Duality based error control for the Signorini problem
本文针对 Signorini 问题提出基于对偶稳定性结果的残差型后验误差估计，通过分别处理误差正负部并构造保号保界插值算子，在二维 L^p 空间中建立了严格误差界，并用数值实验验证了估计量的鲁棒性。
2024-04-01 cs.NA math.NA
The Penalty Free Nitsche Method and Nonconforming Finite Elements for the Signorini Problem
University College London（伦敦大学学院）；Jönköping University（延雪平大学）；Umeå University（于默奥大学）
本文提出并分析了一种基于非线性位移函数的Nitsche方法，用于接触问题，无需惩罚项，采用非匹配线性单元，证明了能量范数下的最优误差估计。
2016-09-13 cs.NA math.NA
A CutFEM method for Stefan-Signorini problems with application in pulsed laser ablation
Cardiff University（卡迪夫大学）
本文提出了一种用于单相Stefan问题的CutFEM方法，利用水平集函数隐式表示工件几何，并通过Nitsche型方法将线性问题转化为非线性问题，实现了稳定的数值解法，并通过数值实验验证了方法的鲁棒性和灵活性。
2018-08-14 cs.NA math.NA
A DPG method for the quad-curl problem
我们推导出二维和三维四元旋度问题的超弱变分形式。我们提出了一个间断的Petrov-Galerkin（DPG）方法的逼近，并证明了其拟最优收敛性。我们说明了如何将这种方法可以应用到斯托克斯问题在两个维度上，应用程序的卷曲算子，以消除压力变量。以这种方式，可以使用从Kirchhoff-Love板已知的DPG技术。我们提出了一个先验的误差估计，提高了以前的近似结果的有效剪切力，通过使用一个限制较少的规律性假设。数值实验说明了我们的发现。
2023-01-25 cs.NA math.NA
The DPG-star method
The Institute for Computational Engineering and Sciences (ICES), The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）；Portland State University（波特兰州立大学）；Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文提出了一种新的有限元方法DPG-star，该方法在某种意义上是断续Petrov-Galerkin方法的对偶方法。DPG方法可以看作是求解过定离散化边值问题的手段，而DPG-star方法则是求解欠定离散化问题的手段。通过将相同的算子方程嵌入到两个不同的鞍点问题中，这两种观点得到了发展。分析这两个问题有许多共同点。与其他方法的比较补充了新视角。值得注意的是，DPG-star和DPG方法可以分别视为$\mathcal{L}\mathcal{L}^\ast$和最小二乘方法的推广。本文详细讨论了DPG-star方法的先验误差分析和后验误差控制。提供了几个数值实验的结果，展示了新方法的本质特征。DPG-star和DPG分析结果的一个显著差异是前者收敛率受一个额外Lagrange乘数变量正则性的影响。
2018-09-10 cs.NA math.NA
A robust DPG method for large domains
我们观察到一个戏剧性的缺乏鲁棒性的DPG方法解决问题时，大型域和稳定性是基于庞加莱型不等式。我们展示了如何鲁棒性可以通过使用适当的缩放测试规范重新建立。作为模型的情况下，我们研究的泊松问题和基尔霍夫-爱板弯曲模型，也包括完全离散的最佳检验函数近似的变量。对两个模型问题，包括各向异性区域和混合边界条件的数值实验，证实了我们的研究结果。
2020-11-24 cs.NA math.NA
DPG method with optimal test functions for a transmission problem
Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教公立大学数学学院）
本文提出并分析了一种求解全空间椭圆传输问题的数值方法，采用变分公式和超弱公式，并利用DPG方法与最优测试函数保证离散inf-sup条件，证明主未知量近似准最优，并通过数值实验验证了最优收敛阶。
2014-12-15 cs.NA math.NA
DPG approximation of eigenvalue problems
本文讨论Laplace本征值问题的间断Petrov-Galerkin逼近。我们特别考虑了该问题的原始和超弱公式，并证明了收敛性以及先验误差估计。此外，我们提出了两种可能的误差估计，并进行相应的后验误差分析。理论结果得到了数值证实，并表明误差估计器可以用来设计一个最优收敛的自适应方案。
2020-12-11 cs.NA math.NA
Robust coupling of DPG and BEM for a singularly perturbed transmission problem
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文研究了包含奇异摄动反应扩散方程和外部区域拉普拉斯方程的传输问题，采用DPG与边界元方法耦合求解，证明了在平衡范数下解的鲁棒性，通过局部计算最优测试函数并进行二维数值实验验证。
2016-09-20 cs.NA math.NA
Multistage DPG time-marching scheme for nonlinear problems
本文针对非线性常微分方程和抽象发展方程，提出基于DPG格式的多级时间推进方法，通过级间后处理避免额外指数运算，比经典指数Rosenbrock方法更高效，并证明方法可达二至四阶精度。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Superconvergent DPG methods for second order elliptic problems
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文研究了基于超弱公式的二阶椭圆问题的DPG方法，通过提高多项式次数或局部后处理实现标量场的超收敛，证明了在对流存在时仅准最优测试范数能获得更高收敛速度，并展示了DPG方法在L²范数下的最佳逼近性。
2017-12-20 cs.NA math.NA
A DPG method for the circular arch problem
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；University of Oulu（奥卢大学）
本文提出一种DPG方法用于圆弧问题，结合膜、横向剪切和弯曲效应，通过最优测试函数构建超弱变分公式，并验证了方法的收敛性和精度。
2026-04-12 cs.NA math.NA
DPG methods for a fourth-order div problem
研究了一类四阶div问题及其具有最优检验函数的间断Petrov-Galerkin方法的逼近。我们提出了两种变体，基于一阶和二阶系统。在这两种情况下，我们证明适定性的制定和准最佳的逼近收敛。我们的分析包括全离散格式与近似的检验函数，一般尺寸和多项式次数的一阶情况下，和二维和最低阶近似的二阶情况下。数值结果表明，准均匀和自适应加细网格的性能。
2021-12-30 cs.NA math.NA
The DUNE-DPG library for solving PDEs with Discontinuous Petrov--Galerkin finite elements
IGPM, RWTH Aachen（德国亚琛工业大学 IGPM）；Université Paris-Dauphine, PSL Research University, CEREMADE（巴黎第九大学 PSL 研究大学）
本文介绍Dune-DPG库，该库基于Dune有限元包，提供灵活的模块化结构，可解决包括传输主导问题在内的多种PDE类，并支持后处理误差控制与自适应策略开发。
2016-02-26 cs.NA math.NA
A Barrier-Regularized Symmetric Nitsche Method for the Signorini Problem
该研究提出并分析了用于Signorini问题的障碍正则化对称Nitsche方法，证明其离散问题的可解性、收敛速率等理论结果，数值实验验证了相关理论并发现平滑处理难以良好分辨接触集。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Superconvergence in a DPG method for an ultra-weak formulation
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文研究了反应扩散问题的超弱变分公式的DPG方法，通过改进近似结果证明了标量场变量的更高收敛率，并通过元素内后处理证明了超收敛性。
2017-12-20 cs.NA math.NA
DPG method with optimal test functions for a fractional advection diffusion equation
Clemson University（克莱姆森大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出了一种分数对流扩散问题的超弱变分公式，并证明其适定性，基于该公式定义了具有最优测试函数的DPG近似，并展示了其近优收敛性，数值实验验证了均匀和自适应细化网格下的预期收敛特性。
2015-07-23 cs.NA math.NA
A DPG method for linear quadratic optimal control problems
针对带控制约束的线性二次最优控制问题，提出带最优检验函数的DPG方法，证明唯一最优解并建立先验与后验误差估计，且通过数值实验验证理论结果。
2023-08-17 cs.NA math.NA math.OC
Analysis of backward Euler primal DPG methods
我们分析了一类抛物型问题的原始DPG格式的向后欧拉时间推进格式。最佳误差估计显示在自然范数和$L^2$范数的字段变量。对于热方程的解决方案，我们的原始DPG制定等于解决方案的标准Galerkin计划，因此，最佳的误差界中找到的文献。然而，在对流和反应项的存在下，后者的身份是无效的，最佳误差界的分析需要诉诸椭圆投影算子。至关重要的是，这些运营商的投影相对于PDE的空间部分，在标准的Galerkin计划，而不是相对于完整的PDE在一个时间步长，如前所述。
2021-03-22 cs.NA math.NA
On a Stable Method for Option Pricing: Discontinuous Petrov-Galerkin Method for Option Pricing and Sensitivity Analysis
Demkowicz和Gopalakrishnan在他们的第一篇论文中介绍的间断PetrovGalerkin（DPG）方法已被广泛用于计算力学问题。本文在Black-Scholes基本模型下，提出了期权定价和灵敏度分析的DPG方法。在本研究中，原始和超弱的DPG方法的公式推导出香草期权，美式期权，亚式期权，障碍期权。进行了广泛的标准数值实验，以检查所提出的方法的收敛性，稳定性和效率分别为每一个选项。此外，开发了一个基于DPG方法的期权定价C++高性能（HPC）程序，可供公众定制，用于期权定价问题或其他相关问题。
2023-02-17 cs.NA math.NA
A numerical study of the pollution error and DPG adaptivity for long waveguide simulations
高频波传播在声学、弹性动力学和电磁学中有许多重要的应用。不幸的是，这些问题的有限元离散遭受显着的数值污染误差，增加与波数。控制这些误差是获得稳定、准确的方法的关键。我们研究了污染的影响非常长的波导问题的背景下，强大的不连续彼得罗夫-伽辽金（DPG）有限元离散。我们的数值实验表明，污染主要有一个扩散的影响，造成能量损失的DPG方法，而相位误差似乎不显着。我们报告的3D矢量时间谐波麦克斯韦问题的波导超过8000个波长的结果。我们的结果证实了Melenk和Sauter（2011）对Helmholtz算子的Galerkin离散化的先前分析。此外，我们还讨论了多模光纤波导的自适应细化策略，其中传播的横模必须得到充分解决。我们的研究表明，适用性的DPG错误指标，这类问题。最后，我们说明了负载平衡的重要性，在这些模拟分布式内存并行计算。
2020-10-14 cs.DC cs.NA math.NA
On the coupling of DPG and BEM
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出并分析了将不连续Petrov-Galerkin方法与最优测试函数耦合到最小二乘边界元和标准Galerkin边界元变体的方法，证明局部计算最优测试函数的必要性，并通过标准传输问题验证理论。
2015-08-04 cs.NA math.NA
A robust DPG method for singularly perturbed reaction-diffusion problems
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣玛丽亚技术大学）
本文提出并分析了一种使用最优测试函数的间断 Petrov-Galerkin 方法，用于二维和三维反应主导扩散问题，通过参数α和β实现鲁棒性，提供与ε无关的误差估计，并通过数值实验验证了稳定性。
2017-05-27 cs.NA math.NA
Goal-oriented adaptive mesh refinement for non-symmetric functional settings
本文发展了Petrov-Galerkin有限元法的一种新的统一对偶理论。这种新的理论，然后用于激励目标导向的自适应网格细化策略与不连续的彼得罗夫-伽辽金（DPG）方法。这篇文章的重点主要是破碎的超弱变分制剂的固定边值问题，然而，许多的想法内提出的足够一般，他们可以扩展到任何这样的适定变分制剂。提出的目标导向的自适应网格细化程序需要建设的细化指标的原始问题和对偶问题。在DPG上下文中，原始问题只是来自标准DPG方法的线性方程组，而对偶问题是来自与DPG对偶的新方法的类似方程组。这种新方法与相关的DPG方法具有相同的系数矩阵，但具有不同的负载。我们称这种新的有限元法为DPG* 方法。作为独立的有限元法，本文不对DPG* 方法进行全面分析，但将在后续文章中提供。对于DPG方法，回顾了现有的后验误差估计理论，改进了文献[13，定理2.1]中的可靠性估计，对于DPG* 方法，导出了三类不同的精化指标，并对严格的后验误差估计做出了一些贡献。在文章的结尾，给出了三维区域中泊松边值问题的数值实验结果。这些结果清楚地表明了面向目标的自适应网格细化策略的效用，无论是内部或边界条款的利益量。
2018-04-24 cs.CE cs.NA math.NA
A Geometric Multigrid Preconditioning Strategy for DPG System Matrices
Demkowicz和Gopalakrishnan [15，17]的不连续Petrov-Galerkin（DPG）方法保证了能量范数下解的最优性，并提供了几个便于自适应方案的特征。一个关键的问题，尚未回答一般-虽然有一些结果，泊松，例如-是如何最好地预处理的DPG系统矩阵，使迭代求解器可以用来解决大规模的问题。在本文中，我们详细介绍了预处理的DPG系统矩阵使用几何多重网格，我们已经实现了Camellia [26]的一部分，并通过数值实验证明其有效性的上下文中的几个变分公式。我们观察到，在我们的一些实验中，预条件的行为是紧密联系在一起的离散测试空间丰富。我们包括实验，涉及自适应网格与悬挂节点的盖子驱动的空腔流，证明了预条件可以应用在具有挑战性的问题的背景下。我们还包括一个可扩展性的研究表明，该方法-和我们的实现-规模以及许多MPI的行列。
2016-08-08 cs.CE cs.NA math.NA
Trace and flux a priori error estimates in finite element approximations of Signorni-type problems
TU Graz（格拉茨工业大学）；Institut für Numerische Mathematik, TU Graz（格拉茨工业大学数值数学研究所）；M2 – Zentrum Mathematik, Technische Universität München（慕尼黑工业大学M2数学中心）
本文基于Signorini问题，提出新的最优阶先验误差估计，通过精确的Steklov-Poincaré算子和对偶性论证，分析迹和通量在Signorini边界上的误差。
2014-09-01 cs.NA math.NA
DPG loss functions for learning parameter-to-solution maps by neural networks
本文针对参数依赖PDE族，提出基于DPG离散化的变分正确损失函数，用于神经网络学习参数到解映射，并在高对比度扩散参数下展现出比最小二乘损失更稳健的性能。
2026-09-17 cs.LG cs.NA math.NA
Combining the DPG method with finite elements
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣塔玛丽亚技术大学）；Universidad de Concepción（孔塞普西翁大学）
本文提出并分析了一种结合不连续Petrov-Galerkin法和有限元法的离散化方案，针对一般扩散-对流-反应型问题，通过混合变分公式实现超弱形式与Bubnov-Galerkin形式的耦合，证明了方案的良态性和近似最优收敛性。
2017-04-24 cs.NA math.NA
Scalable DPG Multigrid Solver for Helmholtz Problems: A Study on Convergence
本文提出基于细网格算子限制的粗网格系统新定义的可扩展DPG多重网格预处理器，通过并行MPI/OpenMP实现将收敛自由度规模提至约10^9，验证了h、p鲁棒收敛性及与波频率的线性关系，完成含高对比度地震基准的hp自适应数值实验。
2023-10-05 cs.CE cs.NA math.NA
Deep Petrov-Galerkin Method for Solving Partial Differential Equations
深度神经网络是逼近函数的强大工具，它们被应用于成功解决许多领域的各种问题。本文提出了一种基于神经网络的求解偏微分方程的数值方法。在该框架下，该方法基于弱形式，未知函数采用深度神经网络逼近，测试函数可以采用不同的方法选择，如有限元法的基函数、神经网络等，由于测试函数和检验函数的空间不同，我们将其命名为深度Petrov-Galerkin方法（DPGM）.所得到的线性方程组不一定是对称的和平方的，因此离散化问题用最小二乘法求解。以泊松问题为例，提出并研究了基于多种混合形式的混合DPGM。此外，我们还将DPGM应用于求解两个经典的基于时空方法的时变问题，即用神经网络逼近未知函数，将时间变量和空间变量同等对待，并将初始条件作为时空域的边界条件。最后，通过数值算例说明了DPGM的性能，并观察到这种新方法在几个方面优于传统的数值方法。
2022-01-31 cs.NA math.NA
An ultraweak DPG method for viscoelastic fluids
The Institute for Computational Engineering and Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）；Chair for Computational Analysis of Technical Systems, RWTH Aachen University（亚琛工业大学技术系统计算分析讲席）；Center for Computing Research, Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室计算研究中心）
本文提出了一种超弱DPG方法用于粘弹性流体流动的基准问题，通过自适应网格生成实现后验误差指标，并利用对称正定刚度矩阵提高求解效率。
2017-06-26 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Minimum residual discretization of a semilinear elliptic problem
Universidad de Los Lagos（洛斯阿戈斯大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；Technische Universität Wien（维也纳工业大学）
本文提出利用最小二乘惩罚扩展不连续Petrov-Galerkin方法以处理半线性椭圆问题，通过将非线性项转化为独立未知数，并引入最小二乘约束，证明了近似误差估计。
2026-10-30 cs.NA math.NA
MINRES for second-order PDEs with singular data
最小残差方法，例如最小二乘有限元法（FEM）或具有最佳检验函数（DPG）的不连续Petrov-Galerkin方法，通常排除奇异数据，例如，非平方可积载荷我们考虑泊松问题的DPG方法和最小二乘有限元。对于这两种方法，我们分析正则化方法，允许使用$H^{-1}$负载，并研究点负载的情况。对于所有的情况下，我们证明适当的收敛顺序。我们提出了各种数值实验，证实了我们的理论结果。我们的方法扩展到一般适定的二阶问题。
2021-10-29 cs.NA math.NA
Fast integration of DPG matrices based on tensorization
The Institute for Computational Engineering and Sciences (ICES), The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）
本文提出基于张量化的DPG矩阵快速积分方法，利用一维元素的精确序列和分层形函数，实现H¹、H(curl)、H(div)和L²内积的O(p⁷)复杂度计算，并在元素映射简化时达到O(p⁶)复杂度。
2017-11-03 cs.NA math.NA
Automatically Stable Discontinuous Petrov-Galerkin Methods for Stationary Transport Problems: Quasi-Optimal Test Space Norm
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）
研究不连续Petrov-Galerkin (DPG) 有限元框架在平稳对流扩散问题中的应用，利用拟最优测试空间范数提高对消失扩散的鲁棒性，并通过数值比较证明其在二维基准问题上的精度优势。
2012-01-09 cs.NA math.NA
Automatic Variationally Stable Analysis for FE Computations: An Introduction
Curtin University（科廷大学）；South Dakota School of Mines & Technology（南达科他矿业与理工学院）
本文提出了一种自动变分稳定分析（AVS）方法，用于求解具有非恒定和高度振荡系数的标量对流-扩散方程的有限元计算。该方法通过将二阶偏微分方程转换为一阶偏微分方程系统，并采用Petrov-Galerkin技术来构建弱形式，从而保证数值稳定性。通过局部解耦的变分问题，AVS-FE方法实现了无条件稳定性，无需使用迎风方案或其他人工稳定化技术。
2019-04-13 cs.NA math.NA
Skew-symmetric Nitsche's formulation in isogeometric analysis: Dirichlet and symmetry conditions, patch coupling and frictionless contact
Dalian University of Technology（大连理工大学）；University of Luxembourg（卢森堡大学）；Université Bourgogne Franche-Comté（勃艮第-弗朗什-孔泰大学）；Cardiff University（卡迪夫大学）；University of Western Australia（西澳大学）
本文提出一种简单的斜对称Nitsche公式用于等几何分析，处理小应变弹性问题中的边界条件、Kirchhoff板对称条件、静态和模态分析中的拼接耦合以及Signorini接触条件。该方法在接触条件下具有良好的稳定性和精度。
2018-04-27 cs.NA math.NA
Goal-Oriented Error Estimation for the Automatic Variationally Stable FE Method for Convection-Dominated Diffusion Problems
提出了标量值对流-扩散问题的自动变分稳定有限元（AVS FE）方法的面向目标的后验误差估计。AVS-FE方法是Petrov-Galerkin方法，其中测试空间被破坏，而试验空间由经典的FE基函数组成，例如，C 0或Raviart Thomas函数。我们采用Demkowicz和Gopalakrishnan的不连续PetrovGalerkin（DPG）方法的最佳检验函数的概念，导致无条件稳定的有限元近似。值得注意的是，通过使用C 0或RaviartThomas试验空间，最佳的不连续检验函数可以在一个完全解耦的元素的元素的方式计算。为了建立误差估计，我们提出了两种方法：i）遵循Becker和Rannacher的经典方法，即，在（破碎的）测试空间中寻求对偶解，以及ii）引入另一种方法，其中我们通过使用对偶边值问题（BVP）的基本强形式来寻求对偶解的C 0或RaviartThomas，AVS FE近似。对二维对流占优扩散边值问题的各种数值验证表明，新方法的逼近误差估计精度较高，而经典方法的误差估计质量较差.最后，我们提出了一个算法的h自适应过程的基础上控制的数值逼近误差通过新的替代方法。数值验证表明，当误差收敛到零时，该估计器仍保持较高的精度。
2020-08-12 cs.NA math.NA
A Stable FE Method For the Space-Time Solution of the Cahn-Hilliard Equation
在其应用到矿物分离过程的建模中，我们提出了数值分析的Cahn-Hilliard方程采用时空离散的自动变分稳定有限元（AVS-FE）方法。AVS-FE方法是一种Petrov-Galerkin方法，它采用了Demkowicz和Gopalakrishnan的间断Petrov-Galerkin（DPG）方法的最佳间断检验函数的概念。然而，试验空间由全局连续的希尔伯特空间组成，例如H1和H（div）。因此，AVS-FE近似采用经典的C 0或Raviart-Thomas FE基函数。最佳检验函数保证了AVS-FE方法的数值稳定性，并导致对称和正定的离散系统。因此，AVS-FE方法可以在空间和时间上求解Cahn-Hilliard方程，而不需要限制CFL条件来决定时空单元的大小。我们提出了一个和两个在空间中的二维问题的数值验证。验证表明，在L2和H1规范的最佳收敛速度。网格自适应细化使用内置的误差估计的AVS-FE方法的结果。
2021-05-05 cs.NA math.NA
An Unconditionally Stable Space-Time FE Method for the Korteweg-de Vries Equation
本文介绍了一种无条件稳定的有限元方法--自动变分稳定有限元（AVS-FE）方法，用于Korteweg-de Vries（KdV）方程的数值分析。AVS-FE方法是一种Petrov-Galerkin方法，它采用了不连续Petrov-Galerkin（DPG）方法的最佳不连续检验函数的概念。然而，由于AVS-FE方法是一种最小残差方法，我们建立了一个全局鞍点系统，而不是计算最佳的检验函数元素的元素。该系统允许我们寻求KdV初边值问题（IBVP）的近似解和近似误差的Riesz表示。AVS-FE方法通过使用全局连续的希尔伯特空间（例如H1）而将其自身与其他最小残差方法区分开，同时使用破碎的希尔伯特空间进行测试。因此，AVS-FE近似是经典的C 0连续有限元解。该方法的无条件稳定性使我们能够解决KdV方程的空间和时间，而不必满足CFL条件。我们提出了几个数值验证的线性和非线性版本的KdV方程的最佳收敛行为。最后，我们提出了一个数值验证的自适应网格加密在空间和时间的非线性KdV方程。
2020-06-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
