Stochastic continuity equation with non-smooth velocity
David A. C., Christian Olivera
本文研究了具有非正则系数的随机连续方程解的存在唯一性。
In this article we study the existence and uniqueness of solutions of stochastic continuity equation with irregular coefficients.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Existence and smoothness of the density for the stochastic continuity equation
考虑由布朗运动驱动的随机连续方程。我们使用的技术Malliavin演算表明，法律的解决方案有一个密度相对于勒贝格测度。我们还证明了密度是Holder连续的，并满足一些高斯型估计。
Hölder continuity of velocity gradients for shear-thinning fluids under perfect slip boundary conditions
本文研究了二维有界C^{2;1}区域中的剪切旋转流体的非定常流动。假设完全滑移边界条件，在应力张量满足幂律增长p \in [5/3; 2]的条件下，证明了具有Hölder连续速度梯度和压力的解的存在性.
Loss of regularity for the continuity equation with non-Lipschitz velocity field
考虑空间维${d \geq 2}$中连续性方程的Cauchy问题.本文构造了一个在所有Sobolev空间$W^{1,p}$中一致有界的无发散速度场（对于$1 \leq p<\infty$），以及一个光滑的紧支撑的初始数据，使得具有该初始数据和平流场的连续性方程的唯一解在任何正时刻都不属于任何正分数阶的索伯列夫空间.我们还构造速度场在$W^{r,p}$，与$r>1$，和解决方案的连续性方程与这些速度表现出一些损失的规律性，只要索伯列夫空间$W^{r,p}$不嵌入Lipschitz函数的空间。我们的构造基于配套论文“不可压缩流的指数自相似混合”（J. Amer. Math. Soc. 32（2019），第2号）中的最佳混合器示例，并已在“指数自相似混合和连续性方程的正则性损失”（C. R.数学学院Sci. Paris，352（2014），no. 11）。
Exponential self-similar mixing and loss of regularity for continuity equations
我们考虑与无发散速度场相关联的连续性方程的解的混合行为。在本公告中，我们勾勒了两个明确的例子，指数衰减的混合规模的解决方案，在索伯列夫速度场的情况下，从而显示已知的下界的最优性。我们还描述了如何使用这样的例子来构造解决方案的连续性方程与索伯列夫，但非Lipschitz速度场表现出瞬时损失的任何分数索伯列夫规律。
Stochastic continuity equations with conservative noise
本文研究连续性方程的噪声适定性。即考虑具有非线性部分退化随机扰动的连续性方程的散度型解。我们证明了熵解的存在性和唯一性的假设下的速度场是弱于所需的确定性设置。这推广了[Flandoli，Gubinelli，Priola; Invent.数学，2010]适用于线性乘性噪声到非线性设置。的存在性证明依赖于一个对偶的论点，利用正则性理论的完全非线性抛物型方程。
On Lipschitz continuity and smoothness up to the boundary of solutions of hyperbolic Poisson's equation
我们解决了双曲泊松方程$Δ_h u=μ$的Dirichlet问题$\left.u\right|_{\mathbb{B}^n}=φ,$，其中$φ\in L_1(\partial \mathbb{B}^n)$和$μ$是满足增长条件的测度。接下来，我们提出了一个简短的证明Lipschitz连续性的某些双曲泊松方程的解决方案，以前建立在\cite{ChenRas}。此外，我们还研究了与Riesz势有关的双曲Laplacian的一些可供选择的假设。此外，局部Hölder连续性证明了某些双曲泊松方程的解决方案。证明了若$u$在上半空间是双曲调和函数，则当$u$的边界函数$f$在边界点$x_0$可微时，有$\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y)\to 0, y\to 0^+$.作为推论，我们证明了双曲调和函数的$C^1(\overline{\mathbb{H}^n})$光滑性，它是从$C_c^1(\mathbb{R}^{n-1})$边界值再现的。
Uniqueness of signed measures solving the continuity equation for Osgood vector fields
如果与速度场相关的特征常微分方程有唯一解，则连续性方程的非负测度值解由它们的初始条件唯一确定。本文在速度场的定量双边Osgood条件下，将这一结果部分推广到带号测度值解.我们的结果推广了Bahouri和Chemin对log-Lipschitz向量场的结果。
Absolute continuity of solutions to reaction-diffusion equations with multiplicative noise
本文证明了$L^2(G)$上抛物型耗散随机偏微分方程解在时空不动点上的绝对连续性，其中$G$是$\mathbb{R}^d$中具有光滑边界的开有界区域.该方程由乘性维纳噪声驱动，非线性漂移项是与实函数相关联的叠加算子，该实函数被假设为单调的、局部Lipschitz连续的，并且增长不快于多项式。证明，其中使用的Malliavin演算的参数，关键依赖于在温和意义下的适定性理论的随机发展方程在巴拿赫空间。
Hölder continuity of solutions to the kinematic dynamo equations
本文研究了一类三维线性抛物型偏微分方程组（运动发电机方程组）解的正则性传播。发散自由漂移速度被假定为在相对于方程的自然缩放的临界规律性水平。
Well-posedness for the continuity equation for vector fields with suitable modulus of continuity
我们证明了线性标量守恒律的适定性，只使用假设的增长和连续模的速度场，但不对它的发散。作为应用，我们得到了一类散度为无界BMO函数的向量场诱导的标量守恒律方程在原子Hardy空间H1中解的唯一性.
Riesz continuity of the Atiyah-Singer Dirac operator under perturbations of local boundary conditions
在具有光滑紧边界的光滑完备黎曼自旋流形上，证明了$\mathrm{L}^{2}$中的Atiyah-Singer Dirac算子$\mathrm{D}_{\mathcal B}$连续依赖于局部边界条件${\mathcal B}$的$\mathrm{L}^{\infty}$扰动.映射${\mathcal B} \to {\mathrm{D}}_{\mathcal B}(1 + {\mathrm{D}}_{\mathcal B}^2)^{-\frac{1}{2}}$的Lipschitz界依赖于${\mathcal B}$的Lipschitz光滑性和椭圆率、里奇曲率及其一阶导数的界以及内射半径的下界.更一般地，我们证明扰动估计的功能演算的椭圆算子流形上的局部边界条件。
On existence of Borel flow for ordinary differential equation with a non-smooth vector field
对于光滑向量场，经典的特征线方法提供了常微分方程和相应的连续性方程（或输运方程）之间的联系。我们研究了仅仅是有界波莱尔向量场的这种连接的模拟。特别是，我们表明，给定一个非负的Borel措施$\bar μ$ $\mathbb{R}^d$，存在的$\bar μ$ -可测流的有界Borel向量场是等价于存在的测量值的解决方案，以相应的连续性方程的初始数据$\bar μ$。
Sharpness of the Osgood Criterion for the Continuity Equation with Divergence-free Vector Fields
本文通过并行化机制和新固定点框架，构造了满足特定连续性模的无散速度场，展示了连续方程的非唯一性在正测度集上成立。
Moduli of Continuity for Viscosity Solutions
本文研究了一类非奇异拟线性发展方程的黏性解以及奇异退化方程的一个例子水平集中曲率流的连续模.证明了连续模是某个一维方程的粘性子解。这项工作扩展了B。Andrews最近关于光滑空间周期解的连续模的结果。
Conservation and Breakdown of Modulus of Continuity in the Propagation of Loglog Vortex for 2D Euler equation
本文研究二维 Euler 方程中 loglog 涡在连续扰动下的奇异结构持续性，证明 $0<α<1$ 时连续模可保持传播，并构造光滑扰动说明 $α>1$ 时范数瞬间爆破，从而确立阈值的尖锐性。
Optimal stability estimates for continuity equations
本文讨论了在DiPerna-Lions背景下平流速度场为Sobolev正则的连续性方程的稳定性分析。该方程的定量估计最近才得到（Seis 2016），但没有讨论最优性。在本文中，我们重新审视了（Seis 2016）的结果，将新的估计与先前已知的拉格朗日流估计进行了比较，例如（Crippa & De Lellis 2008），并最终演示如何应用这些方法来产生物理，工程或数值应用中的最优边界。
Finite Volume Method for a System of Continuity Equations Driven by Nonlocal Interactions
提出了一种新的有限体积方法，用于计算相互作用物质的非局部输运方程系统的数值逼近。这种方法是基于工作[F. Delarue，F. Lagoutire，N.张文，点势凝聚方程迎风格式的收敛性分析，张文。Lebesgue 2019]，其中非局部连续性方程被视为具有非局部、非线性、粗糙速度场的保守输运方程。我们分析了该方法的一些性质，并通过数值模拟说明了结果。
On the continuity in time of solutions to a generalized Navier--Stokes--Fourier system
本文研究了广义非牛顿不可压缩热传导流体在二维有界域中的流动，证明了在有限能量初始数据下，全局时间弱解的存在性，并建立了温度在$ L^1(Ω) $中的时间连续性。
Stability Results for the Continuity Equation
我们提供了一个深入的研究的稳定性的1-D连续性方程，模型许多物理守恒定律。在我们的系统理论的角度来看，速度被认为是一个输入。在边界条件中会出现一个附加输入（边界扰动）。在所有Lp状态范数（p>1）和sup范数下，都给出了稳定性估计。然而，在我们的输入到状态稳定性估计中，增益和过冲系数取决于速度。此外，对数范数的状态出现，而不是通常的范数。所得结果可用于含连续性方程的较大模型的稳定性分析。特别是，它示出，所获得的结果可以用于在一个简单的方式下的非本地，非线性制造模型的稳定性分析反馈控制。
Coupled continuity equations for constant scalar curvature Kähler metrics
本文研究了常数标量曲率Kähler度量的耦合连续性方程，证明了高阶估计和光滑收敛，并恢复了Kähler-Einstein度量的存在性结果。
Continuity of solutions to space-varying pointwise linear elliptic equations
考虑光滑紧致流形上的$\mathrm{L}_x u_x = η_x$形式的逐点线性椭圆型方程，其中算子$\mathrm{L}_x$为散度形式，其系数为实的、有界的、可测的，且在空间变量$x$中变化.当$\mathrm{L}_x$的系数在$x$上是$\mathrm{L}^{\infty}$ -连续的且初始数据在$x$上是$\mathrm{L}^{2}$ -连续的时，我们建立了解在$x$上的$\mathrm{L}^{2}$ -连续性.这是通过减少一个齐次加藤平方根问题的解决方案的连续性。作为一个应用程序，我们考虑了一个时间演变的家庭度量$\mathrm{g}_t$是切向的里奇流几乎无处不在时，沿着测地线开始与一个光滑的初始度量。假设我们的初始度量是一个粗糙的度量$\mathcal{M}$与$\mathrm{C}^{1}$热核上的“非奇异”非空开子集$\mathcal{N}$，我们证明了$x \mapsto \mathrm{g}_t(x)$是连续的，只要$x \in \mathcal{N}$。
On a Class of Nonlocal Continuity Equations on Graphs
针对数据科学需求，本文利用经典不动点方法证明图上一类含一般插值函数的非局部连续性方程解的存在唯一性，并指出其性质与欧氏空间存在结构差异。
Effective Lagrangian regularity and the uniqueness threshold for random Hölder velocity fields
该研究针对具有多尺度有限范围分解的随机Hölder速度场，确定了其关联方程适定性的$\alpha=1/2$临界阈值，给出了阈值下的正则性估计并验证了阈值上下的适定性转变。
Control of the Continuity Equation with a Non Local Flow
本文主要研究具有非局部流的连续性方程弱解（即一般非光滑解）的最优控制。我们的驱动示例是一个供应链模型和一个描述行人流量的方程。为此，我们证明了包括这些模型的一类方程的适定性。特别地，我们证明了解关于初始数据的可微性，并刻画了它的导数。一个合适的积分泛函的最优性的必要条件，然后如下。
Weak Continuity of the Flow Map for the Benjamin-Ono Equation on the Line
本文利用“局部光滑”估计，证明了Benjamin-Ono方程在直线上的流映射在L2（R）中是弱连续的. L2（R）被认为是该方程的局部适定性理论的边界空间。在周期情形下，Molinet [27]最近证明了Benjamin-Ono方程的流映射在L2（T）中不是弱连续的.我们的结果与Goubet和Molinet [11]在L2（R）上证明了弱连续性，Molinet [28]在L2（T）上证明了不存在弱连续性的三次非线性Schrodinger方程的结果一致.
Decay and Continuity of Boltzmann Equation in Bounded Domains
边界效应在动力学方程中是自然发生的，边界效应对于由玻尔兹曼方程控制的稀气体动力学是至关重要的。我们开发了一个数学理论来研究四种基本类型的边界条件：流入，反弹反射，镜面反射和漫反射的玻尔兹曼解决方案的时间衰减和连续性。我们建立指数衰减$L^{\infty}$规范的硬潜力的一般类光滑域附近的绝对麦克斯韦。此外，在凸区域，我们也建立连续性这些玻尔兹曼解决方案远离放牧集的速度在边界上。我们的贡献是基于一个新的$L^{2}$衰变理论和它的相互作用与微妙的$% L^{\infty}$衰变分析的线性化玻尔兹曼方程，在存在许多重复的相互作用与边界。
Renormalization of stochastic continuity equations on Riemannian manifolds
考虑定义在具有度量$h$的光滑闭黎曼流形$M$上的$$ \partial_t ρ+ \text{div}_h \left[ρ\left(u(t,x) + \sum_{i=1}^N a_i(x)\circ \frac{dW^i}{dt}\right)\right] = 0, $$形式的随机连续方程的初值问题，其中Sobolev正则速度场$u$受高斯噪声项$\dot{W}_i(t)$扰动，而高斯噪声项由$M$上的光滑空间依赖向量场$a_i(x)$驱动.我们的主要结果是，弱（$L^2$）的解决方案是重整化的解决方案，也就是说，如果$ρ$是一个弱的解决方案，那么非线性组合$S(ρ)$是一个弱的解决方案，以及，任何“合理”的功能$S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$。证明包括一个系统的程序正则化张量场的流形上，一个方便的选择图集，以简化技术计算链接到Christoffel符号，和几个DiPerna-Lions类型的转换器$\mathcal{C}_\varepsilon (ρ,D)$（一阶/二阶）几何微分算子$D$和正则化设备（$\varepsilon$是缩放参数）。这项工作与Punshon-Smith（2017）中的“欧几里德”结果有关，揭示了噪声和非线性域对弱解动力学的一些结构影响。
Uniqueness of the dissipative SQG without time-continuity assumption
研究耗散表面准地转方程在不假设时间连续性和解小性条件下的唯一性，通过能量法和分数阶热半群平滑效应证明在临界Lebesgue空间和非齐次Besov空间中的唯一性。
Holder continuity for a drift-diffusion equation with pressure
研究了具有非局部压力\[ u_t + b \cdot \grad u - \lap u = \grad p,\qquad \grad\cdot u =0 \]的线性漂移-扩散方程在$[0,\infty) \times \R^{n}$上的弱解的Hölder连续性，其中$n \geq 2$ .漂移速度$b$被假定为在临界规律性水平，相对于自然缩放的方程。这个证明利用了Campanato对Hölder空间的刻画，并使用了一个极大值原理类型的论证，通过这个论证我们控制了$u$的某些局部平均值随时间的增长。我们提供了一个估计，不依赖于任何局部小向量场$b$的条件，但只有规模不变量。
Topological entropy is generically infinite for non-Lipschitz velocity fields
研究证明，对于任何Osgood非利普希茨连续模，时间周期性ω连续速度场的流映射在巴依尔意义下通常具有无限拓扑熵。
Continuity of the solution map of some active scalar equations in Hölder and Zygmund spaces
本文证明了一族非线性输运方程（含2D Euler和3D准地转方程）在little Hölder和little Zygmund类中解映射的连续性。
Trace Ideals for Fourier Integral Operators with Non-Smooth Symbols III
我们考虑符号在调制空间中的傅里叶积分算子和二阶导数属于某种类型调制空间的非光滑相位函数。我们建立连续性和Schatten-von Neumann性质的这些运营商时，作用于调制空间。
Evolution equations on co-evolving graphs: long-time behaviour and the graph continuity equation
该研究聚焦协同演化无限图上的演化方程，建立其与依赖图的非线性连续性方程的严格联系，通过分析弱解与流映射的关系，证明适当距离下的收缩性，并在逐点单调速度条件下证明迎风动力学解向均匀质量分布的长时间收敛。
A generalized Levi condition for weakly hyperbolic Cauchy problems with coefficients low regular in time and smooth in space
本文考虑系数在时间上低正则空间上光滑的弱双曲$m$阶偏微分方程的Cauchy问题.众所周知，即使系数是光滑的，通常也必须施加Levi条件才能获得$C^\infty$或Gevrey适定性。我们用连续模来描述系数关于时间的正则性，用权序列来描述它们关于空间的正则性，用权函数来定义解空间。此外，我们提出了一个广义的列维条件，模型的影响，多个特征更自由。我们建立了柯西问题适定性的充分条件，将Levi条件、连续模和系数的权序列与解空间的权函数联系起来.另外，我们还得到了Levi条件和系数的低正则性对解空间的权函数的影响是相互独立的。
Strictly Hyperbolic Equations with Coefficients Low-Regular in Time and Smooth in Space
本文考虑系数在时间上低正则空间上光滑的严格双曲$m$阶偏微分方程的Cauchy问题.众所周知，这个问题在Lipschitz时间连续系数的情况下是$L^2$适定的，在Log-Lipschitz时间连续系数的情况下是$H^s$适定的（通常导数损失有限），在Hölder时间连续系数的情况下是Gevrey适定的（通常导数损失无限）。在这里，我们使用连续模来描述的规律性系数关于时间，权序列的特征，其规律性关于空间和权函数定义的解决方案的空间。我们建立了柯西问题的适定性的充分条件，将连续模和系数的权序列与解空间的权函数联系起来。著名的Lipschitz，Log-Lipschitz和Hölder系数的结果被恢复。
Minimizing fractional harmonic maps on the real line in the supercritical regime
本文讨论了从区间到光滑流形的$s\in(0,1/2)$阶分数调和映射极小化的正则性问题。对一般目标建立了远离局部有限集的Hölder连续性。如果目标是标准球体，那么Hölder连续性处处成立。
Trace ideals for Fourier integral operators with non-smooth symbols II
我们考虑符号在调制空间中的傅里叶积分算子和二阶导数属于某种类型调制空间的非光滑相位函数。我们建立连续性和Schatten-von Neumann性质的这些运营商时，作用于调制空间。
The continuity equation for Hermitian metrics: Calabi estimates, Chern scalar curvature and Oeljeklaus-Toma manifolds
该研究针对埃尔米特度量的连续性方程解证明局部卡拉比及高阶估计，推导紧复流形上解的陈标量曲率在有限时间奇点处爆破的结论，并验证Oeljeklaus-Toma流形上特定初值的度量当t→∞时收敛到特定非负(1,1)-形式。
Optimal gradient continuity for degenerate elliptic equations
建立了一类二阶偏微分方程$\mathscr{L}(X, \nabla u, D^2 u) = f$解的新的最优梯度连续性估计，该方程的扩散性质（椭圆性）沿着现有解$\mathscr{S}(u) := \{X : \nabla u(X) = 0 \}$的\textit{a priori}未知奇异集退化.我们的主要结果的创新功能涉及其最优性-尖锐的，编码的平滑后效的运营商。这样的定量信息通常在分析一些分析和几何问题中起着决定性的作用。我们的结果是新的，甚至对经典方程$|\nabla u | \cdot Δu = 1$。我们进一步应用这些新的估计在椭圆偏微分方程理论中的一些著名的问题的研究。
Approximate and exact controllability of the continuity equation with a localized vector field
本文研究了人群模型中一类迁移型偏微分方程的能控性。我们感兴趣的是控制它的控制是一个向量场，代表扰动的速度，本地化的一个固定的控制集。我们证明，对于每个初始和最终的配置，一个可以转向近似一个到另一个与Lipschitz控制时，不受控制的动态允许跨越控制集。我们还表明，精确能控性只适用于控制的规律性较低，其中一个可能会失去相关的解决方案的唯一性。
Lyapunov stability of the equilibrium of the non-local continuity equation
本文针对非局部连续性方程驱动的概率测度空间动力系统，通过分析非光滑 Lyapunov 函数推导平衡点稳定性的充分条件，并将线性动力学稳定性简化为切空间二次型研究，最后以梯度流和耦合数学摆系统为例验证。
Potential scattering and the continuity of phase-shifts
设$S(k)$是薛定谔算子（拉普拉斯算子+位势）在具有紧支撑光滑位势的$\RR^n$上的散射矩阵.众所周知，$S(k)$是酉的，并且$S(k)$的谱在单位圆上仅在1处累积;此外，$S(k)$解析地依赖于$k$，因此其特征值解析地依赖于$k$，只要这些值远离1。我们给出了$\RR^n$上光滑的紧支势的例子，其中（i）散射矩阵$S(k)$对任何$k > 0$都不具有1作为本征值，（ii）存在$k_0 > 0$使得存在S（k）$ converging to 1 as $ k \downarrow k 0 $. This shows that the eigenvalues of the scattering matrix, as a function of $ k $, do not necessarily have continuous extensions to or across the value 1. In particular this shows that a `micro-Levinson theorem' for non-central potentials in $ \RR^3 $的解析本征值分支$e^{2iδ(k)}$.牛顿不正确。
Comparison of some solution concepts for linear first-order hyperbolic differential equations with non-smooth coefficients
讨论正则系数低于Lipschitz连续的线性双曲型方程的解的概念。因此，我们的重点是理论的基础上，无论是概括的方法的特征或有关能源估计的技术完善。我们提供了一系列的例子，既作为简单的说明所涉及的概念和条件，但也显示概念之间的逻辑独立性。
Eulerian and Lagrangian solutions to the continuity and Euler equations with $L^1$ vorticity
本文的第一部分建立了速度场的连续性方程的唯一性结果，其导数可用$L^1$函数的奇异积分算子表示，推广了\cite{BouchutCrippa13}中的拉格朗日理论。证明是基于\cite{Seis16a}中开发的最优输运技术和\cite{BouchutCrippa13}中引入的调和分析的一些工具的稳定性估计的组合。在本文的第二部分中，我们解决了一个问题，出现在\cite{FilhoMazzucatoNussenzveig06}，即是否二维欧拉解通过消失粘度重整化（在意义上的DiPerna和狮子）时，初始数据具有低的可积性。我们表明，即使初始涡度仅在~ $L^1$中，也是这种情况，从而扩展了\cite{CrippaSpirito15}中$L^p$情形的证明。
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