Explicit Bound for the Prime Ideal Theorem in Residue Classes
我们给出了广义Chebyshev函数的显式数值估计。这类显式结果对于估计产生特殊素数的算法的计算复杂性是有用的。利用复乘方法构造素域上的椭圆曲线时，需要用到这样的素数。
2017-09-28 math.NT
A note on Benli and Pollack's paper on small prime power residues
本文重新讨论了Benli和Pollack关于小素数$k^{th}$幂剩余数的一个结果。这个证明是基于他们使用互易定律的想法，但是论证被简化了，我们证明了一个稍微更强的界限。
2021-10-12 math.NT
On the second smallest prime non-residue
设$χ$是模素数$p$的非主狄利克雷特征标。令$q_1<q_2$表示$χ$的两个最小素非剩余。我们给出了明确的上界$q_2$，改善所有已知的结果。我们还提供了一个很好的上估计的产品$q_1 q_2$，它有一个即将到来的应用研究的范数欧几里德伽罗瓦领域。
2010-11-19 math.NT
Beurling numbers whose number of prime factors lies in a specified residue class
我们发现$S_{K,c}(x)$的渐近性，$x$以下的正整数的数目，其素因子的数目是$c \; \mathrm{mod}\; K$。我们在Beurling整数的背景下研究这个问题。
2020-02-03 math.NT
Primes in arithmetic progressions to large moduli III: Uniform residue classes
我们证明了新的中值定理的素数在等差数列的模大于$x^{1/2}$，推广Bjueri-Vinogradov定理的模大小$x^{1/2+δ}$有方便的大小因子。这些估计的主要特点是，他们是完全统一的剩余类考虑，不像以前的作品素数在等差数列大模数。
2020-06-15 math.NT
Distribution of prime ideals of higher residue degree across ideal classes in the class groups
本文研究了数域$L$的类群中剩余度大于1的素理想在理想类中的分布.给出了剩余度为$f>1$的素理想类生成$L$类群的一个判据.此外，一些后果，这项研究的可解性的范数方程的$L/\mathbb{Q}$和零化子的相对扩展的问题进行了讨论。
2017-01-29 math.NT
On the density of primes with a set of quadratic residues or non-residues in given arithmetic progression
令$\mathcal{A}$表示正整数的等差数列的有限集合，并且令$s \geq 2$是整数。如果$\mathcal{A}$的基数至少为2，并且$U$是从$\mathcal{A}$的每个元素取一定长度的等差数列$s$所形成的并集，则我们计算所有素数集合$p$的渐近密度，使得$U$是$p$的二次剩余（分别为二次非剩余）的集合。
2013-07-25 math.NT
The Catalan numbers have no forbidden residue modulo primes
设$C_n$是第$n$个Catalan数。对于任何素数$p \geq 5$，我们证明了集合$\{C_n : n \in \mathbb{N} \}$包含所有mod $p$的残基。此外，所有的剩余都是无限频繁地得到的。任何正整数都可以表示为中心二项式系数模$p$的乘积。$C_n \mod p$的自动机的有向子图由恒定状态和它们之间的转换组成，具有访问所有顶点的循环。
2017-03-08 math.NT
Problems 66 and 67 on sums of residue classes and primes of András Sárközy's collection of unsolved problems
本文讨论András Sárközy 2001年未解决问题集中的第66、67题，证明了素数稀疏子集和集的最优结果。
2025-08-04 math.NT
The variance of the number of prime polynomials in short intervals and in residue classes
我们解决了一个函数域版本的两个apturtures关于方差的素数在短时间间隔（戈德斯通和蒙哥马利）和等差数列（胡利）。我们工作中的一个重要组成部分是最近N的等分布结果。卡茨
2012-07-17 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
Residue classes containing an unexpected number of primes
我们固定一个非零整数$a$，并考虑等差数列$a \bmod q$，其中$q$在给定范围内变化。我们发现，对于某些特定的$a$值，等差数列$a \bmod q$包含，平均而言，显着少于预期的素数。
2011-11-16 math.NT
On power residues modulo a prime
设$p$是一个充分大的素数，$n$是一个正奇整数，具有$n|\,p-1$和$n>p^\varepsilon $，其中$\varepsilon$是一个充分小的常数.令$k(p,\,n)$表示最小正整数$k$，使得对于$x=-k,\,\dots,\,-1,\,1,\,2,\,\dots,\,k$，数$x^n\pmod p$产生所有非零$n$次幂剩余模$p$。本文证明了$$ k(p,\,n)=O(p^{1-δ}), $$，它改进了S. Chowla和H.伦敦的情况下，大$n$。
2019-09-01 math.NT
Density ternary Goldbach for primes in a fixed residue class
本文证明，在同余 1 mod 3 的素数中，相对密度超过 1/2 的子集可表示所有充分大且同余 0 mod 3 的奇数为三元素数和，并证明该密度阈值最优。
2025-09-27 math.NT
The residue-counts of $x^2+a/x$ modulo a prime
本文研究了 $x^2+a/x$ 模素数的剩余计数问题，得出一个与三次剩余和二元二次型相关的显式公式。
2023-09-14 math.NT
A new theorem on quadratic residues modulo primes
令$p>3$为素数，令$(\frac{\cdot}p)$为勒让德符号。设$b\in\mathbb Z$和$\varepsilon\in\{\pm 1\}$。本文主要证明了$$\left|\left\{N_p(a,b):\ 1<a<p\ \text{and}\ \left(\frac ap\right)=\varepsilon\right\}\right|=\frac{3-(\frac{-1}p)}2,$$，其中$N_p(a,b)$是正整数$x<p/2$与$\{x^2+b\}_p>\{ax^2+b\}_p$的个数，而$\{m\}_p$与$m\in\mathbb{Z}$是$m$模$p$的最小非负剩余.
2022-10-06 math.NT
On the first occurrences of gaps between primes in a residue class
本文研究了等差数列（P）：$r$，$r+q$，$r+2q$，$r+3q,\ldots,$中素数间隔的首次出现，其中$q$和$r$是互质整数，$q>r\ge1$ .首次出现间隙大小的增长趋势和分布与（P）中素数间最大间隙的增长趋势和分布相似。首次出现的差距大小的直方图，适当的重新缩放后，很好地近似Gumbel极值分布。计算表明，首次出现的空位比最大空位多得多：在$x$以下的（P）中，素数之间存在$O(\log^2 x)$首次出现的空位，而最大空位的数目只有$O(\log x)$。我们探讨了一个给定的大小和相应的推广的布朗常数的间隙的渐近密度之间的联系。对于空位$d$在（P）中的第一次出现，我们期望空位末端素数$p\asymp\sqrt{d}\exp(\sqrt{d/φ(q)})$无限频繁地出现。最后，我们研究了首次出现的间隙序列中间隙大小与其指数的函数关系。
2020-10-20 math.NT
Limiting properties of the distribution of primes in an arbitrarily large number of residue classes
我们推广目前已知的分布结果的Shanks-Rényi素数比赛的情况下，任意多个剩余类。我们的方法处理经典的情况下，可以追溯到切比雪夫和功能领域的类似物在最近几年。更准确地说，令$π(x;q,a)$为直到$x$的素数的数目，这些素数与$a$模$q$全等。对于一个固定的整数$q$和不同的可逆同余类$a_0,a_1,\ldots,a_D$，假设广义黎曼假设和弱版本的线性独立性假设，我们证明了集合的$x$真正的不等式$π(x;q,a_0)>π(x;q,a_1)> \ldots >π(x;q,a_D)$同时满足允许对数密度。
2019-10-15 math.NT
$k$th power residue chains of global fields
1974年，Vegh证明了：若$k$是素数，$m$是正整数，则对于无穷多个素数，存在$k$次幂剩余的$m$项置换链[E.Vegh，$k$次幂剩余链，数论杂志，9（1977），179-181].事实上，他的证明表明，$1,2,2^2,...,2^{m-1}$是一个$k$项置换链的$k$次幂剩余的无限多个素数。本文证明了对于任何“可能的”$m$项序列$r_1,r_2,...,r_m$，存在无穷多个素数$p$使其成为$k$次幂剩余模$p$的$m$项置换链，其中$k$是任意正整数[见定理1.2].从我们的结果中，我们看到Vegh定理对任何正整数$k$都成立，而不仅仅是对素数。事实上，我们证明了我们的结果在更一般的整数环$\Z$被替换为任何$S$ -整数环的整体域（即代数数域或代数函数域有限域）。
2010-01-21 math.NT
Arithmetic progressions of Carmichael numbers in a reduced residue class
修正互质自然数$a,q$。在素数$k$元组猜想的假设下，证明了存在任意长的Carmichael数的等差数列，每一算术级数都位于约化的剩余类$a$ mod $q$中，并且是三个不同的素数的乘积.
2020-10-12 math.NT
Products in Residue Classes
我们考虑P. Erdos，A. M. Odlyzko和A.萨科齐关于表示剩余类模m的产品，两个不太大的素数。虽然似乎即使是扩展的黎曼假设也不足以达到预期的结果，但在这里，我们在模m和模m的剩余类上获得了一些无条件的结果，并且当平均值被限制为素数模m = p时，得到了更强的结果。我们还考虑了类似的问题，其中素数被更容易的序列取代，所以，很自然地，我们得到了更强的结果。
2007-08-11 math.NT
On distinct residues of factorials
本文研究了素数$p > 5$的存在性，其中$2!$，$3!$，\dots，$(p-1)!$模$p$的残基都是不同的.我们描述了这个问题和Kurepa的左阶乘函数之间的连接，并报告说，没有这样的素数小于$10^{11}$。
2016-03-13 math.NT
A Clean Approach to Rational Cubic Residues
1958年E.莱默发现了一个明确的描述这些素数p的一个给定的素数q是一个三次剩余。在本文中，我们证明了一个类似的结果，可以得到三次非剩余，产生一个三次字符固定p，提供了一个有效的手段，以确定是否一个任意整数c是一个三次剩余模p。作为这种技术的说明，我们确定是否1982是一个三次剩余模131位素数p=（3^19+5^82）/4，这个问题基本上不可能用Lehmer的原始标准来回答。
2007-06-11 math.NT
Primes in arithmetic progressions to large moduli I: Fixed residue classes
证明了模大于$x^{1/2}$的等差数列中素数的新的中值定理.我们的主要结果表明，素数是均匀分布的一个固定的剩余类上的所有模的大小$x^{1/2+δ}$与一个“方便的大小”的因素。因此，预期的渐近保持所有，但$O(δQ)$模数$q\sim Q=x^{1/2+δ}$，我们得到的结果，为大的模数$x^{11/21}$。我们的证明扩展了以前的技术Bjueri，Fouvry，Friedlander和Iwaniec纳入新的想法启发放大方法。我们将这些与张和Polymath的技术结合起来，为我们的应用量身定制。特别是，我们最终依赖于来自自守形式的谱理论（库兹涅佐夫迹公式）或代数几何（韦伊和德利涅风格估计）的指数和界。
2021-04-05 math.NT
A note on primes in certain residue classes
对于给定的正整数$a_1,\ldots,a_k$，我们证明了使得$p \not\equiv 1 \bmod{a_i}$ for $i=1,\ldots,k$的素数集$p$相对于所有素数集至少有$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{φ(a_i)}\right)$的渐近密度，其中$φ$是欧拉函数.这一结果类似于Heilbronn和Rohrbach的结果，即正整数$n$的集合使得$n \not\equiv 0 \bmod a_i$ for $i=1,\ldots,k$容许至少为$\prod_{i=1}^k \left(1-\frac{1}{a_i}\right)$的渐近密度。
2017-10-13 math.NT
Quadratic residues and difference sets
Sarkozy推测，除了有限多个例外，模素数$p$的二次剩余集不能表示为具有非单例集$A,B\subset F_p$的和集$\{a+b\colon a\in A, b\in B\}$。这个猜想的$A=B$案例最近由Shkredov建立。类似的差异问题仍然是开放的：它是真的，对所有足够大的素数$p$，二次剩余集模$p$是不是形式$\{a'-a"\colon a',a"\in A,\,a'\ne a"\}$与$A\subset F_p$？我们在这里攻击这个问题的一个可能更容易处理的变体，这是为了证明不存在$A\subset F_p$使得每个二次剩余都有一个\emph{unique}表示为具有$a',a"\in A$的$a'-a"$，并且没有非剩余以这种形式表示。我们给出了一些必要的条件，这样的$A$的存在，涉及的大部分素数的行为划分$p-1$。这些条件使我们能够排除范围$13<p<10^{18}$中的所有素数$p$（素数$p=5$和$p=13$是唯一的例外）。
2015-02-24 math.NT
Characterizations of quadratic, cubic, and quartic residue matrices
我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，与$\mathbb{Q}$的二次扩展的复合中的素理想的分裂行为相关联，并证明了一个简单的准则表征这样的矩阵。我们还研究了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。
2015-12-21 math.NT
Beyond the Riemann Hypothesis bounds: A pair-correlation approach to the least prime in arithmetic progression and the smallest quadratic non-residue
Università di Padova（帕多瓦大学）；Max-Planck-Institut für Mathematik（马克斯·普朗克数学研究所）
研究算术级数中最小素数与最小二次非剩余问题，结合广义黎曼假设中零点水平位置与对关联视角，在相关假设下建立更精确估计，为狄利克雷L函数对关联现象与经典问题提供新联系。
2026-07-17 math.NT
Least primitive root and simultaneous power-non residues
设$p$为素数，$g(p)$为最小原根模$p$ .我们证明了，对于任何$ε>0$和$p$足够大的界\begin{align} g(p)\ll p^{\frac{1}{4\sqrt{e}}+ε} \nonumber \end{align}持有大多数素数$p$，使$p-1$没有小素因子，但$2$。我们也给出了例外集的明确描述。
2018-01-20 math.NT
Kloosterman sums with primes and solvability of one congruence with inverse residues. I
本文建立了素数上Kloosterman和关于任意模$q$的一个新的估计.这个估计与第二作者的一些最近的结果一起被应用到素变量$p_{1},\ldots, p_{k}\le N$，$N\le q^{1-δ}$中的同余\[ g(p_{1})\, + \,\ldots\, + \,g(p_{k}) \,\equiv\, m\pmod{q} \]的可解性问题.这里是$g(x)\,\equiv\,a\overline{x}+bx\pmod{q}$，其中$a,b,m$和$k\ge 3$是任意整数，$(ab,q)=1$。本文的主要结果给出了当$q$与$6$互质时解的个数的一个渐近公式.在这个版本中，我们纠正了一些错别字和小错误。
2019-12-06 math.NT
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
2024-07-11 math.NT
Primes in Tuples IV: Density of small gaps between consecutive primes
我们表明，一个积极的比例连续素数之间的所有差距是小差距。我们提供了几个定量的结果，一些无条件和一些有条件的，在这种味道。
2011-03-30 math.NT
On the residue class distribution of the number of prime divisors of an integer
{ \em Liouville函数}由$\gl(n):=(-1)^{Ω(n)}$定义，其中$Ω(n)$是$n$计数重数的素除子数。设$\z_m:=e^{2πi/m}$是一个本原$m$ -th单位根.作为Liouville函数的推广，我们研究了函数$\gl_{m,k}(n):=\z_m^{kΩ(n)}$ .利用这些函数的性质，我们给出了$Ω(n)$在剩余类之间的一个弱等分布结果.更正式地说，我们表明，对于任何正整数$m$，存在一个$A>0$，使所有的$j=0,1,...,m-1,$，我们有$$#\{n\leq x:Ω(n)\equiv j (\bmod m)\}=\frac{x}{m}+O(\frac{x}{\log^A x}).$$最佳可能的误差项进行了讨论。特别是，我们表明，对于$m>2$的误差项不是$o(x^\ga)$的任何$\ga<1$。
2009-06-05 math.NT
On consecutive quadratic non-residues: a conjecture of Issai Schur
Issai Schur曾经问过是否有可能确定一个界限，最好是使用初等方法，这样对于所有素数p大于界限，模p的连续二次非剩余数的最大个数总是小于p的平方根.本文用初等方法证明了13是唯一一个连续二次非剩余数的最大个数小于p的平方根的素数.模p的余数超过p的平方根。
2003-05-21 math.NT
Joint distribution in residue classes of polynomial-like multiplicative functions
在相当一般的条件下，我们证明了整值多项式样乘性函数的家庭是均匀分布在互质剩余类mod $p$，其中$p$是一个不断增长的素数（或近素数）模。这可以被看作是对Narkiewicz工作的补充，Narkiewicz获得了固定模量的全面结果。
2021-07-24 math.NT
Residue Class Patterns of Consecutive Primes
University of Oxford（牛津大学）
研究连续素数的剩余类模式，通过结合狄利克雷定理与Shiu定理，修改梅纳德 - 陶筛法并结合埃尔德什 - 兰金类型构造进行证明，得出在特定条件下关于长度为\(m\)的剩余类模式无限次出现的相关结论及数量估计。
2026-07-14 math.NT
Gaps between primes
我们讨论了最近的进展弱形式的总理$k$元组猜想，它的作用，证明新的估计存在小的差距之间的素数和存在大的差距之间的素数。
2019-10-29 math.NT
Variance of primes in short residue classes for function fields
本文研究函数域中等差数列与短区间交集中素数方差的混合问题，通过额外应用对合变换生成对偶等差数列，并探讨了放宽模多项式限制的条件。
2024-01-05 math.NT
Quadratic Non-residues in Short Intervals
我们使用的Burgess界和组合筛获得的素数$p$在一个二元区间$[Q,2Q]$，其中一个给定的区间$[u+1,u+ψ(Q)]$不包含一个二次非剩余模$p$的数量上界。对于任何函数$ψ(Q)\to\infty$，该界都是非平凡的，如$Q\to\infty$。这是一个模拟的最小的二次非剩余模$p$上平均素数$p$，这对应于选择$u=0$的公知的估计。
2013-11-27 math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
Tables of record gaps between prime constellations
我们目前的表记录（最大）之间的差距denominated总理星座，或k-元组。表中包含了素数k元组之间的所有最大间隔，最大间隔为10^15，对于每个k<=7。
2013-09-16 math.NT
Positive Proportion of Small Gaps Between Consecutive Primes
我们证明了一个积极的比例连续素数之间的差距是短的差距长度小于任何固定分数的平均间距之间的素数。
2011-03-21 math.NT
Characterizations of the $d$th-power residue matrices over finite fields
在作者与D. Dummit和H. Kisilevsky的方法，我们构造了一个由二次剩余符号定义的矩阵集合，称为“二次剩余矩阵”，它与$\mathbb{Q}$的二次扩张的复合中素理想的分裂行为有关，并证明了一个刻画这类矩阵的简单准则.然后，我们分析了类似的类矩阵构造的三次和四次剩余符号的一组素理想的$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$\mathbb{Q}(i)$，分别。本文利用有限域上的一般$d$次幂剩余符号，构造并研究了这些剩余矩阵的有限域模拟，即“$d$次幂剩余矩阵”.
2018-09-26 math.NT
On small gaps between primes and almost prime powers
在最近与D.A. Goldston和C.Y. Yildirim我们刚刚错过了一个证明素数之间有界间隙无限频繁出现的证据。在目前的工作表明，添加到素数一个更薄的一套，所谓的几乎素数权力，工会的一套素数和几乎素数权力已经包含无限多有界的差距。更确切地说，它表明，如果我们添加到一组素数要么几乎素平方正好有两个，几乎相等的素因子，或者如果我们添加到一组素数几乎素立方体正好有三个，几乎相等的素因子，那么所产生的集合已经包含无限多个有界间隙。
2010-04-07 math.NT
Fourier optimization, the least quadratic non-residue, and the least prime in an arithmetic progression
本文提出一种Fourier优化框架，在GRH假设下改进了估计模素数的最小二次非剩余和算术级数中最小素数这两个数论经典问题的渐近界。
2025-08-12 math.CA math.NT
A note on small gaps between primes in arithmetic progressions
我们实现了检测元组中的素数的Maynard-Tao方法，以研究等差数列中素数之间的小差距，其界限在一定范围内是一致的。
2015-08-29 math.NT
Uniform Bounds for the Least Almost-Prime Primitive Root
我们调查，使用加权线性筛，几乎素数之间的剩余类（mod p），产生约化剩余类的乘法群的分布。我们关心的是找到一个上界的最小素数或几乎素原根（mod p），保持一致的所有p，类似于林尼克定理的统一上界的最小素数在一个单一的等差数列（mod p）。
1998-07-20 math.NT
Blocking Sets and Power Residue Modulo Integers with Bounded Number of Prime Factors
本文建立了整数子集的 $q^{th}$ power residue 性质与有限几何中 $k$-blocking set 的等价关系，利用 Galois geometry 推导基数下界并刻画极小集合，证明该性质在 $\mathrm{PGL}(n,q)$ 作用下不变。
2025-07-16 math.NT
Gaps between Primes in Beatty Sequences
本文沿用J.Maynard最近的突破性研究方法，研究了Beatty序列中素数间隔的性质。
2015-09-23 math.NT
Residue sums of Dickson polynomials over finite fields
本文研究奇特征有限域上任意次数Dickson多项式的剩余类和问题，给出了像中不同剩余类之和的闭式表达式并刻画像集大小，首次实现次数无界多项式此类和的非平凡分类。
2022-02-10 math.NT
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
2026-02-07 math.NT
Expected gaps between prime numbers
我们直接通过Eratosthenes筛法来研究连续素数之间的间隔。使用初等方法，我们确定了这些差距和特定序列的连续差距，称为星座的递归关系。使用这种递归，我们可以估计一个素数和它的平方之间出现的间隙或星座的数量。这种递归也有明确的含义开放的问题之间的差距素数，包括三个问题提出的埃尔德什和图兰。
2007-06-06 math.NT
The Path to Recent Progress on Small Gaps Between Primes
本文介绍了一些想法，我们的工作中使用的小差距素数的发展。
2006-02-04 math.NT
Large gaps between consecutive prime numbers containing square-free numbers and perfect powers of prime numbers
我们证明了K. Ford，D. R. Heath-Brown和S. Konyagin关于无平方数的素数回避和素数的完全幂。
2015-04-07 math.NT
