A Picard family of curves and hypergeometric functions over finite fields I
Yoh Takizawa
本文给出了有限域上曲线族\[ y^3 = x (x-1)(x-λ)(x-μ) \]的Frobenius迹用有限域超几何函数表示的表达式。
We give an expression for the trace of Frobenius for the family of curves \[ y^3 = x (x-1)(x-λ)(x-μ) \] over finite fields in terms of finite field hypergeometric functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Cubic Transformation Formula for Appell-Lauricella Hypergeometric Functions over Finite Fields
我们定义了一个有限域版本的Appell-Lauricella超几何函数建立在几个变量的周期函数，平行的发展Fuselier等。在单一变量的情况下。我们开发这些功能和家庭的广义皮卡德曲线之间的几何连接。在我们的主要结果中，我们使用有限域Appell-Lauricella函数建立了Appell超几何函数$F_1$的Koike和Shiga三次变换的有限域模拟，证明了Ling Long的一个猜想。我们使用我们的多变量周期函数构造公式的数量$\mathbb{F}_p$ -点的广义皮卡德曲线。我们还给出了周期函数的一些变换和约化公式，从而也给出了有限域Appell-Lauricella函数的变换和约化公式。
A generalization of the Ross symbols in higher K-groups and hypergeometric functions II
本文是“高阶K-群和超几何函数I中Ross符号的推广”一文的续篇，在文中我们引入了超几何概型的高阶$K$ -群中的高阶Ross符号，并讨论了Beilinson调节器。本文给出了它的p-adic对应，并应用于Picard数为20的K3曲面的$p$ -adic Beilinson猜想.
Newton polytopes and algebraic hypergeometric series
令$X$是由具有固定指数和可变系数的Laurent多项式$f$定义的奇维环面${\mathbb T}^{2n+1}$中的超曲面族。证明了若$nΔ$（$f$的牛顿多面体$Δ$的因子$n$的扩张）不含内部格点，则$W_{2n}H^{2n}_{\rm DR}(X)$的Picard-Fuchs方程具有代数解的全集（其中$W_\bullet$表示de Rham上同调的权滤子）.我们还描述了一个程序，这些皮卡德-富克斯方程的解决方案。
A family of $q$-hypergeometric congruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
本文证明了一个双参数$q$超几何同余族模分圆多项式的四次幂。在我们的证明的关键成分是乔治安德鲁斯的多系列扩展的沃森变换，和Karlsson-明顿型求和非常平衡的基本超几何级数由于乔治加斯珀。新的家庭的$q$ -同余，然后用来证明两个命题提出较早的作者。
The Dwork Family and Hypergeometric Functions
在他的工作研究泽塔函数的家庭超曲面，Dwork来到一个单参数家庭的超曲面（现在被称为\emph{the} Dwork家庭）。这些例子不仅是有用的德沃克在他的研究他的变形理论计算泽塔函数的家庭，但他们也被证明是非常有用的物理学家工作的镜像对称。一个令人吃惊的结果是，这些家庭是非常密切联系的超几何函数。德沃克和坎德拉斯、德·拉·奥萨和罗德里格斯-维勒加斯在一些特殊情况下仔细研究了这种现象。Dwork，Candelas等人观察到，对于这些族，与高斯-马宁联络相关联的微分方程实际上是超几何的。我们已经开发了一种计算机算法，在Pari-GP中实现，它可以通过计算Gauss-Manin连接和超几何微分方程的参数来检查这个结果。
Hypergeometric decomposition of symmetric K3 quartic pencils
研究了射影空间中Delsarte K3四次超曲面的五种单参数变形所对应的超几何函数.我们计算他们所有的Picard-Fuchs微分方程;我们使用高斯和来计算点，并将其重写为有限域超几何和;然后我们将每个微分方程与zeta函数的一个因子匹配，并将其写成全局L函数。这种计算给出了一个完整的，明确的描述这些铅笔的动机超几何动机。
Hypergeometric functions and a family of algebraic curves
设$λ\in \mathbb{Q}\setminus \{0, 1\}$和$l \geq 2$，用$C_{l,λ}$表示$\mathbb{Q}$上具有$$y^l=x(x-1)(x-λ).$$给出的仿射方程的非奇异射影代数曲线。本文定义了类似于椭圆曲线实周期的$Ω(C_{l, λ})$，并找到了它与一般超几何级数的关系。给出了有限域上$C_{l, λ}$上点的个数与高斯超几何级数的关系。最后给出了\cite{rouse}的一个结果的另一种证明.
Certain values of Gaussian hypergeometric series and a family of algebraic curves
设$λ\in \mathbb{Q}\setminus \{0, -1\}$和$l \geq 2$。用$C_{l,λ}$表示$\mathbb{Q}$上的非奇异射影代数曲线，其仿射方程由$$y^l=(x-1)(x^2+λ).$$给出。本文给出了有限域上$C_{l, λ}$上的点数与高斯超几何级数之间的关系。我们还给出了McCarthy（2010）的一个结果的另一个证明。我们发现了${_{3}}F_2$和${_{2}}F_1$高斯超几何级数的一些特殊值。最后我们估计了${_{3}}F_2(4)$的值，推广了Ono（1998）的一个结果.
Hasse invariants and mod $p$ solutions of $A$-hypergeometric systems
Igusa指出，在奇特征的有限域上的勒让德椭圆曲线族的Hasse不变量是高斯超几何方程的mod $p$的解。证明了有限域上任意指数和族都有一个Hasse不变量，它是$A$ -超几何系统的mod $p$解的乘积和.
Hypergeometric Motives from Euler Integral Representations
本文通过欧拉积分表示研究超几何函数的有理函数覆盖族，提出局部紧致化方法，并利用L函数和环面ζ函数的乘积形式，发展出计算希格拉特数的组合算法。
Frobenius structure on hypergeometric equations, p-adic polygamma values and p-adic L-values
本文研究了超几何方程上的弗罗贝尼乌斯结构，通过p进polygamma函数推广了Kedlaya的公式，并将其与p进L值联系起来，应用于p进上同调的研究。
$_3F_2$ hypergeometric series and periods of elliptic curves
我们用经典的超几何级数表示椭圆曲线族的实周期。这个表达式是类似的结果小野其中涉及的跟踪Frobenius同一家庭的椭圆曲线的高斯超几何级数。这个类比进一步证明了经典和高斯超几何级数之间的相互作用。
Character Sums, Gaussian Hypergeometric Series, and a Family of Hyperelliptic Curves
研究了特征标和\[ϕ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left(x(x^{m}+a)(x^{n}+b)\right),\textrm{ and, } ψ_{(m,n)}(a,b)=\sum_{x\in\mathbb{F}_q}ϕ\left((x^{m}+a)(x^{n}+b)\right)\]，其中$ϕ$是定义在$\mathbb{F}_q$上的二次特征标.这些和用$\mathbb{F}_q$上的高斯超几何级数表示。然后利用这些表达式给出了超椭圆曲线族及其雅可比簇上$\mathbb{F}_q$ -有理点的个数。
Counting Points over Finite Fields and Hypergeometric Functions
一个众所周知的结果是，有限域上的椭圆曲线族Legendre上的点的数目可以用模$p$的超几何函数来表示。在本文中，我们推广了这个结果，由于Igusa，一族的单项变形的对角超曲面。我们发现了点的数目和广义超几何函数以及它们的有限域类似物之间的显式关系。
Summation identities and transformations for hypergeometric series
我们发现的麦卡锡的$p$ -进超几何级数求和的身份和转换，通过评估某些高斯和出现，而计数点的家庭$$Z_λ: x_1^d+x_2^d=dλx_1x_2^{d-1}$$在有限域$\mathbb{F}_p$。A. Salerno在满足$d|p-1$的条件下，用$p$-adic Γ函数的乘积表示了$Z_λ$族上有限域$\mathbb{F}_p$上的点数.本文首先用McCarthy的$p$-adic超几何级数表示有限域$\mathbb{F}_p$上的点的个数，并对不整除$d(d-1)$的奇素数$p$给出了$p$-adic超几何级数的两个求和恒等式.我们还找到了$p$ -adic超几何级数的某些变换和特殊值.最后给出了Greene有限域超几何级数的求和恒等式.
Integrality of Picard-Fuchs differential equations of Kobayashi geodesics and applications
研究证明了皮卡-福克斯微分方程的积分性，并应用于构造有理曲线在希伯特模流形中的部分哈斯不变量提升。
Hypergeometric Zeta Functions
本文研究一类新的特殊函数，称为超几何zeta函数。从经典黎曼ζ函数的整表示导出，超几何zeta函数表现出许多类似于它们的经典对应物的性质，包括与伯努利数的密切联系。这些新的性质进行了详细的处理，并用于证明一个功能的二阶超几何zeta函数满足不等式。
Zeros of $p$-adic hypergeometric functions, $p$-adic analogues of Kummer's and Pfaff's identities
在$p$ -adic设置下，我们对超几何级数族的所有零值和非零值进行了分类。超几何级数在$p$ -adic设置中的这些值导致超几何级数在$p$ -adic设置中的变换，其可以被描述为经典超几何级数上的Kummer和Pfaff的线性变换的$p$ -adic类似物。我们也评估某些求和的身份，超几何级数的$p$ -adic设置以及高斯超几何级数。
On rank $2$ hypergeometric motives
本文研究秩2超几何动机的性质，证明其预期特性，强调其在可处理性上的优势。
A note on values of $ {}_{4}F_{3} $ hypergeometric functions
本文通过建立扩展的高斯求和恒等式，计算了一族 $_4F_3$ 超几何函数的取值，从而推广了 Ferretti 等人的已有结果。
Factorial ratios, hypergeometric series, and a family of step functions
本文给出了与黎曼假设的Nyman-Beurling方法有关的一类阶梯函数的完全分类。瓦休宁等价地，我们完全描述了当某些阶乘乘积的比率序列总是整数时。本质上，一旦进行了某些观察，这就归结为Beukers和Heckman对超几何函数nF_{n-1}的单值分类的应用。我们还注意到应用程序的分类循环商奇点。
Monomial Deformations of Certain Hypersurfaces and Two Hypergeometric Functions
利用有限域上的超几何函数，给出了推广Dwork族的一类光滑超曲面的zeta函数的一个显式描述.这里的要点是，我们计算的有理点的数量，同时使用的特征和理论的重量，这使我们能够启发的zeta函数的计算。
Hypergeometric Functions and Relations to Dwork Hypersurfaces
利用Greene有限域超几何函数给出了$q\equiv 1\pmod 4$级有限域上Dwork K3曲面族$$X_λ^4: \hspace{.1in} x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=4λx_1x_2x_3x_4$$的点数表达式.利用McCarthy的$p$ -adic超几何函数，我们还得到了所有奇素数的超几何点计数公式.此外，我们还研究了这些曲面的周期积分与Frobenius在有限域上的迹之间的关系。我们将这项工作推广到高维Dwork超曲面。
Recursion Rules for the Hypergeometric Zeta Functions
超几何zeta函数是根据Kummer函数M（a，a + b; z）的零点定义的。证明了该函数是一阶整函数。经典的阿达玛分解定理给出了一个无穷乘积的表达式。这为超几何zeta函数提供了线性和二次递归。一族关联多项式被刻画为Appell多项式，并以关联的超几何函数的零点的形式给出其分布.在β分布的框架下，给出了这些性质的概率解释.
Hypergeometric functions over F_p and relations to elliptic curves and modular forms
对于p与1 mod 12全等的素数，给出了一类j-不变量为1728/t的椭圆曲线上的Frobenius迹与F_p上一个特殊的2F_1-超几何函数的值之间的显式关系，并利用Frobenius迹确定了Hecke算子T_k（p）在权为k且水平为1的尖点形式空间上的迹公式.这导致拉马努金的τ函数的公式在超几何函数。
Traces of Hecke operators in level 1 and Gaussian hypergeometric functions
本文给出了第一层p阶Hecke算子的迹在有限域2F 1-超几何函数值下的计算公式，将作者以前的工作推广到所有奇素数p，而不仅仅是p=1（mod 12）的奇素数.首先给出了椭圆曲线族上Frobenius迹的一般一级迹公式，然后利用Lennon最近的工作给出了p >3的所有素数的超几何函数的一级迹公式.
On Some Hypergeometric Modularity Conjectures of Dawsey and McCarthy
作者开发EHMM后引入$\boldsymbol{\rm K}_3$函数，用其解决Dawsey与McCarthy的超几何模性猜想，还给出$\boldsymbol{\rm K}_3$函数$L$值及广义Paley图的应用。
Weighted averages of $p$-adic hypergeometric functions and traces of Frobenius of elliptic curves
研究一类一参数椭圆曲线的弗罗贝尼乌斯迹及其与p-进超几何函数的关系，通过加权平均特殊值和特殊值表达，推导出p-进超几何函数的求和恒等式和p-进欧拉-普夫夫变换。
Distribution of the Hessian values of Gaussian hypergeometric functions
针对参数为有限域三次与平凡特征的特殊高斯超几何函数，结合调和Maass形式与模拟模形式理论，证明其Hessian椭圆曲线族弗罗贝尼乌斯迹的极限分布为半圆分布，验证了佐藤-塔特分布的适用性。
Hypergeometric decomposition of Delsarte K3 pencils
研究五族项目ive四次Delsarte K3表面，通过超几何求和给出有限域上的点计数公式，并在复数域上匹配周期与超几何微分算子，分解L函数为超几何L函数和狄利克雷ζ函数。
Zeta functions of alternate mirror Calabi-Yau families
证明了如果两个Calabi-Yau可逆铅笔具有相同的对偶权，则它们在zeta函数中有一个公共因子.利用Dwork上同调，我们证明了这个公共因子与一个超几何Picard-Fuchs微分方程有关. zeta函数中的因子定义在有理数上，并且至少具有Picard-Fuchs方程的阶数。作为一个应用，我们涉及到几个铅笔的K3曲面的Dwork铅笔，获得算术镜像对称的新情况。
Moments of Gaussian hypergeometric functions over finite fields
本文证明了$q$为奇素数的有限域上具有$q$元素的高斯超几何函数族$_{n+1}F_n$，$n\ge1$的一阶和二阶矩的显式表达式.这使我们能够找到值$_6F_5(1)$的估计值。此外，我们评估某些第二时刻的轨迹的克劳森椭圆曲线的家庭的价值$_3F_2(-1)$。这些公式也使我们能够表示某些$_2F_1$和$_{n+1}F_n$功能的产品在有限域Appell系列，推广了目前的产品的$_2F_1$功能的公式。最后给出了用不同乘法特征定义的高斯超几何函数和的封闭形式表达式。
Duality relations for hypergeometric series
我们明确地给出了一般超几何方程的超几何解与它们的解之间的关系，以及q-超几何方程的类似关系。它们构成了超几何级数的一族非常一般的恒等式。虽然它们已经被N. M.贝利在20世纪30年代的分析理由，我们给出了一个纯粹的代数治疗的基础上一般原则，一般微分和差分模块。
$p$-adic formulas and unit root $F$-subcrystals of the hypergeometric system
我们定义的概念{ \it Dwork家庭的对数$F$ -晶体}，其中一个典型的例子是家庭的高斯hypergeometricdifferential系统，被视为参数化的指数的代数monodromy。Frobenius运算对这些指数的$p$ -adic解析依赖性是Dwork的“Boyarsky原理”。本文讨论了在较好的情况下，单位根$F$ -亚晶体在奇性开管中的$p$ -adic解析延拓.指数。我们得到了Koblitz-Diamond公式$p$的一个概念性证明--类似于Gauss对$F(a,b,c;1)$的估计.
Generalized degenerate Bernoulli numbers and polynomials arising from Gauss hypergeometric function
在以前的论文中，Rahmani通过高斯超几何函数引入了一个新的p-Bernoulli数和多项式族。受本文的启发，利用Gauss超几何函数再次引入了广义退化Bernoulli数和多项式，作为这些数和多项式的退化形式.此外，我们还引入了退化型欧拉数作为欧拉数的退化形式。对于广义退化Bernoulli数，我们用退化第二类Stirling数、退化型Eulerian数、退化第二类$p$ -Stirling数和单位区间上的积分表示.对于广义退化的伯努利多项式，我们用退化的第二类Stirling多项式表示。
Picard rank jumps for families of K3 surfaces in positive characteristic
研究K3曲面族在正特征下的Picard秩跃迁问题，通过Frobenius障碍和大Monodromy条件，证明存在无限多个几何纤维具有更大的Picard秩。
The Rank of the Cartier operator on Picard Curves
本文利用Cartier算子在精确全纯微分空间上的作用，计算了一类Picard曲线的a-数，揭示了其代数几何性质。
Number of $\mathbb{F}_q$-points on Diagonal hypersurfaces and hypergeometric function
设$D_λ^d$表示由\begin{align*} D_λ^d: X_1^d+X_2^d+\cdots+X_n^d=λd X_1^{h_1}X_2^{h_2}\cdots X_n^{h_n}, \end{align*}给出的有限域$\mathbb{F}_q$上的对角超曲面的单项变形族，其中$d,n\geq2$，$h_i\geq1$，$\sum_{i=1}^n h_i=d$和$\gcd(d,h_1,h_2,\ldots, h_n)=1$ . Dwork超曲面是当$d=n$，即$h_1=h_2=\cdots =h_n=1$。关于Dwork超曲面上的$\mathbb{F}_q$ -点的数量的公式是已知的，其依据是McCarthy的$p$-adic超几何函数。本文利用McCarthy的$p$-adic超几何函数给出了$D_λ^d$上$\mathbb{F}_q$ -点的个数公式，该公式对$d\geq n$也成立.
Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method
基于WZ法，给出了几个级数加速度公式。这些公式允许写下一个无限的家庭参数化身份从任何给定的身份WZ型。此外，在黎曼ζ函数的情况下，该族给出了$ζ(3)$的许多加速表达式。目前的方法产生了一个公式，给出了在年底的文件，这是最近使用塞巴斯蒂安Wedeniwski计算Aesthetic的常数超过32万位，持有目前的纪录！
Hypergeometric Functions over Finite Fields and their relations to Algebraic Curves
本文给出了$\F_{q}$上代数曲线族上的点数与$\F_{q}$上某些超几何函数的值之和之间的显式关系。此外，我们表明，这些超几何函数可以显式相关的根曲线的zeta函数在$\F_{q}$在某些特殊情况下。一个一般的猜想有关这最后两个提出和进展，其证明显示在最后一节。
On a certain hypergeometric motive of weight 2 and rank 3
研究了一类超几何模$H(α,β|t)$，它与一对元组$α=(1/4,1/2,3/4)$，$β=(0,0,0)$相连.对于每一个这样的动机，我们可以附加一个系统的$\ell$ -adic实现与跟踪的几何弗罗贝纽斯所给予的评价有限域模拟复杂的超几何函数。椭圆纤维的几何形状使得有可能将动力$H(α,β|t)$实现为附着到合适的K3表面$V_{t}$的纯Chow动力。
Multiple-integral representations of very-well-poised hypergeometric series
证明了一般非常平衡超几何级数族的一种新的多重积分表示。尽管结果的解析性质，它是由最近的算术进展的黎曼ζ函数的值在奇数。多重积分是欧拉型的，可以看作是对$ζ(2)$和$ζ(3)$的Beukers积分的自然推广。
$q$-deformation with ($φ, Γ$) structure of the de Rham cohomology of the Legendre family of elliptic curves
60年代末，B。Dwork通过分析经典含参数超几何微分方程解在Frobenius变换下的性态，研究了一个与参数$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2} ; 1 \right)$相容的Frobenius结构.最近，P. Scholze证明了任何$\mathbb{Z}$ -概型都存在$q$ -de Rham上同调群.本文通过给出Dwork某些结果的$q$ -模拟，给出了一个与含参数的$q$ -超几何微分方程$(q^{\frac12},q^{\frac12};q)$相容的Frobenius结构.这种构造给出了具有Frobenius结构和联络的椭圆曲线的$p$ -adic Legendre族的de Rham上同调在$\mathbb{Z}_p[[q-1]][[λ]]$上的具有$(φ,Γ)$ -结构的$q$ -变形.
Bailey pairs, radial limits of $q$-hypergeometric false theta functions, and a conjecture of Hikami
该研究利用Bailey对证明了Hikami关于一类$q$-超几何伪theta函数径向极限可由级数截断版本计算的完整猜想，并展示Bailey对框架可推导更多同类结果。
Hypergeometric summation representations of the Stieltjes constants
Stieltjes常数$γ_k$出现在Riemman和Hurwitz zeta函数的Laurent展开式的常规部分。我们证明，这些系数可以写为某些数学常数和专门的超几何函数$_pF_{p+1}$的总和。这一系列的结果推广了欧拉常数的表示在三角积分Si或Ci的值的总和。级数表示法适用于加速度。作为副产品，我们评估某些正弦对数积分，并提出了领先的渐近形式的特定$_pF_{p+1}$功能。
Solutions modulo $p$ of Gauss-Manin differential equations for multidimensional hypergeometric integrals and associated Bethe ansatz
本文考虑一类超几何积分的Gauss-Manin微分方程，它与一类自运动超平面的加权排列有关。我们减少这些方程模素数$p$和构造新的微分方程的多项式解作为$p$ -模拟的初始超几何积分。在某些情况下，我们将超几何积分的$p$ -类似物解释为定义在有限域$F_p$上的超曲面的点上的和。这一解释与Yu.I.的解释相似。Manin在[Ma]中将椭圆曲线上依赖于参数的点的个数作为经典超几何微分方程的解.我们讨论相关的贝特安奈。
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