Convex Hulls for the Unit Commitment Polytope
本文考虑了机组组合多面体的多面体结构。特别地，我们在以下不同设置下提供了问题的凸包结果：1）在一般$T$时间周期设置下的积分最小上升/下降时间和斜坡多胞形的凸包，其中斜坡速率分别等于生成上界和下界之间的间隙以及等于生成上界和下界之间的间隙的一半，2）在一般$T$时间周期设置下的问题的集成最小上升/下降时间和斜升多面体的凸包，以及3）在一般$T$时间周期设置下的问题的集成最小上升/下降时间和斜降多面体的凸包。
2017-01-31 math.OC
Moment Relaxations of Optimal Power Flow Problems: Beyond the Convex Hull
最优潮流是电力系统最优化问题的核心问题之一。从Lasserre层次多项式优化的“矩”松弛全局解决许多OPF问题。以往的工作说明了高阶矩松弛逼近OPF问题的非凸可行空间的凸包的能力。使用一个小的测试用例，本文重点讨论的能力的时刻松弛全局解决问题的目标函数，有无约束的最小值在不可行的点内的非凸约束的凸包。
2016-12-08 math.OC
Convex Hulls of Quadratically Parameterized Sets With Quadratic Constraints
设V是二次集T上由二次多项式参数化的半代数集。本文研究谱面投影（由线性矩阵不等式定义）的半定凸包表示。当T由一个二次约束定义时，我们证明了它的凸包等于$V$的一阶矩型半定松弛，直到取闭包。当每个二次多项式都是齐次的，并且T由两个齐次二次约束定义，或者V由有理二次参数化定义时，类似的结果也成立。
2011-10-11 math.OC
Convex Hull, IP and European Electricity Pricing in a European Power Exchanges setting with efficient computation of Convex Hull Prices
本文介绍了一种计算效率的比较方法，日前电力市场的经典定价规则，即凸包定价，IP定价和欧洲的市场规则，在电力交易所设置与非凸需求报价。例如，这些需求投标可以对大型工业消费者有用，并扩展欧洲电力交易所使用的需求块订单。为此，我们证明，可以使用涉及启动成本、最小功率输出水平和斜坡约束的投标产品的连续放松或需求侧的类似版本来有效地计算凸包价格。依靠现有的高效算法方法来处理类似欧洲的市场规则，这样的投标产品，我们提供了比较数值实验，使用现实的数据，其中，与程式化的例子，阐明了每个定价规则的相对优点，从经济和计算的角度。这项工作的动机是在欧洲和美国，以及前一天的价格信号的重要性，因为这些（现货）价格被用作许多电力衍生品的参考价格的中期演变的预期需要。在Julia/JuMP中编程的数据集、模型和算法在在线Git存储库中提供。
2018-03-30 math.OC
New numerical solutions to Newton's problem of least resistance via a convex hull approach
提出基于凸包方法的数值方法求解凸函数类牛顿最小阻力问题，通过利用解的对称及极值点曲线分布特性，得到高精度解。
2025-11-12 math.OC
Semidefinite descriptions of the convex hull of rotation matrices
本文从半定规划的角度研究了$SO(n)$的凸包，即具有单位行列式的$n\times n$正交矩阵的集合.证明了$SO(n)$的凸包是双谱面体的，即它和它的极函数都可以描述为一个正半定矩阵的锥与一个仿射子空间的交.我们的谱面体表示是明确的，并且是最小尺寸的，在这个意义上，没有更小的谱面体表示这些凸体。
2014-03-19 math.OC
Set characterizations and convex extensions for geometric convex-hull proofs
在本工作中，我们考虑Zuckerberg在[Geometric proofs for convex hull defining formulations，运筹学快报44（5），625-629（2016）]中介绍的几何凸包证明方法。到目前为止，它在文献中几乎没有被采用，尽管它提供了设计多面体描述完整性算法证明的巨大灵活性。我们怀疑，这部分是由于相当沉重的代数框架，其原来的声明需要。这就是为什么我们提出了一种更轻量级和更容易使用的方法来实现扎克伯格的证明技术，建立在[一些双线性函数凸包的扩展公式，离散最优化36，100569（2020）]的思想基础上。我们引入集特征的概念，以取代原来的版本中所需的集理论表达式，并促进算法证明方案的建设。与此同时，我们开发了几种不同的策略进行扎克伯格型凸包证明。非常重要的是，我们还表明，我们的概念允许扎克伯格的证明技术的显着扩展。虽然原来的方法只适用于0/1-多面体，我们的扩展框架允许处理任意多面体，甚至一般的凸集。我们证明了这种增加的表达能力，通过刻画凸包的布尔和双线性函数在多面体域。所有的结果都说明了指示性的例子，以强调我们的框架的实用性和广泛的适用性。
2021-01-22 math.OC
A Convex Primal Formulation for Convex Hull Pricing
在某些电力市场中，由于其运行特性引起的非凸性，遵循独立系统运营商（ISO）决策的发电机可能无法通过以位置边际价格销售能量来收回成本。国际标准化组织为鼓励发电商遵守规定而进行歧视性的旁支付。凸包定价是一种统一的定价方案，使这些旁支付最小化。机组组合问题的拉格朗日对偶问题已被用来确定凸包价格。然而，这种方法在计算上是昂贵的。在本文中，我们提出了一个多项式可解的原始制定的拉格朗日对偶问题。该公式明确地描述了每个生成单元的可行集的凸包和其费用函数的凸包络。当费用函数是二次函数时，我们将我们的公式转换为二阶锥规划;当费用函数是分段线性函数时，我们将我们的公式转换为线性规划。一个96周期76单位的传输约束的例子是解决了在小于十五秒的个人计算机上。
2020-06-16 math.OC
On convex hulls of epigraphs of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的充分条件的凸包的结果，立即意味着标准的半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，凸包结果持有时，二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-02-04 math.OC
Convex Hull Representations for Bounded Products of Variables
众所周知，$\{(x,y,xy)\}$的凸包，其中$(x,y)$被约束为位于一个盒子中，由重构线性化技术（RLT）约束给出。Belotti { \em et al.\，}（2010）和Miller { \em等人，}（2011）表明，如果在乘积$z=xy$上存在额外的上界和/或下界，则可以通过添加无限族不等式来表示凸包，这需要分离算法来实现。Nguyen { \em et al.\，}（2018）推导出了在$z=x^{b_1} y^{b_2}$的更一般情况下具有$z$边界的凸包，其中$b_1\ge 1$，$b_2\ge 1$。我们专注于最重要的情况下，$b_1=b_2=1$和显示的凸包上界或下界的产品是由RLT约束，$z$和一个单一的二阶锥（SOC）约束的约束。通过乘积的上界和下界，可以使用不超过三个SOC约束来表示凸包，每个约束都适用于$(x,y)$值的子集。除了凸包的特征，无论是上或下界的$z$的凸包的体积进行计算和比较，只施加RLT约束的松弛。作为这些体积的结果的应用，我们展示了如何空间分支可以应用到产品变量，以便最大限度地减少两个子问题的体积之和。
2020-04-15 math.OC
The convex hull of a quadratic constraint over a polytope
二次约束二次规划（QCQP）是一个最优化问题，其中目标函数是一个二次函数，可行域由二次约束定义。求解非凸QCQP的全局最优解是一个众所周知的NP-困难问题，传统的方法是使用凸松弛和分支定界算法。本文在这方面作出了贡献，证明了一般二次方程与任意有界多面体相交的精确凸包是二阶锥可表示的。我们提出了一个简单的建设性证明这个结果。
2018-12-25 math.OC
On the convex hull of the graph of a simple monomial
University of Michigan（密歇根大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）；University of Colorado, Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
本文研究了非负盒域中任意维度下简单单项式图的凸包，给出了线性不等式描述和体积公式。
2026-05-02 math.OC
A note on quadratic constraints with indicator variables: Convex hull description and perspective relaxation
本文研究了由连续变量上的可分二次约束给出的混合整数非线性集，其中每个连续变量由一个附加指标控制。这个集合普遍存在于具有不确定性的最优化问题和机器学习中。我们表明，在这个集合上的优化是NP-困难的。尽管这个负面的结果，我们的凸包的结构特征，并表明，它可以正式研究使用多面体理论。此外，我们表明，虽然在文献中的透视松弛这一套未能匹配的结构，其凸包，它是保证是一个密切的近似。
2022-09-03 math.OC
Explicit convex hull description of bivariate quadratic sets with indicator variables
我们考虑了非凸集$\mathcal S_n = \{(x,X,z): X = x x^T, \; x (1-z) =0,\; x \geq 0,\; z \in \{0,1\}^n\}$，它与最佳子集选择和约束投资组合优化等几个困难的非凸最优化问题的可行域密切相关。利用凸分析和选言规划的思想，得到了$\mathcal S_2$的凸包在原变量空间中的闭包的显式描述.为了生成有效的不等式对应的支撑超平面的凸包的$\mathcal S_2$，我们提出了一个简单的分离算法，可以纳入分支和切割为基础的求解器，以提高现有的松弛的质量。
2023-02-24 math.OC
Quadratic Optimization with Switching Variables: The Convex Hull for $n = 2$
我们考虑变量$(x,y)$的二次优化，其中$0\le x\le y$，和$y\in\{0,1\}^n$。这种二进制$y$通常被称为“指示器”或“开关”变量，并且在应用中经常出现。解决这些问题的一种方法是基于表示或近似集合$\{ (x,xx^T, yy^T) : 0\le x\le y\in\{0,1\}^n\}$的凸包。对于情况$n=1$的表示是已知的并且已经被广泛使用。我们给出了一个精确的表示的情况下$n=2$开始与一个析取表示的凸包，然后消除辅助变量和约束，不改变投影到原始变量。这种表示的另一种推导导致一个有吸引力的猜想为简化表示的凸包$n=2$时，产品项$y_1y_2$被忽略。
2020-02-11 math.OC
Aggregations of quadratic inequalities and hidden hyperplane convexity
本文研究二次不等式定义集合的凸包，提出隐藏超平面凸性（HHC）概念，证明当相关二次映射满足HHC时凸包可由特殊聚合定义，并推广了聚合定义凸包的已知结果。
2023-05-29 math.OC
Modified convex hull pricing for power markets with price-sensitive load
我们考虑一个一般的电力市场，价格敏感的消费者出价和非凸性来源于供应（启动和空载成本，非零的最低输出限制的发电机组等）。和需求。凸包（最小提升）定价方法产生的一组电力价格，最小化的总提升支付给市场参与者需要补偿他们的潜在利润损失接受集中调度解决方案。在凸包定价方法中，市场参与者个体经营约束所允许的供应（消费）任何其他输出（消费）量的所有机会都被认为是预先确定的。我们修改的凸包定价算法定义为每个市场参与者修改后的个人可行集，利用在损失的利润计算。这些集是基于集中调度中经济和技术上可行的输出（消耗）量。与凸包定价算法相比，新的定价方法导致通常不同的市场价格集合和较低（或相等）的总追加支付。
2018-03-06 math.OC
Micro Water-Energy Nexus: Optimal Demand-Side Management and Quasi-Convex Hull Relaxation
本文研究了水网络的潜在能力，提供需求响应服务的电网下的分布式水平的水能源关系（微WEN）的框架。特别是，对灌溉系统等水负荷的隐藏可控性进行了仔细研究，以提高电网的灵活性。建立了微温网需求侧管理的最优化模型，仿真结果表明，可控水负荷确实有利于提高电网灵活性。虽然所提出的最优DSM模型是一个棘手的混合整数非线性规划（MINLP）问题，拟凸包技术被开发来松弛MINLP到一个混合整数凸规划（MICP）问题。数值研究表明，拟凸包松弛是紧的，所得到的MICP问题是计算有效的。
2018-05-19 math.OC
Between steps: Intermediate relaxations between big-M and convex hull formulations
Imperial College London（伦敦帝国学院）
本文在大M和凸包析取公式之间发展了一类松弛，并从两者中吸取了优点。提出的“P-分裂”公式将凸可加可分约束分裂为P个分区，并形成分区析取的凸包。参数P表示模型大小与松弛强度的权衡。我们研究了新的配方，并证明，在一定的假设下，松弛形成一个层次从一个大M等价和收敛到凸包。我们计算比较所提出的配方大M和凸包配方的测试集，包括：K均值聚类，P球问题，和ReLU神经网络。计算结果表明，中间P-分裂公式比扩展的凸包公式能以更少的变量和约束条件形成强的外逼近凸包，与大M和凸包相比具有明显的计算优势.
2021-01-29 cs.LG math.OC
Convex Hull Formulations for Mixed-Integer Multilinear Functions
在本文中，我们提出了凸包配方的混合整数，多线性项/功能（MIMF）的产品的多个连续和二元变量。我们发展了MIMF的两个等价的凸松弛，并在相应的高维空间中研究了它们的多面体性质。我们在数值上观察到，所提出的配方始终比最先进的松弛方法表现更好。
2018-07-29 cs.DM math.OC
Convex hulls of superincreasing knapsacks and lexicographic orderings
我们考虑有界整数背包的重量和可变的上界一起形成一个超增序列。这个超增背包的元素正好是那些在字典上小于在这个背包上优化的贪婪解的向量。我们用$\mathcal{O}(n)$刻面描述了这个$n$维集的凸包.证明了$\le$ -和$\ge$ -型超增背包的凸包可以通过分别取$\le$ -和$\ge$ -集的凸包求交而得到.我们的证明推广了现有的二进制情况下的结果。
2015-03-12 math.CO math.OC
Spectrahedra and Convex Hulls of Rank-One Elements
Helton-Nie猜想（HNC）是关于每个凸半代数集都是谱面体阴影的命题。本文证明了HNC等价于另一个与二次约束二次规划有关的命题。即任何一个谱面体的秩一元素的凸包都是谱面体阴影。在紧凸半代数集的情况下，谱面体可以被认为是紧的。举例说明了这些凸子集与谱面之间的关系。
2015-01-06 math.AG math.OC
A Note on the Convex Hull of Finitely Many Projections of Spectrahedra
分面体是由线性矩阵不等式定义的集合。一个谱面体的投影通常被称为半定可表示集。我们表明，凸包的有限联盟这样的投影再次是一个投影的光谱面体。这改进了Helton和Nie的结果，他们在有界集的情况下证明了相同的结果。
2009-08-24 math.AG math.OC
Linear programs and convex hulls over fields of Puiseux fractions
我们描述了一个子字段的领域的正式Puixix系列polymake的实施。这是用来解决线性规划和计算凸包取决于一个真正的参数。此外，这种方法也适用于热带几何的计算。
2015-10-26 math.CO math.OC
Form Convex Hull to Concavity: Surface Contraction Around a Point Set
本文针对d维点云凸包转凹面的问题，提出面片替换与扩张的迭代方法，构建能包裹所有点且贴合点云复杂几何的闭合无自交凹面Scc。
2024-03-06 math.GT math.OC
Stratifying High Dimensional Data Based on Proximity to the Convex Hull Boundary
一组点的凸包$C$用于暴露$C$的极值性质，并且可以帮助识别高度关注的$C$中的元素。对于许多问题，特别是在存在噪声的情况下，真实的顶点集（和面）可能难以确定。一种解决方案是将高兴趣候选者的列表扩展到位于凸包的边界附近的点。我们提出了一个二次规划的目的分层点的数据云的基础上接近的边界的凸包。对于每个数据点，求解二次规划以确定相关联的权重向量。我们表明，权向量编码的几何信息有关的点的关系的边界的凸包。权重向量的计算可以并行进行，并且对于固定数量的点和固定的邻域大小，该算法的总体计算复杂性随维数线性增长。因此，有意义的计算可以在相当大的高维数据集上完成。
2016-11-04 cs.CG math.OC
On the convex hull of convex quadratic optimization problems with indicators
Northwestern University（西北大学）；University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of Southern California（南加州大学）
研究了具有任意约束的凸二次最优化问题。我们证明，在具有二次数量的附加变量的扩展空间中，相关混合整数集的凸包描述由单个半正定约束（显式声明）和线性约束组成。特别是，这类问题的凸化减少到描述一个多面体集在一个扩展的配方。虽然这个多面体集的顶点表示是指数和一个明确的线性不等式的描述可能不容易在一般情况下，我们推导出一个紧凑的混合整数线性配方，其解决方案与多面体集的顶点重合。我们还在原始变量空间中给出了描述：我们提供了一个基于无穷多个圆锥-二次不等式的描述，这些不等式是``生成的。“特别地，可以表征给定的不等式是否需要描述凸包。本文提出的新理论统一了已有的几个结果，并为利用多面体方法分析混合整数非线性集的凸包铺平了道路。
2022-11-27 cs.LG math.OC
Computing convex hulls and counting integer points with polymake
本文的主要目的是报告的艺术状态计算整数壳和他们的小平面，以及计数格点在凸多胞体。使用polymake系统，我们探索各种算法和实现。我们在这方面的经验总结为十条“经验法则”。
2015-11-27 math.CO math.OC
How to Find the Convex Hull of All Integer Points in a Polyhedron?
提出了一种基于割的算法，用于求由线性不等式定义的多面体的所有整数点的凸包的所有顶点和所有面。我们的算法DDM割是基于Gomory割和动态版本的双重描述方法。我们描述了计算机实现的算法，并提出了计算实验的结果比较我们的算法与一个天真的。
2020-10-25 cs.CG math.CO math.OC
Market Power in Convex Hull Pricing
发电商的启动成本构成了复杂的费用结构，这就导致了位置边际电价存在严重的市场漏洞。凸包定价（也称为扩展的LMP）的建议，以提高市场的效率，提供最低的加价支付给发电商。在这封信中，我们考虑一个程式化的模型，所有发电机共享相同的发电容量。我们分析了在这种情况下发电商可能的策略行为，然后提出了一个指标的市场力量化的凸包定价方案。
2020-02-15 cs.CE econ.GN math.OC
Copositive Characterizations of Convex Hull Pricing
New Jersey Institute of Technology（新泽理工学院）；Polytechnique Montreal（蒙特利尔高等商学院）
针对机组组合非凸二元约束下无统一线性定价方案支持最优调度的问题，定义集中凸包价格，证明其与边际共正对偶价格在非退化时一致，并通过数值实验验证等价性及量化定价差距。
2026-07-14 cs.SY eess.SY math.OC
Convex Hulls of Reachable Sets
Toyota Research Institute（丰田研究院）；Paris-Saclay University（巴黎-萨克雷大学）；CentraleSupélec（中央超导大学）；Stanford University（斯坦福大学）
研究非线性系统在有界扰动和不确定初始条件下的可达集的凸包，提出基于常微分方程解的有限维表征，设计高效采样算法并分析误差界，应用于神经反馈回路分析和鲁棒MPC。
2026-04-14 cs.LG cs.RO cs.SY
Semidefinite representation of convex hulls of rational varieties
CNRS（法国国家科学研究中心；图卢兹实验室分析与系统研究所）；LAAS（布拉格捷克理工大学电气工程学院）；Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague
利用正半定矩矩阵和多项式平方和分解的对偶性质，证明了有理参数化代数簇的凸包在曲线、二次参数化超曲面和双变量四次参数化超曲面情形下具有半定表示。
2011-01-28 cs.SY eess.SY math.AG
A new proof of the description of the convex hull of space curves with totally positive torsion
给出了具有全正挠率的空间曲线$γ: [a,b] \mapsto \mathbb{R}^{d}$的描述凸包的新证明。这些曲线使得$d\times d$矩阵$(γ', γ'', \ldots, γ^{(d)})$的所有前导主子式都是正的。特别是，我们恢复参数表示的边界的凸包，不同的公式，其表面积和体积的凸包，并解决了一般的矩问题对应的$γ$。
2023-01-04 math.CA math.DG math.OC
