On the existence of extremals for Moser type inequalities in Gauss space

R2和零质量情形下的等价Moser型不等式

Equivalent Moser type inequalities in R2 and the zero mass case

本文首先研究了全平面上涉及完备和约化Sobolev范数的Moser型不等式的集中和消失现象。特别是，我们证明了临界鲁夫不等式是相当于亚临界Adachi-Tanaka不等式的改进版本，我们证明达到。然后，我们考虑极限空间$\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$，光滑紧支集函数关于Dirichlet范数$\|\nabla\cdot\|_2$的完备化，证明了一个最优的Lorentz-Zygmund型不等式，它具有显式极值，并由此可以导出$H^1(\mathbb{R}^2)$中的经典不等式，如Adachi-Tanaka不等式和Ruf不等式的一个版本。

$\mathbb R^n$中均值为零的函数及其极值函数的改进的Moser-Trudinger不等式

Improved Moser--Trudinger inequality for functions with mean value zero in $\mathbb R^n$ and its extremal functions

设$Ω$是$\mathbb R^n$中的有界光滑区域，$W^{1,n}(Ω)$是$Ω$上的Sobolev空间，$λ(Ω) = \inf\{\|\nabla u\|_n^n: \int_Ωu dx =0, \|u\|_n =1\}$是$Ω$上的$n-$ Laplace算子$-Δ_n$的第一非零Neumann特征值.对于$0 \leq α< λ(Ω)$，让我们定义$\|u\|_{1,α}^n =\|\nabla u\|_n^n -α\|u\|_n^n$。本文证明了$Ω$，\[ \sup_{u\in W^{1,n}(Ω), \int_Ωu dx =0, \|u\|_{1,α} =1} \int_Ω e^{β_n |u|^{\frac n{n-1}}} dx < \infty, \]上均值为零的函数的改进的Moser-Trudinger不等式，其中$β_n = n (ω_{n-1}/2)^{1/(n-1)}$，$ω_{n-1}$表示$\mathbb R^n$中单位球面的面积.我们还证明了这个上确界是由某个函数$u^*\in W^{1,n}(Ω)$得到的，使得$\int_Ωu^* dx =0$和$\|u^*\|_{1,α} =1$。这推广了Ngo和Nguyen \cite{NN17}在二维上的结果和Yang \cite{Yang07}关于$α=0$的结果，改进了Cianchi \cite{C…

Extremal functions for the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$

We study the existence and nonexistence of maximizers for variational problem concerning to the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$ \[ MT(N,β, α) =\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb R^N), \|\nabla u\|_N^N + \|u\|_N^N\leq 1} \int_{\mathbb R^N} Φ_N(β(1+α\|u\|_N^N)^{\frac1{N-1}} |u|^{\frac N{N-1}}) dx, \] where $Φ_N(t) =e^{t} -\sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$, $0\leq α< 1$ both in the subcritical case $β< β_N$ and critical case $β=β_N$ with $β_N = N ω_{N-1}^{\frac1{N-1}}$ and $ω_{N-1}$ denotes the surface area of the unit sphere in $\mathbb R^N$. We will show th…

临界奇异各向异性Moser-Trudinger不等式的极值和阈值

Extremals and Thresholds for Critical Singular Anisotropic Moser-Trudinger Inequalities

研究临界奇异各向异性Moser-Trudinger不等式在约束下的极值存在性，确定了达到上确界的阈值条件，并通过径向爆破分析和Taylor展开给出浓度界与阈值独立性证明。

椭圆Moser迭代下的高斯热核界

Gaussian heat kernel bounds through elliptic Moser iteration

在赋有“carré du champ”的加倍度量测度空间上，考虑热半群梯度的$L^p$估计$(G_p)$和尺度不变的$L^p$ Poincaré不等式$(P_p)$ .我们证明了对于$p\ge 2$，$(G_p)$和$(P_p)$的组合总是隐含双侧高斯热核界。情形$p=2$是Saloff-Coste的一个著名定理，我们给出了它的一个较短的证明，无需抛物Moser迭代.对\cite{HS}中的主要结果也给出了更直接的证明。这特别依赖于一个新的概念$L^p$赫尔德正则性的半群和表征$(P_2)$方面的调和函数。

受消失现象及其极值函数调节的 Adimurthi-Druet 型 Adams-Trudinger-Moser 不等式

Adams-Trudinger-Moser inequalities of Adimurthi-Druet type regulated by the vanishing phenomenon and its extremals

本文在全空间 $\mathbb{R}^n$ 上证明了受消失现象影响的新型 Adams-Adimurthi-Druet 型不等式，确立了最佳常数，并利用爆破分析与截断论证研究了极值函数的存在性与可达性。

Euclidean Forward-Reverse Brascamp-Lieb Inequalities: Finiteness, Structure and Extremals

A new proof is given for the fact that centered gaussian functions saturate the Euclidean forward-reverse Brascamp-Lieb inequalities, extending the Brascamp-Lieb and Barthe theorems. A duality principle for best constants is also developed, which generalizes the fact that the best constants in the Brascamp-Lieb and Barthe inequalities are equal. Finally, as the title hints, the main results concerning finiteness, structure and gaussian-extremizability for the Brascamp-Lieb inequality due to Bennett, Carbery, Christ and Tao are generalized to the setting of the forward-reverse Brascamp-Lieb ine…

均值偏差不等式中的极值Lipschitz函数

Extremal Lipschitz functions in the deviation inequalities from the mean

我们得到一个最佳的偏差从平均上界\begin{equation} D(x)\=\sup_{f\in \F}μ\{f-\E_μ f\geq x\},\qquad\ \text{for}\ x\in\R\label{abstr} \end{equation}其中$\F$是类的可积，Lipschitz函数的概率距离（产品）空间。作为推论，我们得到了具有测地距离和归一化Haar测度的欧氏单位球$S^{n-1}$，具有高斯测度的$\R^n$，以及具有均匀测度和Hamming距离的多维立方体、矩形、环面或Diamond图的$\eqref{abstr}$的精确解.我们还证明了在一般概率距离空间中，$\eqref{abstr}$中的$\sup$是在一族距离函数上实现的。