A polynomial bound on the number of minimal separators and potential maximal cliques in $P_6$-free graphs of bounded clique number
本文证明团数有界的 $P_6$-free 图中极小分离集与潜在极大团数量均满足多项式界。
2025-03-14 cs.DM math.CO
Homothetic Polygons and Beyond: Intersection Graphs, Recognition, and Maximum Clique
本文研究了平面上凸集交图类中的{ \sc团}问题。已知该问题在凸集交图和直线段交图中是NP完全的，但在相似三角形交图中是多项式时间可解的。我们扩展后者的结果表明，对于每一个凸多边形$P$与$k$方向平行的边，每一个$n$ -顶点图，这是一个相交的$P$的副本图包含最多$n^{k}$包含明智的最大集团。我们实际上证明了这一结果的更一般的一类图，所谓的$k_{\text{DIR}}-\text{CONV}$，这是凸多边形的相交图，其边平行于一些固定的$k$方向。此外，我们提供了一些下界的最大团的数量，讨论了识别这些类的图的复杂性，并提出了与其他类的凸集交图的关系。最后，我们将最大团数的上界推广到欧氏空间中高维凸多面体的交图。
2016-11-14 cs.DM
On graphs with a simple structure of maximal cliques
本文刻画团稀疏图类，给出五个参数化禁止诱导子图列表，并证明将树宽替换为树独立数后，Menger定理和网格定理的诱导版本可推广到团稀疏图类。
2025-04-25 cs.DM math.CO
A note on hitting maximum and maximal cliques with a stable set
最近证明了任何满足$ω> \frac 23(Δ+1)$的图都包含一个到达每个最大团的稳定集。本文证明了满足$ω\geq \frac 23(Δ+1)$的图也是如此，除非该图是$K_{ω/2}$与奇洞的强积.我们还提供了一个反例，最近猜想的存在一个稳定的集击中每一个足够大的最大集团。
2012-05-28 cs.DM math.CO
Computing a clique tree with algorithm MLS (Maximal Label Search)
算法MLS（MaximalLabelSearch）是一种图搜索算法，它是MCS、LexBFS、LexDFS和MNS算法的推广。在弦图上，MLS计算图的peo（完美消除排序）。我们展示了如何修改算法MLS来计算一个pmo（完美的modlex排序）以及一个团树和弦图的最小分隔符。我们给出了一个必要和充分条件的标签结构的开始，一个新的集团在集团树被检测的条件标签。MLS还用于计算补图的团树，并且补图中的新团可以通过对任何标记结构的标记的条件来检测。用线性时间算法计算pmo和最大团与最小分离子的生成元。提供了补图的这种PMO。在非弦图上，利用MLSM算法计算任意图的团最小分离子分解的原子树。
2016-10-30 cs.DM cs.DS
Maximal Cliques in Scale-Free Random Graphs
该研究分析了三种随机图模型中极大团的数量，给出不同模型下的上下界，通过实验解决了几何非均匀随机图极大团数量的经验矛盾，揭示其超多项式下界及极端规模下的渐近行为。
2024-09-04 cs.DM math.CO
Folding graphs
设G是一个图。考虑两个不相邻的顶点x和y有一个共同的邻居。关于x和y折叠G是标识x和y的运算。在一个极大的折叠级数之后，图是一个不相交的团并。最大折叠级数后出现的最小团数等于G的色数。本文研究了确定一个极大折叠级数后所能出现的最大团数的问题。我们把这个数记为Sigma（G），称之为最大折叠数。我们表明，这个问题是NP-完全的，即使限制到类，如平凡完美图，cobipartite图和平面图。我们证明了树的最大折叠数是2。
2012-07-09 cs.DM
Output-Sensitive Enumeration of Potential Maximal Cliques in Polynomial Space
针对潜在极大团枚举中现有输出多项式算法需指数空间的瓶颈，本文改进 Bouchitté–Todinca 算法，提出仅用多项式空间且保持输出多项式时间复杂度的枚举方法。
2024-02-28 cs.DM cs.DS
Listing All Maximal Cliques in Sparse Graphs in Near-optimal Time
一个$n$ -顶点图$G$的退化度是使$G$的每个子图都含有至多$d$的顶点的最小数$d$ .我们发现，存在一个接近最佳的固定参数听话的算法枚举所有的最大集团，参数化退化。为了实现这一结果，我们修改了经典的Bron-Kerbosch算法，并表明它运行在时间$O(dn3^{d/3})$。我们还提供了匹配的上限和下限表明，在$n$ -顶点图与退化$d$（当$d$是3和$n\ge d+3$的倍数）的最大可能的最大团的数量是$(n-d)3^{d/3}$。因此，我们的算法匹配的$Θ(d(n-d)3^{d/3})$最坏情况下的输出大小的问题时，$n-d=Ω(n)$。
2010-06-28 cs.DM cs.DS
New algorithms for $k$-degenerate graphs
一个图是$k$ -退化的，如果任意导出子图的顶点度至多为$k$ .在本文中，我们证明了这些图的集团和类似的结构的新算法。我们设计了线性时间固定参数的易处理算法诱导和非诱导bicliques。本文证明了一个列出时间上所有极大二分图的算法$\mathcal{O}(k^{3}(n-k)2^{k})$，改进了[D. Eppstein，荫度和二部子图列表算法，信息处理快报，（1994）。我们构造了一个算法，列出了所有大小为$l$的团在时间上的$\mathcal{O}(l(n-k)k(k-1)^{l-2})$，改进了[N. Chiba和T. Nishizeki，Arboricity and subgraph listing algorithms，SIAM，（1985）。因此，我们可以列出所有的三角形在这样的图中的时间$\mathcal{O}((n-k)k^{2})$，提高了以前的界的$\mathcal{O}(nk^2)$。我们给出了另一个最优算法，列出了时间上所有的最大团$\mathcal{O}(k(n-k)3^{k/3})$，匹配[D]中证明的最佳可能的复杂度。Eppstein，M. Löffler，and D. Strash，Listing all maximum cliques in large sparse real-world graphs，JEA，（2013）。最后，我们证明了$(…
2017-09-20 cs.DM
An Improved Upper Bound on Maximal Clique Listing via Rectangular Fast Matrix Multiplication
最大团列表问题的第一个输出敏感算法是由Tsukiyama等人在1977年给出的。作为落入逆向搜萦范例的任何算法，它执行对具有要列出的对象（即，最大团）作为其节点的有向树（RS树）的DFS访问。在递归实现中，RS树对应于算法的递归树。时间延迟由生成节点的下一个子节点的成本给出，Tsukiyama表明它是$O(mn)$。2004年，Makino和Uno通过计算\emph{square}快速矩阵乘法在一个Single Shot中生成一个节点的所有子节点，将时间延迟锐化为$O(n^ω)$。在本文中，我们进一步提高了渐近探索相同的RS-树的分组后代的计算更进一步。我们的想法是依靠矩形快速矩阵乘法，以计算所有的孩子$n^2$节点在一个镜头。根据快速矩阵乘法的当前上界，由此时间延迟从$O(n^{2.3728639})$改善到$O(n^{2.093362})$。
2015-08-24 cs.DM cs.DS
Maximal Clique and Edge-Ranking Bounds of Biclique Cover Number
图$G$的双团覆盖数$(\text{bc})$表示覆盖图的所有边的完全二部（双团）子图的最小数目。本文证明了对于任意图$G$，有$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil \geq \lceil \log_2(χ(G)) \rceil$，其中$χ(G)$是$G$的色数，$\text{mc}(G^c)$是补图$G^c$的最大团数，即，$G$的最大独立集的个数。我们还表明，$\lceil \log_2(\text{mc}(G^c)) \rceil$可能是一个严格的biclique覆盖数比其他现有的下界更严格的下界。我们还可以提供$\text{bc}(G)$相对于$G$的双团分区数（$\text{bp}$）的界限：如果$G$是共弦的，则为$\text{bc}(G) \geq \lceil \log_2(\text{bp}(G) + 1) \rceil$或$\text{bp}(G) \leq 2^{\text{bc}(G)} - 1$。此外，我们证明了$\text{bc}(G) \leq χ_r'(T_{{K}^c})$，其中$G$是一个共弦图，使得每个顶点是在最多两个最大独立集和$χ_r'({T}_{{K}^c})$是最佳边排名数的$G^c$的团树。
2023-03-09 cs.DM math.CO
Aggregating maximal cliques in real-world graphs
Princeton University（普林斯顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）；University of Utah（犹他大学）；Tel Aviv University, Google Research（特拉维夫大学，谷歌研究院）；Google Research（谷歌研究院）
本文提出ρ-密集聚合器，通过亚指数级大小的集群集合高效捕捉现实世界图的最大团结构，实验表明其在速度和简洁性上优于现有方法。
2025-12-03 cs.DM cs.DS cs.SI
Performance of a greedy algorithm for edge covering by cliques in interval graphs
分析了区间图和圆弧图冲突团检测的贪心算法。在一个图中，一个稳定集要求每一条边最多只能有一个顶点。这相当于要求每个最大团最多选择一个顶点。我们证明了该算法可以求出区间图的所有极大团，也就是说，它可以求出稳定集多面体的凸包。在圆弧图的情况下，该算法不能检测到所有的最大团，但仍然是正确的。这个问题发生在铁路调度的背景下。训练请求在特定时间间隔内分配铁路基础设施资源。当寻找无冲突的训练时刻表时，时刻表中使用的资源分配间隔必须不重叠。每个资源的使用间隔的无冲突选择对应于与分配时间间隔相关联的间隔图中的稳定集合。
2008-12-11 cs.DM cs.DS
Disconnected Cliques in Derangement Graphs
本文建立了正交拉丁方与错排图中不连通极大团之间的对应关系，利用谱聚类方法得到模条件，并以此简洁证明了欧拉36军官问题无解。
2024-07-19 cs.DM math.CO math.RT
Covering minimal separators and potential maximal cliques in $P_t$-free graphs
一个图称为$P_t$ -free}，如果它不包含一个$t$ -顶点路作为导出子图。虽然$P_4$ -free图是严格的余图，但对于$t \geq 5$的$P_t$ -free图的结构仍然知之甚少.一方面，经典的计算问题，如最大权独立集（MWIS）和$3$ -着色是不知道是NP-困难的$P_t$ -自由图的任何固定的$t$。另一方面，尽管付出了巨大的努力，但直到最近才发现$P_6$ -free graphs~[SODA 2019]中MWIS的多项式时间算法和$P_7$ -free graphs~[Combinatorica 2018]中的$3$ -Coloring。在这两种情况下，算法都依赖于对所考虑的图类的深入结构洞察。在$P_5$自由图~[SODA 2014]和$P_6$自由图~[SODA 2019]中的MWIS算法中的主要工具之一是所谓的分离器覆盖引理，该引理断言图中的每个最小分离器都可以被恒定数量顶点的邻域的并集覆盖。本文证明了这样一个命题推广到$P_7$ -free图，而在$P_8$ -free图中是假的.我们还讨论了类似的这样一个声明覆盖潜在的最大集团工会的邻域。
2020-03-27 cs.DM math.CO
Graphs vertex-partitionable into strong cliques
如果一个图的所有极大独立集的大小相同，则称该图是良好覆盖的。在1999年，Yamashita和Kameda引入了一个良好覆盖图的子类，称为局部化图，并定义为具有顶点集划分为强团的图，其中图中的团是强的，如果它与所有极大独立集相交。Yamashita和Kameda观察到所有覆盖良好的树都是可局部化的，指出逆包含一般都失败了，并要求对可局部化图进行表征。本文得到了几个关于可局部化图的结构和算法结果。我们的研究结果包括一个事实证明，每一个非常好的覆盖图是本地化的和本地化的图形内的线图，三角形的自由图，$C_4$ -免费的图形，和三次图类的特征，每个导致一个多项式时间识别算法。在消极的一面，我们证明了NP-困难的识别局部化图类的弱弦图，补充线图，图的独立数为3。此外，使用局部化图，我们反驳了一个猜想，由于Zaare-Nahandi约$k$ -particular良好覆盖图的所有最大团的大小$k$。我们的结果统一和推广了文献中的几个结果。
2017-01-06 cs.DM math.CO
Clique-coloring of $K_{3,3}$-minor free graphs
给定图$G$的团染色是对$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。证明了可平面图是$3$ -团可染的，而不同于奇圈的无爪可平面图是$2$ -团可染的.本文将这些结果推广到$K_{3,3}$ -minor free（$K_{3,3}$ -subdivision free）图.
2019-09-15 cs.DM math.CO
Conformality of Minimal Transversals of Maximal Cliques
本文研究极大团的最小横贯族的共形性，定义团对偶共形（CDC）图，在无三角形图和分裂图中给出完全刻画，并证明CDC类在替换下封闭，均有多项式时间识别算法。
2025-06-20 cs.DM cs.DS math.CO
Potential Maximal Clique Algorithms for Perfect Phylogeny Problems
Kloks、Kratsch和Spinrad展示了树宽和最小填充、与最小三角剖分相关的NP-难组合优化问题如何通过由最小分隔符定义的块子图分解成子问题。这些想法被Bouchitté和Todinca扩展，他们使用潜在的最大团来解决这些问题，使用动态规划方法在图的最小分隔符的数量的时间多项式中。众所周知，完美共生问题、最大相容问题和唯一完美共生问题的解都是由划分交图的最小三角剖分刻画的。在本文中，我们证明了类似于Bouchitté和Todinca提出的技术可以用来解决缺失数据的完美共生问题，缺失数据的两状态最大相容问题，以及在时间多项式中缺失数据的唯一完美共生问题。
2013-03-16 cs.CE cs.DM cs.DS
Tight Bounds on the Clique Chromatic Number
一个图的团色数是指使图的顶点着色所需的最小颜色数，使得所有包含极大团都不是孤立点。证明了最大度$Δ$的图都有团色数$O\left(\fracΔ{\log~Δ}\right)$ .作为推论，我们得到每个$n$ -顶点图都有团色数$O\left(\sqrt{\frac{n}{\log ~n}}\right)$ .这两个结果都是紧密的。
2021-08-25 cs.DM math.CO
FPT Algorithms for Finding Near-Cliques in $c$-Closed Graphs
寻找大的团或团缺少一些边缘是一个基本的算法任务，在现实世界的图的研究，在社区检测，模式识别和聚类的应用。从最近的社会网络分析的实证工作中，已经出现了许多针对这些问题的有效的基于回溯的算法。鉴于集团计数的NP-困难的变种，这些结果提出了一个挑战，超越最坏情况下分析这些问题。受现实世界图的三元闭包的启发，Fox等人（SICOMP 2020）引入了$c$ -闭图的概念，并证明了最大团枚举相对于$c$是固定参数可处理的。在实践中，由于数据中的噪声，人们希望实际上发现“近团”，其可以被表征为具有稀疏子图的团。本文证明了对于$c$ -闭图，可以在多项式时间内（以及在$c$中的FPT）枚举出许多不同种类的极大近团.我们研究了各种已建立的概念，这样的子结构，包括$k$ -丛，有界退化和有界树宽图的补充。有趣的是，我们的算法遵循相对简单的回溯程序，类似于实践中所做的。我们的研究结果强调的意义的$c$ -封闭的图形类的社会网络分析的理论理解。
2021-11-19 cs.DM cs.DS math.CO
Vertex-transitive CIS graphs
CIS图是指每个极大独立集与每个极大团相交的图。一个图是好覆盖的，如果它的所有的最大稳定集是相同的大小，共同好覆盖的，如果它的补充是好覆盖的，和顶点传递的，如果对于每对顶点，存在一个映射到另一个图的自同构。我们证明了一个点传递图是CIS当且仅当它是良好覆盖的，co-well-covered的，并且它的团数和稳定数的乘积等于它的阶。一个图是不可约的，如果没有两个不同的顶点具有相同的邻域。我们对团数不超过3的不可约覆盖良好的CIS图和点传递的价不超过7的CIS图进行了分类，这两类图都包含一个无限族。我们还展示了一个无限家庭的点传递CIS图，这不是凯莱。
2014-09-11 cs.DM math.CO
W[1]-Hardness of Upper Clique Transversal
University of Primorska（波莫瑞大学）；Kyushu University（九州大学）；Brandenburg University of Technology（勃兰登堡工业大学）；IAM, University of Primorska（波莫瑞大学应用数学研究所）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
证明判定图是否存在规模至少为k的包含极小团横贯是W[1]-难的。
2026-10-06 cs.CC cs.DM cs.DS
The clique chromatic number of sparse random graphs
本文针对稀疏随机图 G_{n,p}，在 n^{-2/5} ≪ p ≪ 1 的大部分边概率范围内确定了团色数的数量级，通过结合概率方法与新的度数计数论证克服高度顶点带来的困难，并发现了与先前预测相矛盾的新现象。
2025-06-02 cs.DM math.CO math.PR
Detecting strong cliques
图中的强团是与每个极大独立集相交的团。本文研究了图中与强团有关的六个算法判定问题的计算复杂性，几乎完全确定了它们在弦图、弱弦图、线图及其补图和最大度不超过3的图类中的复杂性.我们的研究结果依赖于连接匹配，并涉及到几个图形的性质在文献中研究，包括覆盖图，局部化图，和一般的分区图。
2018-08-24 cs.CC cs.DM cs.DS
A characterization of claw-free CIS graphs and new results on the order of CIS graphs
一个图是CIS，如果它的每个极大团都与它的每个极大独立集相关.目前，没有一个好的特征或识别算法的CIS图是已知的。我们的特征图中，每一个最大的匹配饱和度至少为2的所有顶点，并使用这个结果给无爪CIS图的结构，有效地可测试的表征。我们回答了Dobson，Hujdurović，Milanitary和Verret [Vertex-transitive CIS graphs，European J. Combin. 44（2015）87-98]，询问每个CIS图的顶点数是否由其团数和稳定数的乘积从上有界。在积极的一面，我们表明，问题的多布森等人。在无爪图的情况下，有一个肯定的答案。
2018-12-13 cs.DM math.CO
Towards a Characterization of Leaf Powers by Clique Arrangements
类${\cal L}_k$的$k$ -叶功率由图$G=(V,E)$，有一个$k$ -叶根，即树$T$与叶集$V$，其中$xy \in E$，当且仅当$x$和$y$之间的$T$ -距离最多为$k$。结构和线性时间识别算法已被发现$2$ -，$3$ -，$4$ -，并在一定程度上，$5$ -叶功率，它是已知的，所有$k$ -叶功率，即，图类${\cal L} = \bigcup_{k=2}^\infty {\cal L}_k$，形成一个适当的子类强弦图。尽管如此，最近没有取得任何重大进展。在本文中，我们使用新的概念，集团安排建议，叶权力是一个自然的特殊情况下，强弦图。弦图$G$的团排列${\cal A}(G)$是一个有向图，它表示$G$的最大团之间的交点和这些顶点子集之间的弧包含。最近，强弦图被刻画为具有团排列且没有坏的$k$ -圈的图，其中$k \geq 3$具有坏的$k$ -圈。我们证明了${\cal L}$的每一个图的团排列都是没有坏的$2$ -圈的.这是否能准确地描述类${\cal L}$的特征的问题仍然没有解决。
2014-02-06 cs.DM math.CO
Hierarchical complexity of 2-clique-colouring weakly chordal graphs and perfect graphs having cliques of size at least 3
一个图的团是一个最大的顶点集的大小至少为2，导致一个完全图。一个图的$k$ -团着色是顶点至多用$k$颜色着色，使得没有团是单色的。Défossez证明了完美图的2-色是一个$Σ_2^P$ -完全问题[J. Graph Theory 62（2009）139--156].我们加强了这一结果，它仍然是$Σ_2^P$ -完全弱弦图。然后，我们确定一个层次结构的嵌套子类的弱弦图，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。我们解决了Kratochvíl和Tuza提出的一个公开问题，以确定所有团的大小至少为3的完美图的2-团着色的复杂性[J. Algorithms 45（2002），40- 54]，证明这是一个$Σ_2^P$ -完全问题。然后，我们确定了一个层次结构的完美图的嵌套子类与所有集团的大小至少为3，其中每个图形类是在一个不同的复杂性类，即$Σ_2^P$ -完全，$\mathcal{NP}$ -完全，和$\mathcal{P}$。
2013-12-11 cs.CC cs.DM math.CO
Asymptotic Delsarte cliques in distance-regular graphs
给出了距离正则图$G$中参数$λ$（邻顶点的公共邻居数）的一个新的界，改进和推广了Spielman（1996）和Pyber（2014）关于强正则图的界.新的界限是最近在强正则图的同构测试复杂性方面取得进展的一个组成部分（Babai，Chen，Sun，Teng，Wilmes 2013）。这个证明是基于Metsch（1991）在某些参数约束下发现的团几何。我们还给出了Metsch结果的如下渐近结果的一个简化证明：如果$kμ= o(λ^2)$，则$G$的每条边属于唯一的大小渐近等于$λ$的极大团，并且所有其它团的大小都为$o(λ)$ .这里，$k$表示度，$μ$表示距离为2的一对顶点的公共邻居的数量。我们指出当$kμ= o(λ^2)$满足时Metsch的团是“渐近Delsarte”的，所以参数满足$kμ= o(λ^2)$的距离正则图族是“渐近Delsarte几何的”. "
2015-03-10 cs.DM cs.DS math.CO
Conformal Hypergraphs: Duality and Implications for the Upper Clique Transversal Problem
本文研究对偶超图的共形性识别问题，证明其属于 co-NP，并给出有界维数下的多项式时间算法及维数3到2-SAT的归约，还推出识别极大团极小横截规模有界图的多项式算法。
2024-05-10 cs.CC cs.DM cs.DS
The Upper Clique Transversal Problem: Hardness and Algorithms
University of Primorska（波希米亚大学）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
本文首次研究上团横贯数问题，分析其在多种图类中的算法复杂度，给出不同图类的NP完全性或多项式/线性时间可解结论，并提出开放问题。
2026-10-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Mining Large Quasi-cliques with Quality Guarantees from Vertex Neighborhoods
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
挖掘稠密子图是一系列图挖掘任务中的重要基础。在这项工作中，我们正式建立了两个经常性的特点，即重尾度分布和大的聚类系数，现实世界的图，意味着存在相当大的顶点邻域具有高的边缘密度。这一观察结果提出了一种非常简单的方法来提取大的准团：简单地扫描顶点邻域，计算每个顶点的聚类系数，并输出最好的这样的子图。这种方法的实现需要对图中的三角形进行计数，这是图挖掘中一个研究得很好的问题。当在许多真实世界的图中进行经验测试时，这种方法揭示了一个惊喜：顶点邻域包括非平凡大小的最大集团，并且最佳邻域的密度通常与用于最大化子图密度的专用算法产生的子图相媲美。对于小的聚类系数的图，我们证明了小的顶点邻域可以细化使用本地搜索的方法来“成长”更大的集团和近集团。我们的研究结果表明，相反的最坏情况下的理论结果，挖掘集团和准集团的非平凡的大小从现实世界的图形往往不是一个困难的问题，并提供了动力，进一步的工作，面向更好地解释这些经验的成功。
2020-08-18 cs.DM cs.LG cs.SI
Algorithmic methods of finite discrete structures. Graph clique problem
本研究针对不可分离图的最大长度团求解问题，提出一种基于3-环表示与环和性质的迭代算法，可通过构建边环主向量找团，并分析了其计算复杂度。
2024-10-29 cs.CC cs.DM math.CO
The jump of the clique chromatic number of random graphs
本文解决了随机图 G_{n,p} 在边概率 p≈n^{-1/2} 附近团色数发生多项式级跳跃的公开问题，并利用近似与集中性方法确定了任意边概率下团色数至多相差对数因子。
2021-05-25 cs.DM math.CO math.PR
