On $\mathbb{Z}_{2}$-graded polynomial identities of $sl_{2}(F)$ over a finite field
Luís Felipe Gonçalves Fonseca
设$F$是$char F > 3$的有限域，$sl_{2}(F)$是$F$上无迹$2\times 2$矩阵的李代数.本文给出了$sl_{2}(F)$的$\mathbb{Z}_{2}$ -分次恒等式的一个基.
Let $F$ be a finite field of $char F > 3$ and $sl_{2}(F)$ be the Lie algebra of traceless $2\times 2$ matrices over $F$. In this paper, we find a basis for the $\mathbb{Z}_{2}$-graded identities of $sl_{2}(F)$.
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继续探索
Graded polynomial identities as identities of universal algebras
设$A$和$B$是代数闭域上具有任意签名的有限维单代数.设$A$和$B$被半群$S$分次，使得$A$和$B$的分次恒等关系相同.则$A$与$B$同构为$S$ -分次代数.
Graded identities of simple real graded division algebras
设A和B是有限维单实代数，它们被阿贝尔群G除阶化.本文给出了A和B的分次恒等式重合的充要条件。我们还证明了每个有限维单实代数的G-分次满足相同的分次身份作为一个矩阵代数代数在代数D的除法分次，这是一个正规的分次或非正规泡利分次。此外，我们确定当两个这样的代数的分次恒等式重合。对于代数闭域上的分次单代数，已知两个代数满足相同的分次恒等式当且仅当它们同构为分次代数。
Graded polynomial identities for the Lie algebra of upper triangular matrices of order 3
本文计算了3阶上三角矩阵李代数在初等分次下的分次多项式恒等式及其分次余维数序列。
Z2-graded Cayley-Hamilton trace identities in M_{n}(E)
我们证明了如何结合Cayley-Hamilton定理和某个友矩阵构造导出M_{n}（E）中的Z ~ 2-分次迹恒等式.
Identities of finitely generated graded algebras with involution
考虑特征为零的域上对合被有限阿贝尔群G分次的结合代数.假设对合与分次相容。我们表示条件允许PI-表示这样的代数。特别地，证明了对于任意素数q或q = 4，一个带对合的n阶生成（Z/qZ）-分次结合PI-代数与有限维带对合的（Z/qZ）-分次代数满足完全相同的带对合的分次恒等式.这是一个类似的定理的A.凯梅尔普通身份，和推广的结果，作者的身份与对合。对于分次恒等式，最近也证明了类似的结果。
Graded polynomial identities of the infinite-dimensional upper triangular matrices over an arbitrary field
本文计算了任意域上无限维上三角矩阵代数的分级多项式恒等式，证明了有限分级群下存在有限基，给出了满足非平凡恒等式的条件，并举例说明非同构分级可具有相同的恒等式集合。
Homogeneous involution on graded division algebras and their polynomial identities
本文研究代数闭域上有限维分次可除代数的齐合对合，计算其带对合的分次多项式恒等式，指出齐合对合在分次多项式恒等式与相容对合研究中自然出现。
Simple G-graded algebras and their polynomial identities
设G是任意群，F是特征为零的代数闭域.证明了F上的任意G-分次有限维结合G-单代数代数都由其G-分次多项式恒等式确定为G-分次同构。Koshlukov和Zaicev在G是交换的情况下证明了这个结果。
Identities and central polynomials of real graded division algebras
设$A$是一个有限维实代数，其可除阶为有限阿贝尔群$G$ .本文给出了分次恒等式的$T_G$ -理想和$A$的分次中心多项式的$T_G$ -空间的有限基.
Identities of graded simple algebras
本文研究了特征为零的域上有限维代数的恒等式，其分次为任意群胚$Γ$。首先证明了它的分次长度有多项式有界增长。对分次单代数$A$，证明了分次PI指数的存在性，条件是$Γ$是交换半群.如果$A$是非分次意义下的单的，则证明了分次PI指数的存在性，而对$Γ$没有任何限制.
On the growth of graded polynomial identities of sl_n
设K是特征为0的域，L是G-分次李PI-代数，其中G是有限群.定义了L的分次Gelfand-Kirillov维数。然后我们度量了n × n无迹矩阵sl_n（K）的李代数的Z_n-分次多项式恒等式的增长性，给出了它的Z_n-分次Gelfand-Kirillov维数的精确值.
On graded identities of block-triangular matrices with the grading of Di Vincenzo-Vasilovsky
域$F$上的$n\times n$矩阵代数具有自然的$\mathbb{Z}_n$ -分次.它的分级身份已被描述的Vasilovsky谁延长了以前的工作Di Jienzo代数的$2\times 2$矩阵。本文研究了块三角形矩阵的分次恒等式，其分次由$M_n(F)$的分次所继承。我们证明了它的分次恒等式是从$M_n(F)$的分次恒等式和从它的度高达$2n-2$的单项式恒等式得到的.在块的大小$n-1$和1的情况下，我们给出了一个完整的描述，它的单项式的身份，并展示了一个最小的基础，其$T_{\mathbb{Z}_n}$ -理想。
Let $F$ be a finite field of $char F > 3$ and $sl_{2}(F)$ be the Lie algebra of traceless $2\times 2$ matrices over $F$. This paper aims for the following goals: Find a basis for the $\mathbb{Z}_{2}$-graded identities of $sl_{2}(F)$; Find a basis for the $\mathbb{Z}_{3}$-graded identities of $sl_{2}(F)$ when $F$ contains a primitive 3rd root of one; Find a basis for the $\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}$-graded identities of $sl_{2}(F)$.
Some Graded Identities of The Cayley-Dickson Algebra
我们的工作是为八元数代数找到一个分次恒等式的基。我们这样做的$\mathbb{Z}_2^2$和$\mathbb{Z}_2^3$分级，他们都来自凯莱-迪克森过程，后分级是可能的，只有当标量的特征是不是两个。
Graded Identities of the Virasoro Algebra
本研究完成了对无限域上Virasoro代数分次多项式恒等式的分析，相关成果补充了Fidelis等人的前期研究。
Graded polynomial identities and Specht property for the Lie algebra of upper triangular matrices of order 3
本文研究了任意域上三次上三角矩阵李代数在初等分次下的分次多项式恒等式，并探讨了相应簇的Specht性质。
Identities and isomorphisms of finite-dimensional graded simple algebras
设$\mathbb F$是代数闭域，$G$是阿贝尔群，$A$和$B$是$\mathbb F$上的任意有限维$G$ -分次单代数.证明了$A$和$B$同构的充要条件是它们满足相同的分次多项式恒等式。
On the Graded Identities for Elementary Gradings in Matrix Algebras over Infinite Fields
我们找到了特征$p>0$的无限域$K$上的$n\times n$矩阵代数$M_n(K)$的$G$ -分次恒等式的一个基，使得中性分量对应于$M_n(K)$的对角线.
Graded polynomial identities and exponential growth
设A是特征为零的域上被有限阿贝尔群G分次的有限维代数.本文通过计算A的分次余维序列的指数增长率，研究了与A所满足的分次多项式恒等式有关的增长函数。我们证明了A的G-指数存在，并且是一个与A的适当半单子代数的维数显式相关的整数。
Graded identities of some simple Lie superalgebras
研究了特征为零的域上$b(t), t\ge 2$型李超代数的$\mathbb{Z}_2$ -分次恒等式.我们的主要结果是$n$余维严格渐近小于$(\dim b(t))^n$.作为结果，我们得到了每个单李超代数$b(t), t\ge 3$的普通（非分次）PI指数的上界。
Let $K$ be an infinite field of characteristic different from two and let $U_1$ be the Lie algebra of the derivations of the algebra of Laurent polynomials $K[t,t^{-1}]$. The algebra $U_1$ admits a natural $\mathbb{Z}$-grading. We provide a basis for the graded identities of $U_1$ and prove that they do not admit any finite basis. Moreover, we provide a basis for the identities of certain graded Lie algebras with a grading such that every homogeneous component has dimension $\leq 1$, if a basis of the multilinear graded identities is known. As a consequence of this latter result we are able to…
$2$-Graded Identities for the Tensor Square of the Grassmann Algebra
考虑无限域上的代数$E\otimes E$，它具有$\mathbb{Z}_2$ -分次，其中正则基是齐次的，并证明了在各种情况下分次恒等式都是普通恒等式.如果分级是一个非典型的分级作为商分级的自然$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ -分级，我们展示了一个基础的分级身份。
Graded polynomial identities and central polynomials of matrices over an infinite integral domain
设$K$是无限整环，$M_{n}(K)$是$K$上所有$n\times n$矩阵的代数.本文的主要目的是：当$M_{n}(K)$的中性分支与对角线重合时，给出$M_{n}(K)$中初等分次的分次恒等式的基;当$p$为素数时，给出$M_{p}(K)$的$\mathbb{Z}_{p}$ -分次中心多项式;给出$M_{n}(K)$的$\mathbb{Z}$ -分次中心多项式.
Specht property for the $2$-graded identities of $B_m$
设$K$是特征为零的域，$V$是具有非退化对称双线性型$f:V\times V \rightarrow K$的$m>1$维向量空间.形式为$f$的Jordan代数$B_m=K\oplus V$是具有这种分解的超代数。证明了$B_m$的所有$2$ -分次恒等式的理想满足Specht性质，并计算了$B_m$的$2$ -分次余特征标序列.
Gradings on Incidence Algebras and their Graded Polynomial Identities
设P是局部有限的偏序集，F是域，G是群，I（P，F）是P在F上的关联代数.我们描述了这个代数上的所有不等价的初等G-分次。若P是有界的，F是特征为零的无限域，A，B都是满足相同G-分次多项式恒等式的初等G-分次关联代数，且P的自同构群传递作用在P的极大链上，则证明了A，B是分次同构的.
Semigroup graded algebras and codimension growth of graded polynomial identities
证明了如果$T$是四个非群的二元半群中的任何一个，则在特征域$0$上存在有限维结合$T$ -分次代数，使得其分次多项式恒等式的余维具有非整数增长指数.特别地，我们给出了一个特征为$0$的代数闭域上的有限维分次单半群分次代数的例子，该代数具有严格小于维数的非整数分次PI指数.然而，如果$T$是左零带或右零带，且$T$ -分次代数是酉的，或$T$是可消半群，则$T$ -分次代数代数满足Amitsur猜想的分次类比，即存在整数分次PI-指数.此外，在第一种情况下，原来，普通和分次PI指数一致。此外，我们还考虑了半群分次代数结构的相关问题。
Let $F$ be a finite field with characteristic $p > 2$ and let $G$ be the unitary Grassmann algebra generated by an infinite dimensional vector space $V$ over $F$. In this paper, we determine a basis of the $\mathbb{Z}_{2}$-graded polynomial identities for any non-trivial $\mathbb{Z}_{2}$-grading such that a basis of $V$ is homogeneous in this grading.
$\mathbb{Z}_{2}$-graded identities of the Grassmann algebra over a finite field (update version)
设$F$是具有特征$p > 2$的有限域，$G$是由$F$上的无限维向量空间$V$生成的酉格拉斯曼代数.本文对任意非平凡的$\mathbb{Z}_{2}$ -分次，确定了$\mathbb{Z}_{2}$ -分次多项式恒等式的一个基，使得其基础向量空间是齐次的.
Multialternating graded polynomials and growth of polynomial identities
设G是有限群，A是特征为零的域上的有限维G-分次代数.当A是单G-分次代数时，利用Regev中心多项式构造了A上任意大次数非零的多重交错分次多项式.作为结果，我们计算了满足普通多项式恒等式的任意G-分次代数的分次余维序列的指数增长率。特别地，我们证明它是一个整数。在G是阿贝尔的情况下，结果是已知的。
Gradings, graded identities, $*$-identities and graded $*$-identities of an algebra of upper triangular matrices
本文研究上三角矩阵代数子代数 $\mathcal{A}$ 的阿贝尔群分次，证明其为初等分次，并计算其 $\mathbb{Z}_2$-分次恒等式及带分次对合的分次恒等式的基，同时描述其余特征标。
Graded polynomial identities, group actions, and exponential growth of Lie algebras
考虑特征为0的域上的有限维李代数L具有有限群G的作用。我们证明了类似于Amitsur猜想的关于L的多项式G-恒等式的余维数的渐近性质。作为结果，我们证明了类似Amitsur猜想的分次余维数的任何有限维李代数分次由有限阿贝尔群。
Let $F$ be a finite field of $char F = p$ and size $|F| = q$. Let $E$ be the unitary infinity dimensional Grassmann algebra. In this short note, we describe the $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$-graded identities of $E_{k^{*}}\otimes E$, where $E_{k^{*}}$ is the Grassmann algebra with a specific $\mathbb{Z}_{2}$-grading. In the end, we discuss about the $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$-graded GK-dimension of $E_{k^*}\otimes E$ in $m$ variables.
Let $UT_n(F)$ be the algebra of the $n\times n$ upper triangular matrices and denote $UT_n(F)^{(-)}$ the Lie algebra on the vector space of $UT_n(F)$ with respect to the usual bracket (commutator), over an infinite field $F$. In this paper, we give a positive answer to the Specht property for the ideal of the $\mathbb{Z}_n$-graded identities of $UT_n(F)^{(-)}$ with the canonical grading when the characteristic $p$ of $F$ is 0 or is larger than $n-1$. Namely we prove that every ideal of graded identities in the free graded Lie algebra that contains the graded identities of $UT_n(F)^{(-)}$, is f…
Let $F$ be an infinite field of characteristic different from 2, and let $E$ be the Grassmann algebra of an infinite dimensional $F$-vector space $L$. In this paper we study the $\mathbb{Z}$-graded polynomial identities of $E$ with respect to certain $\mathbb{Z}$-grading such that the vector space $L$ is homogeneous in the grading. More precisely, we construct three types of $\mathbb{Z}$-gradings on $E$, denoted by $E^{\infty}$, $E^{k^\ast}$ and $E^{k}$, and we give the explicit form of the corresponding $\mathbb{Z}$-graded polynomial identities. We show that the homogeneous superalgebras $E_{…
Let $M_n(K)$ be the algebra of $n \times n$ matrix over an infinite integral domain $K$. Let $gl_n(K)$ be the Lie algebra of $n \times n$ matrix with the usual Lie product over $K$. Let $G = \{g_1,\ldots,g_n\}$ be a group of order $n$. We describe the polynomials that form a basis for the $G$-graded identities of the pair $(M_n(K),gl_n(K))$ with an elementary $G$-grading induced by the $n$-tuple $(g_1,\ldots,g_n)$. In the end, we describe an explicit basis for the $\mathbb{Z}_3$-graded identities of the pair $(M_3(K),gl_3(K))$.
Graded identities for matrix algebras of order two over a finite field
本文确定了有限域上二阶矩阵代数 $M_2(\mathbb{F})$ 在所有可能群分次下的分次多项式恒等式的 $T_G$-理想基，基由有限个非平凡分次恒等式组成，且当群有限时基有限。
On star-homogeneous-graded polynomial identities of upper triangular matrices over an arbitrary field
本文研究任意域上带精细群分次和齐次对合的上三角矩阵代数的分次多项式恒等式，给出基与渐近行为，并计算任意分次与对合下的指数和第二指数。
Let $K$ be any field of characteristic two and let $U_1$ and $W_1$ be the Lie algebras of the derivations of the algebra of Laurent polynomials $K[t,t^{-1}]$ and of the polynomial ring $K[t]$, respectively. The algebras $U_1$ and $W_1$ are equipped with natural $\mathbb{Z}$-gradings. In this paper, we provide bases for the graded identities of $U_1$ and $W_1$, and we prove that they do not admit any finite basis.
Jordan 3-graded Lie algebras with polynomial identities
本文借助 Tits-Kantor-Koecher 构造将 PI 条件转化为相关 Jordan 对的性质，证明强素情形下的 Posner-Rowen 型定理，并利用 Kostrikin 根刻画一般 PI Jordan 3-分次 Lie 代数。
Graded polynomial identities for matrices with the transpose involution
设$G$是阶为$k$的群。我们考虑$k$的代数$M_k(\mathbb{C})$通过$k$矩阵在复数上，并认为它是一个交叉积关于$G$通过嵌入$G$在对称群$S_k$通过正则表示和嵌入$S_k$在$M_k(\mathbb{C})$在通常的方式。这在$M_k(\mathbb{C})$上产生自然的$G$分级，我们称之为交叉积分级。我们研究了具有这种交叉积分次和转置对合的$M_k(\mathbb{C})$的分次$*$ -恒等式。对于具有对合的自由分次代数中的每一个多线性单项式，我们都对应一个有向标号图。利用这些图，我们可以产生一组生成器的$(T,*)$理想的身份。这也导致了新的证明结果Kostant和Rowen的标准身份所满足的斜矩阵。最后我们确定了$M_k(\mathbb{C})$的$*$分次余维数的一个渐近公式.
Graded identities of the first Weyl algebra and its generalizations
研究无限域上第一Weyl代数W1的分次多项式恒等式，构造其Z-分次恒等式的基（仅含一个恒等式），并推广到多种代数，如分次Galois环、量子Weyl代数、量子平面及sl_2的泛包络代数。
Let $K$ be a field (finite or infinite) of char$(K)\neq 2$ and let $UT_n=UT_n(K)$ be the $n\times n$ upper triangular matrix algebra over $K$. If $\cdot $ is the usual product on $UT_n$ then with the new product $a\circ b=(1/2)(a\cdot b +b\cdot a)$ we have that $UT_n$ is a Jordan algebra, denoted by $UJ_n=UJ_n(K)$. In this paper, we describe the set of all $\mathbb{Z}_2$-graded polynomial identities of $UJ_2$ with any nontrivial $\mathbb{Z}_2$-grading. Moreover, we describe a linear basis for the corresponding relatively free $\mathbb{Z}_2$-graded algebra.
Graded Polynomial Identities for Matrices with the Transpose Involution over an Infinite Field
设$F$是一个无限域，$M_{n}(F)$是$F$上的$n\times n$矩阵代数.假设这个代数具有一个初等分次，其中性分量与主对角线重合。本文给出了$M_{n}(F)$的分次多项式恒等式在转置对合下的基.我们的结果推广到无限域的任意特征以前的结果在文献中得到的领域的复数和一类特殊的初等G-分次。
Graded monomial identities and almost non-degenerate gradings on matrices
设$F$是特征为零的域，$G$是群，$R$是具有$G$ -分次的代数$M_n(F)$. Bahturin和Drensky证明，如果$R$是一个基本的和中立的组成部分是可交换的，然后分次身份的$R$遵循三个基本类型的身份和单名身份的长度$\geq 2$有界的一个功能$f(n)$的$n$。本文证明了最佳上界是$f(n)=n$，更一般地证明了$M_n(F)$上的初等$G$ -分次的所有分次单项恒等式都遵循次数至多为$n$的分次单项恒等式.我们还研究了不满足单项恒等式但满足平凡恒等式的分次，我们称之为几乎非退化分次。将矩阵代数上的非退化初等分次的刻画归结为具有交换中立分支的矩阵代数上的非退化初等分次的刻画。我们提供了必要的条件，使$R$上的分级几乎是非退化的，我们应用单名恒等式的结果来描述所有几乎非退化的$\mathbb{Z}$-$M_n(F)$上的分级$n\leq 5$。
Graded identities of matrix algebras and the universal graded algebra
本文考虑M_n（C）上的细G-分次（即复数上的矩阵代数的分次，其中每个分量是1维的）。提供这种分级的群已知是可解的。我们考虑G-分次恒等式的T-理想，并证明它是由一种特殊类型的二项式恒等式生成的，我们称之为初等恒等式。特别地，我们证明了分次恒等式的理想是作为T-理想生成的。接下来，给出这样的分级，我们构造一个泛代数U_{G,c}在两个不同的方式：一个通过多项式身份和其他一个通过一个通用的两个上循环（这平行的经典结构在非分级的情况下）。我们证明了U_{G,c}的一个合适的中心局部化是Azumaya在其中心上，而且它的同态像恰好是M_n（C）的G-分次形式.最后，我们考虑中心对偶环Q（U_{G,c}）（这是一个F-中心单代数，其中F=Frac（Z），Z是U_{G,c}的中心）。利用作者的一个较早的结果（见E. Aljadeff，D. Haile和M.吴晓波，可除代数的射影基与中心型群，以色列数学杂志146（2005）317-335和M. Natapov arXiv：0710.5468v1 [math.RA]）我们证明了这是一个非常显式（和短）的幂零群族的除代数。因此，对于群G，使得Q（U_{G,c}）不是一个除代数，可以找到一个非单位多项式p（x_{i,g}），使得p（x_{i,g}）^r是某个整数r的分次单位。我们用M_6（C）的精细G-分次来说明这一现象，这里G是S_3和C_6的半…
The Jordan algebra of the symmetric matrices of order two over a field $K$ has two natural gradings by $\mathbb{Z}_2$, the cyclic group of order 2. We describe the graded polynomial identities for these two gradings when the base field is infinite and of characteristic different from 2. We exhibit bases for these identities in each of the two cases. In one of the cases we perform a series of computations in order to reduce the problem to dealing with associators while in the other case one employs methods and results from Invariant theory. Moreover we extend the latter grading to a $\mathbb{Z}…
A graph theoretic approach to graded identities for matrices
本文考虑复数上k × k矩阵代数M_k（C），通过正则表示将G嵌入对称群S_k中，并按通常的方法将S_k嵌入M_k（C）中，将M_k（C）看作与k阶群G的交叉积.这在M_k（C）上导出了一个自然的G-分次，我们称之为交叉积分次。这种分级是由任意k元组（g_1，g_2，.，g_k）的集合。本文研究了M_k（C）具有交叉积分次的分次多项式恒等式.对于自由分次代数中的每一个多线性单项式，我们关联一个有向标号图。这种方法使我们能够给出新的证明已知的结果Bahturin和Drensky的生成元的T-理想的身份和Amitsur-Levitsky定理。我们最重要的新结果是确定了M_k（C）的G-分次余维数的渐近公式。
Graded Identities and Isomorphisms on Algebras of Upper Block-Triangular Matrices
设$G$是阿贝尔群，$\mathbb{K}$是特征为零的代数闭域. A. Valenti和M. Zaicev在上块三角形矩阵代数上刻画了$G$ -分次，条件是$G$是有限的.证明了对任意阿贝尔群$G$，其结果成立：任意分次同构于上块三角形矩阵代数上的初等分次$A$与矩阵代数上的除分次$B$的张量积$A\otimes B$.然后，我们考虑的问题，是否分级身份$A\otimes B$，其中$B$是一个代数与司分级，确定$A\otimes B$分级同构。在我们的主要结果定理3中，我们把这个问题归结为O。M. Di Didenzo和E.斯皮内利
Specht property for the graded identities of the pair $(M_2(D), sl_2(D))$
本文研究诺特无限整环上配对 $(M_2(D), sl_2(D))$ 的 $\mathbb{Z}_2$ 自然分次，给出其分次多项式恒等式的有限基，并证明其分次恒等式理想满足 Specht 性质。
Identities and isomorphisms of finite graded matrix algebras
本文针对有限域上矩阵代数，分类了循环群分次，进而得到$G$-分次分类，且对阿贝尔$G$证明了满足相同分次恒等式的$G$-分次矩阵代数必同构。
Graded algebras with homogeneous involution and varieties of almost polynomial growth
本文研究了具有均质反交换的G-分级代数中码度序列的行为，通过排除列表中的代数来表征多项式增长的变体，并提供了几乎多项式增长变体的分类。
Finite basis problem for identities with involution
考虑特征为零的域上具有对合的结合代数。证明了任何具有对合的代数都与具有分次对合的有限维$Z_4$ -分次代数的Grassmann包络满足相同的对合恒等式.作为结果，我们得到了正解的Specht问题的身份与对合：任何结合代数与对合域上的特征为零有一个有限的基础的身份与对合。这些结果类似于A. R. Kemer关于普通恒等式的定理。
Superpolynomial identities of finite-dimensional simple algebras
研究有限维Z2-分次单代数的Grassmann包络，刻画其超多项式恒等式，并分类具有相同超多项式恒等式的代数条件，同时推广至Z2-代数并描述其分次单代数。
Graded identities of block-triangular matrices
设$F$是无限域，$UT(d_1,\dots, d_n)$是$F$上块三角形矩阵代数.在本文中，我们描述了一个基础的$G$ -分次多项式的身份$UT(d_1,\dots, d_n)$，与一个基本的分次诱导的$n$ -元组的元素的一个组$G$，使中性分量对应于对角线的$UT(d_1,\dots,d_n)$。特别地，我们证明了这种代数的单项式恒等式是从直到$2n-1$的次数的单项式恒等式导出的。我们的结果推广到任意特征的无限域，以前的结果在文献中得到的领域的特征零和特殊的$G$ -分次。在特征为零的情况下，我们还推广了张量积分次代数$UT(d_1,\dots, d_n)\otimes C$的结果，其中$C$是生成所有色交换代数簇的色交换代数.
On the codimension growth of simple color Lie superalgebras
本文研究了特征为零的代数闭域上有限维单色李超代数的多项式恒等式，其阶为$2$ .证明了恒等式的余维数是指数增长的，且指数增长率等于代数的维数。对于分次恒等式和分次余维也得到了类似的结果。
Polynomial identities, central polynomials and cocharacters of $M_2(F)$ with $G$-graded involution
本文研究特征零域上矩阵代数 $M_2(F)$ 的 $G$-分次对合，确定其恒等式与中心多项式的生成元，并显式计算余特征与余维数。
On sums of gr-PI algebras
本文研究群分次结合代数作为两个齐次子代数之和时何时满足分次多项式恒等式，证明理想情形并引入分次半恒等式条件，同时给出反例说明 Kȩpczyk 定理不可推广。
$\mathbb Z_2$-graded codimensions of unital algebras
研究了由无限个二进制字构成的非结合代数的多项式恒等式及其组合性质。无限周期和Sturmian字首先被用于构造任意实PI指数大于1的代数的例子。后来，我们用这些代数证实了猜想，PI指数增加后，由一个外部单位的给定代数。在这里，我们证明了同样的结果，这些代数的分次身份和分次PI指数，提供的分次群是循环的二阶。
Graded identities with involution for the algebra of upper triangular matrices
本文研究上三角矩阵代数上带分次对合的群分次，证明其可归结为反射或辛对合，给出恒等式基与余维数增长，并确定指数，特别地证明 $UT_3(F)$ 的普通 $\ast$-指数为 $3$。
Group gradings, graded identities and central polynomials of algebras with almost polynomial $δ$-growth
本文针对两类在中心多项式理论中具重要地位的有限维代数，确定其中心多项式T-空间的有限生成集，计算相关余维数，证明D₀的群分次均同构于初等分次，并确定其ℤ₂-分次对应的恒等式与余维数。
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