More on products of Baire spaces
Rui Li, László Zsilinszky
Baire乘积问题的新结果。证明了几乎局部ccc Baire空间的任意乘积是Baire，并且证明了Baire空间与强Choquet对策中$β$ -不利的第一可数空间的乘积是Baire.
New results on the Baire product problem are presented. It is shown that an arbitrary product of almost locally ccc Baire spaces is Baire; moreover, the product of a Baire space and a 1st countable space which is $β$-unfavorable in the strong Choquet game is Baire.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lexicographic products as compact spaces of the first Baire clas
我们使用字典序产品给出的例子紧空间的第一Baire类函数的紧度量空间，不能表示为空间的功能可数许多不连续。
On Baire classification of strongly separately continuous functions
本文研究了拓扑空间乘积上的强分离连续函数，证明了若$X$是实数线的可数乘积，则存在一个强分离连续函数$f:X\to\mathbb R$，它不是Baire可测的.本文证明了：如果$X$是赋范空间$X_n$，$a\in X$的乘积，且$σ(a)=\{x\in X:|\{n\in\mathbb N: x_n\ne a_n\}|<\aleph_0\}$是$X$的子空间，具有Tychonoff拓扑，则对任意开集$G\subseteq σ(a)$，存在强分离连续函数$f:σ(a)\to \mathbb R$，使得$f$的不连续点集等于~ $G$ .
Continuity of the inverse
该研究定义了Δ-Baire空间，证明满足该条件的仿拓扑群是拓扑群，还指出多类经典拓扑空间属于Δ-Baire空间，推进了拓扑群相关理论。
On the Baire space of $ω_1$-strongly compact weight
本文证明了在Baire空间$(D^κ,π)$，$κ\geq ω_0$上存在一个$ω_1$ -滤子$\mathcal{F}$，该滤子是以$D^κ$的所有可数均匀划分为基的均匀性$eπ$的Cauchy滤子，且不具有可数交性质.这个事实等价于在$D^κ$上存在一个非零实值一致连续函数$f$，对于这个函数，反函数$g=1/f$不能连续地扩展到$(D^{κ_0},eπ)$的完备化。当$D$的基数严格小于第一个乌拉姆可测基数时，这不会发生。
Baire property of spaces of $[0,1]$-valued continuous functions
一个拓扑空间$X$是Baire的，如果$X$的任意开稠密子集序列的交在$X$中稠密.设$C_p(X,[0,1])$表示具有点式收敛拓扑拓扑的吉洪诺夫空间$X$上的所有连续$[0,1]$值函数的空间。本文给出了函数空间$C_p(X,[0,1])$是Baire的一个特征，其中所有可分闭子集都是$C$ -嵌入的Tychonoff空间$X$.特别地，这个特征对正规空间是正确的，因此对可度量化空间也是正确的。此外，我们还得到了空间$C_p(X,[0,1])$是Baire的充要条件是，对于Peano连续统$K$，空间$Cp(X,K)$是Baire的.
A countable dense homogeneous topological vector space is a Baire space
本文证明含 Cantor 集副本的齐次可数稠密齐次空间为 Baire 空间，并据此判定若干函数空间与弱拓扑 Banach 空间不具可数稠密齐次性。
On stable Baire classes
我们介绍和研究粘合空间。利用这一概念，我们得到了广泛的拓扑空间类中$α$类的稳定Baire映射$f:X\to Y$的一个特征.特别地，我们证明了对拓扑空间$X$和可缩空间$Y$，映射$f:X\to Y$属于$n$第稳定Baire类当且仅当存在连续映射$f_k:X\to Y$的序列$(f_k)_{k=1}^\infty$和$X$中$n$第稳定Baire类的函数模糊集的序列$(F_k)_{k=1}^\infty$，使得对每个$k$，有$f|_{F_k}=f_k|_{F_k}$.证明了每个单调函数$f:\mathbb R\to \mathbb R$是$α$的第n个稳定Baire类的充要条件是它属于第1个稳定Baire类.
Limits of sequences of continuous functions depending on finitely many coordinates
我们回答两个问题{ \it V.Bykov，在Baire类一个功能的积空间，白杨。Appl. {199}（2016）55- 62，}并证明了可数完全正规积的子空间上的每个Baire 1函数是连续函数序列的逐点极限，每个连续函数依赖于n个坐标。证明了可数完全正规积的子空间上的下连续函数是依赖于多个坐标的连续函数的递增序列的逐点极限，当且仅当该函数有依赖于多个坐标的从属函数.
Baire property of some function spaces
一个紧空间$X$称为$π$ -monolithic，如果对于任意满射连续映射$f:X\rightarrow K$，其中$K$是一个可度量化紧空间，存在一个可度量化紧空间$T\subseteq X$使得$f(T)=K$ .一个拓扑空间$X$是Baire，如果$X$的开稠密子集的任何序列的交在$X$中稠密。设$C_p(X,Y)$表示具有逐点收敛拓扑的Tychonoff空间$X$上的所有连续$Y$ -值函数$C(X,Y)$的空间.本文证明了对于全不连通空间$X$，空间$C_p(X,\{0,1\})$是Baire的当且仅当对每个$π$ -单片紧空间$K$，$C_p(X,K)$是Baire的.对于一个吉洪诺夫空间$X$，空间$C_p(X)$是Baire当且仅当对于每个Frechet空间$L$，$C_p(X,L)$是Baire。我们构造了一个完全不连通的Tychonoff空间$T$，使得对于可分度量空间$M$，$C_p(T,M)$是Baire当且仅当$M$是Peano连续统。此外，$C_p(T,[0,1])$是Baire，而$Cp(T,\{0,1\})$不是。
Products and countable dense homogeneity
在Baldwin和Beaudoin工作的基础上，采用Martin公理，构造了一个零维可分可度量化空间$X$，使得$X$是可数稠密齐次的，而$X^2$不是.从Hrušák和Zamora Avilés的结果可以得出这样的空间$X$不可能是Borel的。此外，$X$也可以制成均匀的和完全的Baire。
Diagonals of separately continuous maps with values in box products
证明了：若$X$是仿紧连通空间，且$Z=\prod_{s\in S}Z_s$是一类赋箱拓扑的等连通可度量化空间的乘积，则对每一个Bare-one映射$g:X\to Z$，存在一个分别连续的映射$f:X^2\to Z$，使得对每一个$x\in X$，都有$f(x,x)=g(x)$.
Topology and category for singular product spaces
研究奇异基数下的高阶巴依尔和康托空间的拓扑性质及基数特征，探讨κ-渺小理想的相关性质。
When the property of having a $π$-tree is preserved by products
我们找到了具有$π$ -树的空间的乘积也具有$π$-树的充分条件。这些条件给出了具有$π$ -树的空间的新例子：Sorgenfrey线的至多可数幂和无理Sorgenfrey线的至多可数幂都有一棵$π\!$ -树。证明了如果一个空间有一棵$π$ -树，那么它与Baire空间、Sorgenfrey线和Sorgenfrey线的可数幂的乘积也有一棵$π$ -树.
Almost separable spaces
我们定义了几乎可分空间。我们证明了几乎可分性与可分性一样是$c$生产性的，在一定的限制下，几乎可分性也是生产性的。在Hausdorff，伪紧空间中建立了一个Baire范畴定理式的结果.本文研究了可分性、几乎可分性、序列可分性、强序列可分性之间的关系。
Compact subspace of products of linearly ordered spaces and co-Namioka spaces
证明了对任意Baire空间$X$，线性序紧空间$Y_1,\dots, Y_n$，紧空间$Y\subseteq Y_1\times\cdots \times Y_n$使得对任意平行六面体$W\subseteq Y_1\times\cdots \times Y_n$，集合$Y\cap W$是连通的，以及分别连续映射$f:X\times Y\to\mathbb R$存在稠密的$X$ $G_δ$ -集合$A\subseteq X$使得$f$在$A\times Y$的每一点上是联合连续的.
Categorical properties on the hyperspace of nontrivial convergent sequences
本文研究Freéch-Urysohn空间$X$的所有非平凡收敛序列$\mathcal{S}_c(X)$的超空间的范畴性质，该超空间具有Vietoris拓扑.主要证明了当$X$是拥挤空间时，$\mathcal{S}_c(X)$是稀疏的，作为推论，我们得到了当$\mathcal{S}_c(X)$是Baire空间时，$X$有稠密的孤立点子集.作为一个有趣的例子，$\mathcal{S}_c(ω_1)$具有Baire属性，其中$ω_1$携带有序拓扑（这回答了\cite{sal-yas}的一个问题）。我们可以给出更多这样的例子，证明空间$Z$的Alexandroff复制$\mathcal{A}(Z)$满足$\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$具有Baire性质，只要$Z$是完全可度量化空间的$Σ$ -积，并且$Z$是拥挤的。证明了如果$\mathcal{S}_c(X)$是伪紧的，则$X$有一个相对可数紧的稠密孤立点子集，$X$的每一个有限幂都是伪紧的，并且$X$中的每一个$G_δ$ -点都是孤立的.我们还建立了可数Freéch-Urysohn空间的非平凡收敛序列超空间的几个拓扑性质。
Construction of separately continuous functions with given restriction
解决了在给定约束条件下，两个拓扑空间乘积上分别构造连续函数的问题。特别地，证明了对每个拓扑空间$X$和第一Baire类函数$g:X\to \bf R$，存在分别连续函数$f:X\times X \to \bf R$，使得对每个$x\in X$有$f(x,x)=g(x)$.
On a problem of Talagrand concerning separately continuous functions
构造一个分别连续函数，其在任何非贫乏Borel集上不连续，从而否定解决Talagrand问题。
A topological characterization of end space of infinite graphs via games, subspaces and products
本文提出了一种新的拓扑特征来描述无限图的终点空间，利用特殊基和拓扑游戏，并展示了其在终点空间的hereditarily Baire性质、Gδ子空间和积空间的应用。
On the product of Weak Asplund locally convex spaces
本研究系统梳理局部凸空间中可微空间与Asplund类空间的等价定义，推广Mazur定理得到可分Baire局部凸空间与可分Fréchet空间族乘积为弱Asplund空间，并证明Banach空间族乘积及Σ-乘积的Asplund性质等价于各因子空间的Asplund性质。
Dimension and measure for generic continuous images
我们考虑由从任意不可数紧度量空间$X$到$\mathbb{R}^n$的连续函数组成的巴拿赫空间。关键的问题是“$f(X)$的一般层面是什么？我们考虑了两种不同的方法来回答它：Baire类别和患病率。在Baire类设置，我们证明，通常的包装和上盒尺寸尽可能大，$n$，但发现行为的豪斯多夫，较低的盒子和拓扑尺寸是相当微妙的。实际上，它们通常等于$n$的最小值和$X$的拓扑维数。我们还研究了$f(X)$的典型Hausdorff测度和填充测度，特别地，给出了它们为零、正且有限或无限的充要条件.将Baire分类结果与患病率设置中的结果进行比较是有趣的。因此，我们还讨论了Doughnard的结果的流行的拓扑维数的$f(X)$，并给出了一些简单的应用程序有关的流行维数的实值连续函数图的紧度量空间，使我们能够扩展最近的结果Bayart和Heurteaux。
On generalized Namioka spaces and joint continuity of functions on product of spaces
本文研究了广义Namioka空间的性质，并探讨了在乘积空间上函数的联合连续性问题，主要贡献在于证明了在某些条件下乘积空间为Namioka空间或广义Namioka空间，并讨论了右拓扑群作用的联合连续性条件。
On Structure space of the ring $B_1(X)$
本文继续研究拓扑空间$(X,τ)$上的Baire 1函数环，记为$B_1(X)$，推广了著名的M. H.从$C(X)$到$B_1(X)$的Stones定理。引入$B_1(X)$的结构空间，建立了Gelfand Kolmogoroff定理的一个类似.观察到$(X,τ)$可能未嵌入$B_1(X)$的结构空间内。这一观察启发我们引入了一种较弱的嵌入形式，并表明在$X$是$T_4$空间的情况下，$X$作为稠密子空间弱嵌入在$B_1(X)$的结构空间中。进一步证明了由所有有界Baire 1函数构成的环$B_1^{*}(X)$是C-型环，并且$B_1^{*}(X)$的结构空间与$B_1(X)$的结构空间同胚.在$X$上引入一个比原$T_4$拓扑$τ$更精细的拓扑$σ$，证明了如果$σ$严格精细于$τ$，则$B_1(X)$包含自由（极大）理想.证明了$τ= σ$当且仅当$B_1(X) = C(X)$ .此外，在所有完美正规$T_1$空间类中，$B_1(X) = C(X)$等价于空间$X$的离散性。
More on the rings $B_1(X)$ and $B_1^*(X)$
本文研究有界 Baire 一函数环 $B_1^*(X)$ 的一致范数拓扑，证明单位群开、极大理想闭，并引入 $m_B$-拓扑推广至 $B_1(X)$，最后建立理想与 $e_B$-滤子的对应关系。
Pointwise convergence of partial functions: The Gerlits-Nagy Problem
对于集合$X\sbst\R$，令$B(X)\sbst\R^X$表示$X$上的Borel实值函数空间，其拓扑继承自吉洪诺夫积$\R^X$。假设对于每个可数的$A\sbst B(X)$，在部分函数序列的逐点极限下，$A$的闭包中的每个$f$在$A$的闭包中。我们证明了在这种情况下，$B(X)$是可数Fréchet-Urysohn的，也就是说，可数集合的闭包中的每一点都是该集合的元素序列的极限。这解决了阿诺德·米勒的一个问题。这个问题的连续版本等价于Gerlits和Nagy的一个臭名昭著的公开问题。通过对Salvador Hernaandez的一个问题的讨论，我们证明了同样的结果对$X$上的所有Baire类1函数空间也成立.我们猜想，在一般情况下，这个问题的连续版本的答案是否定的，但我们确定一个非平凡的情况下，问题有一个积极的解决方案。证明建立了新的局部到全局的对应关系，并使用了无限组合拓扑的方法，包括弗朗西斯·乔丹的一个新的融合结果。
Wadge-like reducibilities on arbitrary quasi-Polish spaces
零维空间上的Wadge度的结构非常简单（几乎是良序的），但对于许多其他自然的非零维空间（包括实数空间），这种结构要复杂得多。我们考虑较弱的约化概念，包括所谓的Δ^0_α-约化，并试图对各种自然拓扑空间X找到最小序数α_X，使得对每个α_X \leq β< ω_1，由Δ^0_β-约化在X上诱导的度结构是简单的（即类似于Baire空间上的Wadge族）.本文证明了对于每个拟波兰空间X，α_PDMATHABMM ω，对于维数不同于\infty的拟波兰空间，α_PDMATHABMM 3，并且这最后一个界对于许多（拟）波兰空间，包括实数线及其幂，实际上是最优的.
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