Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
2007-04-20 math.CO
On the interval coloring impropriety of graphs
本文研究了图的区间着色不当性，为完全多部图子类提供了区间着色构造以支持相关猜想，并改进了2-树、迭代三角剖分图和外可平面图的上界，同时探讨了冠积图的着色不当性。
2024-05-30 math.CO
On the on-line coloring of unit interval graphs with proper interval representation
本文通过双人博弈定义单位区间图的在线着色问题，证明了对于禁止大小为5的团，构建者迫使算法使用的最多颜色数R(4)等于7，解决了该参数下的未决问题。
2025-02-19 cs.DS math.CO
The interval coloring impropriety of planar graphs
本文研究平面图的区间染色不当度，证明外平面图的区间染色不当度至多为2，并证明k-树的区间染色不当度无界，从而分别证实和否定了两个已有猜想。
2024-08-08 math.CO
On interval edge-colorings of planar graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。1990年，Kamalian证明了：如果至少有一条边的图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq 2|V(G)|-3$。2002年，Axenovich改进了平面图的这个上界：如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{11}{6}|V(G)|$ .在同一文件Axenovich提出了一个猜想，如果一个平面图$G$有一个区间$t$染色，然后$t\leq \frac{3}{2}|V(G)|$。本文证明了如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{3|V(G)|-4}{2}$ .证明了如果外平面图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq |V(G)|-1$ .此外，所有这些上界都是尖锐的。
2023-03-20 cs.DM math.CO
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
2015-08-12 cs.DM math.CO
Improper interval edge colorings of graphs
图$G$的$k$ -不当边着色是映射$α:E(G)\longrightarrow \mathbb{N}$，使得具有公共端点的$G$的至多$k$边具有相同的颜色。图$G$的非正常边染色称为非正常区间边染色，如果与图$G$的每个顶点关联的边的颜色形成整数区间.本文引入并研究了一个新的概念：图$G$的区间不恰当染色（或仅仅是不恰当染色），定义为最小$k$使得$G$具有$k$ -不恰当区间边染色，我们用$μ_{\mathrm{int}}(G)$表示最小$k$.我们证明了上界$μ_{\mathrm{int}}(G)$一般图$G$和特殊的家庭，如二部，完全多部和outerplanar图，我们还确定$μ_{\mathrm{int}}(G)$确切地为$G$属于某些特定类别的图。此外，我们提供了几个家庭的图与大的不当，特别是，我们证明了，对于每一个正整数$k$，存在一个图$G$与$μ_{\mathrm{int}}(G) =k$。最后，对于至少有两个顶点的图，我们证明了一个新的非正常区间边着色所用颜色数的上界。
2020-03-13 math.CO
A note on one-sided interval edge colorings of bipartite graphs
对于由$X$和$Y$组成的二部图$G$，$X$ -区间染色是指$G$的整数真边染色，使得与$X$中任意顶点关联的边上的颜色形成区间.用$χ'_{int}(G,X)$表示最小$k$，使得$G$具有带$k$颜色的$X$ -区间着色。作者和托夫特证明[离散数学339（2016），2628--2639]存在多项式$P(x)$，使得如果$G$在至多$Δ$处具有最大次数，则$χ'_{int}(G,X) \leq P(Δ)$。在这个简短的说明中，我们证明了这个猜想;事实上，我们证明了一个三次多项式就足够了。对于最大度较小的二部图，我们也给出了$χ'_{int}(G,X)$的一些改进的上界。
2021-06-26 math.CO
Estimates for the number of vertices with an interval spectrum in proper edge colorings of some graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得使用$t$中的每一种颜色，并且相邻的边被不同地着色。与$G$的顶点$x$关联的边的颜色的集合被称为$x$的谱。如果图$x$的谱是整数区间，则图$G$的正常边$t$ -染色是其顶点$x$的区间.图$G$的正常边$t$染色是其顶点$x$的持续区间，如果$x$的谱是从色1开始的整数区间.对于某些图类中的图$G$，我们得到了$G$的正常边$t$ -染色为区间或持久区间的可能顶点数的估计.
2012-05-01 cs.DM math.CO
Interval Total Colorings of Complete Multipartite Graphs and Hypercubes
图$G$的全染色是图的顶点和边的染色，使得没有邻顶点、边以及没有关联顶点和边获得相同的颜色。图$G$的区间全$t$ -着色是$G$用颜色$1,\ldots,t$的全着色，使得所有颜色都被使用，并且与$v$一起入射到每个顶点$v$的边被$d_{G}(v)+1$连续颜色着色，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。本文证明了每部分顶点数相同的完全多部图都是区间全可染的。此外，我们还给出了这类图的区间全染色的最小和最大跨度的一些界。其次，我们研究了超立方体$Q_{n}$的区间全染色。特别地，我们证明了$Q_{n}$（$n\geq 3$）具有区间全$t$ -染色当且仅当$n+1\leq t\leq \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .
2014-08-11 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of cubic graphs
多重图G的边染色（颜色为1，2，…称t为区间t-染色，如果所有的颜色都被使用，并且与G的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数的区间。本文证明了：如果G是允许区间t-染色的连通三次多重图（连通三次图），则t \leq| V（G）|+1（t \leq| V（G）|其中V（G）是G的顶点集。此外，若G是连通三次图，G是\neq K_{4}，且G有区间t-染色，则t \leq| V（G）|-1个。我们还表明，这些上限是尖锐的。最后，我们证明了：如果G是二部次立方多重图，则G有不超过四种颜色的区间边染色。
2011-10-06 cs.DM math.CO
Combinatorics of Dyadic Intervals: Consistent Colorings
本文研究并矢区间递增族的一致齐次着色问题。我们决定这个问题什么时候可以解决，什么时候不能。
2014-09-07 math.CO math.FA
Complexity of tree-coloring interval graphs equitably
图的均匀树- $k$ -染色是指图的顶点$k$ -染色使得每个色类诱导一个森林，且任意两个色类的大小相差至多1.本文证明了区间图$G$对任意整数$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都有一棵公平树$k$ -染色，解决了Wu，Zhang和Li（2013）关于区间图的一个猜想，并给出了一个线性时间算法来判定一个区间图对给定整数$k$是否有一棵公平树$k$ -染色.对于分裂图的不交并图，或具有$r\geq 4$的无$K_{1,r}$区间图，证明了当分别以颜色数、树宽、颜色数和最大度为参数时，是否存在公平树- $k$ -着色是$W[1]$ -难判定的.
2020-03-09 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of graph products
图G的区间t-染色是图G的正常边染色，其颜色为1，2，…，t使得G的至少一条边被i着色，i= 1，2，.，t，并且与每个顶点v关联的边\in V（G）由d_{G}（v）连续颜色着色，其中d_{G}（v）是G中顶点v的度数。本文研究了各种积图的区间边染色。
2012-02-01 cs.DM math.CO
Interval colorings of graphs -- coordinated and unstable no-wait schedules
图的正常边染色是区间染色，如果与任意顶点关联的边的标号构成一个连续整数的区间。图G的区间厚度s（G）是边分解图G的最小区间可着色数。证明了对任意n阶图G，s（G）=o（n）.这改进了以前已知的2n/5的界限由Asratian，Casselgren和Petrosyan。虽然我们没有一个单独的例子，一个图的间隔厚度严格大于2，我们构建二部图的间隔谱有任意多个任意大的差距。这里，图的区间谱是所有整数t的集合，使得图具有使用t种颜色的区间着色。二部图的区间着色自然对应于无等待时间表，比如家长会，其中任何老师和任何家长之间的对话持续相同的时间。我们的研究结果意味着，任何这样的会议与$n$参与者可以协调在O（n）无等待期。此外，我们还证明了对于任意整数t和T，t<T，有一组家长和老师想要相互交谈，因此任何无等待时间表都是不稳定的--它们可以持续t小时，也可以持续T小时，但如果t<x<T，则不可能有持续x小时的无等待时间表。
2022-05-12 math.CO
Online and quasi-online colorings of wedges and intervals
我们考虑由几何区域定义的超图的适当在线染色。我们证明，有一个在线着色算法，颜色$N$间隔的实线使用$Θ(\log N/k)$颜色，使每一个点$p$，至少包含在$k$间隔，不是所有的间隔包含$p$有相同的颜色。我们还证明了相应的结果在线染色的一个家庭的楔（象限）在平面上的平移是一个给定的固定楔。这些结果与第一作者和第三作者的结果进行了对比，表明在准在线设置中，12种颜色足以用于颜色楔（独立于$N$和$k$）。我们还考虑了区间的准在线着色。在所有情况下，我们提出了有效的着色算法。
2015-09-09 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring the Real Line with Monochromatic Intervals
设D是正实数的有限集。距离图G（R，D）是顶点集为R（实数集）且两个顶点x，y相邻的图，如果|X-Y|属于D。证明了：对每一个正整数t>1，存在一个距离集D，使得G（R，D）的色数为t，且G（R，D）的t色真染色不允许单色区间.这一结果否定了[2]中的一个猜想。
2016-08-19 math.CO
On interval edge-colorings of outerplanar graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于一个区间可着色图$G$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值记为$w(G)$ .一个图$G$是外平面的，如果它可以嵌入到平面中，使得它的所有顶点都位于同一个（无界的）面上。本文证明了如果$G$是2-连通外平面图，且具有$Δ(G)=3$，则$G$是区间可着色的，并且\begin{center} $w(G)=\left\{\begin{tabular}{ll} 3, & if $| V(G)|$ is even, \ 4, & if $| V(G)|$ is odd. \end{tabular}% \right.$ \end{center}也是区间可着色的。
2013-03-05 cs.DM math.CO
Conflict-free coloring with respect to a subset of intervals
给定一个超图H =（V，E），如果对每个超边S \in E，S中至少有一个顶点的颜色与S中所有其他顶点的颜色不同，则称H的顶点的染色是无冲突的.离散区间超图Hn是顶点集为{1，...，n}和超边集{1，.，n}。本文给出了H_n的任意子超图的无冲突着色的一个多项式时间算法，证明了该算法的逼近比为2，并证明了我们的分析是严密的，即，存在一个子超图，该算法针对该子超图计算使用两倍于最优解的颜色数量的解。我们还表明，问题的决定是否一个给定的子超图Hn可以着色与最多k种颜色有一个拟多项式时间的算法。
2012-04-28 cs.DM cs.DS math.CO
Online Coloring of Short Intervals
本文研究长度在 $[1,σ]$ 内的短区间交图在线着色，给出 $(1+σ)$-竞争算法并建立 $5/3$、$7/4$ 与渐近 $5/2$ 下界，核心技术是递归策略组合。
2020-08-03 cs.DM cs.DS math.CO
Interval edge-colorings of K_{1,m,n}
本文证明了K_{1,m,n}是区间边可着色的当且仅当gcd（m+1，n+1）=1.它解决了肯定彼得罗相的一个猜想。
2013-08-20 cs.DM math.CO
Interval cyclic edge-colorings of graphs
如果图$G$的所有颜色都被使用，并且每个顶点$v\in V(G)$的关联边都被$d_{G}(v)$模$t$的连续颜色着色，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的正确边着色称为\emph{interval cyclic $t$-coloring}，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。一个图$G$称为\emph{interval cyclically colorable}，如果它对某个正整数$t$有区间循环$t$ -染色.用$\mathfrak{N}_{c}$表示所有区间循环可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}_{c}$，具有区间循环$t$ -染色的$t$的最小值和最大值分别用$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$表示.本文研究了区间循环染色的一些性质。特别地，我们证明了如果$G$是一个至少有两个顶点的无三角形图，并且$G\in \mathfrak{N}_{c}$，那么$W_{c}(G)\leq \vert V(G)\vert +Δ(G)-2$。我们还得到了各种图类的$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$的界。最后给出了区间循环不可着色图的构造方法。
2014-11-02 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of composition of graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.用$\mathfrak{N}$表示所有区间可着色图的集合。在2004年，Giaro和Kubale证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。在同一年，他们制定了一个类似的问题组成的图形作为一个开放的问题。后来，在2009年，第一作者证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则$G[H]\in \mathfrak{N}$。本文证明了：如果$G\in \mathfrak{N}$和$H$具有一种特殊类型的区间染色，则$G[H]\in \mathfrak{N}$ .此外，我们还证明了所有的正则图、完全二部图和树都有这样一个特殊的区间着色。特别地，这意味着如果$G\in \mathfrak{N}$和$T$是树，则$G[T]\in \mathfrak{N}$。
2015-08-01 cs.DM math.CO
On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of complete graphs
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于区间可着色图$G$，$W(G)$表示$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最大值.已知完全图是区间可着色的当且仅当它的顶点数是偶数。然而，仅对于$n \leq 4$，$W(K_{2n})$的精确值是已知的。第二位作者证明，如果$n = p2^q$，其中$p$是奇数，$q$是非负的，那么$W(K_{2n}) \geq 4n-2-p-q$。后来，他解释说，如果$n \in \mathbb{N}$，那么$W(K_{2n}) = 4n - 2 - \left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor - \left \| n_2 \right \|$，其中$\left \| n_2 \right \|$是$n$的二进制表示中$1$的个数。本文介绍了一种基于完全图的1-因子分解构造完全图的区间着色的新方法，并利用该方法对猜想进行了反驳，改进了$W(K_{2n})$的上下界，确定了$n \leq 12$的区间着色的精确值.
2016-03-31 cs.DM math.CO
Interval colorings of complete balanced multipartite graphs
一个图$G$称为完全$k$ -部（$k\geq 2$）图，如果它的顶点可以被划分成$k$独立集$V_{1},...,V_{k}$，使得$V_{i}$中的每个顶点都与$1\leq i<j\leq k$的$V_{j}$中的所有其他顶点相邻.完全$k$ -部图$G$是完全平衡$k$ -部图，如果$|V_{1}| = |V_{2}| =... = |V_{k}|$ .一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。本文证明了一个完全平衡$k$ -部图$G$是区间可着色的当且仅当$nk$是偶图。证明了如果$nk$是偶数且$(k-1)n\leq t\leq ((3/2)k-1)n-1$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$允许区间$t$ -染色.此外，若$k=p2^{q}$，其中$p$是奇数，且$q\in \mathbb{N}$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$对每个满足$(k-1)n\leq t\leq (2k-p-q)n-1$的正整数$t$都有区间$t$ -染色.
2012-11-22 cs.DM math.CO
Interval colorings of complete bipartite graphs and trees
从俄语翻译的工作R.R. Kamalian“Interval colorings of complete bipartite graphs and trees”，Preprint of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenia，Yerevan，1989。(Was亚美尼亚苏维埃社会主义共和国科学院计算中心学术委员会和埃里温国立大学决定于1989年9月7日公布）。
2013-08-12 cs.DM math.CO
On cyclically-interval edge colorings of trees
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对任意$t\in \mathbb{N}$，设$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，设$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$对任意树$G$，证明了$G\in\mathfrak{M}$和$t$的所有可能值都是可以找到的，其中$G\in\mathfrak{M}_t.$
2012-05-01 cs.DM math.CO
First-fit coloring on interval graphs has performance ratio at least 5
首次拟合是一种在线图着色算法，该算法以某种顺序一次考虑一个顶点，并为每个顶点分配尚未在邻居上使用的最小正整数。图G在所有顶点阶上的首次拟合所使用的最大颜色数记为χ_{FF}（G）。区间图G上R：= \sup_G [χ_{FF}（G）/ ω（G）]的精确值是未知的. Pemmaraju，Raman和Varadarajan（2004）证明了R <= 10，这可以改进到8。Witsenhausen（1976）、Chrobak和Rumlusarek（1988）证明R >= 4，Rumlusarek（1993）将其改进为4.45。我们证明R >= 5。
2015-05-31 math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
More certainty in coloring the plane with a forbidden distance interval
在神秘多彩的色数世界里，有很多未知的地方，有一件令人惊奇的事情。事实证明，对于平面上的某些禁止距离区间，可以指定色数$χ$的精确值。对于$χ=7$和9，已经发现了两组这样的间隔。我们称之为确定性岛屿。在这里，我们增加了这些岛的大小，并添加了三个新的$χ=8$，12，13。我们还制定了预测$χ=14$，15，16猜想岛的结构。对于$χ$ =10或11，是否存在确定性孤岛？这仍然是一个谜。来参加神秘之旅吧
2023-03-26 math.CO
On Interval Non-Edge-Colorable Eulerian Multigraphs
一个具有$1,\ldots,t$颜色的多重图$G$的边染色称为区间$t$-染色，如果所有颜色都被使用，并且与$G$的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数区间。本文证明了边数为奇数的欧拉重图不具有区间染色。给出了区间非边可染欧拉重图的构造方法。
2013-11-17 cs.DM math.CO
The List Distinguishing Number Equals the Distinguishing Number for Interval Graphs
图$G$的\textit{distinguishing coloring}是顶点的着色，使得$G$的每个非平凡自同构将某个顶点映射到具有不同颜色的顶点。$G$的\textit{distinguishing number}是最小$k$，使得$G$具有区别着色，其中每个顶点被分配来自$\{1,\ldots,k\}$的颜色。到$G$的\textit{list assignment}是颜色列表到$G$的顶点的分配$L=\{L(v)\}_{v\in V(G)}$。$G$的\textit{distinguishing $L$-coloring}是$G$的区别着色，其中每个顶点$v$的颜色来自$L(v)$。$G$的{ \it列表区分数}是最小的$k$，使得对$G$的每个列表分配，其中所有$v\in V(G)$的$|L(v)|=k$产生$G$的区分$L$ -着色。证明了如果$G$是区间图，则它的可区别数与列可区别数相等.
2015-09-14 math.CO
Interval colorings of edges of a multigraph
设$G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$是一个二部多重图，且$R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$.如果每个颜色用于至少一个边，并且与每个顶点$x\in R$关联的边由$d(x)$连续颜色（分别由颜色$1,\ldots,d(x))$，其中$d(x)$是顶点$x$的度）着色，则用颜色$1,\ldots,t$对$G$的边的适当着色被称为$R$上的间隔（分别连续）。我们分别用$w_1(G)$和$W_1(G)$表示$t$的最小值和最大值，对于这些值，多重图$G$的$V_1(G)$染色存在一个区间，颜色为$1,\ldots,t$。本文得到了下列基本结果。\textbf{Theorem 2.}对于任意的$k$，$w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$，有一个区间$V_1(G)$染色的多重图$G$与颜色$1,\ldots,k$。\textbf{Theorem 3.}多重图$G$的$V_1(G)$染色的连续存在性的识别问题是$NP$-完全的. \textbf{Theorem 4.}如果对任意边$(x,y)\in E(G)$，其中$x\in V_1(G)$，不等式$d(x)\geq d(y)$成立，则存在重图$G$的连续$V_1(G)$染色。\textbf{Theorem 1.}如果$G$没有多重边和三角形，并且在图$G$的$V(G)$着色上有一个区间，颜色…
2014-01-31 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
Examples of cyclically-interval non-colorable bipartite graphs
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对于任何$t\in \mathbb{N}$，令$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，令$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$构造了不属于类$\mathfrak{M}$的二部图的例子。
2013-05-29 cs.DM math.CO
Splitting necklaces and measurable colorings of the real line
一条（连续的）项链只是实数线的一个区间，用一些颜色可测量地着色。Borsuk-Ulam定理的一个著名应用断言，每一个$k$颜色的项链可以被最多$k$切割公平地分割（从产生的碎片可以形成两个集合，每个集合捕获每种颜色的相同度量）。在这里，我们证明，对于每一个$k\geq 1$有一个可测量的$(k+3)$着色的实数线，使没有间隔可以公平地分裂使用最多$k$削减。特别地，存在实数线的可测$4$ -着色，其中没有两个相邻的区间具有相同的每种颜色的度量。一个类似的问题的整数是由Erdens在1961年和解决的肯定在1991年由Keränen。奇怪的是，在离散的情况下，所需的着色也使用四种颜色。
2014-12-26 math.CO
A Probabilistic Threshold for Monochromatic Arithmetic Progressions
我们表明，$\sqrt{k}\cdot r^{k/2}$是一个阈值区间长度，在温和的条件下，几乎每一个$r$着色的一个较长的长度区间包含一个单色$k$ -项算术级数，而几乎没有$r$着色的一个较短的长度区间包含一个单色$k$ -项等差数列。
2014-07-03 math.CO
Local measures of interval edge-uncolorability
Linköping University（林雪平大学）；Yerevan State University（埃里温国立大学）
本文提出图的局部亏格和弱局部亏格，度量图偏离区间可染色的程度，证明其与亏格差异可任意大，并给出构造性结果与开放问题。
2026-09-15 math.CO
Decomposing graphs into interval colorable subgraphs and no-wait multi-stage schedules
一个图$G$称为区间可着色的，如果它有一个用颜色$1,2,3,\dots$的适当边染色，使得关联到$G$的每个顶点的边的颜色形成一个整数区间.不是所有的图都是区间可着色的;事实上，很少有图族被证明是区间可着色的。本文引入并研究了图$G$的区间着色厚度的概念，记为${θ_{\mathrm{int}}}(G)$，它是$G$的并为$G$的区间可着色边不交子图的最小数目.我们的调查是出于紧凑性要求的调度问题，特别是问题的解决方案可能包括几个时间表，但每个时间表必须不包含任何等待期或空闲时间的所有参与方。首先证明了每一个连通的$3$ -边可着色图都是区间可着色的，并且利用这个结果，我们给出了一般图$G$的${θ_{\mathrm{int}}}(G)$的一个上界.我们证明了当$G$是二部的，平面的或完全多部的情况下，这个上界可以得到改进，并考虑了一些应用。
2021-06-07 math.CO
On the deficiency of complete multipartite graphs
图$G$的边染色是一个\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间.众所周知，有些图不具有区间着色。图$G$的\emph{deficiency}，记为$\mathrm{def}(G)$，是指连接到$G$的悬挂边的最小数目，该悬挂边导致图允许区间着色。本文研究了完全多部图的亏数的判定或界问题。特别地，我们得到了完全多部图的亏数的一个紧上界。我们还确定或限制了几类完全多部图的亏数。
2019-12-03 cs.DM math.CO
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
2018-05-07 cs.CG cs.DM math.CO
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
2013-07-04 cs.DM math.CO
On-line approach to off-line coloring problems on graphs with geometric representations
本文的主要目标是形式化和探索图的色性与几何表示和在线算法的竞争分析之间的联系，这在最近Pawlik等人构造了具有任意大色数的无三角形几何求交图之后变得明显。线图着色问题产生具有自然几何解释的博弈图类。我们使用这个概念来估计的色数的图形与几何表示找到，适当的简单的图形，在线着色算法，使用很少的颜色或证明，没有这样的算法存在。我们推导出矩形重叠图，子树重叠图和区间细丝图（所有这些都是广义区间重叠图）的最大色数的上限和下限时，他们的团数是有界的。区间细丝图的边界是绝对的，矩形和子树重叠图的形式$(\log\log n)^{f(ω)}$的渐近，其中$f(ω)$是团数的多项式函数，$n$是顶点数。特别地，我们首次构造了团数有界且色数渐近大于$\log\log n$的几何求交图。我们还引入了$K_k$ -free着色的概念，并表明，对于某些几何表示，$K_3$ -free色数可以有界的集团数，但普通（$K_2$ -free）色数不能。对于线段交图的这样一个结果暗示了一个著名的猜想：$k$ -拟平面几何图具有线性多条边。
2016-12-29 cs.CG cs.DM cs.DS
Recoloring Unit Interval Graphs with Logarithmic Recourse Budget
本文研究了动态变化的单位区间图的着色问题。在我们的模型中，单位间隔一次添加或删除一个，并且必须立即着色，因此没有两个重叠的间隔共享相同的颜色。每次更新后，只允许对有限数量的间隔重新着色。对每次更新的重复次数的限制称为资源预算。在本文中，我们表明，如果图保持$k$ -着色在任何时候，和更新只包括插入，那么我们可以实现摊销资源预算的$O(k^7 \log n)$，同时保持适当的着色与$k$颜色。这是对[Bosek等人，有限资源预算下的区间图再着色。SWAT 2020]在$k$和$n$方面。我们补充这一结果，通过显示在完全动态设置的摊销追索预算的$Ω(n)$的下限。我们的增量算法可以有效地实现。作为一个副产品的独立利益，我们包括一个新的结果着色适当的圆弧图。令$L$为某个单位圆弧集合$\mathcal{A}$中相交于一点的弧的最大数目。我们表明，如果有一组$\mathcal{A}'$的不相交的单位弧的大小$L^2-1$，使$\mathcal{A} \cup \mathcal{A}'$不包含$L+1$弧相交于一点，那么它是可能的颜色$\mathcal{A}$与$L$的颜色。这是对单位圆弧着色工作的补充，单位圆弧着色规定了用$L+1$或更多颜色对$\mathcal{A}$着色所需的充分条件。
2022-02-16 cs.DM math.CO
Cyclic Deficiency of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$连续，则称图$G$的正常边着色为循环区间$t$ -着色.在本文中，我们引入并研究了一个新的概念，一个图$G$的循环亏损，定义为最小数量的悬挂边的附件$G$产生一个图允许循环区间染色，这个数字可以被认为是一个衡量的接近$G$是循环区间可着色。我们确定或界定了几个图族的循环亏数。特别是，我们提出了有界最大程度的任意大的循环不足，和图的循环不足的顶点数的方法的图的例子。最后，我们猜想任何图的循环亏不超过顶点数，我们提出了支持这个猜想的几个结果。
2017-11-12 math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
On the parameter $μ_{21}$ of a complete bipartite graph
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。假设图$G$的所有边在角色不对称分布的Alice和Bob博弈中都是着色的。Alice确定$G$的未来正确边着色中的颜色数$t$，并期望最小化其中具有区间谱的顶点的数量。Bob用$t$颜色对$G$的边进行着色，并期望最大化该数量。$μ_{21}(G)$等于在博弈结束时具有区间谱的$G$的顶点数，假设双方都选择了他们的最佳策略。本文对任意正整数$m$和$n$，求出了参数$μ_{21}(K_{m,n})$的精确值.
2012-05-01 cs.DM math.CO
On-line coloring between two lines
我们研究了某些图的在线着色，这些图是“两条线之间”的对象的交图，即，存在一对水平线，使得表示的每个对象是包含在所述线之间的条带中的连通集，并且接触这两条线。允许这种表示的一些图类是置换图（段），区间图（轴对齐的矩形），梯形图（梯形）和协可比图（简单曲线）。本文提出了一个在线算法，利用$O(ω^3)$对具有最大团大小$ω$的图进行着色。相反，连接到单条线的线段的相交交图可能会迫使任何在线着色算法使用任意数量的颜色，即使当$ω=2$。{ \em left-of}关系使得两条直线之间的对象的交图的补成为偏序集。另外，我们还讨论了由两直线间的凸集得到的偏序集类$\mathcal{C}$与其它偏序集类的关系：所有$2$ -维偏序集和所有高度$2$的偏序集都在$\mathcal{C}$中，但有一个高度$3$的$3$ -维偏序集不属于$\mathcal{C}$ .我们还表明，两条线之间的曲线的在线着色问题是困难的任意偏序集的在线链划分问题。
2015-05-26 cs.CG math.CO
Coloring triangle-free rectangle overlap graphs with $O(\log\log n)$ colors
最近，证明了平面上$n$线段的无三角形交图的色数可以达到$Θ(\log\log n)$。基本上相同的建设产生$Θ(\log\log n)$ -色三角形的各种其他几何形状的交叉图-那些属于任何类的紧凑的弧连接集在$\mathbb{R}^2$关闭水平缩放，垂直缩放，平移，除了轴平行矩形。我们证明了这种构造对于平行轴矩形的边界相交图是渐近最优的，而平行轴矩形的边界相交图又可以描述为平行轴矩形的重叠图。也就是说，我们证明了无三角形的矩形重叠图具有色数$O(\log\log n)$，改进了以前的界$O(\log n)$。为此，我们利用离线着色的矩形重叠图和区间重叠图的在线着色之间的关系。我们的着色方法分解成一个有界数量的子图的树状结构，“编码”的对手在在线着色问题的战略。然后，使用来自在线算法（首次拟合）和数据结构设计（重-轻分解）的技术的组合，用$O(\log\log n)$颜色对这些子图着色。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Clique covers of complete graphs and piercing multitrack intervals
本文研究多轨区间的穿刺问题，证明在 k-wise 相交的 t-区间集合中至少有 (k-1)/(k+1)n 个可被 t 点穿刺，并将结果推广到树的子树及边着色完全图的单色团覆盖问题。
2024-08-08 math.CO
One-Weight Colorings, the Symmetric Class, and Lower Bounds for Hales--Jewett Numbers
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明Hales-Jewett立方体的对称着色与单权重着色等价，通过优化权重得到HJ(3,3)≥22和HJ(4,2)≥14等新下界，并给出Gallai同伦数的新值。
2026-07-03 math.CO
A New Lower Bound for van der Waerden Numbers
本文证明了vanderWaerden数的一个新的递推关系式$w(r,k)$ .特别地，如果$p$是素数且$p\leq k$则为$w(r, k) > p \cdot \left(w\left(r - \left\lceil \frac{r}{p}\right\rceil, k\right) -1\right)$。当$r \leq p$时，这个递归给出了下界$w(r, p+1) > p^{r-1}2^p$，这推广了Berlekamp关于2-着色的定理，并给出了$r$的大区间的最佳已知界。递归也可以用来构造显式的有效着色，它改善了已知的小范德瓦尔登数的下界。
2017-10-25 math.CO
