关于环 $B_1(X)$ 与 $B_1^*(X)$ 的进一步研究
More on the rings $B_1(X)$ and $B_1^*(X)$
AI总结：
本文研究有界 Baire 一函数环 $B_1^*(X)$ 的一致范数拓扑，证明单位群开、极大理想闭，并引入 $m_B$-拓扑推广至 $B_1(X)$，最后建立理想与 $e_B$-滤子的对应关系。
摘要：
本文主要研究拓扑空间上所有有界 Baire 一函数构成的环。一致范数拓扑由定义在全体有界 Baire 一函数集合 $B_1^*(X)$ 上的 $\u0000sup$-范数诱导。在此拓扑下，$B_1^*(X)$ 是一个拓扑环。本文证明了在一致范数拓扑下，全体单位元构成的集合是开集，并由此推出 $B_1^*(X)$ 的每个极大理想在一致范数拓扑下都是 $B_1^*(X)$ 中的闭集。由于当 $B_1^*(X) \ eq B_1(X)$ 时，一致范数拓扑在 $B_1(X)$ 上的自然延拓不具备上述性质，本文在 $B_1(X)$ 上恰当地定义了称为 $m_B$-拓扑的拓扑，以在 $B_1(X)$ 上获得这些结果。本文证明了 $B_1^*(X)$ 上的相对 $m_B$ 拓扑与一致范数拓扑重合当且仅当 $B_1(X) = B_1^*(X)$。此外，$B_1(X)$ 在 $m_B$-拓扑下是第一可数的当且仅当 $B_1(X) = B_1^*(X)$。\ 本文最后一部分建立了 $B_1^*(X)$ 的理想与正规拓扑空间 $X$ 上称为 $e_B$-滤子的一类特殊 $Z_B$-滤子之间的对应关系。本文还观察到，对于正规空间，$B_1(X)$ 的所有极大理想构成的集合与 $B_1^*(X)$ 的所有极大理想构成的集合具有相同的基数。
英文摘要：
This paper focuses mainly on the ring of all bounded Baire one functions on a topological space. The uniform norm topology arises from the $\sup$-norm defined on the collection $B_1^*(X)$ of all bounded Baire one functions. With respect to this topology, $B_1^*(X)$ is a topological ring. It is proved that under uniform norm topology, the set of all units forms an open set and as a consequence of it, every maximal ideal of $B_1^*(X)$ is closed in $B_1^*(X)$ with uniform norm topology. Since the natural extension of uniform norm topology on $B_1(X)$, when $B_1^*(X) \neq B_1(X)$, does not show up these features, a topology called $m_B$-topology is defined on $B_1(X)$ suitably to achieve these results on $B_1(X)$. It is proved that the relative $m_B$ topology coincides with the uniform norm topology on $B_1^*(X)$ if and only if $B_1(X) = B_1^*(X)$. Moreover, $B_1(X)$ with $m_B$-topology is 1st countable if and only if $B_1(X) = B_1^*(X)$. \\ The last part of the paper establishes a correspondence between the ideals of $B_1^*(X)$ and a special class of $Z_B$-filters, called $e_B$-filters on a normal topological space $X$. It is also observed that for normal spaces, the cardinality of the collection of all maximal ideals of $B_1(X)$ and those of $B_1^*(X)$ are the same.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
