The quantitative distribution of Hecke eigenvalues of Maass forms
令$f$是组$SL_2(\mathbb Z)$的权重为零的归一化Hecke-Maass尖点形式。本文给出了关于$f$的Hecke特征值分布的几个定量结果。给出了$f$及其对称平方对称$^2(f)$的Hecke特征值的$Ω_{\pm}$ -结果的应用.
2022-06-24 math.NT
Regularized inner products and weakly holomorphic Hecke eigenforms
证明了弱尖点形式上的重微分象恰是与弱全纯模形式空间正交的子空间。这给出了弱全纯Hecke特征形的一个新的解释。
2017-11-06 math.NT
Hecke eigenvalues of Siegel modular forms of "different weights"
给定两个不同权重的西格尔本征形，我们确定明确的Hecke本征值的两种形式，必须是不同的。在二次，并在一些额外的条件下，我们确定明确的傅里叶系数的两种形式，必须是不同的。
2013-05-30 math.NT
Hecke eigenform and double Eisenstein series
全模群的尖点形式可以写成Gangl，Kaneko和Zagier提出的二重Eisenstein级数的线性组合。给出了Hecke特征形分解为二重Eisenstein级数的显式公式。
2019-04-21 math.NT
Computing systems of Hecke eigenvalues associated to Hilbert modular forms
我们利用有效的算法计算上同调的志村曲线与Jacquet-Langlands对应计算系统的Hecke特征值与希尔伯特模形式在一个完全真实的领域。
2010-02-04 math.NT
Explicit formulas and vanishing conditions for certain coefficients of Drinfeld-Goss Hecke eigenforms
本文给出了一阶Hecke算子的特征值为幂的Drinfeld-Goss双尖点模形式的系数的封闭多项式表达式，并利用这些公式证明了无穷族Drinfeld-Goss双尖点模形式系数的消失结果.
2017-05-27 math.NT
Integrality of Hecke eigenvalues and the growth of Hecke fields
Faculty of Education, Shinshu University（信州大学教育学部）；Faculty of Mathematics and Physics, Institute of Science and Engineering, Kanazawa University（金泽大学理工学域数理系）
本文证明了Hilbert和Siegel模形式的Hecke特征值为代数整数，并应用该整性估计了具有非零中心L值的Hilbert尖形式Hecke域的成长，以及GL_{2d}(A_Q)上尖自守表示有理域的成长。
2026-05-29 math.NT
On Rankin-Cohen Brackets of Hecke Eigenforms and Modular Forms of Half-Integral Weight
本文将Hecke特征形式平方与高阶特征形式的线性关系推广至一般阶Rankin-Cohen括号，并推广了Zagier的Petersson内积公式。
2024-05-27 math.NT
Asymptotics for Hecke eigenvalues of automorphic forms on compact arithmetic quotients
本文给出了一类Hecke-Maass型在紧算术代数上的Laplace特征值的渐近分布。我们使用傅里叶积分算子方法代替了以往研究中的主要工具迹公式。这使得我们不仅可以处理球形，而且还可以处理非球形的Hecke-Maass形式与相应的剩余估计。我们的渐近公式适用于数域上具有余紧算术子群的任意单连通代数群。
2020-11-22 math.NT
Joint distribution of Hecke eigenforms on $\mathbb{H}^3$
CNRS – Université de Montréal CRM（法国国家科学研究中心–蒙特利尔大学数学研究中心）；University of Lille（里尔大学）；Sorbonne Université（索邦大学）
本文研究了Hecke特征形式在H³上的联合分布，并支持正交尖点形式的统计独立性猜想。
2026-01-05 math.NT
Non vanishing of Central values of modular L-functions for Hecke eigenforms of level one
设F（z）是一个新的具有平凡特征标的权为2k的水平1的形式，并假定F（z）是所有Hecke算子的非零本征形.本文研究了F的扭模L-函数的中心值的非零性。
2010-01-28 math.NT
On the occurrence of Hecke eigenvalues in sectors
设$π$是数域上GL（2）的非自对偶的不可解多面体型酉尖点自守表示.我们发现，$π$有一个积极的上Dirichlet密度的Hecke特征值在任何部门的角度至少是2.63弧度。
2020-07-29 math.NT
Computing Hecke eigenvalues below the cohomological dimension
设G是SL（n，Z）或GL（n，Z）的无挠有限指数子群，d是G的上同调维数.我们提出了一个算法来计算Hecke算子的特征值的积分上同调度d-1的n = 2，3和4。此外，我们描述了一个修改的模块化符号算法的Ash-Rudolph计算Hecke特征值的积分上同调度d。
1999-10-20 math.NT
Hecke Eigensystems for (mod p) Modular Forms of PEL-type and Algebraic Modular Forms
我们证明了，在适当的假设下，与A型或C型代数群G相关联的PEL型的（mod p）模形式所产生的Hecke特征值系与G的内部形式的（mod p）代数模形式所产生的Hecke特征值系是一致的.我们明确地对待的情况下，酉群，我们在这种情况下，给出了一个渐近公式的本征系统的数量。本文推广了J-P. Serre关于GL（2）和A. Ghitza for GSp（2g）.
2011-02-26 math.NT
Analytic evaluation of Hecke eigenvalues for classical modular forms
基于$f$在上半平面上的解析估计，提出了一种计算经典模特征形$f$的Hecke特征值的近似方法.我们的方法具有任意精度，允许严格控制近似误差，并优于当前的精确计算方法。
2019-10-02 math.NT
Supnorm of an eigenfunction of finitely many Hecke operators
设$ϕ$是紧双曲曲面上的Laplace本征函数，它依附于四元数代数中的一个阶.假设$ϕ$是Hecke算子在一个\emph{fixed finite}素数集合上的本征函数，我们证明了$ϕ$的一个$L^\infty$ -范数界，它改进了平凡估计的本征值的对数幂.我们构造了一个放大器，它的长度依赖于Hecke树上放大器的支撑。我们在\cite{Be}中使用了Bérard方法来改进阿基米德放大。
2018-06-18 math.NT
On the occurrence of large positive Hecke eigenvalues for GL(2)
设$π$是GL（2）/ $\mathbb{Q}$的自对偶尖点自守表示。本文证明了素数存在一个正的Dirichlet上密度，在这个上密度下，$π$的Hecke特征值大于一个给定的正常数.
2019-09-12 math.NT
Computation of Hecke eigenvalues (mod $p$) via quaternions
在1987年的一封信中，塞尔证明了由模$p$模形式（固定层$Γ(N)$与$p$互质，以及任何权重$k$）产生的赫克特征值系统与由函数$Ω(N) \to \bar{\mathbb F}_p$产生的赫克特征值系统相同，其中$Ω(N)$是$D^\times (\mathbb A_f)$的某些双商，$D$是在$\{p,\infty\}$分歧的$\mathbb Q$上的唯一四元数代数。我们提出了一种算法，然后计算这些Hecke特征值的四元数侧组合的方式。
2022-12-14 math.NT
On sum of Hecke eigenvalue squares over primes in very short intervals
设$η>0$是一个固定的正数，设$N$是一个足够大的数。本文研究了带权$k$的全纯Hecke尖点形式族上素数在短区间（其长度为$η\log N$）上的Hecke特征值和的平均（带权）二阶矩.我们还将上述结果推广到$SL(2,\mathbb{Z})$和$SL(3,\mathbb{Z}).$的Hecke-Maass尖点形式。
2022-10-03 math.NT
Hecke eigensystems of automorphic forms (mod $p$) of Hodge type and algebraic modular forms
我们表明，系统的素数到$p$ Hecke特征值所产生的自守形式$\pmod p$为一个好的素数$p$与一个代数群$G/\mathbb Q$的霍奇型是相同的代数模形式$\pmod p$所产生的$G$的内部形式。
2021-05-16 math.NT
On Hecke eigenvalues at primes of the form $[g(n)]$
本文研究了全纯尖点形式在素数处的傅里叶系数的平均，其形式为$[g(n)]$。
2011-07-08 math.NT
Kuznetsov's trace formula and the Hecke eigenvalues of Maass forms
本文给出了Kuznetsov迹公式作为GL（2）上的相对迹公式的一个广义处理。其结果是一个变体，其中包括一个Hecke特征值，除了两个傅里叶系数的频谱侧。我们包括一个证明的Weil界的广义扭曲Kloosterman和产生的几何方面。作为一个应用，我们表明，Hecke特征值的马斯形式在一个固定的素数，加权时，在库兹涅佐夫公式，成为均匀分布相对于Sato-Tate措施的限制，作为水平走向无穷大。
2012-02-01 math.NT
Hecke eigenspaces for the projective line
本文针对有限域上射影直线函数域与 GL_2，计算非分歧及分歧 Hecke 算子特征空间维数，并显式刻画其在自守形式上的作用。
2024-06-18 math.NT
Analytic evaluation of Hecke eigenvalues for Siegel modular forms of degree two
标准的方法来评估Hecke特征值的西格尔模特征形F是确定大量的傅里叶系数的F，然后计算Hecke作用在这些系数。我们提出了一种新的方法的基础上的数值计算F在上半空间的显式点和它的图像下的Hecke运营商。该方法比标准方法更有效，并有可能通过确定评估点的良好候选人或找到降低截断界限的方法来进一步优化。该算法的一个局限性是它返回特征值的浮点数;然而，可以随意调整工作精度，以产生所需的近似值。
2018-06-05 math.NT
Non-vanishing and sign changes of Hecke eigenvalues for Siegel cusp forms of genus two (with an Appendix by E. Kowalski and A. Saha)
本文证明亏格为2的Siegel尖点形式的旋量zeta函数的非零系数有一半为正，一半为负.
2014-09-01 math.NT
Fourier coefficients of the overconvergent generalized eigenform associated to a CM form
设f是具有复乘的模形式。如果f具有临界斜率，则科尔曼经典性定理意味着存在一个p-adic过收敛的广义Hecke特征形，其Hecke特征值与f相同。我们给出了这种广义Hecke本征形的Fourier系数的一个公式。我们还研究了包含f的p-adic过收敛形式的广义Hecke特征空间的维数。
2020-02-02 math.NT
Upper bound on the number of systems of Hecke eigenvalues for Siegel modular forms (mod p)
本文给出了维数为g、水平N与p互素的Siegel模形式（mod p）的Hecke特征值系统个数的一个显式上界.在椭圆模形式（g=1）的特殊情况下，我们的结果与G.赫里克
2006-05-23 math.NT
On Fourier coefficients and Hecke eigenvalues of Siegel cusp forms of degree 2
研究了2次、权$k$和水平$N$的标值Siegel尖点形式$F$的傅里叶系数和Hecke特征值的一些关键分析性质.首先，假设$F$是一个Hecke特征形，不是Saito-Kurokawa型，我们证明了一个改进的界在$k$ -方面的最小素数，在其Hecke特征值是负的。其次，我们证明了在等差数列中的素数处，$F$的Hecke特征值之间存在无穷多个符号变化。第三，我们表明，有无穷多个积极的，以及无穷多个负的傅里叶系数在任何"径向”序列组成的素数倍的一个固定的基本矩阵。最后，我们考虑的情况下，$F$是斋藤-黑川型，在这种情况下，我们证明了（本质上是尖锐的）绑定$| a(T) | ~\ll_{F, ε}~ \big( \det T \big)^{\frac{k-1}{2}+ε}$的傅里叶系数的$F$时，$\gcd(4 \det(T), N)$是squarefree，证实了一个猜想（在案件$N=1$）由达斯和Kohnen。
2022-10-31 math.NT
Hecke eigenforms for meromorphic cusp forms
该研究构造了$\text{SL}_2(\text{Z})$上两类亚纯尖点形式商空间的Hecke特征形式，并证明两类商空间分别作为Hecke模同构于相同权的尖点形式空间$S_{2k}$与全纯模形式空间$M_{2k}$。
2023-05-02 math.NT
Sign changes of a product of Dirichlet characters and Fourier coefficients of Hecke eigenforms
设$f\in S_k(Γ_{0}(N))$是偶数整数权$k$和水平$N$的归一化Hecke特征形。令$j\ge1$为正整数。证明了对几乎所有素数$p$、$p\nmid N$和所有特征数$χ_{0}=\pm 1\pmod N$，序列$\left(χ_{0}(p^{nj})a(p^{nj})\right)_{n\in\N}$有无穷多个符号变换.对于序列$\left(a(p^{j(1+2n)})\right)_{n\in\N}$，当$j$为奇数时，我们也得到了类似的结果。
2018-01-13 math.NT
Effective joint distribution of eigenvalues of Hecke operators
1997年，Serre证明了作用在权$k$和水平$N$的尖点形式空间上的规范化$p$ -th Hecke算子$T^{'}_p$的特征值在$[-2,2]$中关于收敛到Sato-Tate测度的测度是等分布的，只要$N+k \to \infty$ . 2009年，Murty和Sinha证明了Serre定理的有效版本。在2011年，Lau和Wang利用Kuznetsov迹公式导出了作用于权$k$和水平$1$的原始尖点形式空间上的归一化Hecke算子特征值的有效联合分布。本文将Lau和Wang的结果推广到更高水平的尖点形式空间。这里我们用Eichler-Selberg迹公式代替Kuznetsov迹公式来推导我们的结果。
2017-03-23 math.NT
Prime density results for Hecke eigenvalues of a Siegel cusp form
设S_k（Sp（2g，Z））中的F是亏格g的尖点Siegel特征形，其Hecke特征值为μ_F（n）.假设相关的自守表示pi_F处处局部回火。对于每个c>0，我们考虑素数p的集合，|μ_F（p）|>= c，并且我们提供了这个集合的密度的明确的上界。在g=2的情形下，我们也给出了一个明确的素数集p的密度的上界，其中μ_F（p）>= c.
2010-07-30 math.NT
Zeros of Hecke polynomials arising from weak eigenforms
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
研究Hecke多项式P_n(F;x)的零点，证明对于大n，每个零点都是单根且位于[0,1728]区间内，扩展了Rankin-Swinnerton-Dyer/Asai-Kaneko-Ninomiya理论至更广泛的调和Maass形式。
2026-04-14 math.NT
Schwarzian differential equations and Hecke eigenforms on Shimura curves
设$X$是亏格为零的Shimura曲线。本文首先用Schwarzian微分方程刻画了$X$上的自守形式空间。然后，我们设计了一种方法来计算这些空间上的Hecke算子。我们分析的一个有趣的副产品是评估$$_2F_1(1/24,7/24,5/6, -\frac{2^{10}\cdot3^3\cdot5}{11^4})=\sqrt6 \sqrt[6]{\frac{11}{5^5}} $$和其他类似的身份。
2011-10-28 math.NT
Hecke operators, Hecke Eigensystems, and Formal Modular Forms over Number Fields
University of Warwick（华威大学）
本文提出了一种数字段上形式模形式的显式理论，通过模点定义Hecke算子和特征系统，并展示了如何利用主Hecke算子计算自守形式。
2026-01-24 math.NT
Hecke Operators on Drinfeld Cusp Forms
本文利用Teitelbaum的调和余循环解释，研究了$Γ_1(T)$和$Γ(T)$的Drinfeld尖点形式.我们得到了与作用在小权$Γ_1(T)$的尖点形式上的一次素理想相关联的Hecke算子的显式特征值，并得出这些Hecke算子是同时可对角化的结论.我们还表明，Hecke运营商是不可对角化的一般$Γ_1(T)$的大权重，而不是$Γ(T)$，甚至小的权重。确定了小权$Γ(T)$的尖点形式上的Hecke特征值，并刻画了特征空间.
2008-04-16 math.NT
A family of Hecke eigenforms for Drinfeld modular forms of arbitrary rank
National Tsing Hua University（国立清华大学）；Academia Sinica（中央研究院）
本文针对任意秩情形，利用特定表示发展向量Drinfeld模形式理论，以构造由扭曲艾森斯坦级数行列式给出的尖点Drinfeld-Hecke本征形式无穷族。
2026-08-07 math.NT
Explicit Hecke eigenform product identities for Hilbert modular forms
Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
本文研究了Hilbert模形式的显式Hecke特征形式乘积恒等式，证明仅在Q(√5)存在两个这样的恒等式，并探讨了一般实数域的情况。
2026-03-06 math.NT
$\mathrm{GL}_2\times\mathrm{GSp}_2$ $L$-values and Hecke eigenvalue congruences
我们发现实验的例子Hecke特征值之间的自守表示的群体，如$\mathrm{GSp}_2(\mathbb{A})$，$\mathrm{SO}(4,3)(\mathbb{\mathbb{A}})$和$\mathrm{SO}(5,4)(\mathbb{A})$，其中的素数模应该，由于各种原因，出现在代数部分的一个关键的“张量积”$L$值相关的尖点自守表示的$\mathrm{GL}_2(\mathbb{A})$和$\mathrm{GSp}_2(\mathbb{A})$。使用特殊的技术来评估$L$ -函数与几个已知的系数，我们计算足够好的近似检测预期的素除子。
2020-03-19 math.NT
Hecke Eigenvalue Equidistribution over the Newspaces with Nebentypus
Clemson University（克莱姆森大学）
本文针对带Nebentypus特征的新空间上的归一化p阶Hecke算子，明确了N与k之和趋于无穷时该算子特征值的分布情况。
2025-11-17 math.NT
On the Hecke Eigenvalues of Maass Forms
令$ϕ$表示具有拉普拉斯特征值$λ_ϕ=1/4+t_ϕ^2$的$Γ_o(N)$的本原Hecke-Maass尖点形式。在这项工作中，我们发现，存在一个素数$p$，使$p\nmid N$，$|α_{p}|=|β_{p}| = 1$，和$p\ll(N(1+|t_ϕ|))^c$，其中$α_{p},\;β_{p}$是$ϕ$在$p$的Satake参数，和$c$是一个绝对常数与$0<c<1$。事实上，$c$可被视为$0.27332$。此外，我们还证明了这类素数$p$（$p\nmid N$和$|α_{p}|=|β_{p}| = 1$）的自然密度至少为$34/35$ .
2014-06-18 math.NT
On the distribution of additive twists of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们获得了渐近与$\int_0^1|\sum_{n\le X} d(n)e(nα)|^sdα$的$s < 2$，其中$d(n) = \sum_{d | n} 1$是除数函数的节能误差项。我们也得到这样的渐近$\int_0^1|\sum_{n\le X}λ_f(n)e(nα)|^sdα$的所有$s > 0$。我们证明了一种重复应用Jutila变式圆法和Voronoi求和的迭代法.
2021-10-07 math.NT
Local constancy of dimensions of Hecke eigenspaces of Automorphic forms
我们使用Buzzard的方法来研究不同类型的模形式-古典，在虚二次域和全实域的p进家庭。在偶次全实域的情形下，得到了定斜率变权空间维数的局部不变性。对于虚二次域，我们得到了与这种空间的维数上的权无关的界。
2009-03-02 math.NT
Differential operators for harmonic weak Maass forms and the vanishing of Hecke eigenvalues
对于整数$k\geq 2$，研究了权为$2-k$的调和弱Maass形式上的两个微分算子.操作员$ξ_{2-k}$（分别$D^{k-1}$）定义了到权值$k$尖点形式（分别为弱全纯模形式）。我们利用这些算子来研究调和弱马斯形式的系数。虽然一般的调和弱马斯形式预计有超越系数，我们表明，这些形式是“双”下$ξ_{2-k}$的新形式与消失的Hecke特征值（如CM形式）有代数系数。使用正则化内积，我们还描述了图像的$D^{k-1}$。
2009-01-26 math.NT
On Hecke eigenvalues of cusp forms in almost all short intervals
令$ψ$是一个函数，使$ψ(x) \rightarrow \infty$作为$x \rightarrow \infty.$令$λ_{f}(n)$是$n$ -th Hecke特征值的一个固定的全纯尖点形式$f$为$SL(2,\mathbb{Z}).$我们表明，对于任何实值函数$h(x)$，使$(\log X)^{2-2α} \ll h(X) =o(X),$ $$\sum_{n=x}^{x+h(X)} |λ_{f}(n)| \ll_{f} h(X)ψ(X)(\log X)^{α-1}$$的所有，但$O_{f}( Xψ(X)^{-2})$许多整数$x\in [X,2X-h(X)],$，其中$α$是平均值的$|λ_{f}(p)|$素数。我们将这一点推广到$|λ_{f}(n)|^{2^{k}}$和$k \in \mathbb{Z^{+}}.$
2021-09-09 math.NT
On the trace of Hecke operators for Maass forms for congruence subgroups II
设E_lambda为非欧拉普拉斯算子的本征函数所张成的希尔伯特空间，其本征函数具有正的离散本征值λ.本文对非平方自由水平的Hecke同余子群Gamma 0（N）计算了作用在空间E λ上的Hecke算子T n的迹。这推广了Conrey-Li [2]的计算，其中只考虑了无平方数水平N的Hecke同余子群Gamma_0（N）.
2001-07-11 math.NT
Entropy bounds and quantum unique ergodicity for Hecke eigenfunctions on division algebras
本文证明了等价物$Γ\backslash G/K$上Hecke本征函数的非退化序列的算术量子唯一遍历性猜想，其中$G\simeq\mathrm{PGL}_{d}(\mathbb{R})$，$K$是$G$的极大紧子群，$Γ<G$是与$d$上的素度除代数$\mathbb{Q}$有关的格.更一般地，我们介绍了一种新的方法来证明量子极限的正熵，这适用于更高的秩群。AQUE上的结果是通过将其与Einsiedler-Katok的测量刚性定理相结合而获得的，遵循Lindenstrauss首先开创的策略
2016-06-07 math.NT
On the $L^6$-norm of holomorphic Hecke eigenforms
Mathematical Research Center Shandong University（山东大学数学研究中心）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本研究针对全纯尖形式的Hecke基，证明其$L^6$范数随权增长的下界，确认Hecke特征形式$L^6$范数不随权趋于无穷而一致收敛，并补充了6次联合质量的相关结果。
2026-08-04 math.NT
Sums of Hecke eigenvalues over quadratic polynomials
设f（z）= sum_n a（n）n^{（k-1）/2} e（nz）是Gamma 0（N）的一个尖点形式，特征标chi和权kgeq为4.设q（x）= x^2 + sx + t是整系数多项式。证明了对于依赖于f和q的常数c，sum_{n \leq X} a（q（n））= cX + O（X^{6/7+eps}）.在许多情况下，常数为零，例如，如果k是偶数。在此基础上，导出了半整数权和不同符号项的库兹涅佐夫公式。
2008-03-30 math.NT
On the generation of the coefficient field of a newform by a single Hecke eigenvalue
设f是一个非CM的新形式，权值k > 1。设L是f的系数域的一个子域。我们完全解决了素数集合p的密度问题，使得f的第p个系数生成域L。这个密度是由f的内部扭曲决定的。作为一种特殊情况，我们得到，在没有非平凡的内部扭曲，密度为1，L等于整个系数域。我们还提出了一些新的数据约化的Hecke多项式，提出了进一步研究的问题。
2008-02-25 math.NT
Cancellation in Sums of Hecke Eigenvalues Over Quadratic Polynomials and Mass Equidistribution
研究短区间不可约二次多项式上Hecke特征值和的抵消现象，通过Hecke形式基平均得到平方根抵消，结合Kloosterman和界及Nelson工作，证明几乎所有模形式满足质量等分布猜想且收敛速度为k^(-δ)（δ<1/2）。
2025-08-26 math.NT
On Hecke Eigenvalues at Piatetski-Shapiro Primes
令$λ(n)$为全纯尖点形式的正规化n阶傅里叶系数。我们表明，对于一些恒定的$C > 0$取决于尖点形式和每个固定的$c$范围内的$1 < c < 8/7$，$λ(p)$的平均值是$\ll \exp (-C \sqrt{\log N})$作为p运行在所有（Piatetski-Shapiro）素数的形式$[n^c]$与自然数$n \leq N$。
2009-04-10 math.NT
The Second Moment of Sums of Hecke Eigenvalues I
King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了Hecke特征值和的二阶矩，发现当求和长度x接近k²时，求和大小发生转变，且在后续工作中将进一步探讨x大于k²时的平均大小变化。
2026-03-10 math.NT
Hecke operators on differential modular forms mod p
给出了所有1阶模p本原微分级数的描述，它们是所有Hecke算子的特征向量，是任意阶和给定权的微分模形式的微分Fourier展开式;这组微分级数被证明是在一个自然的一一对应的系列模p（0阶），它们是所有Hecke算子的特征向量，并且是适当权重的（经典）模形式的傅立叶展开。
2011-04-01 math.NT
