Trust your source: quantifying source condition elements for variational regularisation methods
本文提出将源条件元素转化为可用一阶算法求解的凸最小化问题，并在 LASSO 多项式估计、Fourier 数据图像恢复及最优 MRI 采样模式识别中验证其有效性。
2024-02-29 cs.NA math.NA
Numerical methods for fully nonlinear degenerate diffusions
针对退化完全非线性椭圆型方程及相关传输型自由边界问题，提出有限差分方法，通过正则化程序克服困难并证明收敛性，经数值实验支撑，方法可扩展至更广泛非变分问题。
2026-08-17 cs.NA math.AP math.NA
Bayesian Hierarchical Model of Total Variation Regularisation for Image Deblurring
Tampere University of Technology（坦佩雷理工大学）
本文提出基于总变分正则化的贝叶斯分层模型，通过拉普拉斯密度先验和变分贝叶斯方法实现逆问题参数的同时估计，用于图像去模糊，结果展示其在边缘保持方面的应用潜力。
2014-12-14 cs.NA math.NA stat.ME
A conjugate-gradient-type rational Krylov subspace method for ill-posed problems
正规方程上的共轭梯度法（CGNE）是正则化线性反问题的一种常用方法。该方法的思想可以概括为在一个合适的Krylov子空间上最小化残差。它表明，使用相同的想法的移位和反转的合理Krylov子空间产生一个订单最佳的正则化计划。
2019-08-08 cs.NA math.NA
Off-the-grid regularisation for Poisson inverse problems
本文针对泊松噪声下的点测度稀疏重建问题，提出将全变差正则化与Kullback-Leibler数据项在非负约束下耦合的离网格变分模型，并通过同伦策略结合Sliding Frank-Wolfe算法求解，在模拟与真实荧光显微数据上验证了有效性。
2025-04-14 cs.NA math.NA math.OC
Discretisation-adaptive regularisation of statistical inverse problems
本文研究了白噪声下的线性逆问题。这些类型的问题可以通过以下方式解决，例如，迭代正则化方法和主要的挑战是确定一个合适的停止指数的迭代。用于确定停止指数的流行自适应方法的收敛结果通常伴随有限制，例如关于问题的不适定性的类型、未知解或误差分布。在最近的工作\cite{jahn2021optimal}的差异原则，最广泛使用的自适应方法之一，适用于频谱截止正则化的修改，提供了良好的收敛性能，在一般设置。在这里，我们调查的性能与其他过滤器为基础的正则化方法的修改差异原则，我们在此专注于迭代Landweber方法。我们表明，该方法产生最佳的收敛速度，并提出了一些数值实验证实，它也是有吸引力的计算复杂性。其关键思想是以自适应的方式合并和修改离散化维度。
2022-04-29 cs.NA math.NA math.ST
Conforming and Nonconforming Finite Element Methods for Biharmonic Inverse Source Problem
本文讨论了有限维测量数据的双调和源反问题的数值逼近。这个统一的框架，特别是涵盖了协调和非协调有限元法（FEM）。反问题通过正问题进行分析。正解的误差估计是在一个抽象的设置，适用于符合和Morley的有限元。由于反问题是不适定的，Tikhonov正则化被认为是获得一个稳定的近似解。针对不同的正则化方案，建立了正则化解的误差估计。数值结果证实了理论结果。
2021-06-14 cs.NA math.FA math.NA
Optimal Convergence Rates Results for Linear Inverse Problems in Hilbert Spaces
University of Vienna（维也纳大学）；Rice University（莱斯大学）
本文研究了Hilbert空间中线性病态算子方程正则化方法的最优收敛速率，推广了现有结果到一般源条件，如对数源条件，并探讨了变分源条件与近似源条件的关系。
2015-11-10 cs.NA math.FA math.NA
Double obstacle phase field approach to an inverse problem for a discontinuous diffusion coefficient
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学）；University of Warwick（华威大学）；University of Sussex（萨塞克斯大学）
本文提出双障碍相场方法用于恢复椭圆偏微分方程中的分段常数扩散系数，通过优化控制方法结合正则化项，采用有限元方法进行计算验证。
2016-01-21 cs.NA math.NA
On the discretization of Laplace's equation with Neumann boundary conditions on polygonal domains
本文给出了求解多边形区域上具有Neumann边界条件的Laplace方程的一类算法。众所周知，在这种情况下的解决方案有奇点附近的角落，这对许多现有的方法提出了挑战。如果边界数据在多边形的每个边缘上是光滑的，则在每个角的附近，对应的边界积分方程的解具有根据某些（解析可用的）奇异幂的展开。利用已知的解的性质，构造了狄利克雷问题的通用离散解.然而，诺伊曼问题的解决方案的领先阶行为是$O(t^μ)$为$μ\in (-1/2,0)$取决于角的角度（相比狄利克雷问题的$O(C+t^μ)$与$μ>1/2$）;这提出了一个重大的挑战，在通用离散化的设计。我们的方法是基于使用的离散化的狄利克雷问题，以计算的解决方案在“弱意义”，通过解决伴随线性系，即它可以用来计算内积与光滑函数准确，但它不能插值。此外，我们提出了一个程序，以获得精确的解决方案，任意接近的角落，通过解决一系列的小的局部子问题，在附近的角落。数值算例说明了结果。
2020-01-15 cs.NA math.NA
Energy-corrected FEM and explicit time-stepping for parabolic problems
Institute for Numerical Mathematics, Technische Universität München（慕尼黑工业大学数值数学研究所）
本文提出了一种能量校正的有限元方法，用于解决抛物问题，该方法在近似网格上工作，并基于此创建了快速显式时间离散化方法，通过数值实验验证了该方法的理论结果和灵活性，适用于多重奇点角和三维设置。
2019-03-15 cs.NA math.NA
Regularising the Cauchy problem for Laplace's equation by fractional operators
本文提出用分数阶导数替代整数阶导数以正则化拉普拉斯方程柯西问题，在矩形/圆柱几何中利用Abel型分数阶导数的稳定化效应，并用牛顿法处理自由边界恢复及阻抗函数的同时恢复，给出数值重构与收敛性结果。
2023-09-24 cs.NA math.NA
Quantifying Uncertainty in High Dimensional Inverse Problems by Convex Optimisation
逆问题在现代图像/信号处理方法中起着关键作用。然而，由于缺乏观测，它们通常是病态的或不适定的，因此它们的解可能具有显著的内在不确定性。分析和量化这种不确定性是非常具有挑战性的，特别是在高维问题和具有非光滑目标泛函的问题（例如稀疏性促进先验）中。在这篇文章中，提出了一系列可视化这种不确定性的策略，例如最高后验密度可信区域和局部可信区间（参见。误差条）。我们的方法支持逆问题的非光滑先验，并且可以扩展到高维设置。此外，我们提出了自动设置正则化参数的策略，以便建议的不确定性量化（UQ）策略变得更容易使用。此外，不同种类的字典（完整和过完整）被用来表示图像/信号，并在建议的UQ方法的性能进行了研究。
2019-09-05 astro-ph.IM cs.NA eess.SP
Space-time shape uncertainties in the forward and inverse problem of electrocardiography
在心电图中，“经典”逆问题是从体表的远程记录和解剖结构的准确描述重建包围心脏的表面处的电势。后者受到噪声的影响，并且由于临床约束而以有限的分辨率获得，可能在逆重建中存在很大的不确定性。本工作的目的是研究形状不确定性对心电图正问题和逆问题的影响。为此，首先将问题转化为边界积分公式，然后用配置法离散化，以实现高收敛速度和快速求解。该域的形状不确定性由定义在参考位形上的随机变形场表示。我们提出了一个时间协方差核的随机场和近似的Karhunen-Loève展开使用低秩技术的快速采样。用各向异性稀疏求积方法计算了期望势及其方差的时空不确定性，并用拟蒙特卡罗方法进行了验证。我们提出了几个数值实验上的简化，但生理接地的二维几何形状，以说明该方法的有效性。测试的参数尺寸范围为100至600。对于正问题，稀疏求积是非常有效的。在反问题中，稀疏求积和拟蒙特卡罗方法的表现与预期一致，除了全变差正则化，收敛性受到缺乏规律性的限制。最后，我们调查的$H^{1/2}$正规化，这自然源于边界积分制定，并比较它更经典的方法。
2021-06-28 cs.CE cs.NA math.NA
A Guide to Stochastic Optimisation for Large-Scale Inverse Problems
University of Bath（巴斯大学）；University College London（伦敦大学学院）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）
本综述从变分正则化视角全面梳理随机优化算法在反问题中的应用，涵盖随机化模式、方差缩减与加速等技术，并探讨其特有挑战与成像实例。
2024-12-17 cs.CV cs.NA math.NA
