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arXiv 1609.00784math.CA
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交换子、小BMO和弱分解

Commutators, Little BMO and Weak Factorization

Xuan Thinh Duong, Ji Li, Brett D. Wick, Dongyong Yang

备注：
17 pages. To appear in Annales de l'Institut Fourier
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摘要：

本文给出了Cotlar-Sadosky和Ferguson-Sadosky研究的小BMO空间bmo $(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$的预对偶$h^1(\mathbb{R})$的弱分解的一个直接的构造性证明，即对于每个$f\in h^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$，存在序列$\{α_j^k\}\in\ell^1$和函数$g_j^k,h^k_j\in L^2(\mathbb{R}^2)$，使得在$h^1(\mathbb{R})$的意义上的\begin{align*} f=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^\inftyα^k_j\Big(\, h^k_j H_1H_2 g^k_j - g^k_j H_1H_2 h^k_j\Big) \end{align*}，其中$H_1$和$H_2$分别是第一和第二变量上的希尔伯特变换。此外，根据$\|g^k_j\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}$和$\|h^k_j\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}$给出了范数$\|f\|_{h^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R})}$。通过对偶性，这直接意味着换位子$[b,H_1H_2]$的范数关于$\|b\|_{{\rm bmo}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})}$的下界。我们的方法绕过使用的解析性和傅里叶变换，因此可以扩展到高维的情况下，在任意$n$参数设置的Riesz变换。

英文摘要：

In this paper, we provide a direct and constructive proof of weak factorization of $h^1(\mathbb{R})$ (the predual of little BMO space bmo$(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ studied by Cotlar-Sadosky and Ferguson-Sadosky), i.e., for every $f\in h^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ there exist sequences $\{α_j^k\}\in\ell^1$ and functions $g_j^k,h^k_j\in L^2(\mathbb{R}^2)$ such that \begin{align*} f=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^\inftyα^k_j\Big(\, h^k_j H_1H_2 g^k_j - g^k_j H_1H_2 h^k_j\Big) \end{align*} in the sense of $h^1(\mathbb{R})$, where $H_1$ and $H_2$ are the Hilbert transforms on the first and second variable, respectively. Moreover, the norm $\|f\|_{h^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R})}$ is given in terms of $\|g^k_j\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}$ and $\|h^k_j\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}$. By duality, this directly implies a lower bound on the norm of the commutator $[b,H_1H_2]$ in terms of $\|b\|_{{\rm bmo}(\mathbb{R}\times\mathbb{R})}$. Our method bypasses the use of analyticity and the Fourier transform, and hence can be extended to the higher dimension case in an arbitrary $n$-parameter setting for the Riesz transforms.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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