On t-colorable k-plane drawings
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Tübingen（蒂宾根大学）；TU Munich（慕尼黑工业大学）；TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）
该研究引入t-可着色k-平面图，给出t和k小值时边密度与交叉密度的紧上界，还证明当t≥2且k≥1时其识别为NP完全问题。
2026-07-29 math.CO
Small Superpatterns for Dominance Drawing
我们利用有向无环图和排列的优势图纸之间的连接，在两个方向上，提供改进的边界上的通用点集的大小为某些类型的优势图纸和超模式的某些自然类的排列。特别地，我们证明了宽度为2的偏序图的控制图存在泛点集，大小为O（n^{3/2}）的st-外平面图的控制图存在泛点集，大小为O（n \log n）的有向树的控制图存在泛点集.我们证明了321-避免排列具有大小为O（n^{3/2}）的超模式，riffle排列（321-，2143-和2413-避免排列）具有大小为O（n）的超模式，riffle序列及其逆序列的级联具有大小为O（n \log n）的超模式。我们的分析包括在这些界限的领先常数的计算。
2013-11-05 cs.CG math.CO
On the geodesic midrange crossing constant
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究密集图绘制的交叉数，证明在连续设定下，均匀分布顶点的测地绘制中，固定距离阈值内连接对点可最小化交叉数，并在平面凸域内证明直线绘制的类比结果。
2026-11-04 math.CO
Upward Three-Dimensional Grid Drawings of Graphs
图的\emph{three-dimensional grid drawing}是将顶点放置在具有整数坐标的不同点处，使得表示边的直线段不交叉。我们的目标是生成具有小包围盒体积的三维网格图。证明了每一个有界退化的$n$ -顶点图都有一个具有$O(n^{3/2})$体积的三维网格图。这是最广泛的一类图表承认这样的图纸。有向图的三维网格图是\emph{upward}，如果每个弧都指向z方向。证明了每个有向无圈图都有一个体积为$(n^3)$的向上三维网格图，且该图对完全图是紧的。之前的最佳上限是$O(n^4)$。我们的主要结果是：每个$c$ -列有向无圈图（$c$常数）都有一个向上的三维网格图，其体积为$O(n^2)$。这一结果匹配的无向情况下的界限，并提高了最好的已知的界限从$O(n^3)$为许多类的有向无环图，包括平面，串联平行，和outerplanar。
2005-10-07 math.CO
Bounding the number of non-duplicates of the $q$-side in simple drawings of $K_{p,q}$
数字$Z(n):=\lfloor n/2\rfloor\lfloor (n-1)/2\rfloor$是$K_{2,n}$的简单平面图形中的最小交叉数，其中2侧的两个顶点具有相同的顺时针旋转。对于$K_{p,q}$的简单绘图的$q$ -侧上的两个顶点$u,v$，令$\operatorname{cr}_D(u,v)$表示与$u$关联的边与与$v$关联的边的交叉总数。我们表明，在任何简单的绘图$D$的$K_{p,q}$在一个表面$Σ$的$q$ -侧的$K_{p,q}$有$\operatorname{cr}_D(u,v)<Z(p)$的顶点对的数量是有界的$p$和$Σ$的函数。作为结果，我们还表明，对于一个固定的整数$p$和表面$Σ$，存在一个有限的一组图纸$\mathcal{D}(p,Σ)$的完全二部图，使每个$q$，交叉最小的$K_{p,q}$的图纸可以通过“复制顶点”在一些图纸从$\mathcal D(p,Σ)$。
2021-08-23 math.CO
Obstructing Visibilities with One Obstacle
在过去的几年中，图的障碍表示已经得到了相当深入的研究。我们专注于可以由单个障碍物表示的图形。给定一个（拓扑开放的）多边形$C$和在$C$的补中的一般位置上的点的有限集合$P$，可见性图$G_C(P)$对于$P$中的每个点都有一个顶点，对于$P$中可以彼此看到的任何两个点$p$和$q$，即$\overline{pq} \cap C=\emptyset$，都有一个边$pq$。我们画$G_C(P)$直线。给定一个图$G$，我们想计算$G$的障碍表示，即障碍$C$和一组点$P$，使得$G=G_C(P)$。该问题的复杂性是开放的，即使对于点恰好是一个简单多边形的顶点和障碍是一个简单多边形可见性图问题的补充的情况。有两种类型的障碍物;内部障碍物位于可见性图形的补充的有界组件中，而外部障碍物位于无界组件中。我们表明，一类图的内部障碍表示是无与伦比的一类图，有一个外部障碍表示。我们进一步证明了任何顶点数不超过7或周长不超过6的图都有一个外障碍表示，而对于顶点数为8且周长为8的特定图则不成立。最后，我们考虑了外部障碍图三明治问题：给定图$G$和$H$在同一顶点集上，是否存在图$K$使得$G \subseteq K \subseteq H$和$K$具有外部障碍表示？我们证明，即使对于共二部图，这个问题也是NP难的。经过一些修改，我们的证明也表明，内部障碍图三明治问题，单障碍图三明治问题，和简单多边形可…
2016-09-01 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Graphs on Few Lines and Few Planes
我们研究了在二维和三维中绘制图形的问题，使得它们的边（或仅它们的顶点）可以被少数线或平面覆盖。我们坚持直线边缘和交叉自由图纸。这个问题与其他具有挑战性的图形绘制问题有许多联系，例如小面积或小体积的绘图，分层或跟踪绘图，以及绘制具有低视觉复杂度的图形。虽然我们的问题的一些事实是隐含在以前的工作，这是第一次处理的问题，在其充分的一般性。我们的贡献如下。我们显示的下限和上限的线和平面的数量需要覆盖图在某些图形类。在某些情况下，我们的边界是渐近紧的;在某些情况下，我们能够确定精确的值。我们将我们的参数标准的组合特性的图形（如色数，树宽，最大程度，或荫度）和参数，已研究在图形绘制（如轨道数或出现在绘图中的段数）。我们特别注意平面图。例如，我们表明，有平面图，可以画在3-空间上的线比在平面上少得多。
2016-09-01 cs.CG math.CO
The $2nd-$convex hull of every optimal rectilinear drawing of $K_{n}$ is a triangle
图$G$的直线图是最优的，如果它在$G$的所有直线图中具有最小的交叉数。本文证明了对于$n\geq 8$，完全图$K_n$的每一个最优直线图的第二个凸包都是三角形.
2016-06-15 math.CO math.MG
Computational search of small point sets with small rectilinear crossing number
设$\crs(K_n)$是平面上$n$顶点上完全图的所有直线图上的最小交叉数。在本文中，我们证明了$\crs(K_n) < 0.380473\binom{n}{4}+Θ(n^3)$，从而改善了以前最好的已知上界。这是通过对于小的$n$值获得新的$K_n$的直线图，然后使用已知的构造从较小的图获得任意大的良好图来完成的。“小”集是使用本文中详细介绍的简单启发式方法找到的。
2014-03-05 cs.CG cs.DM math.CO
Outerplanar graph drawings with few slopes
我们考虑外平面图的直线外平面图，其中使用少量不同的边斜率，即表示边的线段平行于少量方向。我们证明了$Δ-1$边斜率对于每一个最大度为$Δ\ge 4$的外平面图都是足够的。这改进了$O(Δ^5)$的上界，该上界是针对平面部分3-树（外平面图的超类）而给出的。边界很紧：对于每一个$Δ\ge 4$，存在具有最大度$Δ$的外平面图，该外平面图在外平面直线图中需要至少$Δ-1$不同的边斜率。
2014-04-10 cs.CG cs.DM math.CO
Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations
图G的障碍表示是平面上的一组点以及确定与G同构的可见性图的一组多边形障碍。G的障碍数是指在G的所有障碍表示中障碍的最小数目。Alpert，Koch和Laison给出了一个12点二部图，并证明了它的障碍数为2.我们证明了这个图的一个10-顶点诱导子图的障碍数为2。Alpert等人还构造了顶点集由团和独立集组成的极大图，以证明障碍数是一个无界参数。我们定义了一个顶点集由一个团和一个独立集组成的70-顶点图，并证明了它的障碍数大于1。这是我们即将付印的文章的附属文件。我们的结论表明，一个10-顶点图的顶点集由两个团组成的障碍数大于1，改进其中的结果。
2011-04-24 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Graphs as Spanners
本文研究了图在平面上的嵌入问题，把它看作是一个好的几何空间。也就是说，对于图$G$，目标是在平面中构造$G$的直线绘图$Γ$，使得对于$G$的任何两个顶点$u$和$v$，从$u$到$v$的任何路径的最小长度与$u$和$v$之间的欧几里得距离之间的比率小。在$G$的所有顶点对上的最大这样的比率是$Γ$的生成比率。首先，我们表明，决定是否允许一个图的直线图的生成比$1$，一个适当的直线图的生成比$1$，和一个平面的直线图的生成比$1$是NP-完全，$\exists \mathbb R$ -完全，线性时间可解的问题，分别是，如果没有两个顶点重叠，没有边重叠的顶点，绘图是适当的。其次，我们表明，从生成比$1$到生成比$1+ε$，我们可以绘制每个图。也就是说，我们证明了，对于每一个$ε>0$，每一个（平面）图允许一个适当的（分别）。平面）直线图，跨度比小于$1+ε$。第三，跨度比小于$1+ε$的图具有大的边长比，即最长边的长度与最短边的长度之比是指数的。我们表明，这有时是不可避免的。更一般地说，我们确定有界韧性的标准，区分图表，承认直线图纸与常数跨度比和多项式边长比的图表，需要指数边长比在任何直线图纸与常数跨度比。
2020-02-13 cs.CG cs.DM cs.DS
Crossing numbers and combinatorial characterization of monotone drawings of $K_n$
在1958年，希尔证明了$K_n$图中的最小交叉数正好是$Z(n) = \frac{1}{4} \lfloor\frac{n}{2}\rfloor \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$。推广了Ábrego等人关于两页书图的结果，我们证明了对于边由$x$ -单调曲线表示的平面图的这个猜想。事实上，我们的证明表明，该猜想仍然是正确的$x$ -单调图纸的$K_n$，其中邻边可能会交叉一个偶数的时间，而不是交叉数，我们计数的边缘对交叉一个奇数的时间。我们进一步讨论了这一结果的推广到shellable图纸，介绍了由Ábrego等人的概念。我们还给出了几个类的$x$ -单调图纸的完全图使用一个小的禁用配置的组合特征。对于可壳图的一个类似的局部刻画，我们将Carathéodory定理推广到完全图的简单图。
2014-08-09 cs.DM math.CO
Graph drawings with one bend and few slopes
我们考虑绘图的图形在平面中的边缘表示的多边形路径与最多一个弯曲和这些路径的所有部分所使用的不同的斜率的数量是小的。我们证明了$\lceil\fracΔ{2}\rceil$边斜率满足最大度外平面图$Δ\geq 3$的外平面图的外平面图的绘制.这符合明显的下限。我们还表明，$\lceil\fracΔ{2}\rceil+1$边缘斜率足以绘制一般的图形，提高了以前的界的$Δ+1$。此外，我们改进了以前的上界的平面图和二分平面图的平面绘图所需的斜率的数量。
2015-09-27 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Order Diagrams Through Two-Dimension Extension
本文提出新算法DimDraw，利用有序集维度与对应图二部性的关系来绘制序图，以改善一般情况下的可读性。
2019-06-14 cs.CG math.CO
Grid-drawings of graphs in three-dimensions
本文采用概率方法构造三维无交叉网格绘制，证明 D-退化图体积上界为 O(D^2 n log n)，并推出最大度有界图可达 O(n log n)。
2024-06-14 cs.DM math.CO
The tripartite-circle crossing number of graphs with two small partition classes
本文研究三部图在三部圆绘制下的交叉数问题，并给出了当两个划分类大小不超过2时完全三部图 $K_{a,b,n}$ 的三部圆交叉数精确值。
2023-06-29 cs.DM math.CO
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
2026-09-24 cs.CG cs.DM math.CO
Note on Min-k-Planar Drawings of Graphs
本文研究图的 min-k-平面绘制中一般绘制与简单绘制的差异，证明存在具有 min-2-平面绘制或避免相邻边交叉的 min-3-平面绘制的图，但对任意大的固定 k 均不存在简单 min-k-平面绘制。
2024-09-30 cs.DM math.CO
LR-Drawings of Ordered Rooted Binary Trees and Near-Linear Area Drawings of Outerplanar Graphs
在本文中，我们研究了一个家庭的算法，介绍了陈[SODA 1999]和所谓的LR算法，绘制有序有根二叉树。特别是，我们有兴趣在建设LR图纸（即通过LR算法获得的图纸）与小宽度。Chan展示了三种不同的LR算法，对于具有$n$节点的有序有根二叉树，它们实现了宽度$O(n^{0.695})$、宽度$O(n^{0.5})$和宽度$O(n^{0.48})$。证明了对于每一个$n$ -结点有序根二叉树，都能在$O(n^{1.48})$时间内构造出一个最小宽度的LR-图。此外，我们显示了一个无限家庭的$n$ -节点有序根二叉树需要$Ω(n^{0.418})$宽度在任何LR-绘图，没有下限比$Ω(\log n)$是以前已知的。最后，我们提出了实验评估的结果，使我们能够确定最小宽度的所有有序有根二叉树与$451$节点。我们对LR-图的兴趣主要是由Di Battista和Frati [Jumica 2009]的一个结果激发的，他们通过一个类似于LR-算法的作图算法证明了$n$ -顶点外平面图在$O(n^{1.48})$区域中具有外平面直线图。证明了若$n$ -结点有序根二叉树有宽度为$f(n)$的LR-图，则$n$ -顶点外平面图在$O(f(n))$区域有外平面直线图，从而深化了LR-图与外平面直线图之间的联系.最后，利用Chan提出的有序根二叉树的结构分解，证明了每个$n$ -顶点外平面图在$O(n…
2016-10-22 cs.CG cs.DS math.CO
Balanced Schnyder woods for planar triangulations: an experimental study with applications to graph drawing and graph separators
在这项工作中，我们考虑平衡的平面图，这是Schnyder木材的每种颜色在每个顶点的传入边的数量是尽可能平衡。我们提供了一个简单的线性时间启发式，导致在实践中获得良好的平衡施奈德伍兹。作为测试应用程序，我们考虑两个重要的算法问题：计算的Schnyder图纸和小周期分离器。虽然不能提供理论上的保证，我们的实验结果（广泛收集的平面图）表明，使用平衡的施奈德木材导致施奈德图纸的布局质量的提高，并提供了一个有效的工具，计算短和平衡的周期分离器。
2019-08-19 cs.DM cs.DS math.CO
Minimizing an Uncrossed Collection of Drawings
本文提出无交叉绘图集合概念，定义无交叉数和无交叉交叉数两个优化目标，并证明后者NP困难但存在FPT算法。
2025-09-22 cs.CG cs.DM math.CO
Convex obstacle numbers of outerplanar graphs and bipartite permutation graphs
图G的不交凸障碍数是最小数h，使得在平面上存在h个成对不交凸多边形（障碍）和n个点的集合（对应于V（G）），使得顶点对uv是边当且仅当对应的线段uv不遇到任何障碍。我们证明了外平面图的不交凸障碍数总是至多为5，二部置换图的不交凸障碍数总是至多为4。前者回答了阿尔珀特、科赫和莱森提出的一个问题。我们用4的下界补充了外平面图的上界。
2011-09-12 cs.CG cs.DM math.CO
