Invariants of noncommutative projective schemes
Goncalo Tabuada
本文计算了有限整体维数的Koszul代数的非交换射影概形的几个不变量（如代数K理论、循环同调和拓扑霍赫希尔德同调）.
In this note we compute several invariants (e.g. algebraic K-theory, cyclic homology and topological Hochschild homology) of the noncommutative projective schemes associated to Koszul algebras of finite global dimension.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Relations between the Chow motive and the noncommutative motive of a smooth projective variety
在本说明中，我们涉及的概念莱夫谢茨型，可分解性，同构，对周动机的概念单位型，可分解性，同构，对非交换动机。还描述了示例、反例和应用。
Kernels for Noncommutative Projective Schemes
本文给出了两个非交换射影概形之间dg-范畴的同伦范畴中的内部Hom dg-范畴的一个非交换几何刻划。作为直接的应用，我们给出了一个非交换的投影导出Morita声明沿着Rickard和Orlov的路线。
Additive invariants of toric and twisted projective homogeneous varieties via noncommutative motives
I. Panin在90年代证明了扭曲投射齐次簇的代数K理论可以用中心单代数代数来表示。后来，Merkurjev和Panin将复曲面簇的代数K理论描述为可分代数的代数K理论的直接和项。本文利用最近的非对易动机理论，将Panin和Merkurjev-Panin计算从代数K理论推广到所有的加法不变量.作为第一个应用，我们充分计算的循环同调（及其所有的变种）扭曲的投射齐次品种。作为第二个应用，我们证明了一个扭曲的投射齐次簇的非交换动机是平凡的当且仅当相关的中心单代数的Brauer类是平凡的。在此过程中，我们构造了一个完全忠实的张量函子，从Merkurjev-Panin的motivic范畴到Kontsevich的非交换Chow motives范畴，这是独立的兴趣。
An abstract characterization of noncommutative projective lines
设$k$为字段。给出了$k$ -线性阿贝尔范畴是非交换射影线的充要条件，即$k$上的除环对上的非交换$\mathbb{P}^{1}$ -丛.作为应用，我们证明了Piontkovski的第$n$条非交换射影线$\mathbb{P}^{1}_{n}$是$n$维向量空间的非交换射影化.
Nonexistence of phantom categories on very general noncommutative projective planes
本文证明了非常一般的非交换射影平面不容许幻影范畴。
Noncommutative homological projective duality
我们推广库兹涅佐夫的同调投射对偶理论的设置非交换代数几何。同时，我们发展了一般基方案的理论，并删除了通常的光滑性，适当性和横截性假设。
Noncommutative conics in Calabi-Yau quantum projective planes
在非交换代数几何中，非交换二次超曲面是主要的研究对象。本文主要研究嵌入到Calabi-Yau量子射影平面中的非对易二次曲线$\operatorname{Proj_{nc}} A$。特别是，我们给出了完整的分类齐次坐标代数$A$的非交换二次曲线同构的分次代数，和非交换二次曲线$\operatorname{Proj_{nc}} A$同构的非交换计划。
Noncommutative two-tori with real multiplication as noncommutative projective varieties
我们定义了实乘法的非交换二环面的齐次坐标代数的类似物。我们证明了非交换环面上的标准全纯向量丛的范畴可以用适当的齐次坐标代数上的分次模来描述。给出了这类代数是Koszul代数的一个判别准则，并证明了Koszul对偶代数也是由实乘法的非交换双环面生成的.这些结果是基于数学QA/0211262的技术，允许解释所有的数据在椭圆曲线上的相干层的导出范畴的自等价。
Bondal-Orlov's reconstruction theorem in noncommutative projective geometry
该研究证明Bondal-Orlov重构定理在非交换射影几何中成立，且非交换射影概形导出范畴间的全忠实正合函子为Fourier-Mukai型，推进了非交换射影几何领域的理论成果。
Noncommutative projective geometry
本文介绍了最近的应用代数几何非交换代数。这些技巧在描述小维数的分次代数方面特别成功。
The rings of noncommutative projective geometry
在过去的15年里，“非交换射影几何”的研究蓬勃发展。利用和推广交换射影几何的技巧，人们可以研究某些非交换分次环，并得到一些没有纯代数证明的结果。例如，二次增长的非交换分次域，或“非交换曲线”，现在已经被几何数据分类，这些环必须是诺特环。立方生长的环，或“非对易表面”，还没有分类，但目前正在形成一个丰富的理论。在这次调查中，我们描述了其中的一些结果，并检查的问题，其中环应包括在非交换射影几何。
Some examples of noncommutative projective Calabi-Yau schemes
该研究借助非交换 Segre 积与量子加权超曲面构造非交换射影 Calabi-Yau 概形，并通过与交换情形及 Kanazawa 的例子比较，确认其中包含本质上的新例子。
Compact moduli of noncommutative projective planes
我们介绍的概念，模栈的关系的一个矩阵。当具有关系的代数簇被导出-等价于一个代数簇时，相应的紧模方案可以被看作是该代数簇的非交换变形的紧模。我们详细研究了非对易射影平面的情形，并讨论了它与具有3级结构的椭圆曲线几何的关系。
Morphisms to noncommutative projective lines
令$k$是一个域，令${\sf C}$是一个$k$ -线性阿贝尔范畴，令$\underline{\mathcal{L}}:=\{\mathcal{L}_{i}\}_{i \in \mathbb{Z}}$是${\sf C}$中的一个对象序列，令$B_{\underline{\mathcal{L}}}$是伴随轨道代数。我们描述了$\underline{\mathcal{L}}$上的充分条件，使得在\cite{abstractp1}的意义下，存在从非交换空间${\sf Proj }B_{\underline{\mathcal{L}}}$到非交换射影线的规范态射，推广了通常的从方案$X$到$\mathbb{P}^{1}$的映射构造，该映射由两个全局截面生成的可逆层$\mathcal{L}$定义。然后，我们应用我们的结果来构造，对每个自然数$d>2$，一个度2覆盖Piontkovski的$d$第th非交换射影线的非交换椭圆曲线在Polishchuk的意义。
Coherent algebras and noncommutative projective lines
一个著名的猜想说，每一个单关联群都是相干的。本文给出并部分证明了分次结合代数的一个类似命题。特别地，证明了全局维数为2的Gorenstein代数$A$是分次凝聚的.这使我们能够定义一个非交换的类似物的射影线$\PP^1$作为一个非交换计划的基础上的相干非交换谱$\cohp A$的这样一个代数$A$，即范畴的相干$A$ -模的扭转。这个范畴总是交换的外有限遗传的，具有塞尔对偶，就像$\PP^1$上的凝聚层范畴。这样，我们得到了两两非同构非交换格式序列$\PP^1_n $（$n\ge 2$），它推广了$\PP^1 = \PP^1_2$格式。
Large tilting sheaves over weighted noncommutative regular projective curves
设$\mathbb{X}$是域$k$上的加权非交换正则射影曲线.拟相干层范畴$\operatorname{Qcoh}\mathbb{X}$是一个遗传的局部诺特Grothendieck范畴。我们对所有具有非凝聚扭子层的倾斜层进行了分类。在非负轨道折叠欧拉示性数的情况下，我们对所有大的（即非相干的）倾斜层和相应的分解类进行分类。特别是，我们表明，在椭圆形和管状的情况下，每一个大的倾斜层有一个明确的斜率。
Complements of the point schemes of noncommutative projective lines
本文研究Chan与Nyman构造的非交换射影直线在双模$V$为单模时的点概型补集，证明其坐标环是Gelfand-Kirillov维数为1的非交换Dedekind整环，并明确其单性的二分判定规则。
Cotilting sheaves over weighted noncommutative regular projective curves
我们考虑拟相干层范畴$\operatorname{Qcoh}\mathbb{X}$，其中$\mathbb{X}$是域$k$上的加权非交换正则射影曲线.这个范畴是一个遗传的局部诺特格罗滕迪克范畴。我们分类了斜率$\infty$的所有不可分解纯内射层和所有余倾斜层。在非负orbifold欧拉示性数的情况下，这导致了一个纯内射不可分解层的分类和$\operatorname{Qcoh}\mathbb{X}$中所有大cotilting层的描述。
Noncommutative Instantons and Twistor Transform
最近N.Nekrasov和A.Schwarz提出了一个修改的ADHM构造的瞬子，产生瞬子的非交换变形的4维实仿射空间。本文研究了非交换射影空间上它们的构造与代数丛之间的关系。我们表现出一对一的对应关系的三个类别的对象：框架束上的非交换射影平面，某些复合体的层上的非交换的三维射影空间，和修改后的ADHM数据。修改后的ADHM建设本身被解释在一个非交换版本的扭量变换。我们还证明了非交换射影平面上框架丛的模空间具有自然的超Kahler度量，并且作为超Kahler流形同构于交换射影平面上框架挠自由层的模空间.两个模空间上的自然复结构并不重合，而是通过SO（3）旋转相关联。最后，我们提出了一种在比涅克拉索夫和施瓦茨所考虑的（q-变形的R^4）更一般的非对易R^4上构造瞬子的方法。
Coherent $I$-indexed algebras and noncommutative projective schemes
该研究刻画了以局部有限定向偏序集$I$为指标集的相干$I$-标代数对应的非交换射影概形，拓展了Polishchuk针对相干$\boldsymbol{\text{Z}}$-标代数的相关刻画。
Chow groups of intersections of quadrics via homological projective duality and (Jacobians of) noncommutative motives
Beilinson-Bloch型图预言了二次曲面交的低次有理Chow群是一维的。这个猜想是由Otwinowska证明的。利用同调投射对偶和最近的非交换Chow动机的Jacobian理论，在两个二次曲面或三个奇维二次曲面完全交的情况下，给出了这个猜想的另一种证明.此外，没有使用强大的Lefschetz定理，我们证明了在这些情况下，唯一的非平凡代数雅可比矩阵是中间的。作为一个应用，利用Vial的工作，我们描述了合理的Chow动机，这些完整的交叉，并表明，顺利纤维化在这样的完整的交叉小维基地S验证Murre的猜想（dim（S）小于或等于1），Grothendieck的标准猜想（dim（S）小于或等于2），和霍奇的猜想（dim（S）小于或等于3）。
Noncommutative Riemann hypothesis
本文利用非对易$l$ -adic上同调，将广义黎曼假设从代数几何领域推广到Orlov意义下的几何非对易概型的广义背景.作为第一个应用，我们证明了广义黎曼假设在导出等价和同调投射对偶下是不变的。作为第二个应用，我们在一些新的情形下证明了非对易广义黎曼假设。
Noncommutative quadric surfaces and noncommutative conifolds
引入了非交换二次型的一个紧模，并证明了它是权为（2，4，4，6）的加权射影空间.我们还引入了锥空间的紧位势模，并证明了它是权为（1，2，3，4）的加权射影空间.从后者到前者有一个自然态射，它是4次有限的。
Mirror symmetry for weighted projective planes and their noncommutative deformations
研究了加权射影空间相干层的导出范畴及其非对易变形，以及加权射影空间镜像Landau-Ginzburg模型的拉格朗日消失环的导出范畴.特别地，我们证明了加权射影平面$\CP^2(a,b,c)$上的相干层（B-膜）的导出范畴等价于配备有精确辛形式和超势$W=x+y+z$的仿射超曲面$X=\{x^ay^bz^c=1\}\subset (\C^*)^3$上的消失圈（A-膜）的导出范畴。因此，同调镜像对称猜想对加权射影平面成立。此外，我们还表明，这种镜像之间的对应导出范畴可以扩展到复曲面的非交换变形的$\CP^2(a,b,c)$的B-膜的关注，和他们的镜像对应物，非精确变形的辛结构的$X$的A-膜的关注。我们也得到类似的结果，其他的例子，如加权投影线或Hirzebruch表面。
Weighted noncommutative regular projective curves
设$\mathcal{H}$是完备域$k$上的非交换正则射影曲线.我们研究了Auslander-Reiten平移$τ$的整体和局部性质，并在$τ$的参与下给出了完备局部环的一个显式描述.我们引入了$τ$ -多重性$e_τ(x)$，把$τ$作为函子限制在集中于$x$的管子上的阶.我们得到一个局部-全局原则的（全球）偏度$s(\mathcal{H})$，定义为平方根的功能（斜）字段在其中心的尺寸。在亏格为零的情况下，我们展示了如何鬼群，即固定所有对象的$\mathcal{H}$的自同构群，由点$x$与$e_τ(x)>1$确定。在Witt工作的基础上，我们描述了实数上的非交换正则（光滑）射影曲线，具有$s(\mathcal{H})=2$的曲线称为Witt曲线.特别地，我们研究了非交换椭圆曲线，并提出了一个椭圆Witt曲线，这是一个非交换的Fourier-Mukai合作伙伴的克莱因瓶。如果$\mathcal{H}$是加权的，我们的主要结果将是轨道折叠欧拉特征线的公式，包括重量和$τ$ -重数。作为应用，我们将对非负欧拉特征线的非交换$2$ -轨折叠进行分类，即对实椭圆曲线、圆曲线和管状曲线进行分类。在整个过程中，许多明确的例子进行了讨论。
Noncommutative Tsen's theorem in dimension one
设k是一个域。本文给出了亏格为零的非交换曲线是非交换P^1-丛的充要条件。这个结果可以被认为是Tsen定理的一个非对易的一维版本。通过这个定理的特殊化，我们证明了每一条算术非交换射影线都是一条非交换曲线，反过来，我们也精确地刻画了亏格为零的算术非交换曲线。然后，我们使用这个特征，连同算术非交换射影线的结果，解决D。Kussin
Hybrid models for homological projective duals and noncommutative resolutions
我们研究了Fano流形$X$的某些射影嵌入$f:X\rightarrow\mathbb{P}(V)$的同调射影映射（HPD）所产生的混合模型。更确切地说，这种混合模型的B-膜范畴对应于嵌入$f$的HPD范畴。这些混合模型上的B-膜可以看作是某个紧致空间$B$上的整体矩阵分解，或者等价地看作是$B$上的$\mathcal{A}$ -模层的导出范畴，其中$\mathcal{A}$是一个$A_{\infty}$代数。后一种解释对应于$B$的非交换解析。对于一类特定的混合模型，我们用几种方法显式地计算了代数$\mathcal{A}$，发现它一般是$A_{\infty}$代数与循环群的smash积.然后将所得结果应用于射影空间的Veronese嵌入和Fano完全交在$\mathbb{P}^{n}$中的射影嵌入所对应的$f$的HPD.
A class of noncommutative projective surfaces
设A=k+A_1+A_2.是一个连通的分次Noether k-代数，它是在一个代数闭域k上以一次生成的。设分次商环Q（A）具有形式Q（A）=k（Y）[t，t^{-1}，sigma]，其中sigma是整射影曲面Y的自同构.然后证明了A可以表示为X到Y的双有理射影曲面的朴素爆破代数。这使人们能够深入理解这些代数的结构;例如，一般来说，它们不是强诺特的，它们的点模也不是由射影概形参数化的。尽管事实上商范畴qgr A中的简单对象总是与方案X的闭点（1-1）对应。
Computing weighted sheaf cohomology using noncommutative differential modules
本文提出一种基于外代数和微分模技术计算加权射影空间与栈上层上同调的新方法，推广了Eisenbud-Fløystad-Schreyer的射影空间算法。
Ideal Classes of the Weyl Algebra and Noncommutative Projective Geometry (with an Appendix by M. Van den Bergh)
设R是Weyl代数$A=A_{1}$中理想的同构类的集合，C是三元组（V; X，Y）的同构类的集合，其中V是有限维（复）向量空间，X，Y是V的自同态使得[X，Y]+I的秩为1.根据L. Le Bruyn，我们定义了一个映射$θ: R \to C$，通过适当地扩展A的理想到量子射影平面上的层，然后使用同调代数的标准方法。我们证明了$θ$是逆的双射$ω: C \to R$构造在\cite{BW}由一个完全不同的方法。证明的主要步骤是证明$θ$关于群G=Aut（A）在R和C上的自然作用是等变的：为此，我们还必须研究理想到某些加权量子射影平面的扩张。在此过程中，我们找到了θ的基本描述。
Noncommutative projective partial resolutions and quiver varieties
本文引入一类由有限子群不可约表示索引的射影非交换曲面，证明其上带标架的无挠层同构类与Nakajima箭图簇闭点存在典范双射，从而利用非交换几何为箭图簇提供了几何解释。
Smooth and proper noncommutative schemes and gluing of DG categories
本文讨论了域上非交换概型的不同性质。我们定义一个非交换概型为一个特殊类型的微分分次范畴。我们研究了非交换格式的正则性、光滑性和适当性。光滑射影概形上的完全复形范畴的容许子范畴提供了光滑和适当的非交换概型的自然例子，称为几何非交换概型。在本文中，我们证明了世界的所有几何非交换计划下的一个操作下的胶合微分分次范畴通过双模关闭。作为主要定理的一个推论，我们得到：对于任何具有可分半单部分的有限维代数，其上的完全复范畴等价于光滑射影概形上的完全复范畴的一个满子范畴.此外，如果代数具有有限的整体维数，则满子范畴是可容许的。我们还提供了一个建设的顺利射影概形，承认一个完整的例外收集，并包含作为一个子集合的例外收集预先给定的。作为主要定理的另一个应用，我们得到了在特征0中，完全复形范畴在光滑射影概形上的任意真概型上的完全嵌入的存在性.
Noncommutative versions of some classical birational transformations
本文将一些经典的双有理变换推广到非交换情形。特别地，我们证明了3维二次Sklyanin代数（非交换射影平面）和3维三次Sklyanin代数（非交换二次）具有相同的函数域。同样，我们构造了非交换射影平面的Cremona变换并进行了模拟。
Punctual noncommutative Hilbert schemes
该研究聚焦点态非交换希尔伯特概形，通过构造仿射铺筑与奇点小消解，确定了这类射影簇的 motive 与相交上同调。
Lecture Notes on Noncommutative Algebraic Geometry and Noncommutative Tori
这些笔记的第一部分给出了一个介绍非交换射影几何后，阿廷-张。第二部分提供了一个概述的工作Polishchuk调和非交换的两个环面具有真正的乘法与阿廷-张设置。
Algebraic deformations of toric varieties II. Noncommutative instantons
我们继续我们的非交换代数和微分几何的一类特殊的变形环面品种的研究，侧重于有关方面的建设和枚举的非交换瞬子对这些品种。我们发展了扭量理论的一个非对易版本，它引入了一个非对易四球的新例子。我们开发了一个编织版本的ADHM建设，并表明，它参数化一定的模空间的框架扭转自由层的非对易射影平面。我们使用这些建设明确建立瞬子规范束与规范的非对易四球，满足适当的反自对偶方程的连接。我们构造了挠自由层的射影模空间，并证明了它们是光滑的。我们定义了这些模空间的等变配分函数，发现它们与C^2上超对称规范理论的通常瞬子配分函数一致。
DG-models of Projective Modules and Nakajima Quiver Varieties
在$SL_2(C)$中的每个有限群$Γ$都有一个非交换代数族，它使与该群对应的克莱因奇点的坐标环变形。这些代数是由W. Crawley-Boevey和M. Holland提出了这些代数上的秩为1的投射模的同构类集合与相应的Nakajima簇之间的拓扑对应。在\cite{BGK}中，V.Baranovski，V.Ginzburg和A.Kuznetsov用非交换射影几何的方法证明了Crawley-Boevey-Holland猜想。在本文中，我们将陈述一个改进的（$G$ -等变）版本的这个猜想，并在循环群的情况下，给出了一个新的结构的基础上的DG-模型的概念秩一投射模的对应。这种构造导致了Crawley-Boevey-Holland代数理想的完全明确的描述。
Jacobians of noncommutative motives
在这篇文章中，一个扩展的经典理论（中间）雅可比的“非交换世界”。具体地说，从非交换Chow基模范畴到直到Isabel的阿贝尔簇范畴构造了一个Q-线性可加Jacobian函子J（-），它具有以下性质：（i）J（N）的第一deRham上同调群与N的奇周期循环同调的子空间一致，该子空间由代数曲线生成;（ii）交换阿贝尔簇J（perf（X））（与光滑射影概形X的导出dg范畴perf（X）相关联）与X的所有中间代数Jacobian的并集相同。
Noncommutative ampleness for multiple divisors
扭曲齐次坐标环是Artin，Van den Bergh等人的非交换射影几何的基本构造之一。Chan将这种构造推广到多齐次情形，使用了可逆层的有限集合的右满度概念和射影概形的自同构。由此他得出某些多齐次环，例如扭曲齐次坐标环的张量积，是右诺特环。我们表明，右和左的振幅是等价的，有一个简单的标准，这样的振幅。因此，我们发现，在自然的假设下，多齐次坐标环是诺特的，并有整数GK-维。
Sklyanin algebras and Hilbert schemes of points
我们构造了非对易射影平面上无挠层的射影模空间。这些模空间在描述非对易平面的参数上平滑地变化，并且具有类似于通常（对易）射影平面P^2上层的模空间的性质。一般的非交换平面对应于由椭圆曲线E < P^2上的无限阶自同构σ构造的Sklyanin代数S。在这种情况下，具有第一陈类零和欧拉示性数（1-n）的S上的线丛的细模空间提供了一个辛簇，它是P^2 - E上n点希尔伯特格式的变形。
Noncommutative ampleness from finite endomorphisms
设$X$是具有自同态$σ$的射影整概形，其中$σ$是有限的，但不是自同构.我们研究了由$σ$定义的双模的非交换的满度。与自同构的情况相反，单侧的振幅是可能的。我们还发现与$σ$相关的环和双模代数不是诺特环。
Etale twists in noncommutative algebraic geometry and the twisted Brauer space
本文研究了概型和结合代数的导范畴的根扭。基于一种新的构造--扭曲Brauer空间，给出了一种分类标准扭曲的一般方法，并对亏格为0的曲线、二次曲面和非交换射影空间进行了完整的分类.对高亏格曲线进行了部分分类。这些技术建立在我最近与大卫·盖普纳关于交换环谱的布劳尔群的工作之上。
Homological projective duality for linear systems with base locus
我们展示了如何炸毁品种的基本轨迹的线性系给出了一个程序，从旧的创建新的同调投影。从HP对偶对$X,Y$和光滑正交线性截面$X_L,Y_L$出发，证明了$X$在$X_L$中的爆破自然是$Y_L$的HP对偶.结果不需要$Y$作为一个变量存在，即它可以是“非交换的”。我们扩展的结果的情况下，基地轨迹$X_L$是一个多个光滑簇和通用超平面有理性的奇异性，这里的HP对偶是一个分类奇点的分解$Y_L$。最后，我们给出的例子，从一个非交换的$Y$，上述过程仍然给出几何HP的。
The (noncommutative) geometry of difference equations
本专著通过将差分与微分方程解释为非交换射影曲面上的层，阐明非自治可积系统，并发展相应曲面理论以应用GIT构造模空间，证明离散作用代数可积。
Noncommutative geometry of elliptic surfaces
本文用非交换环面和周期连分数的单参数族重新表述射影直线上的椭圆曲面，利用该对应关系研究了此类曲面的Picard数、秩和极小模型，并计算了纤维具有复乘的椭圆曲面的Picard数。
Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: abelian categories
这是一系列论文中的第三篇。在第一部分中，我们发展了一个变形理论的同伦和导出范畴的DG范畴的对象。在这里，我们将展示如何使用这个理论来研究变形的同伦和导出范畴的阿贝尔范畴的对象。然后，我们考虑从（非交换）代数几何的例子。特别地，我们研究了非交换Grassmanian空间，它是射影空间中射影子空间的结构层的真非交换模空间。
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