Stability for the Anti-Ramsey Number of Matchings
School of Mathematics and Statistics Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了匹配的反拉姆齐数稳定性，证明若图H不含大小为s+2的彩虹匹配，则H包含一个单色的K_{n-s}或单色的K_{n-2s-1}∨K_{2s+1}的补图。
2026-04-13 math.CO
Fractional Triangle Decompositions at Partite Minimum Degree $4n/5$
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
本文证明部分最小度为 $4n/5$ 的平衡三部图存在分数三角分解，并借此将部分拉丁方阵的可完成性阈值改进至 $\varepsilon<1/5$，优于此前 $2/25$ 的界。
2026-09-29 math.CO
On stability of rainbow matchings
Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了彩虹匹配的稳定性问题，证明了在特定条件下，要么存在大小为t+1的彩虹匹配，要么存在覆盖所有F_i的顶点集，扩展了经典Hilton-Milner定理。
2023-02-13 math.CO
On the Structure of $α$-Stable Graphs
图G的稳定数是G的一个稳定系统（即G的最大尺寸的独立集）的基数。一个图是α-稳定的，如果它的稳定数在删除和添加任何边时保持相同。本文试图推广稳定树的一些性质，证明了不存在任何α-稳定弦图，并证明了：若G是连通二部图，则下列断言等价：G是α-稳定的，G可以表示为连通二部图的顶点不交并，每个连通二部图的顶点集恰有两个稳定系统覆盖; G有完美匹配且没有边属于它的所有完美匹配，从G的每个顶点发出至少两条包含在G的某些完美匹配中的边，G的任何顶点位于一个圈上，圈的边交替地在某些完美匹配中或不在某些完美匹配中;没有一个顶点属于G的所有稳定系统，也没有一条边属于G的所有完美匹配。
1999-11-28 math.CO
Towards the Erdős matching conjecture for 4-uniform hypergraphs: stability and applications
Rényi Institute（雷尼研究所）；School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文证明了对于n≥5s且n足够大时，4一致超图的Erdős匹配猜想成立，主要技术贡献是一个独立的稳定性结果，并应用于解决5和6一致超图中匹配的最小d度阈值猜想。
2026-06-11 math.CO
A stability result on matchings in 3-uniform hypergraphs
令$n,s,k$是三个正整数，使得$1\leq s\leq(n-k+1)/k$，令$[n]=\{1,\ldots,n\}$。设$H$是一个点集为$\{1,\ldots,n\}$的$k$ -图，$e(H)$表示$H$的边数.令$ν(H)$和$τ(H)$分别表示$H$中最大匹配的大小和最小顶点覆盖的大小。为$2\leq i\leq k$和$HM^k_{n,s}:=\big\{e\in\binom{[n]}{k}:e\cap[s-1]\neq\emptyset\big\} \cup\big\{S\big\}\cup \big\{e\in\binom{[n]}{k}: s\in e, e\cap S\neq \emptyset\}$定义$A^k_i(n,s):=\{e\in\binom{[n]}{k}:|e\cap[(s+1)i-1]|\geq i\}$，其中$S=\{s+1,\ldots,s+k\}$。Frankl和Kupavskii指出，如果$ν(H)\leq s$和$τ(H)>s$，则$e(H)\leq \max\{|A^k_2(n,s)|,\ldots ,|A^k_k(n,s)|,|HM^k_{n,s}|\}$。在本文中，我们证明了这个猜想$k=3$和足够大的$n$。
2021-05-25 math.CO
On generalized Turán problems with bounded matching number
本文研究了具有受限匹配数的广义Turán问题，确立了相关的稳定性结果，并利用这些结果给出了当禁用图F为任意非二部图或k顶点路径时广义Turán数的精确值。
2024-10-16 math.CO
Internal Closedness and von Neumann-Morgenstern Stability in Matching Theory: Structures and Complexity
设$G$是一个图，并假设我们对每个$v \in V(G)$给出了$v$的邻居的严格排序。如果不存在匹配$M,M' \in {\cal M}$使得$M$的边缘阻塞$M'$，则$G$的匹配${\cal M}$的集合被称为内部稳定的。稳定匹配集和冯·诺伊曼-摩根斯坦稳定匹配集是内部稳定匹配集的例子。在本文中，我们研究，在婚姻和室友的情况下，包括明智的最大内部稳定匹配集。我们称之为内部封闭的集合。通过建立在已知的和新开发的代数结构相关联的匹配集，我们调查的复杂性，决定一组匹配是内部封闭的或冯诺依曼-摩根斯坦稳定，并找到这些属性集。
2023-01-05 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight bounds on the coefficients of partition functions via stability
分拆函数在统计物理学和概率论中作为吉布斯测度的归一化常数出现，在组合学和图论中作为图多项式出现。例如硬核模型和单体-二聚体模型的分拆函数分别为独立多项式和匹配多项式。我们展示了如何自然地从最近开发的占用方法最大化和最小化的物理观测值类的正则图图的稳定性结果，然后显示这些稳定性结果可以用来获得严格的极值上的个别系数的相应的分拆函数。作为应用，我们证明了正则图中给定大小的独立集和匹配数的新的界。对于足够大的图和几乎所有的尺寸，边界是紧的，并确认了Friedland，Krop和Markström的上匹配猜想和Kahn关于独立集的猜想。此外，我们证明了紧界的$q$ -染色的三次图与给定数量的单色边的数量，和紧界的独立集的给定大小的三次图的围长至少$5$。
2018-05-12 math.CO
Monochromatic connected matchings in 2-edge-colored multipartite graphs
图$G$中的匹配$M$是连通的，如果$M$的所有边都在$G$的相同分量中。继Jubuczak之后，已经有许多结果使用簇图中关于大图的规则划分的大连通匹配的存在性来证明这些图中存在长路径和其他结构。证明了$2$ -边着色多部图中单色连通匹配的大小的Ramsey型精确界。此外，我们证明了这样的匹配的稳定性定理。
2021-10-13 math.CO
Degree versions of theorems on intersecting families via stability
一个$n$ -元素集的子集族的匹配数是成对不相交集的最大数目。具有匹配数$1$的族称为相交族。著名的Erd \H os-Ko-Rado定理确定了$k$ -集的最大相交族的大小。它的推广到具有较大匹配数的族，称为埃尔德什匹配猜想，仍然对广泛的参数开放。在本文中，我们解决的程度版本的两个定理。更精确地说，我们给出了Erdens-Ko-Rado定理和Hilton-Milner定理的度和$t$ -度版本，推广了Huang和Zhao，以及Frankl，Han，Huang和Zhao的结果.我们还扩大了范围内的程度版本的Erdenses匹配猜想举行。
2019-05-20 cs.DM math.CO
Generalizations of the Matching Polynomial to the Multivariate Independence Polynomial
推广了无向单图匹配多项式的两个主要定理，即实根性和Heilmann-Lieb根界。将图$G$的匹配多项式看作是图$G$的线图的独立多项式，给出了将这些定理推广到任意图的独立多项式的条件.特别是，我们表明，一个稳定的多元独立多项式的性质表征爪自由。最后，我们给出并推广了与$G$有关的树的匹配多项式整除性的Godsil定理的多元版本。
2019-02-19 math.CO
A Geometric Theory for Hypergraph Matching
在相当一般的条件下，我们发展了超图中完美匹配存在的理论。非正式地说，完美匹配的障碍是几何的，有两种不同的类型：来自凸几何的“空间障碍”和来自算术格结构的“可分性障碍”。为了得到精确的结果，我们引入了最小度序列的单纯复形的设置，这是通常的最小度条件的推广。我们确定基本上是最好的可能的最小度序列找到一个几乎完美的匹配。此外，我们的主要结果建立了稳定性性质：在相同的程度假设下，如果没有完美匹配，那么必须有一个空间或整除障碍。这允许使用稳定性方法来证明精确的结果。除了恢复以前的结果，我们将我们的理论的超图包装的两个公开问题的解决方案：包装四面体在3-图的最小度阈值，和费舍尔的猜想的多部形式的Hajnal-Szemerédi定理。在这里，我们证明了四面体的确切结果和菲舍尔猜想的渐近结果;由于后者的确切结果是技术性的，我们将其推迟到随后的论文。
2013-10-09 math.CO
An Analogue of the Gallai-Edmonds Structure Theorem for Nonzero Roots of the Matching Polynomial
Godsil观察到一个简单的事实，即0作为图的匹配多项式的根的多重性与经典的亏数概念相吻合。从这一事实，他问到什么程度的经典结果在匹配理论的推广，取代“不足”与多重性的$θ$作为根的匹配多项式。我们证明了一个类似的稳定性引理的任何给定的根，它描述了如何删除一个单一的顶点后，图的匹配结构的变化。一个类似的Gallai引理如下。这两个结果意味着一个类似的Gallai-Edmonds结构定理。因此，点传递图的匹配多项式有单根。
2008-06-27 math.CO
A Splitting Lemma
本文研究了定义在单图边集上的凸规划问题最优解的数值结构与图的稳定数（即两两非邻顶点子集的最大值）之间的关系。我们的分析表明，每个图G的稳定数可以分解为一个包含完美2-匹配的子图（即一个顶点不相交的奇圈和覆盖顶点集的边的系统）的稳定数加上一个多项式时间内可计算的项的和。因此，可以根据具有完美2-匹配的子图的匹配数和其他在多项式时间内可计算的量来从稳定数的上下界。我们的结果是密切相关的Lorentzen，Balinsky，斯皮尔伯格和Pulleyblank的线性松弛的顶点覆盖问题。此外，所涉及的凸规划问题在信息论和极值集合论中有重要的应用，其中，作为图容量公式，已被用来回答Renyi（L. Gargano，J. K{<$}rner，and U. Vaccaro，“Sperner capacities”，Graphs and combinatorics，9：31-46，1993）。
2003-12-05 math.CO
Stabilization of Capacitated Matching Games
一个边权顶点容量限制图G称为稳定图，如果最大权容量匹配的值等于最大权分数容量匹配的值。稳定图在描述流行的组合游戏的稳定解的存在性方面起着关键作用，这些游戏涉及图中匹配的结构，例如网络讨价还价游戏和合作匹配游戏。顶点稳定器问题要求计算要阻止的玩家的最小数量（即，G的顶点移除），以确保此类游戏的稳定性。这个问题已经被证明是可解的多项式时间，单位容量图。如果我们施加限制，即要阻止的参与者集合不得与G的给定指定最大匹配相交，则这也是正确的。在这项工作中，我们调查这些算法的问题，在更一般的设置任意容量。我们表明，避免一个给定的最大匹配的额外限制的顶点稳定器问题仍然是多项式时间可解的。因此，没有这个限制，顶点稳定器问题成为NP难，甚至难以近似，与单位容量的情况下。最后，在单位容量图中，图的稳定性、网络讨价还价博弈的稳定解的存在性和合作匹配博弈的稳定解的存在性之间是等价的。我们表明，这种等价性并不延伸到有能力的情况下。
2022-11-22 cs.DM math.CO
