On the covering type of a space
Max Karoubi, Charles Weibel
我们引入了空间的“覆盖型”概念，它比Lusternik Schnirelman范畴的概念更微妙。它测量了一个空间的复杂性，这个空间是由可收缩的子空间的覆盖引起的，这些子空间的非空交集也是可收缩的。
We introduce the notion of the "covering type" of a space, which is more subtle that the notion of Lusternik Schnirelman category. It measures the complexity of a space which arises from coverings by contractible subspaces whose non-empty intersections are also contractible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Equivariant covering type and the number of vertices in equivariant triangulations
本文引入有限群G作用下空间X的等变覆盖类型概念，证明其为G同伦不变量并揭示与其他G不变量的关系，计算正则G图等实例的G覆盖类型，还推导了极小G三角剖分的大小估计。
Estimates of covering type and the number of vertices of minimal triangulations
空间$X$的覆盖类型被定义为同伦等价于$X$的空间的好覆盖的最小基数。利用$X$的其他不变量，即同调群的秩、上同调环的乘法结构和$X$的Lusternik-Schnirelmann范畴，得到了$X$的覆盖类型的估计.通过覆盖类型的复形和组合流形的最小三角剖分的顶点数，我们得到，在一个统一的框架内，几个估计，这是新的或扩展的结果，以前已经得到的特设组合参数。此外，我们的方法给出的结果是有效的整个同伦类的空间。
The fundamental group and covering spaces
这些课堂讲稿来自代数拓扑学的第一门课程，使用基本群和轨道范畴来对覆盖空间进行分类。
Small loop spaces and covering theory of non-homotopically Hausdorff spaces
在这篇文章中，我们致力于空间不是同伦豪斯多夫和研究他们的覆盖空间。引入小覆盖的概念，证明了$X$的每一个小覆盖都是范畴意义下的泛覆盖.引入半局部小闭路空间的概念，它是非同伦T2空间存在泛覆盖的充要条件，等价地说是小覆盖空间存在的充要条件.此外，我们还证明了对于半局部小闭路空间，$X$是小回路空间当且仅当$X$的每个覆盖都是平凡的当且仅当$π_1^{top}(X)$是不离散的拓扑群。
The configuration category of a covering space
本文研究并揭示了流形的构型范畴与其对应覆盖空间的构型范畴之间的内在关系。
On Topologized Fundamental Group and covering spaces of topological groups
本文证明了每个拓扑群在单位元处都是强小圈转移空间。这意味着连通局部路连通拓扑群的拟拓扑基本群是拓扑群。证明了连通局部路连通拓扑群的每个覆盖空间都是拓扑群，并且它的覆叠映射是同态的。
Regular coverings and fundamental groupoids of Alexandroff spaces
总结了关于Alexandroff空间的正则覆盖和基本群胚的几个结果。特别是，我们表明，基本群的Alexandroff空间$X$是自然同构的本地化，在它的一组态射，薄范畴相关联的集合$X$被认为是一个预序集的专门化预序。我们还证明了Alexandroff空间$X$的正则覆盖可用某些具有定义域$X$的态射反演函子表示，推广了E. Minian和J.Barmak关于局部有限T $_0$空间的正则覆盖的文章。
The covering type of closed surfaces and minimal triangulations
覆盖类型的概念是最近由Karoubi和Weibel引入的，用于通过良好覆盖来度量拓扑空间的复杂性。当X具有有限CW-复形的同伦类型时，它的覆盖类型与等价于X的单纯复形同伦的最小可能顶点数一致。本文计算了所有闭曲面的覆盖类型。我们的结果完全解决了Karoubi和Weibel提出的一个问题，并从同伦的角度揭示了曲面拓扑与极小三角剖分顶点数之间的关系.
Classifying covering types in homotopy type theory
本文在同伦型理论中形式化了覆盖空间与基本群子群的对应关系，发展了n维覆盖空间的泛化，并通过分类棱镜空间的覆盖来展示方法的应用，解释了如何构造庞加莱紧致球面。
Estimates of covering type and minimal triangulations based on category weight
在最近的一份报告中（D。Govc，W. Marzantowicz，P. Pavesic，极小三角剖分的覆盖类型和顶点数的估计，Discr。Comp. Geom. 63（2019），31-48），我们引入了一种新的方法，基于Lusternik-Schnirelmann范畴和空间X的上同调环，它产生X的三角剖分大小的下界。在本文中，我们提出了一个重要的扩展，考虑到基本群的X。事实上，如果它包含有穷级的元素，那么人们经常可以找到高“类别权重”的上同调类，这反过来又允许对X的三角剖分的大小进行更强的估计。我们开发了几个加权估计，然后应用我们的方法来计算显式的下界的大小三角形的轨道空间的循环群行动的各种空间，包括产品的领域，Stiefel流形，李群和高连通流形。
Universal covering spaces, a footnote
我们给出了一个简短的证明，证明了对于好的$X$，具有由紧开拓扑诱导的拓扑的$X$的基基本广群确实是$X$的万有覆叠空间.
On the coverings of closed orientable Euclidean manifolds $\mathcal{G}_{2}$ and $\mathcal{G}_{4}$
只有10个欧几里得形式，即平坦闭的三维流形：六个是可定向的，四个是不可定向的。本文的目的是描述可定向欧氏流形$\mathcal{G}_{2}$和$\mathcal{G}_{4}$上的所有类型的$n$ -重覆盖，并计算每种类型的非等价覆盖的个数.我们对基本群$π_1(\mathcal{G}_{2})$和$π_1(\mathcal{G}_{4})$中的子群进行了同构分类，并计算了每类子群的共轭类的个数，给出了指数$n$ .流形$\mathcal{G}_{2}$和$\mathcal{G}_{4}$在其他可定向形式中由它们的同调群$H_1(\mathcal{G}_{2})=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$和$H_1(\mathcal{G}_{4})=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$唯一确定。
Universal Coverings for Limit and Pseudotopological Spaces
本文研究极限空间与伪拓扑空间中的覆盖空间理论，提出构造万有覆盖空间所需的若干必要条件。
Spanier spaces and covering theory of non-homotopically path Hausdorff spaces
H. Fischer等人（Topology and its Application，158（2011）397-408.）引入了基空间$(X,x)$的Spanier群，记为$\psp$。Spanier空间指的是$X$空间，使得对于每个$x\in X$，都有$\psp=π_1(X,x)$。本文首先给出Spanier空间的一个例子。然后研究了Spanier群对覆盖理论的影响，并引入了范畴意义下的泛覆盖Spanier覆盖。其次，我们给出了非同伦路径T2空间的Spanier覆盖存在的一个充要条件。最后，我们研究了Spanier群的拓扑性质，并给出了拓扑基本群的Hausdorff性的一个判别准则。
Semicoverings: a generalization of covering space theory
当hom-set被赋予与拓扑群的普遍构造密切相关的拓扑时，空间的基本广群就丰富到拓扑空间范畴之上。本文致力于推广经典的覆盖理论的背景下，这一建设。
Topological pullback, covering spaces, and a triad of Quillen
我们从拓扑学的角度研究拉回，重点是覆盖映射的拉回。我们推广了Quillen关于拉回函子性质的一个三元组。
Generalized covering space theories
在本文中，我们统一了各种方法，广义覆盖空间理论，通过引入一个范畴框架，覆盖定义纯粹的唯一提升性质。对于每个以单位圆盘为对象的路连通空间范畴$\mathcal{C}$，我们构造了一个给定空间$X$上的$\mathcal{C}$ -覆盖范畴，它通过纤维上通常的单值作用嵌入到$π_1(X,x_0)$ -集范畴中.当$\mathcal{C}$被扩展到它的共反射壳$\mathscr{H}(\mathcal{C})$时，所得到的基于$\mathscr{H}(\mathcal{C})$ -覆盖的范畴是完备的，有一个初始对象，并且通常比传统的覆盖空间更多地刻画了$π_1(X,x_0)$的子群格。（1）$Δ$ -覆盖范畴利用了$Δ$ -生成空间范畴的便利性，并且在包含所有其他广义覆盖范畴作为子范畴的意义下是泛的。(2)在局部路径连通范畴中，我们保留了Fischer和Zastrow的广义覆盖的概念，并利用标准须拓扑刻画了这种覆盖的拓扑。(3)利用所有可缩空间范畴的共反射壳$\mathbf{Fan}$，刻画了路的连续提升的概念，并将$\mathbf{Fan}$ -覆盖的拓扑确定为从路空间继承的自然商拓扑.
Good Coverings of Proximal Alexandrov Spaces. Path Cycles in the Extension of the Mitsuishi-Yamaguchi good covering and Jordan Curve Theorems
本文引入了邻近路环，从而得到了本文的主要结果，即用不同形式的Tanaka好覆盖推广了Mitsuishi-Yamaguchi好覆盖定理，并推广了Jordan曲线定理.在这项工作中，{ \bf路径循环}是一个序列的地图$h_1,\dots,h_i,\dots,h_{n-1}\mbox{mod}\ n$，其中$h_i:[0,1]\to X$和$h_i(1) = h_{i+1}(0)$提供的结构的路径连接的循环，没有结束path. An应用这些结果也给出了持久性的最近的视频帧形状出现在路径循环。
The enumeration of coverings of closed orientable Euclidean manifolds $G_3$ and $G_5$
只有10个欧几里得形式，即平坦封闭的三维流形：六个是可定向的，四个是不可定向的。本文的目的是描述可定向欧氏流形$\mathcal{G}_{3}$和$\mathcal{G}_{5}$上的所有类型的$n$ -重覆盖，并计算每种类型的非等价覆盖的个数.我们对基本群$π_1(\mathcal{G}_{3})$和$π_1(\mathcal{G}_{5})$中的子群进行了同构分类，并计算了每类子群的共轭类的个数，给出了指数$n$ .流形$\mathcal{G}_{3}$和$\mathcal{G}_{5}$在其他可定向形式中由它们的同调群$H_1(\mathcal{G}_{3})=\ZZ_3\times \ZZ$和$H_1(\mathcal{G}_{5})= \ZZ$唯一确定。
Coverings and fundamental groups: a new approach
传统的先定义基本群再构造泛覆盖的方法只适用于Poincar\' e空间类。对于一般空间，有几次尝试去定义广义覆盖（参见\cite{BP3}、\cite{BDLM}和\cite{FisZas}），但是到目前为止还没有一个一般的理论去覆盖所有的路径连通空间。在本文中，我们计划通过改变事物的顺序来补救：我们首先定义泛覆盖，它的甲板变换群是底空间的新基本群。其基本思想是，一个非平凡的循环应该由覆盖（而不是通过单位圆盘上的扩张）来检测：一个循环是非平凡的，如果有一个覆盖使得循环的一些提升是非循环。因此，它仍然是定义覆盖：最自然的类是一类具有唯一的磁盘提升性质的地图。为了使理论工作，需要添加这样的假设，即开集的原像的路径分量形成全空间的基础。
On the Spanier Groups and Covering and Semicovering Spaces
对于连通的局部路连通空间$X$，令$H$是$X$的基本群$π_1(X,x)$的子群。我们证明了存在$X$的开覆盖$\cal U$使得$H$包含Spanier群$π({\U},x)$当且仅当$π_1(X,x)$中的$H$的核在拟拓扑基本群$π_1^{qtop}(X,x)$中开或等价地在拓扑基本群$π_1^τ(X,x)$中开.因此，利用Spanier群与覆盖空间的关系，基于$π_1^{qtop}(X,x)$中开核子群的共轭类，给出了$X$的连通覆盖空间的分类.最后，我们给出了半覆盖存在的一个充要条件。此外，我们还给出了$X$的每个半覆盖都是覆盖的条件.
On the coverings of Hantzsche-Wendt manifold
只有10个欧几里得形式，即平坦的闭三维流形：6个是可定向的$\mathcal{G}_1,\dots,\mathcal{G}_6$，4个是不可定向的$\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_4$。本文研究流形$\mathcal{G}_6$，也称为Hantzsche-Wendt流形，它是唯一的具有有限第一同调群$H_1(\mathcal{G}_6) = \mathbb{Z}^2_4$的欧氏$3$ -形式.本文的目的是描述$\mathcal{G}_{6}$上的所有类型的$n$-重覆盖，并计算每种类型的非等价覆盖的个数。我们分类基本群$π_1(\mathcal{G}_{6})$中的子群直到同构。在给定指标$n$的情况下，计算了每种同构类型的子群个数和子群的共轭类个数，并给出了上述序列的Dirichlet生成级数.
Covering-based numbers related to the LS-category of finite spaces
本文考虑了Lusternik-Schinrelmann与有限空间的几何范畴。我们定义了新的数值不变量，这些空间来自几何范畴，并提出了一个算法的有效计算方法。分析是通过结合同伦功能的空间，算法和工具的理论图和超图。我们还提供了一些例子。
Anomalous coverings
我们给出了连通空间的反常二重覆盖$p:E\to B$的例子：a.其中$B$是简单连接的，b.具有邪恶孪生的路连通空间中的另一个; 2具有基本群的相同象的非等价覆盖$q:E\to B$。
Free groups, covering spaces and Artin's theorem
本文给出了Artin定理的一个证明，证明了两个生成元上的自由群的换位子群不是非生成的。证明采用了无限网格在其他两个证明在文献中提到的说明，但采取了有点不同的做法，这似乎是教学价值。
Covering spaces of character varieties
设F是一个n-生成的离散群.给定一个李群的覆叠映射H到G，G是紧的或复可约的，存在一个诱导的覆叠映射Hom（F，H）到Hom（F，G）.我们证明了当G的基本群是挠自由的，F是自由的，自由的阿贝尔群，或者是亏格为g的闭黎曼曲面M的基本群时，这个映射在相应的表示的模空间之间导出一个覆叠映射.我们给出的条件下，这张地图实际上是普遍的覆盖，导致新的信息，这些模空间的基本群。设π是M的基本群。作为应用，我们证明了当g>0时，稳定模空间Hom（pi，SU）/SU同伦等价于无限复射影空间.在Ho和Liu的附录中，证明了对于所有复连通约化李群G，Hom（pi，G）的连通分支数与[G，G]的基本群之间存在一个双射.
Covering maps for locally path-connected spaces
我们定义了Peano覆盖映射，并证明了类似于经典覆盖的基本性质。它们的定义域总是局部路径连通的，但值域可以是任意的拓扑空间。Peano覆盖映射的特征之一是利用所有局部路径连通空间的同伦提升性质的唯一性。证明了路连通空间上的正则Peano覆盖映射与Fischer和Zastrow引入的广义正则覆盖映射是等价的。若$X$是路连通的，则每个Peano覆盖映射等价于投影$\widetilde X/H\to X$，其中$H$是$X$和$\widetilde X$的基本群的子群，并具有基本拓扑.投影$\widetilde X/H\to X$是Peano覆盖映射当且仅当它具有唯一的路提升性质。我们定义了一个新的拓扑$\widetilde X$上的一个具有唯一的路径提升性质的表征$\widetilde X/H\to X$，如果$H$是一个正常的子群$π_1(X)$。也就是说，必须在$π_1(X)$中关闭$H$。这样的群包括$π(\mathcal{U},x_0)$（$\mathcal{U}$是$X$的开覆盖）和从基本群到Cech基本群的自然同态的核。
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