Energy minimisers with prescribed Jacobian
在Jacobian为径向对称函数$f$的约束下，研究了使$np$ -Dirichlet能量最小的映射的对称性和唯一性.我们找到了一个条件，$f$，确保极小是对称和唯一的。在没有这个条件下，我们构建了一个明确的$f$，有无数个不同的能量极小，其中没有一个是对称的。即使我们规定的地图是一个球的边界上的身份，我们表明，极小不需要对称。这对Hélein的一个问题给出了否定的回答。庞加莱肛门。Non Linéaire 11（1994），no. 3，275-296）。
2020-12-18 math.AP
A property of Absolute Minimizers in $L^\infty$ Calculus of Variations and of solutions of the Aronsson-Euler equation
我们发现了一个新的极小性质的绝对极小的上泛函（也称为$L^\infty$变分问题）。
2022-10-13 math.AP
$\mathcal{A}$-quasiconvexity, Gårding inequalities and applications in PDE constrained problems in dynamics and statics
证明了一个与$\mathcal{A}$ -拟凸函数相关的二次型的Gårding型不等式.这种二次型在守恒律理论中以相对熵的形式出现，它与变分法中的维尔斯特拉斯过剩函数有关。前者提供了弱强唯一性结果，而后者已被用来提供充分性定理的局部极小。在$\mathcal{A}$ -拟凸性假设下，利用这个新的Gårding不等式，我们将这些结果推广到动力学和静力学中的PDE约束问题.在静力学中的应用改进了现有的结果，证明了在经典的$\mathcal{A}= {\rm curl}$情况下，$L^p$局部极小的唯一性。
2020-05-27 math.AP
On the numerical approximation of vectorial absolute minimisers in $L^\infty$
University of Reading（雷丁大学）
本文研究了 $L^\infty$ 中向量绝对极小解的数值近似问题，提出了一种新的方法来探索这类解的存在性，特别是在给定边界数据的情况下。
2018-12-28 cs.NA math.AP math.NA
Vectorial variational principles in $L^\infty$ and their characterisation through PDE systems
本文讨论了映射的一般上一阶泛函的两个不同的极小性原理，并通过相应的二阶偏微分方程组的可解性证明了它们。具体而言，我们认为Aronsson的标准概念的绝对极小和概念的$\infty$ -最小的地图最近推出的第二作者。证明了$C^1$绝对极小映射是一个含参数概率测度的发散系统，$C^2$ $\infty$ -极小映射是Aronsson的PDE系统.由于在标量的情况下，这些不同的变分概念相吻合，它遵循的非发散Aronsson方程有一个等价的发散对应。
2019-04-09 math.AP
An $L^\infty$-variational problem involving the Fractional Laplacian
本文研究了在给定Dirichlet数据条件下，分数Laplacian相关 supremal 函数的绝对极小解的存在性和唯一性，并证明了极小解满足一个分数PDE。
2026-05-21 math.AP
On Second-Order $L^\infty$ Variational Problems with Lower-Order Terms
本文研究含低阶项的二阶$L^\infty$变分问题，证明了极小元与一维绝对极小元的存在性，推导了对应三阶完全非线性PDE并证明其Dirichlet问题广义D解的存在性，推广了纯Hessian依赖问题的已有结果且证明更简洁。
2025-01-13 math.AP
Phase transitions for nonlinear nonlocal aggregation-diffusion equations
本文研究了一类具有退化扩散的多孔介质型聚集方程的定态解和相变，其指数为$1 < m < \infty$。我们首先证明了存在可能无穷多个分歧的空间均匀的稳定状态。然后，我们把注意力集中在相关的自由能证明存在的极小，甚至唯一的足够弱的相互作用。在没有唯一性的情况下，我们表明，该系统具有相变：我们分类值的$m$和相互作用势$W$，这些相变是连续或不连续的。最后，我们评论的限制$m \to \infty$和相变的存在对这个限制的影响。
2020-07-10 math.AP
Absolutely Minimising Generalised Solutions to the Equations of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$
考虑应用于$W^{1,\infty}$映射$u:Ω\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^N$、$N\geq 1$的上泛函\[ \tag{1} \label{1} E_\infty(u,A) \,:=\, \|L(\cdot,u,D u)\|_{L^\infty(A)},\quad A\subseteq Ω, \]。在$L$的某些假设下，我们证明了对于任何给定的边界数据，存在一个映射，该映射是：i）Aronsson意义下的\eqref{1}的向量绝对极小值，ii）与\eqref{1}相关的常微分方程组的广义解，作为欧拉-拉格朗日方程的模拟，iii）对于强$W^{1,q}$拓扑中的任何$q\geq 1$，相应$L^p$泛函的极小元的极限为$p\rightarrow\infty$; iv）$Ω$上的部分$C^2$离开异常紧凑的无处密集集。我们的方法基于$L^p$近似和稳定的先验部分正则性估计。对于第ii）项，我们利用作者最近提出的$\mathcal{D}$ -解的概念，以便将极限作为广义解来描述。我们的结果是从气象资料同化的动机和应用。
2016-11-03 math.AP math.CA math.OC
Uniqueness of absolute minimizers for $L^\fz$-functionals involving Hamiltonians $H(x,p)$
对于有界域$U\subset\rn$，考虑涉及非负Hamilton函数$H:\overline U\times\rn\to [0,\fz)$的$L^\fz$ -泛函.本文在Dirichlet边值$g\in C(\partial U)$下，证明了$H$的绝对极小解$u\in W^{1,\fz}_\loc(U)\cap C(\overline U)$的唯一性，条件是\noindent（A1）$H$在$\overline U\times\rn$中是下连续的，且$H(x,\cdot)$对任何$x\in\overline U$都是凸的. \noindent（A2）$\displaystyle H(x,0)=\min_{p\in \rn}H(x,p)=0$，并且$\displaystyle\bigcup_{x\in \overline U}\big\{p: H(x,p)=0\big\}$包含在$\rn$的超平面中。\noindent（A3）对于任何$\lz>0$，存在$\displaystyle 0<r_\lz\le R_\lz<\fz$，且$\displaystyle\lim_{\lz\to\fz}r_\lz=\fz$，使得$$B(0,r_\lz)\subset \Big\{p\in\rn\ |\ H(x,p)< \lz\Big\}\subset B(0,R_\lz)\ \forall\ \…
2015-09-15 math.AP
Counterexamples in Calculus of Variations in $L^\infty$ through the vectorial Eikonal equation
证明了对任意正则有界域$Ω\subseteq \mathbb R^n$，$n=2,3$，存在无穷多个与$\partial Ω$上的恒等式相等的整体超同态解Eikonal方程.我们还提供了明确的例子，这样的映射的环形域。这意味着在$L^\infty$中的变分向量演算中产生的$\infty$ -Laplace系统不足以将$p$ -Harmonic映射的极限定义为$p\to \infty$，或者定义为Aronsson意义下的绝对极小。
2018-04-12 math.AP
Convexity criteria and uniqueness of absolutely minimizing functions
我们表明，绝对最小化函数相对于凸哈密顿$H:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$是唯一确定的最小假设下的边界值$H.$沿的方式，我们扩展了已知的等价比较锥，凸性准则，绝对最小化的性质，这种普遍性。这些结果完善了$L^\infty.$中变分法原型问题的唯一性/存在性理论的长期发展
2010-03-16 math.AP math.OC
On the uniqueness of extremal mappings of finite distortion
对于任意凸函数$Ψ:[1,\infty) \to [1,\infty)$，我们考虑以下两个相关极值问题的唯一性：问题A边值问题：建立存在性，并描述映射$f$，实现\[ \inf_f \Big\{ \int_{\Bbb D} Ψ({\Bbb K}(z,f))\; dz : f:\bar{\Bbb D} \to \bar{\Bbb D} \; \mbox{a homeomorphism in $W^{1,1}_{0}({\Bbb D})+f_0$} \Big\}. \]这里的数据$f_0:\bar{\Bbb D} \to \bar{\Bbb D}$是同胚的有限失真与$\int_{\Bbb D} Ψ({\Bbb K}(z,f_0))\; dz<\infty$ -障碍。其次，给出了两个同胚黎曼曲面$R$和$S$以及数据$f_0:R \to S$的一个同胚. \noindent{\bf Problem B} { \em（extremal in homotopy class）：}建立映射$f$的存在性，并描述映射$f$，实现\[ \inf_f \Big\{ \int_R Ψ({\Bbb K}(z,f))\; \;dσ(z) : \mbox{$f$ a homeomorphism homotopic to $f_0$} \Big\}. \]存在性和正则性有两个基本障碍。这些是第一，存在的Ahlf…
2022-07-13 math.AP math.CV
Uniqueness of entire solutions to quasilinear equations of p-Laplace type
本文证明了方程\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -{\rm div}\, \mathcal{A}(x,\nabla u) = σ, \quad u\geq 0 \quad \text{in } \mathbb{R}^n, \\ \displaystyle{\liminf_{|x|\rightarrow \infty}}\, u = 0, \end{array} \right. \end{equation*}的一类整体解的唯一性，其中$σ$是$\mathbb{R}^n$中的非负局部有限测度，关于$p$ -容度绝对连续，${\rm div}\, \mathcal{A}(x,\nabla u)$是$\mathcal{A}$ -Laplace算子，在$p$阶的标准增长和单调性假设下（$1<p<\infty$）对$\mathcal{A}(x, ξ)$（$x, ξ\in \mathbb{R}^n$）;模型情况$\mathcal{A}(x, ξ)=ξ| ξ|^{p-2}$对应于$\mathbb{R}^n$上的$p$ -拉普拉斯算子$Δ_p$。我们的主要结果建立一个类似的问题的解决方案的唯一性，\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -{\rm div}\, \mathcal{A}(x,\nabl…
2022-12-01 math.AP
Heisenberg uniqueness pairs for some algebraic curves and surfaces
设$X(Γ)$是$\mathbb R^2$中的所有有限Borel测度$μ$的空间，它支撑在曲线$Γ$上，并且关于$Γ$的弧长是绝对连续的.对于$Λ\subset\mathbb R^2,$，如果任何$μ\in X(Γ)$满足$\hatμ\vert_Λ=0,$蕴涵$μ=0.$，则称对$\left(Γ, Λ\right)$为$X(Γ)$的海森堡唯一性对。然后，我们证明了对应于多条平行线的海森堡唯一性对的一个特征。我们观察到，用于$X(Γ)$的确定集$Λ$的大小取决于线的数量及其不规则分布，其进一步涉及某些三角多项式的交错现象。
2017-03-25 math.AP
Nonlinear equations for fractional Laplacians II: existence, uniqueness, and qualitative properties of solutions
本文是第一部分的继续，讨论了$\mathbb{R}^{n}$中的方程$(-Δ)^{s} v+G'(v)=0$，其中有$s \in (0,1)$，其中$(-Δ)^{s}$代表分数拉普拉斯算子--Lévy过程的无穷小生成元。当$n=1$时，我们证明了方程存在层解（即，当且仅当潜在的$G$在$\pm \infty$中只有两个绝对极小值，位于$\pm 1$并满足$G'(-1)=G'(1)=0$。在附加的假设$G"(-1)>0$和$G"(1)>0$下，我们还建立了它的唯一性和无穷远渐近行为。此外，我们提供了一个具体的，几乎明确的，层的解决方案的例子。对于$n\geq 1$，我们本着De Giorgi对标准拉普拉斯算子的著名猜想的精神，证明了与某些解的一维对称性相关的一些结果。
2011-11-03 math.AP
On the validity of the Euler-Lagrange system without growth assumptions
定义在Sobolev映射$v\in \mathrm W^{k,1}_g(Ω, \mathbb R^N )\cap K$上的形式为$\mathscr F(v)=\int_ΩF(\nabla^k v(x))\mathrm d x $的凸积分泛函的约束极小元被刻画为$\mathscr F$的Euler-Lagrange不等式的能量解，其中$K$是Dirichlet类$\mathrm W^{k,1}_{g}(Ω, \mathbb R^N ),$的闭凸子集.我们假设本质光滑被积函数$F\colon \mathbb R^{N} \otimes \odot^{k}\mathbb R^{n} \to \mathbb R\cup\{+\infty\}$是凸的、下半连续的、真的并且在无穷远处至少是超线性的。在无约束的情况下$K=\mathrm W^{k,1}_{g}(Ω, \mathbb R^N )$，如果被积函数$F$是凸的，实值的，并且满足一个凸性条件，那么$$ \int_Ω \! F^{\prime}(\nabla^{k} u) \cdot \nabla^{k}ϕ\, \mathrm d x =0 $$对所有$ϕ\in \mathrm W_{0}^{k}( Ω, \mathbb R^{N})$成立，其中$\nabla^{k} u$是向量测度$D^{k}u$的绝对连续部分。
2022-03-01 math.AP
The Aronsson equation for absolute minimizers of $L^\infty$-functionals associated with vector fields satisfying Hörmander's condition
给定一个由满足Hörmander条件的向量场$\{X_i\}_{i=1}^m$生成的Carnot-Carathéodory度量空间$(R^n, d_{\hbox{cc}})$，我们在定理A中证明了在$f$上的适当条件下，任何绝对极小元$u\in W^{1,\infty}_{\hbox{cc}}(\Om)$到$F(v,\Om)=\sup_{x\in\Om}f(x,Xv(x))$是Aronsson方程（1.6）的粘性解.特别地，任何AMLE都是次椭圆$\infty$ -拉普拉斯方程（1.7）的粘性解。若Carnot-Carathédory空间是一个Carnot群${\bf G}$，且$f$与$x$ -变量无关，则在定理C中我们证明了在适当的条件下，Aronsson方程（1.13）在$f$上粘性解的唯一性.因此，在${\bf G}$中建立了次椭圆$\infty$ -Laplacian方程的AMLE解和粘性解的唯一性
2003-07-14 math.AP
A variational approach to nonlocal image restoration flows
本文利用加权耗散方法建立非局部全变分流变分解的存在性、唯一性与初始正则性，适用于图像去噪与去模糊，并给出抛物型分数阶1-Laplace方程的新构造途径。
2024-10-23 math.AP
Existence and uniqueness of Monge minimizers for a Multi-marginal Optimal Transport problem with intermolecular interactions cost
本文研究源自密度泛函理论强相互作用极限解离模型的多边际最优传输问题，在至少两个边际绝对连续条件下证明了Monge解的存在唯一性，并说明该正则性条件是必要的。
2024-01-15 math.AP math.OC
Existence and behavior of asymmetric traveling wave solutions to thin film equation
我们证明了在液-固界面上具有Navier滑移条件的薄膜方程行波解的存在性和唯一性。我们得到明确的上下上界的解决方案和绝对误差估计的近似的解决方案的薄膜方程的行波解。
2008-05-08 math.AP
Second Order $L^\infty$ Variational Problems and the $\infty$-Polylaplacian
University of Reading（雷丁大学）
本文研究二阶 $L^\infty$ 变分问题，旨在最小化Hessian函数的 $L^\infty$ 范数，并推导并研究对应的非线性三阶PDE，探讨了极小解、绝对极小解及广义临界点解的存在性及唯一性。
2018-01-05 cs.NA math.AP math.NA
Uniqueness for the inverse Schrödinger problem in the plane with $L^p$ potentials, $p>1$
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；National Taiwan University（国立台湾大学）
该文证明平面中带 $L^p$ 势（$p>1$）的逆薛定谔问题由弱 Dirichlet-to-Neumann 映射唯一确定，将已知范围从 $p>4/3$ 推广至所有 $p>1$，方法基于 Bukhgeim 二次相位解与 Alessandrini 恒等式平均。
2026-11-03 math.AP
Fractional Nonlinear Degenerate Diffusion Equations on Bounded Domains Part I. Existence, Uniqueness and Upper Bounds
研究了一类非线性分数阶扩散方程$\partial_t u + \mathcal{L}F(u)=0$在有界区域$x\inΩ\subset \mathbb{R}^N$中，在适当的齐次Dirichlet边界条件下非负解$u(t,x)\ge 0$的定量性质.作为$\mathcal{L}$，我们可以使用一个相当一般的线性算子类，包括两个最常见的版本的分数拉普拉斯$(-Δ)^s$，$0<s<1$，在一个有界域的零Dirichlet边界条件，但它也包括许多其他的例子，因为我们的理论只需要一些基本的性质，是典型的“线性热半群。“假定非线性$F$增加并允许退化，原型是功率情况$F(u)=|u|^{m-1}u$，带有$m>1$。在本文中，我们提出了一个合适的一类解的方程，并涵盖的基本理论：我们证明了这种解决方案的存在性，唯一性，我们建立了两种形式的上界（绝对界和光滑效应），以及加权PDMATHAMV估计。这类解决方案非常适合这项工作。包括标准Laplacian情况$s=1$，并且线性情况$m=1$可以在极限内恢复。在一篇配套文章[12]中，我们将用更高级的估计来完成这项研究，如上、下界行为和Harnack不等式，这些都需要本文的结果。
2015-09-30 math.AP
Optimal transport of signed measures: existence, uniqueness and fractal structure part I: the separated-support case research announcement, with a numerical validation report
University of Ngaoundéré（恩加昂代雷大学）
本文研究有符号实测度的最优运输理论，通过位置惩罚参数λ区分同号与异号运输，证明存在性和唯一性，并展示最优运输保持分形集的Hausdorff维度和Ahlfors正则性。
2026-07-21 math.AP
Quasivariational solutions for first order quasilinear equations with gradient constraint
证明了一类具有一阶拟线性算子和可变凸集的发展拟变分不等式解的存在性，其特征在于梯度的绝对值依赖于解本身.对这种约束的非线性唯一需要的假设是它的连续性和正性。该方法依赖于适当的抛物正则化和适当的{ \em先验}估计。我们还获得了存在的平稳的解决方案，通过研究渐近行为的时间。在变分的情况下，对应于一个约束独立的解决方案，我们也给唯一性结果。
2012-01-30 math.AP
Existence and almost everywhere regularity of generalized minimizers for a class of variational problems with linear growth related to image inpainting
我们继续分析在空间$BV(Ω)^M$上制定的全变分图像修复方法的一些修改，在这个意义上，我们将[32]的主要结果推广到涉及更一般的数据拟合项的情况。在[32]中，我们处理向量值图像，我们不对我们的密度$F$施加任何结构条件，并且域$Ω$的维数是任意的。精确地说，我们讨论了相应的变分问题的广义解的存在性，我们也将通过相关的对偶变分问题，我们证明了唯一的可解性。除其他事项外，我们的结果是唯一的绝对连续部分$\nabla^a u$的梯度的$BV$ -解决方案$u$的整个域$Ω$，在外部的损坏区域$D$，我们甚至得到唯一的$BV$ -解决方案。强加更强的假设，我们的密度$F$和$L^{\infty}$ -条件，我们的部分观察$f$，我们将证明一个最大值原则，为每个广义极小和推导部分$C^{1,β}$ -正则性的解决方案，在整个域$Ω$所有$0<β\leq\frac{1}{2}$。
2018-03-27 math.AP
$L^\infty$-variational problems associated to measurable Finsler structures
本文研究欧氏空间中与可测Finsler结构相关的$L^\infty$变分问题，并证明了绝对极小值的存在性与唯一性。
2015-08-13 math.AP math.CA
Semilinear fractional elliptic equations involving measures
研究了（E）$ (-Δ)^αu+g(u)=ν$在$\R^N (N\ge2)$中有界正则区域$Ω$上弱解的存在性，其中$(-Δ)^α$表示具有$α\in(0,1)$的分数Laplacian，$ν$是Radon测度，$g$是满足某些额外假设的非减函数.当$g$满足一个次临界可积条件时，我们证明了问题（E）在任意测度下弱解的存在唯一性.当$ν$是Dirac测度时，我们刻画了解的渐近性态.当$g(r)=|r|^{k-1}r$与$k$超临界时，我们证明了测度关于某个Bessel容度绝对连续的条件是阶（E）可解的充要条件.
2013-05-15 math.AP
