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四维空间中的一个尖锐Adams不等式及其极值函数

A sharp Adams inequality in dimension four and its extremal functions

Van Hoang Nguyen

备注：
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摘要：

设$Ω$是$\mathbb R^4$中的光滑定向有界域，$H_0^2(Ω)$是Sobolev空间，$λ_1(Ω)= \inf \{\|Δu\|_2^2 : u\in H_0^2(Ω), \|u\|_2 =1\}$是$Ω$上双拉普拉斯算子$Δ^2$的第一特征值.对于$α\in [0,λ_1(Ω))$，我们定义了$\|u\|_{2,α}^2 = \|Δu\|_2^2 - α\|u\|_2^2$，对于$u \in H_0^2(Ω)$。本文证明了如下不等式\[ \sup_{u\in H_0^2(Ω),\, \|u\|_{2,α} \leq 1} \int_Ω e^{32 π^2 u(x)^2} dx < \infty. \]这加强了Lu和Yang的一个最近结果\cite{LuYang} .我们还证明了存在一个函数$u^*\in H_0^2(Ω)\cap C^4(\overlineΩ)$使得$\|u^*\|_{2,α} =1$和上确界由$u^*$得到.我们的证明是基于爆破分析方法。

英文摘要：

Let $Ω$ be a smooth oriented bounded domain in $\mathbb R^4$, $H_0^2(Ω)$ be the Sobolev space, and $λ_1(Ω)= \inf \{\|Δu\|_2^2 : u\in H_0^2(Ω), \|u\|_2 =1\}$ be the first eigenvalue of the bi-Laplacian operator $Δ^2$ on $Ω$. For $α\in [0,λ_1(Ω))$, we define $\|u\|_{2,α}^2 = \|Δu\|_2^2 - α\|u\|_2^2$, for $u \in H_0^2(Ω)$. In this paper, we will prove the following inequality \[ \sup_{u\in H_0^2(Ω),\, \|u\|_{2,α} \leq 1} \int_Ω e^{32 π^2 u(x)^2} dx < \infty. \] This strengthens a recent result of Lu and Yang \cite{LuYang}. We also show that there exists a function $u^*\in H_0^2(Ω)\cap C^4(\overlineΩ)$ such that $\|u^*\|_{2,α} =1$ and the supremum above is attained by $u^*$. Our proofs are based on the blow-up analysis method.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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