Cluster Algebras of Type $D_4$, Tropical Planes, and the Positive Tropical Grassmannian
我们证明了$D_4$模反射旋转型星系团的组合类型数正好等于$\mathbb{TP}^5$中热带面的组合类型数。这是由于Sturmfels和Speyer使用热带格拉斯曼$\operatorname{Gr}(3,6)$的详细研究将这些热带飞机分为七个组合类。Speyer和Williams指出，这个热带格拉斯曼阶的正部分$\operatorname{Gr}^+(3,6)$在组合上相当于$D_4$型星团扇的一个小的粗化。我们给出了$\operatorname{Gr}^+(3,6)$的射线与$D_4$型的几乎正根之间的结构双射，使得这种联系更加精确.这种双射允许我们使用的pseudotriangulations模型的集群代数的类型$D_4$来描述等价的“积极的”热带飞机在$\mathbb{TP}^5$，给出一个组合模型，其特征在于组合类型的热带飞机使用的自同构的pseudotriangulations的三角形。
2015-11-09 math.AG math.CO math.RA
Computing positive tropical varieties and lower bounds on the number of positive roots
本研究提出两种计算代数簇正热带化的有效工具，给出热带几何基本定理与横截相交定理的实数版本，据此提出计算参数化多项式方程组正实根组合界的算法，并探讨其在化学反应网络正稳态数量研究中的应用。
2025-07-30 math.AG
A combinatorial extension of tropical cycles
本文利用线性 poic-复形与 poic-纤维化，将热带相交理论扩张到锥商粘合空间，定义热带循环与前推映射，并为热带曲线模空间及离散容许覆盖研究提供框架。
2025-01-08 math.AG math.CO
Combinatorial patchworking: back from tropical geometry
本文将热带几何中的拼贴结果转回格点多面体三角剖分框架，证明其可推广至非凸情形，从而简化并推广实环簇 $T$-子流形拓扑的相关结论。
2024-01-19 math.AG math.CO
Tropical independence II: The maximal rank conjecture for quadrics
基于我们先前关于热带线性级数中因子的热带独立性和形状的结果，我们给出了二次型最大秩猜想的热带证明。我们还证明了一个热带模拟的最大Noether定理的二次曲线包含一个典型的嵌入曲线，并说明一个组合猜想热带独立链的循环，这意味着最大秩猜想代数曲线。
2015-06-05 math.AG
Tropical Combinatorial Nullstellensatz and Sparse Polynomials
热带代数出现在代数几何、数学物理和组合优化等数学领域。在某种程度上，它的重要性与这样一个事实有关，即它使数学对象的各种参数可以通过计算访问。热带多项式在这方面发挥了重要作用，特别是在代数几何的情况下。另一方面，热带多项式背后的许多代数问题仍然是开放的。在本文中，我们解决四个基本问题的热带多项式密切相关的计算性质：1。给定一个多项式，它有一定的支持（单项式的集合）和一个（有限的）输入集合，什么时候多项式可能在所有这些输入上为零？2.一个更精确的问题，给定一个具有一定支持度和一组（有限）输入的多项式，这个多项式在这组输入上可以有多少根？3.给定一个整数$k$，对于哪个$s$，存在一组$s$输入，使得具有至多$k$单项式的任何非零多项式在这些输入中具有非根？4.有多少整数根可以有一个由热带代数回路给出的一元多项式？在经典代数中，关于这类问题的著名结果是N的组合零点定理。Alon，J. Schwartz - R. Zippel引理和稀疏多项式的通用检验集。最后一个问题的经典类比被称为$τ$ -猜想，由于M。舒布- S。斯梅尔在本文中，我们提供的结果，这四个问题的热带多项式。
2019-04-25 cs.CC math.AG
Tropical Attention: Neural Algorithmic Reasoning for Combinatorial Algorithms
Origins Data Science Lab（Origins数据科学实验室）；Technical University of Munich（慕尼黑技术大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生学院）
本文提出基于热带几何的注意力机制，通过多面体决策边界提升组合算法推理的锐度与鲁棒性，首次将神经算法推理扩展到NP难问题。
2025-10-23 cs.LG math.AG math.CO
Implicitization of surfaces via geometric tropicalization
在本文中，我们进一步发展的几何热带化理论，由于黑客，龙骨和Tevelev和我们描述的热带方法的表面隐式化。更确切地说，我们丰富了这一理论与热带多重性的组合公式在任意维度的正则点，我们证明了一个猜想的Sturmfels和Tevelev关于充分的组合条件，通过几何热带化计算热带品种。利用这两个结果，我们扩展了以前的工作Sturmfels，Tevelev和Yu的热带隐含的通用表面，我们提供的方法接近非通用的情况下。
2012-05-23 math.AG math.CO
Combinatorics of the tropical Torelli map
本文对亏格g的热带曲线的模空间、主极化热带阿贝尔簇的模空间和热带Torelli映射进行了组合和计算研究。这些对象是最近由Brannetti，Melo和Viviani介绍的。本文给出了Stacky Fans范畴的一个新定义，其中上述模空间是Stacky Fans范畴的对象，Torelli映射是Stacky Fans范畴的一个态射。我们计算了至多5个属的热带M_g胞腔和热带Schottky轨迹的偏序集。我们证明了热带A_g是Hausdorff的，并且构造了A_3的有限指数覆盖，它满足热带型平衡条件。许多不同的组合对象，包括正则拟阵，半正定形式和度量图，发挥作用。
2011-02-28 math.AG math.CO
Catalan-many tropical morphisms to trees; Part I: Constructions
研究了亏格- $g$度量图的树一致性，定义为度量图的任何热带变形到度量树的热带态射的最小度。我们给出了一个组合建设性的证明，这个数字是最多$\lceil g/2 \rceil + 1$，一个事实，其证明到目前为止，需要通过特殊的因子代数几何绕道曲线。对于偶数亏格，实现该界的热带态射属于一类纯$3g-3$维数的热带态射，并且在亏格- $g$度量图的模空间上具有一般有限到一的映射.我们的方法集中在这些家庭的研究。这是第一部分在一系列的两篇论文：在第一部分，我们固定的组合类型的度量图，而在第二部分，我们改变组合类型，并表明，一些热带态射，计数与适当的多重性，是相同的加泰罗尼亚数，计数态射从属- $g$曲线的投影线。
2020-07-30 math.AG math.CO
An Invitation to Tropical Alexandrov Curvature
本文研究热带投影环面中热带度量下的 Alexandrov 曲率，揭示三角形组合类型与曲率符号与未定义性的紧密联系，并结合证明与计算实验讨论其统计意义。
2023-02-10 math.AG math.MG
Uniformizing Tropical Curves I: Genus Zero and One
在热带几何中，给定一个复曲面簇中的曲线，我们定义一个嵌入在欧几里得空间中的对应图。我们研究的问题，扭转这个过程的曲线亏格0和1。我们的方法侧重于描述曲线的参数化，而不是由他们的定义方程，我们给参数化的有理函数在属零的情况下，非阿基米德椭圆函数在属一的情况下。对于亏格为零的曲线，那些可以提升的图可以用完全组合的方式来刻画。对于亏格为1的曲线，证明了Mikhalkin给出的某些条件是充分的，并给出了一个新的必要条件。
2007-11-18 math.AG
Tropical varieties with polynomial weights and corner loci of piecewise polynomials
我们发现了几个多面体的混合体积和它们的并集的凸包之间的关系，从以下事实推导出它：一个多面体集合的混合体积只取决于它们的支撑函数的乘积（而不是单个支撑函数）。对于整数多面体，这种依赖性本质上是两个著名的复曲面上同调组合模型之间同构的某种特殊化，然而，这种构造迄今为止还没有扩展到任意多面体（部分原因是缺乏能够替代复曲面几何的组合工具，当顶点不是理性的）。我们提供了这样一个扩展，这导致了一个明确的公式的混合体积的产品的支撑函数，也可能是有趣的，因为组合工具（热带品种多项式权重和他们的角落轨迹），出现在我们的建设。作为这些新对象的另一个可能应用的例子，我们注意到热带流形M中的每个热带子簇都可以局部地表示为M与另一个热带簇（可能具有负权重）的交集，并推测这一事实对奇异M的某些推广。关于热带流形的子簇的上述事实可能是独立的兴趣，因为它意味着最近由Allerman，Francois，Rau和Shaw构造的关于热带流形的相交理论是从环境向量空间局部导出的。
2011-03-15 math.AG math.CO
Floor decompositions of tropical curves : the planar case
在以前的论文中，我们宣布了一个公式来计算Gromov-Witten和Welschinger不变量的一些环面品种，在组合对象称为地板图。我们在这里给出详细的证明，在热带几何框架的情况下，当周围的品种是一个复杂的表面，并给出一些例子的计算使用地板图。与任意维相比，二维的关注是由楼层图的特殊组合所激发的。我们对待一个一般复曲面的情况下，在这个维度：曲线是由一个任意的晶格多边形，并包括计算Welschinger不变量对的共轭点。另请参阅\cite{FM}，了解投影情况下楼层图的组合处理。
2019-07-01 math.AG math.CO
Tropical Homotopy Continuation
受数值同伦方法的启发，我们提出了一种组合同伦算法，用于求解n元热带多项式组的所有孤立解。特别是，热带化的数值“再生”技术导致一种新的方法，用于枚举混合细分的混合细胞。这种热带方法与Malajovich最近的算法有一些共同的想法。然而，我们的算法有几个优点。它是无记忆的，可并行的树遍历，精确的，并依赖于符号扰动。我们的计算实验表明，该方法是有竞争力的，特别是快速的Katalina类的例子。
2016-01-12 math.AG math.CO
Tropical geometry, the motivic nearby fiber and limit mixed Hodge numbers of hypersurfaces
动机邻近纤维是通过在圆盘上退化一个复杂簇而得到的不变量。它专门针对原始变种的欧拉示性数，但也包含与退化相关的Hodge结构的变化的信息，其被编码为极限混合Hodge结构。然而，这个不变量在实际中很难计算。利用热带几何的技巧，我们提出了一个新的附近纤维的motivic公式。此外，由于有一系列可用的软件实现热带几何的主要算法，我们的公式可以在实践中计算。我们专门的情况下，家庭的schön复杂的超曲面的环面，我们提供明确的公式描述行动的单值的单幂部分的分等级件（相对于德利涅重量过滤）的上同调与紧支持。这些家庭的组合描述的多面体细分相关联的牛顿多面体。我们开发了新的混合霍奇理论启发的组合不变量，这样的细分，其中的“精制极限混合$h^*$ -多项式”。这些不变量是有关斯坦利的组合研究细分：在同伴的组合文件，其结果适用于这里，我们将不变量在斯坦利的理论，他们成为多变量扩展他的不变量。我们的结果推广了Danilov和Khovanski{ \u}以及Batyrev和Borisov关于超曲面的Hodge数的工作.我们还提出了类似的公式描述的单值的单幂部分的作用在一个家庭的投影复曲面簇的Schön超曲面的交集上同调群。
2014-12-02 math.AG math.CO
The ring of local tropical fans and tropical nearby monodromy eigenvalues
我们将热带相交理论推广到解析集芽的热带化。特别是，我们构建了一个（不完全明显的）本地版本的环的热带风扇与非退化的交叉配对。作为一个应用，我们研究附近的monodromy特征值-monodromy算子的奇异性的特征值，邻近于一个给定的奇点的全纯函数$f$。更确切地说，我们用$f$的某些分辨率来表示这些值中的一些。该表达式是根据任意余维的例外因子层给出的，推广了经典的A 'Campo公式，该公式只消耗余维1层，并且只产生在原点的单值特征值。为了这个目的，我们引入热带特征类的芽的分析集，并使用这种演算来检测附近的monodromy特征值，我们称之为热带。该研究的动机是由Igusa，Denef和Loeser的monodromy命题：$f$的适当的局部zeta函数的每一个极点诱导附近的monodromy特征值。我们提出了一个可能更强的版本这个猜想：所有极点的本地zeta函数诱导热带附近的单值特征值。特别地，如果奇点相对于其牛顿多面体$N$是非退化的，那么热带单值特征值可以用$N$的某些面的纤维多面体来表示，所以我们的猜想（与原来的猜想不同）成为关于多面体的纯组合陈述。在与A的联合工作中，这一陈述被证实为4维拓扑zeta函数。Lemahieu和K. Takeuchi，其中，特别是，支持我们的猜想，并证明了原来的一个非退化奇异的4个变量。
2021-09-21 math.AG
Tropical Geometry and the Motivic Nearby Fiber
从代数环面的热带化和初始退化出发，构造了代数环面的子簇的motivic不变量。更具体地说，我们引入了一个不变量的紧化这样的品种称为“热带motivic附近的纤维。“这个不变量专门用于schon情况下的Hodge-Deligne多项式的极限混合Hodge结构的相应退化。我们给纯粹的组合表达式，这Hodge-Deligne多项式的情况下，Schon超曲面和光滑的热带品种。我们还推导出了一般退化纤维的欧拉示性数公式。
2011-01-16 math.AG math.CO
Mustafin varieties, moduli spaces and tropical geometry
Mustafin变种是射影空间的平坦退化，由在非阿基米德域上的向量空间中选择格的$n-$元组引起。他们介绍了Mustafin在70年代，以概括芒福德的开创性工作的unformisation曲线更高的层面。这些品种有丰富的组合结构，可以看出在开创性的工作卡特赖特，哈比希，Sturmfels和维尔纳。本文利用Li研究的有理映射的象，给出了Mustafin簇的一种新的研究方法。应用热带相交理论和热带凸包计算，我们给出了Mustafin簇的特殊纤维的不可约分支的一种新的组合描述.这可以连接到各种主题。特别是，我们看到，任何多视图品种出现作为一个不可约的组成部分的特殊纤维的一些Mustafin品种。此外，我们使用的Mustafin品种作为一个模函子介绍法尔亭将它们与某些模函子，称为链接格拉斯曼。这些对象在极限线性级数理论中具有特色。关于连锁格拉斯曼菌的研究焦点是所谓的\textit{simple points}。作为Mustafin品种的新的组合描述的直接后果，我们证明了单点的联系格拉斯曼是密集的每一个纤维。最后，我们使用的连接，以链接格拉斯曼，与特定的纤维Mustafin品种的单一志村品种的某些地方模式。
2018-10-28 math.AG math.CO
Rank of divisors on tropical curves
我们调查，使用纯组合的方法，结构和算法性质的线性等价类因子的热带曲线。特别地，给出了热带曲线的Riemann-Roch定理的初等证明，类似于Baker和Norine最近对图的Riemann-Roch定理的证明。此外，还证实了Baker关于（非度量）图上的因子D的秩等于其对应的度量图上的因子D的秩的猜想，并构造了热带曲线上因子的秩的计算算法.
2016-02-21 math.AG math.CO
The Brill-Noether rank of a tropical curve
我们构造了一个空间分类因子类的一个固定的程度上的所有热带曲线的一个固定的组合类型，并表明，功能采取一个因子类的秩是上连续的。本文将度量图的Brill-Noether秩的定义推广到热带曲线，并利用秩函数关于因子的上连续性证明了热带曲线族的Brill-Noether秩是上连续变化的.此外，我们提出了一个专门化引理的Brill-Noether秩的热带曲线与维数的Brill-Noether轨迹的阿尔及利亚曲线。
2014-04-01 math.AG math.CO
The Gamma Conjecture for Tropical Curves in Local Mirror Symmetry
我们通过热带曲线将一个支撑在全纯曲线上的相干层与其局部镜像对称的镜像Langrangian子流形联系起来，利用热带曲线的组合信息解释它们的中心荷，从而证明了局部镜像对称的Gamma猜想.进一步，我们把这种描述放在局部镜像对称的Gross-Siebert模型中，并证实了Gross-Siebert模型中的参数是镜像对称的正则坐标。
2022-06-07 math.AG math.SG
Limit linear series: combinatorial theory
本文在度量图上基于超立方体秩函数和斜率结构发展了极限线性系的纯组合理论，完成了秩一情形的完整分类并探讨了与热带代数及组合代数几何的联系。
2024-09-30 math.AG math.CO
Computing complex and real tropical curves using monodromy
University of Notre Dame（圣母大学）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文提出利用同伦持续、单值性循环和柯西积分计算复和实热带曲线的算法，展示了多个示例，基于Bertini软件实现。
2016-05-13 cs.NA math.AG math.NA
Equality of tropical rank and dimension for semimodules of tropical rational functions, and computational aspects
CNRS–Laboratoire de mathématiques d’Orsay, Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心-奥赛数学实验室，巴黎萨克雷大学）；CNRS–CMAP, École polytechnique, Institut polytechnique de Paris（法国国家科学研究中心-应用数学与计算中心，巴黎综合理工学院，巴黎理工学院）；I2M, Université d’Aix-Marseille（马赛数学研究所，艾克斯-马赛大学）
本文证明了热带有理函数semimodule的热带秩等于其拓扑维数，并探讨了计算热带秩的复杂性。
2026-03-06 math.AG math.CO
Geometric and Combinatorial Structure of Hypersurface Coamoebas
设$V$是由多项式$f$与牛顿多面体$Δ$定义的复代数超曲面.众所周知，其变形虫的棘具有热带超曲面的结构。本文证明了存在复热带超曲面$V_{\infty, f}$，使得它的coamoeba与$V$的coamoeba的实环面中的闭包同胚.此外，$V_{\infty, f}$的coamoeba包含$(n-1)$ -环面的排列，仅取决于$Δ$的几何形状和$f$的系数。此外，我们可以考虑这种安排，作为一个加权的余对偶超平面安排的实环面的普遍覆盖，并满足平衡条件（类似于热带超曲面）。这种余偶超平面排列被称为复杂变形虫的{ \em壳}（复杂变形虫脊椎的表亲）。%（或复合体coamoeba的{ \em平均轮廓}）。利用这种组合的变形虫结构，我们证明了由最大稀疏多项式定义的复代数超曲面的变形虫是实心的。更确切地说，我们刻画了Forsberg，Passare和Tsikh定义的序映射的图像。
2009-06-15 math.AG math.CV math.GT
Divisorial and geometric gonality of higher-rank tropical curves
我们考虑度量图的一个变种，其中的边长取值于交换幺半群，作为热带曲线概念的高阶概括。将Baker和Norine在组合图上定义的筹码射击游戏的除法性推广到幺半群度量图上。定义了么半群度量化图的几何角度为么半群度量化树上的水平共形、非退化态射的最小度，并证明了在么半群度量化情形下，几何角度是除子角度的一个上界.我们还证明了存在一个细分的基本图的角不大于么半群度角。我们把它与对数曲线间映射的最小度联系起来。
2022-09-16 math.AG math.CO
The Schläfli Fan
光滑的热带三次曲面由三四面体的单模次扇中的最大锥参数化。有$344\, 843 \,867$这样的圆锥体，被组织成$14\,373\,645$对称类的数据库。Schläfli风扇进一步完善了这些锥体。它揭示了热带三次曲面上所有可能的线条模式，从而为通用的Fano变体提供了组合底空间。本文发展了相关理论，为热带几何学的大数据分析提供了一个蓝图。
2020-04-05 math.AG math.CO
