A note on alternating projections in Hilbert space
Eva Kopecka, Simeon Reich
本文给出了希尔伯特空间中两个闭凸集上的交替最近点投影的渐近行为的一个结果的直接证明。我们的论点是基于非扩张映射理论。
We provide a direct proof of a result regarding the asymptotic behavior of alternating nearest point projections onto two closed and convex sets in a Hilbert space. Our arguments are based on nonexpansive mapping theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the rate of convergence of iterated Bregman projections and of the alternating algorithm
研究了一致凸、一致光滑巴拿赫空间中两个闭子空间的闭和上的度量投影的交替算法。对于凸的幂型光滑的巴拿赫空间，我们给出了一个条件，该条件意味着该方法是线性收敛的。我们证明了这些收敛结果的Bregman投影到封闭的线性子空间的迭代。利用闭线性子空间上的度量投影与其零化子上的Bregman投影之间的密切联系，从迭代Bregman投影法的相应结果出发，推导出交替算法的收敛速度结果.
Alternating projections, remotest projections, and greedy approximation
设$L_1,L_2,\dots,L_K$是Hilbert空间$H$的闭子空间族，$L_1\cap \dots \cap L_K =\{0\}$ ;设$P_k$是到$L_k$上的正交投影。我们考虑两种类型的连续投影的元素$x_0\in H$：交替投影$T^nx_0$，其中$T=P_K\circ\dots\circ P_1$，和最远的投影$x_n$递归定义，$x_{n+1}$是$x_n$之间的最远点$P_1x_n,\dots,P_Kx_n$。这些$x_n$可以被解释为相对于与$L_1,L_2,\dots,L_K$相关联的特殊字典的贪婪近似中的残差。我们建立平行的收敛性能分别已知交替投影，最远的投影，和贪婪近似$H$。这里有一些结果。如果是$L_1^\perp+\dots+L_K^\perp=H$，那么$x_n\to 0$的速度是指数级的。在$L_1^\perp+\dots+L_K^\perp\not=H$的情况下，对于某些$x_0$，收敛$x_n\to 0$可以任意慢。这样的二分法，指数收敛速度到处$H$，或任意慢收敛某些起始元素，是有效的贪婪近似相对于一般字典。二分法以交替投射而闻名。使用贪婪近似的方法，我们证明了$|T^nx_0|\le C(x_0,K)n^{-α(K)}$的某些积极的$α(K)$和所有的起点$x_0\in L_1^\perp+\dots+L_K^\perp$。
The Method of Alternating Projections
交替投影法是将希尔伯特空间的一个元素正交投影到一组闭子空间上。我们知道，如果投影是周期性的，甚至是准周期性的，那么所得到的序列总是依范数收敛的。我们提出的证据，这些众所周知的结果，并提供了一个原始的证明的情况下，两个封闭的子空间，被称为冯诺依曼定理。此外，已知该序列总是关于弱拓扑收敛，而不管投影被采用的顺序。通过直接关注投影，而不是以前在文献中考虑的更一般的收缩情况，我们能够给出这个结果的一个更简单的证明。最后，我们提出了一个技术建设，从最近的一份文件，序列，我们没有收敛规范。
More on the metric projection onto a closed convex set in a Hilbert space
本文着重讨论了希尔伯特空间中闭凸度量投影的一些性质。特别地，我们使用了最近的一些结果的不动点的非扩张潜在的运营商。
Generalized differentiability of the metric projection operator in Hilbert spaces
本文研究希尔伯特空间中度量投影算子的广义可微性，给出闭球和正锥上 Mordukhovich 导数的精确表达式，并揭示其与 Frechet 可微性及 Gateaux 方向可微性的联系。
Orthogonal Projection of an Infinite Round Cone in Real Hilbert Space
充分刻画了实希尔伯特空间中无限正圆（圆）锥的正交投影。另一种解释是，给定实希尔伯特空间中的两个向量，我们建立两个向量的正交投影之间的角度的最佳估计。该估计取决于两个向量之间的角度和两个向量中仅一个的位置。我们的结果也对Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz型不等式作出了贡献。
Strict Frechet and generalized differentiability of the metric projection operator onto balls in Hilbert spaces
本文证明了Hilbert空间中到闭球的度量投影算子的严格Frechet可微性并求出导数表达式，强化了已有方向可微性结果，并据此研究了该算子的广义可微性。
On the Coderivative of the Projection Operator onto the Positive Cone in Hilbert spaces
本文研究希尔伯特空间正锥度量投影算子的广义可微性，建立了欧氏空间中该算子的正则余导数与Mordukhovich余导数的精确公式，并将结果推广到实希尔伯特空间$l_2$。
Some Results on the Strict Fréchet Differentiability of the Metric Projection Operator in Hilbert Spaces
本文给出了Hilbert空间中到闭球及欧几里得空间中到二阶锥的度量投影算子严格Fréchet可微性的简洁证明与推广。
Regular Coderivative and Graphical Derivative of the Metric Projection onto closed Balls in Hilbert spaces
本文推导了Hilbert空间中到任意闭球上度量投影算子的正则余导数与图导数的精确计算公式。
Strict Frechet Differentiability of the Metric Projection Operator in Hilbert Spaces
本文证明希尔伯特空间闭球和欧几里得空间正锥上度量投影算子的严格弗雷歇可微性，给出导数精确表达式，从而加强了已有方向可微性结果。
Tight projections of frames on infinite dimensional Hilbert spaces
我们刻画了无限维可分希尔伯特空间上的框架可以投影到无限维子空间的紧框架上。Casazza和Leon的一个结果指出，2N-或（2N-1）-维希尔伯特空间的任意标架可以投影到N-维子空间的紧标架上。令人惊讶的是，我们证明了一个大类的框架的无限维希尔伯特空间，不能投影到一个紧框架的任何无限维子空间。
A duality between the metric projection onto a convex cone and the metric projection onto its dual in Hilbert spaces
如果$K$和$L$是Hilbert空间中的相互对偶的闭凸锥，其上的度量投影分别用$P_K$和$P_L$表示，则以下两个断言是等价的：（i）$P_K$关于由$K$诱导的阶是保序的（i. e. $v-u\in K$意味着$P_Kv-P_Ku\in K$）;（ii）$P_L$相对于由$L$诱导的阶是次加性的（i. e.任何$u, v \in \R^n$的$P_Lu+P_Lv-P_L(u+v)\in L$）。这推广了A. B.内梅特和作者为欧几里德空间。扩展是必不可少的，因为证明的结果，欧几里德空间基本上是有限维的，似乎不能扩展到希尔伯特空间。对希尔伯特空间的结果的证明是基于一个完全不同的思想，它使用了扩展的格运算。
Restricted normal cones and the method of alternating projections
交替投影法（MAP）是求解可行性问题的一种常用方法。虽然传统上用于子空间或凸集，但直到2009年，对MAP在非凸情况下的行为知之甚少，当时Lewis，Luke和Malick推导出局部线性收敛结果，前提是涉及正常锥的条件成立，并且至少有一个集合是超正则的（一个比凸性限制更少的属性）。然而，他们的结果未能捕获非常简单的经典凸实例，例如三维空间中的两条线。本文推广和发展了Lewis-Luke-Malick框架，使得它不仅覆盖了任意两个线性子空间，而且覆盖了任意两个相对内部相交的闭凸集。我们还允许更结构化的集合，例如凸集的并集。所需的关键工具是限制法锥，这是一个推广的经典Mordukhovich法锥。本文从约束规格和正则性的角度对限制法锥进行了深入的研究。大量的例子来说明理论。
Observations on the metric projection in finite dimensional Banach spaces
本文研究有限维Banach空间中交替度量投影方法的收敛性，刻画了使该方法对任意初始点都收敛到交集投影的子空间对，并证明在 $\ell_p^3$ 中此类子空间对在概率意义上是稀少的。
Characterizing arbitrarily slow convergence in the method of alternating projections
在1997年，Bauschke、Borwein和Lewis提出了一个截尾定理，描述了交替投影法的收敛速度可以任意慢的情况。然而，他们在证明这个定理时有两个错误。在本文中，我们证明了虽然其中一个错误是关键的，但定理本身是正确的。我们给出了一个不同的证明，它使用了谱定理的乘法形式，并且该定理在任何实或复希尔伯特空间中成立，而不仅仅是在实希尔伯特空间中。
A shrinking projection approximant for the split equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces
本文在希尔伯特空间中建立了由收缩投影方法产生的迭代算法的强收敛性结果。建议的逼近序列被用来找到一个共同的元素在一个有限的家庭分裂平衡问题的解决方案和一个有限的家庭的公共不动点的总渐近严格伪压缩在这样的设置。本文的结果改进和推广了文献中的一些最近的相应结果。
Directional Differentiability of the Generalized Metric Projection in Hilbert spaces and Hilbertian Bochner spaces
本文研究了实Hilbert空间中标准度量投影算子的Gâteaux方向可微性，精确给出了闭凸子集、闭球和闭凸锥等情形下的方向导数，并探讨了特殊Hilbert空间中的方向可微性。
On angles, projections and iterations
我们研究线性子空间的几何形状和线性投影的交替投影方法的收敛性之间的联系。这篇文章的目的是双重的：在第一部分，我们表明，即使在欧几里得空间的交替方法的收敛性是不确定的主要角度之间的子空间。在第二部分中，我们研究了两个线性投影之间的奥本海默角的性质。我们讨论，特别是，在这种情况下，“一致性预测”的存在性和唯一性的问题。
Unbounded operators in Hilbert space, duality rules, characteristic projections, and their applications
我们的主要定理是在希尔伯特空间的公理的一般性，和无界算子的理论。考虑两个希尔伯特空间，使得它们的交集包含一个固定的向量空间D。当假设D在其中一个空间中稠密，但在另一个空间中一般不稠密时，在这两个希尔伯特空间之间建立精确的联系是很有趣的。没有假设相对有界性。尽管如此，在自然的假设下（由位势论激发），我们证明了一个定理，其中两个希尔伯特空间之间的比较是通过一个特定的自伴半有界算子。应用程序包括物理哈密顿，连续和离散（无限网络模型），和运营商理论的反射积极性。
Alternating Weighted Residual Flows and the Non-Commutative Gap
本文提出了一种非线性交替加权残差流方法，用于分析非交换算子的极限行为，并揭示其与经典短算子之间的关系。
A residual-iteration framework for alternating projections between affine subspaces
研究希尔伯特空间中仿射子空间间交替投影问题，通过将其转化为最小二乘泛函最小化，建立残差迭代框架，获得加速变体及收敛保证，还在闭值域假设下得出线性收敛结果及收敛速率。
On the optimal error bound for the first step in the method of cyclic alternating projections
设$H$是Hilbert空间，$H_1,...,H_n$是$H$的闭子空间。设置$H_0:=H_1\cap H_2\cap...\cap H_n$，并使$P_k$为$H_k$、$k=0,1,...,n$上的正交投影。本文研究了由$$ f_n(c)=\sup\{\|P_n...P_2 P_1-P_0\|\,|c_F(H_1,...,H_n)\leqslant c\},\,c\in[0,1], $$定义的函数$f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$，其中上确界是所有Friedrichs数$c_F(H_1,...,H_n)$小于或等于$c$的子空间$H_1,...,H_n$的系统的上确界.利用$f_n$函数可以很容易地得到循环交替投影法收敛速度的上界。我们将证明，问题的$f_n(c)$是等价于一定的优化问题的一个子集的厄米特复杂的$n\times n$矩阵。利用等价性我们找到了$f_3$，并研究了$f_n$，$n\geqslant 4$的性质.此外，我们证明了对于所有的$c\in[0,1]$，其中$a_n=2(n-1)\sin^2(π/(2n))$，$b_n=6(n-1)^2\sin^4(π/(2n))$和$\widetilde{b}_n$是某个正数，$$ 1-a_n(1-c)-\widetilde{b}_n(1-c)^2\leqslant f_n(c)\leqslant 1-a…
The metric projections onto closed convex cones in a Hilbert space
研究了序列$\mathcal{V} = \{v_n\}_{n=0}^\infty$生成的实希尔伯特空间$\mathscr{H}$在闭凸锥上的度量投影.本文的第一个主要结果提供了一个充分条件，在此条件下，我们可以确定由$\mathcal{V}$生成的闭凸锥为以下集合：\[ \mathcal{C}[[\mathcal{V}]]: = \bigg\{\sum_{n=0}^\infty a_n v_n\Big|a_n\geq 0,\text{ the series }\sum_{n=0}^\infty a_n v_n\text{ converges in $\mathscr{H}$}\bigg\}. \]然后，通过推广一般凸锥上的经典结果，我们给出了向量到$\mathcal{C}[[\mathcal{V}]]$上的度量投影的一个有用的描述。作为应用，我们得到了$L^2([-1,1])$中许多具体函数的非负系数多项式的最佳逼近。
Convergence of the alternating split Bregman algorithm in infinite-dimensional Hilbert spaces
研究无限维希尔伯特空间中交替分裂Bregman算法的弱收敛性，并证明允许计算误差的近似版本的收敛性，主要通过对偶问题和Svaiter定理进行分析。
The norm attainment problem for functions of projections
研究了由希尔伯特空间上两个正交投影生成的von Neumann代数中的赋范算子的识别问题。这个代数包含了希尔伯特空间上的每一个斜投影，因此本文的结果也描述了达到范数的斜投影及其伴随函数。
The Friedrichs angle and alternating projections in Hilbert $C^{*}$-modules
设$B$是$C^{*}$ -代数，$X$是$B$上的Hilbert $C^{*}$ -模，$M,N\subset X$是一对可补子模.我们证明了冯诺依曼的交替投影定理的$C^{*}$ -模版本：序列$(P_{N}P_{M})^{n}$是柯西在$*$ -强模拓扑当且仅当$M\cap N$是$\overline{M^{\perp}+N^{\perp}}$的补。在这种情况下，$(P_{M}P_{N})^{n}$的$*$强极限是到$M\cap N$上的正交投影。我们使用这个结果和局部-全局原理证明了任何一对互补子模$M,N\subset X$之间的Friedrichs角$c(M,N)$的余弦是定义良好的，并且$c(M,N)<1$当且仅当$M\cap N$是互补的并且$M+N$是闭合的。
Halmos' two projections theorem for Hilbert $C^*$-module operators and the Friedrichs
希尔伯特空间算子的Halmos双投影定理是算子论中的一个基本结果。本文在Hilbert $C^*$ -模上的伴随算子的背景下引入了两个调和投影项，将Halmos的两个投影定理推广到两个调和投影的情形.我们还给出了闭子模及其投影的一些新的刻画。作为应用，在Hilbert $C^*$ -模的框架下，证明了与Friedrichs角的一个特征相关的范数方程是成立的.
Convergence to a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings on the unit sphere of a Hilbert space
本文考虑实希尔伯特空间单位球面上有限族非扩张映射的CQ投影方法和收缩投影方法，证明了关于映射的公共不动点的强收敛定理.
The Method of Alternating Relaxed Projections for two nonconvex sets
本文研究了交替松弛投影法在处理两个可能非凸集的可行性问题，建立了局部线性收敛性结果，并通过实例验证了分析。
Projections in operator ranges
若$\H$是希尔伯特空间，$A$是$\cH$上的有界线性算子，$\cS$是$\cH$的闭子空间，则$\cS$与$A^{-1}(\cS \orto)$之间的相对位置建立了相容性的概念.我们证明了$(A,\cS)$的相容性等价于在算子值域$R(A^{1/2})$中存在一个方便的正交投影，该算子值域具有规范的希尔伯特结构.
A note on (weak) phase and norm retrievable Real Hilbert space frames and projections
\begin{abstract} In this manuscript, we answer a list of longstanding open problems on weak phase retrieval including: (1) A complete classification of the vectors $\{x_i\}_{i=1}^2$ in $\RR^3$ that do weak phase retrieval; (2) We show that frames doing weak phase retrieval in $\RR^n$ must span $\RR^n$; (3) We give an example of a set of vectors doing phase retrieval but their orthogonal complement hyperplanes fail weak phase retrieval; (4) We give a classification of weak phase retrievable frames - which makes clear the difference between phase retrieval and weak phase retrieval; (5) We classi…
The rate of convergence in the method of alternating projections
将两个子空间之间的Friedrichs角的余弦推广到与Hilbert空间中多个闭子空间相关的参数，并利用该参数分析von Neumann-Halperin循环交替投影方法的收敛速度，证明了一般二分定理（在Hilbert或Banach空间情形下），给出了QUC/ASC（快速一致收敛与任意慢收敛）成立的条件，并提出了ASC的几种含义。
Anticommutator Norm Formula for Projection Operators
证明了Hilbert空间上任意两个投影算子$f,g$，其反换位子范数由公式\[\|fg + gf\| = \|fg\| + \|fg\|^2.\]给出.结果表明了希尔伯特空间上两个投影算子的换位子与反换位子之间的有趣对比.具体地，反换位子$\|fg + gf\|$的范数是范数$\|fg\|$的简单二次函数，而换位子范数$\|fg - gf\|$不是$\|fg\|$的函数。然而，结果给出了以下的界限，这些界限是$\|fg\|$在换位子范数上的函数：$\|fg\| - \|fg\|^2 \le \|fg - gf\| \le \|fg\|$。
Duals of a frame in quaternionic Hilbert spaces
文献[17]在可分四元数希尔伯特空间中引入了框架，并对其进行了研究，使其具有更广泛的应用。本文推广了四元数希尔伯特空间中框架的研究，引入了可分四元数希尔伯特空间中框架的不同类型的可分性.作为应用，给出了$\ell^2(\HH)$在四元数希尔伯特空间中关于标准对偶框架元素和框架元素的分析算子值域上的正交投影.最后，我们给出了四元数希尔伯特空间中正交投影的一个表达式，它是用与框架及其标准对偶框架有关的算子表示的。
Projections onto hyperbolas or bilinear constraint sets in Hilbert spaces
双线性约束集在各种机器学习模型中很重要。在数学上，它们是积空间中的双曲线。本文给出了一般希尔伯特空间中双线性约束集或双曲集上投影的一个完整公式。
The block matrix representations for the quasi-projection pairs on Hilbert $C^*$-modules
本文研究 Hilbert $C^*$-模上和谐拟投影对的块矩阵表示，推导了匹配投影、值域投影和零空间投影的新表示，并探讨了其应用。
Metric and Generalized Projection Operators in Banach Spaces: Properties and Applications
度量投影算子可以在Hilbert空间和Banach空间中以类似的方式定义。同时，它们的性质也有很大的不同。Hilbert空间中的度量投影算子是一个单调的非扩张算子。它提供了凸闭集的元素对Hilbert空间中任意元素的绝对最佳逼近。这导致了各种各样的应用程序，这个运营商调查理论问题的分析和近似方法。Banach空间中的度量投影算子不具有上述性质，其应用也不简单。度量投影算子方法的两个最重要的应用如下：1。用迭代投影法求解变分不等式，2。用迭代投影法求凸集的公共点。在Banach空间中，这些问题不能在度量投影算子的框架下得到解决。因此，本文在Banach空间中引入新的广义投影算子，作为Hilbert空间中度量投影算子的自然推广。在第2节和第3节中，我们介绍了符号，并回顾了变分不等式理论和逼近理论的一些结果。然后在第四节和第五节中我们讨论了Hilbert空间和Banach空间中度量投影算子$P_Ω$的性质，并利用这些性质建立了变分不等式与直接投影方程之间的等价定理
Manifolds of Hilbert space projections
上半平面的Hardy空间H^2（R）与幺模函数群表示u（λ）= \exp（i（λ_1 <$_1 +... + （λ_n <$_n）），则产生L^2（R）的子空间u（λ）H^2（R）的正交投影流形M。对于容许函数类M_i，M和M_PDMATHABMN M^ \perp的强算子拓扑闭包被明确地确定为各种n-球和n-球面.使用的参数是直接的，并依赖于振荡积分和希尔伯特空间几何的分析。这些闭投影流形的某些类被分类到酉等价。特别是傅立叶-Plancherel 2球和双曲3球的Katavolos和权力出现作为杰出的特殊情况下承认非平凡酉自同构群明确描述。
Characterizations of the semi-harmonious and harmonious quasi-projection pairs on Hilbert $C^*$-modules
本文系统刻画了 Hilbert $C^*$-模上满足 $Q^*=(2P-I)Q(2P-I)$ 的半调和与调和准投影对 $(P,Q)$，并通过例子说明这些特征刻画具有非平凡性。
Extending Meshulam's result on the boundedness of orbits of relaxed projections onto affine subspaces from finite to infinite-dimensional Hilbert spaces
本文通过归纳子空间数量，将Meshulam关于有限维欧氏空间中随机投影到仿射子空间序列有界性的结果推广到一般Hilbert空间，要求平行线性子空间具有内在正则性，并讨论了结果的精确性及其与随机块Kaczmarz方法的联系。
Cuntz semigroups of C*-algebras of stable rank one and projective Hilbert modules
设$A$是稳定秩为1的单C* 代数，$p$和$q$是两个$σ$ -紧开投影.证明了在${\tilde A}$中存在一条连续的酉道路，它将紧包含在$p$中的$p$的开子投影连接到$q.$中的开子投影。还证明了在态射是带伴随的有界模映射的范畴中，每个Hilbert模都是投射的。还讨论了投射Hilbert模（其态射是有界模映射）。
Quantified asymptotic behaviour of Banach space operators and applications to iterative projection methods
本文在反射Banach空间中提出了一种算子轨道的渐进行为一般结果，应用于近似理论中的迭代投影方法，如Douglas-Rachford分裂方法和交替投影方法。
The Optimal Error Bound for the Method of Simultaneous Projections
本文基于实希尔伯特空间中闭线性子空间的同时投影方法，推导出线性收敛率的最优误差界，并通过误差算子范数与Friedrichs数建立联系，对比了交替投影方法的最优估计及乘积空间中的相关结果。
Non-optimality of the Greedy Algorithm for subspace orderings in the method of alternating projections
本文研究了在交替投影方法中如何最优地选择子空间顺序以估计收敛速度，证明了贪婪算法的正确性将导致P=NP，并通过例子反驳了贪婪算法在一般情况下最优的断言，同时给出了贪婪算法结果与最优结果差异的精确估计。
Transfinite Iteration of Operator Transforms and Spectral Projections in Hilbert and Banach Spaces
研究了有界算子变换多层迭代的收敛性，在泛函演算假设下证明了向谱投影的强收敛，并提供了显式滤波器、单调性界及反例。
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