使用的分数拉普拉斯结合一个双层最优化问题。在我们的设置中，分数拉普拉斯算子允许使用傅里叶变换，这使得去噪算子能够优化。与其他机器学习方法相比，我们证明了稳定和可解释的结果是一个优势。数值实验与我们的理论模型设置，并显示出减少的计算时间相比，ROF模型。其次，我们提出了一种新的图像分解模型，它采用分数拉普拉斯算子和里斯位势。我们给出了唯一解的显式表达式，数值实验表明了该方法的有效性。
2020-01-10 cs.NA math.NA math.OC
Convergence of Tikhonov regularization for solving ill-posed operator equations with solutions defined on surfaces
University of Vienna（维也纳大学）；Johannes Kepler University of Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文研究了求解定义在曲面上的病态算子方程的Tikhonov正则化方法，分析了表面扰动对误差的影响，并探讨了向量丛上的函数正则化分析，展示了重力反演和表面矢量场去噪的应用。
2016-12-14 cs.NA math.DG math.FA
