The Impacts of Dimensionality, Diffusion, and Directedness on Intrinsic Cross-Model Simulation in Tile-Based Self-Assembly
该研究针对基于瓦片的自组装模型，通过内在跨模型模拟对比维度、扩散限制、定向性三因素的影响，揭示不同模型的能力差异与互斥特性，完善了瓦片组装模型的层级结构定义。
2023-05-04 cs.CG cs.ET
Size-Dependent Tile Self-Assembly: Constant-Height Rectangles and Stability
我们介绍了一种新的模型的算法瓦片自组装称为大小相关的组装。在以前的模型中，当任何两半之间的键的总强度超过某个恒定温度时，超级瓷砖是稳定的。在该模型中，该恒定温度要求被非递减温度函数$τ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$代替，该函数取决于两个半体中较小的半体的尺寸。这种普遍化使超级瓦片变得不稳定并分裂，并捕捉到大型结构可能施加在将它们连接在一起的键上的增加的力。我们从两个方面证明了这个模型的威力。首先，我们给出了固定的瓦片集，该瓦片集在给定适当的温度函数的情况下组装任意输入大小的恒定高度的矩形和正方形。其次，我们证明了决定一个超级瓦片是否稳定是coNP-完全的。这两个结果与已知的固定温度下的结果相反。
2015-09-23 cs.CG cs.ET
Intrinsic universality and the computational power of self-assembly
这个简短的调查最近的工作在瓷砖自组装讨论了使用模拟分类和分离的计算和自组装模型的表达能力。旅程开始时，有一个单一的通用瓷砖集，适当的初始化和缩放，模拟任何瓷砖组装系统。这个通用的瓦片集展示了比图灵普适性更强大的东西：它捕捉了任何模拟系统的几何和动力学。从那里，我们发现，没有这样的瓷砖集在非合作，或温度1，模型，证明它比完整的瓷砖组装模型弱。在双手或层次模型中，大型组件可以在一个步骤中绑定在一起，我们遇到了一个无限的集合，无限的层次，每个层次都有严格增加的模拟能力。在我们的旅行接近尾声时，我们发现一个瓷砖统治了他们所有人：一个单一的可旋转翻转多边形瓷砖，可以模拟任何瓷砖组装系统。看来这可能是一个更长的旅程的开始，因此建议了未来工作的方向。
2013-09-05 cs.CC cs.CG cs.ET
Hierarchical Growth is Necessary and (Sometimes) Sufficient to Self-Assemble Discrete Self-Similar Fractals
在本文中，我们证明，在抽象的瓷砖组装模型（aTAM），一个基于增生的模型，只允许一个单一的瓷砖附加到一个不断增长的组件在每一步，有没有瓷砖组装系统能够自组装的离散自相似分形称为“H”和“U”分形。然后，我们表明，在一个相关的模型，它允许分层自组装，2-Handed组装模型（2 HAM），确实存在一个瓷砖组装系统，自组装的“U”分形和猜想，同样适用于“H”分形。这是离散自相似分形的第一个例子，它在2 HAM中自组装，但不在aTAM中，提供了模型的直接比较，并更好地理解了分层组装的力量。
2018-07-17 cs.CG cs.ET
Optimal program-size complexity for self-assembly at temperature 1 in 3D
工作在一个三维的变体Winfree的抽象瓷砖组装模型，我们表明，对于所有的$N \in \mathbb{N}$，有一个瓷砖集，唯一的自组装成一个$N \times N$正方形在温度1与最佳程序大小的复杂性$O(\log N / \log \log N)$（程序大小的复杂性，也称为瓷砖复杂性，形状是唯一的瓷砖类型所需的最小数量的唯一自组装它）。此外，我们的构造是“刚刚好”的3D，在这个意义上，它的作品，即使当瓷砖的位置被限制在$z = 0$和$z = 1$平面。这一结果肯定地回答了Cook，Fu，Schweller提出的一个未决问题（SODA 2011）。为了实现这一结果，我们开发了一个通用的3D温度1最佳编码结构，让人想起Soloveichik和Winfree（SICOMP 2007）的2D温度2最佳编码结构，也许是独立的兴趣。
2014-11-05 cs.CG cs.ET
Simulation of the abstract Tile Assembly Model Using Crisscross Slats
本文提出用两层交叉 DNA 板条系统模拟 aTAM，覆盖从 zig-zag 到全部 aTAM 的五类系统，并给出 $2c\ imes2c$ 至 $5c\ imes5c$ 的尺度构造，证明板条具备同等理论能力且更抗错。
2024-05-10 cs.CG cs.ET
Self-Assembly with Geometric Tiles
在这项工作中，我们提出了一个概括的Winfree的抽象瓷砖组装模型（aTAM）中，瓷砖类型被分配刚性的形状，或几何形状，沿每个瓷砖面。我们研究的数量不同的瓷砖类型需要组装的形状在这个模型中，所需的温度进行有效的组装，并设计紧凑的几何面，以满足给定的兼容性规范的问题。我们的研究结果表明，在温度为1的最简单的模型，满足柯尔莫哥洛夫复杂性的下限，和$O(\log\log n)$在一个模型中，瓷砖聚集体必须一起移动通过无障碍路径内的平面，组装$n \times n$广场$Θ(\sqrt{\log n})$所需的瓷砖类型的数量显着减少。这与基本aTAM中所需的温度2下的$Θ(\log n / \log\log n)$瓷砖类型形成对比。我们还提供了一个通用的方法来模拟一个大的和计算通用类的温度2 aTAM系统的几何瓦片在温度1。最后，我们考虑的问题，计算一组紧凑的几何面的瓷砖系统，以实现一组给定的兼容性规范。我们展示了一些界限的复杂性的几何尺寸所需的各种类别的兼容性规范，其中许多我们直接应用到我们的瓷砖组装的结果，以实现非平凡的几何尺寸的减少。
2011-04-14 cs.CC cs.CG cs.DS
Reflections on Tiles (in Self-Assembly)
我们定义的自反瓷砖组装模型（RTAM），这是从抽象瓷砖组装模型（aTAM），通过允许瓷砖，以反映其水平和/或垂直轴。我们表明，类的有向温度-1 RTAM系统是不计算通用的，这是证明，但未证明的aTAM，和aTAM一样，RTAM是计算通用的温度2。然后，我们表明，在温度1，当从一个单一的瓷砖种子，RTAM是能够组装n × n平方为n奇数只使用n瓷砖类型，但不能组装n × n平方为n偶数。此外，我们表明，n是一个下界的瓷砖类型的数量需要组装n × n平方为n奇数的温度-1 RTAM。温度为1的aTAM系统的稳定下界为2n-1。最后，我们给出了Z^2中哪些有限连通形状可以被单种子（即种子大小为1）RTAM系统组装（严格或弱）的分类的初步结果，包括哪些有限连通形状可以被“无失配”单种子RTAM系统严格组装的完整分类。
2015-03-11 cs.CC cs.CG cs.ET
One Tile to Rule Them All: Simulating Any Turing Machine, Tile Assembly System, or Tiling System with a Single Puzzle Piece
在本文中，我们探讨的权力瓷砖自组装模型，扩展了研究抽象瓷砖组装模型（aTAM），允许瓷砖的形状超出单位正方形。我们的主要结果表明，令人惊讶的事实，任何aTAM系统，包括许多不同的瓷砖类型，可以模拟一个单一的瓷砖类型的一般形状。因此，我们得到了一个单一的通用瓦片类型的一个单一的（恒定大小）的形状，作为一个“通用瓦片机”：单一的通用瓦片类型可以模拟任何所需的aTAM系统时，给定一个单一的种子组装，编码所需的aTAM系统。我们还展示了如何适应这一结果转换成一个“近”平面瓷砖系统与一个单一的瓷砖（但瓷砖之间的小间隙）的各种平面瓷砖系统（如王瓷砖）。所有这些结果都依赖于旋转和平移瓷砖的能力;相比之下，我们表明，一个单一的不可旋转的瓷砖，任意形状，可以产生组件，要么无限增长或根本不能增长，这意味着大大有限的计算能力。在积极的一面，我们展示了如何模拟任意的细胞自动机有限的步骤，使用一个单一的不可旋转的瓷砖和线性大小的种子大会。
2012-12-19 cs.CC cs.CG cs.DS
Strict Self-Assembly of Discrete Self-Similar Fractals in the abstract Tile-Assembly Model
本文通过自产生程序特化和自描述电路两种新方法，证明抽象瓦片组装模型可严格组装离散自相似分形，还提出树泵引理并给出判定相关分形可组装性的多项式时间方法。
2024-10-10 cs.CG
It's a Tough Nanoworld: in Tile Assembly, Cooperation is not (strictly) more Powerful than Competition
我们提出了一个严格的分离类之间的“失配自由”自组装系统和一般的aTAM系统。无失配系统是指并发生长的部件必须始终彼此一致的系统。瓦片自组装是晶体生长形成的模型，其中大量颗粒同时并选择性地彼此粘附，形成复杂的形状和结构。它在纳米技术中很有用，更普遍地说，它在理解这些在自然系统中无处不在的过程中很有用。局部组装过程的另一个已知的改变模型能力的属性是两个瓦片之间的合作以连接另一个瓦片。我们表明，分歧（不匹配）和合作是不可比拟的：既不能用来模拟另一个。错配是硬属性的事实是特别令人惊讶的，因为没有已知的，明确的构造的计算设备在瓦片组装使用错配，除了最近的构造的本质上通用的tiltrons，即能够模拟任何其他tiltrons直到重新缩放的tiltrons。这项工作展示了如何使用内在的普遍性，以系统的方式，突出不同的瓷砖组装功能的本质。此外，即使是最新的实验实现也没有使用竞争，鉴于我们的结果，这表明DNA自组装背后的大部分自然现象仍有待实验理解。
2015-02-19 cs.CG cs.DM
New bounds on the tile complexity of thin rectangles at temperature-1
在本文中，我们研究的最小数量的独特的瓷砖类型所需的自组装薄矩形Winfree的抽象瓷砖组装模型（aTAM），限制到温度-1。使用卡塔兰数，平面自组装和限制版本的窗口电影引理，我们推导出一个新的下限薄矩形在温度-1在2D的瓷砖复杂性。然后，我们给出了第一个已知的上限的瓷砖复杂性的“刚刚好”的3D薄矩形在温度-1，瓷砖被允许放置在最多一步到第三维。我们的构造，它产生一个独特的终端组件，实现了一个刚刚好的3D，锯齿形计数器，其基础取决于目标矩形的尺寸，其数字编码的几何，垂直方向和二进制。
2019-06-14 cs.CG
Pattern overlap implies runaway growth in hierarchical tile systems
我们表明，在分层瓦片组装模型中，如果有一个可生产的组装，重叠一个非平凡的翻译本身一致（即，重叠区域中的瓦片类型的图案在两个平移中是相同的），则可以生产任意大的组件。该结果的意义在于，旨在可控地生产有限结构的瓦片系统必须避免在其可生产组件中的图案重复，这将导致这种重叠。这回答了Chen和Doty（SODA 2012）的一个开放性问题，他们证明了所谓的“偏序”系统产生唯一的有限集合 *，并且”避免这种重叠必须要求集合直径的时间线性。我们的主要结果的应用是，任何系统产生一个独特的有限大会自动保证，以避免这种重叠，简化假设陈和多蒂的主要定理。
2014-11-24 cs.CG
Efficient Squares and Turing Universality at Temperature 1 with a Unique Negative Glue
Winfree的抽象瓦片组装模型（aTAM）“强大吗？好吧，如果某些瓷砖需要“配合”以便能够结合到生长的瓷砖组件（也称为，温度2自组装），则图灵通用计算和$N \times N$正方形的有效自组装在aTAM中是可实现的（Rotemund和Winfree，STOC 2000）。所以，是的，在计算的意义上，aTAM是相当强大的！然而，如果完全去除这种协同性条件（也称为，温度1自组装），那么aTAM的计算“能力”（即，其支持图灵通用计算和$N \times N$正方形的有效自组装的能力）变得未知。有利的一面是，在温度1下，aTAM不仅是图灵通用的，而且如果允许自组装利用三个空间维度，则还支持有效的自组装$N \times N$正方形（Fu，Schweller和Cook，SODA 2011）。我们研究了一个看似简单的，限制性的瓷砖组装系统（TAS）的理论“权力”，其中（1）每个胶水强度的绝对值为1，（2）有一个单一的负强度胶水类型和（3）不等的胶水不能相互作用。我们称之为\emph{restricted glue} TAS（rgTAS）。我们首先展示了用rgTAS生成$N \times N$正方形的图块复杂度是$O(\frac{\log n}{\log \log n})$。我们还证明了rgTAS是图灵通用的构造，模拟任意图灵机。接下来，我们提供了rgTAS类的一个变化，部分限制胶TAS，这…
2012-02-01 cs.CG cs.ET
Fuel Efficient Computation in Passive Self-Assembly
在本文中，我们表明，被动自组装的上下文中的瓷砖自组装模型是能够执行燃料效率，通用计算。瓷砖自组装模型是一个首映模型的自组装，其中颗粒是由四边形与胶类型分配给每个瓷砖边缘。组装过程由胶水类型之间的正负力相互作用驱动，允许漂浮在平面上的瓷砖组件随着时间的推移组合和分开。我们将这种类型的装配模型称为被动装配模型，因为在整个装配过程中，组成零件保持不变，而不管它们之间的交互。如果每个计算步骤使用的瓦片数量由常数限制，则计算通用系统被称为燃料有效的。在这个模型中的工作已经展示了耗油的瓦片系统如何仅通过正强度胶相互作用来执行通用计算。最近的工作引入了空间效率，耗油量大的通用计算，增加了负胶相互作用和使用一个强大的非对角类胶相互作用。其他最近的工作已经展示了如何在主动瓦片自组装内实现燃料效率计算。在本文中，我们利用瓷砖自组装模型中的负相互作用，以实现第一个计算通用的被动瓷砖自组装系统，这是空间和燃料效率。此外，我们实现了这一结果使用有限的对角线类胶水相互作用。
2012-08-08 cs.CC cs.CG cs.DS
Staged Self-Assembly:Nanomanufacture of Arbitrary Shapes with O(1) Glues
我们介绍了分阶段的自组装王瓷砖，瓷砖可以动态地添加顺序和中间结构可以存储为以后的混合。该模型及其各种限制和性能指标的动机是通过基于蛋白质的生物工程实现的实际纳米制造场景。分级允许我们通过在分级算法中编码形状而不是瓦片来突破瓦片自组装的传统下限。我们所有的结果都是基于一个实际的假设，即只有恒定数量的胶水，因此只有恒定数量的瓷砖，可以工程，因为每一个新的胶水类型需要大量的生化研究和实验。在这种假设下，传统的瓷砖自组装甚至不能制造一个n*n平方，相反，我们展示了如何分期组装，使制造任意正交形状的各种精确配方的模型。
2008-03-03 cs.CG
Self-Assembly of 3-D Structures Using 2-D Folding Tiles
自组装是一个普遍存在于自然界，尤其是生物系统中的过程。当相对简单的成分自发地组合成更复杂的结构时，就会发生这种现象。虽然这些系统激发了大量的研究来设计自组装系统的理论模型，甚至是基于实验室的实现，但这些人工模型和系统往往缺乏自然系统的强大功能之一（例如蛋白质的组装和折叠），即结构的动态可重构性。在本文中，我们提出了一个新的数学模型的自组装，抽象的瓷砖组装模型（aTAM）的基础上，称为柔性瓷砖组装模型（FTAM）。在FTAM中，各个部件是如aTAM中的2维正方形瓦片，但是在FTAM中，瓦片边缘之间的结合可以是柔性的，允许结合弯曲并且整个结构重新配置，从而允许2维部件形成3维结构。我们分析的权力和限制FTAM系统（1）演示如何灵活性可以被控制，以仔细地建立所需的结构，（2）显示如何灵活性可以被有益地利用，以形成结构，可以“有效地”重新配置成许多不同的配置和/或大大不同的配置。我们还表明，这样的权力是一个沉重的负担，在计算复杂性的模拟和预测证明，FTAM系统的重要属性，确定它们的存在是棘手的，即使是很容易计算的系统在较少的动态模型的属性。
2018-07-17 cs.CG
The two-handed tile assembly model is not intrinsically universal
双手瓦片组装模型（Two-Handed Tile Assembly Model，2 HAM）是一种瓦片组装模型，其中成对的大型组件可以绑定或自组装在一起。为了粘合，两个组件必须具有匹配的胶水，这些胶水可以同时彼此接触，并且以至少为温度$τ$的强度粘在一起，其中$τ$是某个固定的正整数。我们问2 HAM是否本质上是通用的，换句话说，我们问：是否有一个通用的2 HAM瓦片集$U$，可以用来模拟模型的任何实例？我们的主要结果是对这个问题的否定回答。我们发现，对于所有的$τ' < τ$，每个温度- $τ'$ 2 HAM瓷砖系统不模拟至少一个温度- $τ$ 2 HAM瓷砖系统。这个不可能的结果证明了2 HAM本质上不是通用的，这与本质上通用的更简单的（仅单个瓦片添加）抽象瓦片组装模型形成鲜明对比（“瓦片组装模型本质上是通用的”，FOCS 2012）。然而，在积极的一面，我们证明，对于每一个固定的温度$τ\geq 2$，温度- $τ$ 2 HAM瓦片系统确实是固有的通用：换句话说，对于每个$τ$有一个单一的通用2 HAM瓦片集$U$，当适当地初始化，是能够模拟任何温度- $τ$ 2 HAM瓦片系统的行为。作为这些结果的推论，我们发现一个无限的2 HAM系统的无限层次的无限集，严格增加每个层次内的模拟能力。最后，我们表明，对于每个$τ$，有一个温度- $τ$ 2 HAM系统，同时模拟所有的温度-…
2014-08-20 cs.CC cs.CG cs.DS
The non-cooperative tile assembly model is not intrinsically universal or capable of bounded Turing machine simulation
算法自组装领域关注纳米级自组装分子系统的计算能力和表达能力。在研究得很好的合作，或温度2，抽象瓦片组装模型，它是已知的，有一个瓦片集模拟任何图灵机和一个固有的通用瓦片集，模拟模型的任何实例的形状和动力学，直到空间重新缩放。这一直是一个悬而未决的问题，是否似乎更简单的非合作，或温度1，模型是能够这样的行为。在这里，我们表明，这是不是这样的情况下，通过显示，有没有瓷砖集的非合作模型，这是内在的普遍性，也没有一个能够有界的图灵机模拟在一个有界的区域内的平面。虽然非合作模型在直觉上似乎缺乏合作模型的复杂性和力量，但如何证明这一点并不明显。原因之一是，很少有工具来分析平面上复杂路径的结构。本文件提供了一些这样的工具。第二个原因是，几乎每一个明显的和小的概括模型（例如，允许错误，3D，非正方形瓷砖，瓷砖上的信号/电线，互相排斥的瓷砖，并行同步增长）赋予它巨大的计算能力，有时模拟，权力。我们的主要结果表明，所有这些概括证明增加计算和/或模拟能力。我们的结果适用于确定性和非确定性的非合作系统。我们的第一个主要结果与以下事实形成鲜明对比：对于合作瓦片组件模型和3D非合作瓦片组件，存在各自的固有通用瓦片集。我们的第二个主要结果给出了一个新的技术（减少模拟）证明在瓷砖组装计算的负面结果。
2017-05-30 cs.CC cs.CG cs.DS
Sequential non-determinism in tile self-assembly: a general framework and an application to efficient temperature-1 self-assembly of squares
本文提出“顺序非确定性”框架，用于分析温度-1瓦片自组装系统的概率正确性，并据此构造出仅用 O(log N + log(1/δ)) 种瓦片类型即可高概率自组装 N×N 正方形的系统，改进了先前最优界。
2024-08-12 cs.CG cs.DS
Self-Assembly of Shapes at Constant Scale using Repulsive Forces
形状的算法自组装已被认为是在几个模型的自组装。对于\emph{shape construction}问题，我们考虑了一个扩展版本的双手瓦片组装模型（2 HAM），其中包含正（吸引）和负（排斥）的相互作用。因此，组件的部分可能变得不稳定并分离。在该模型中，我们利用节能计算来执行图灵机模拟来构建形状。在本文中，我们将展示如何使用渐进最优数量的不同瓷砖类型（基于形状的柯尔莫哥洛夫复杂性）构造任意形状。我们在这个简单的模型中以$O(1)$比例因子实现了这一点，而以前所有具有次线性比例因子的结果都利用了强大的自组装模型，其中包含分级，瓷砖删除，化学反应网络和瓷砖激活/失活等功能。此外，我们的结果中的计算和构造只创建了常量大小的垃圾程序集，作为组装形状的副产品。
2016-08-16 cs.CG
Optimal self-assembly of finite shapes at temperature 1 in 3D
在Winfree的抽象瓦片组装模型的三维变体中工作，我们表明，对于任意有限的连接形状$X \subset \mathbb{Z}^2$，存在一个瓦片集，该瓦片集在3D中以最佳程序大小复杂度在温度1下唯一地自组装成$X$的放大版本的3D表示（形状的“程序大小复杂度”，也称为“瓦片复杂度”，是唯一地自组装它所需的瓦片类型的最小数量）。此外，我们的构造是“勉强”3D的，因为它只在$z = 0$和$z = 1$平面中放置瓦片。我们的结果基本上是Soloveichik和Winfree（SICOMP 2007）的类似2D温度2结果的勉强3D温度1模拟。
2015-07-23 cs.CG cs.DS
The Rhythm of the Tiles: Narrow and Low Temperature Computation and Simulation in Synchronous Tile Self-Assembly
Electrical Engineering and Computer Science Department, University of Arkansas（阿肯色大学电气与计算机工程系）
该研究证明syncTAM的同步性可实现aTAM无法达成的成果，包括窄空间下模拟图灵机、存在无需协作的内在通用瓦片集合，且定向系统的IU瓦片集合在syncTAM中可实现。
2026-10-14 cs.CG
Deterministic Non-cooperative Binding in Two-Dimensional Tile Assembly Systems Must Have Ultimately Periodic Paths
我们考虑非合作绑定，即所谓的“温度1”，在确定性或定向（此处称为合流）瓷砖自-给出了二维装配系统存在最终周期装配路径的充要条件，证明了无穷大装配存在最终周期装配路径的充要条件是无穷大装配存在最终周期装配路径Z2网格中的路径。此外，我们证明了每个无限集合必须满足这个条件，因此，包含一个最终的周期性的路径。这个结果是通过一个叠加和组合的两条路径，产生一个新的路径与所需的属性，一种技术，我们称之为两条路径的共同增长。本文是arXiv 1901.08575第一部分的更新和改进版本。
2022-02-09 cs.CC cs.CG cs.DM
Computing in continuous space with self-assembling polygonal tiles
在本文中，我们调查的计算能力的多边形瓷砖组装模型（多边形TAM）在温度1，即在非合作系统。多边形TAM是Winfree的抽象瓦片组装模型（aTAM）的扩展，它不仅允许正方形瓦片（如aTAM中），而且允许瓦片形状为多边形。虽然一些自组装的结果已经显示出在温度1的计算普适性，这些是第一个结果，这样做，从根本上依赖于瓷砖放置在连续的，而不是离散的，空间。利用aTAM的正方形瓦片，证明了温度为1的系统类在计算上不是普适的。在这里，我们表明，一类系统的瓦片是由一个正多边形P与n > 6边是计算通用的。另一方面，我们表明，系统的瓷砖由一个正多边形P与n <= 6不能计算使用任何已知的技术。此外，我们展示了一些类别的系统，其瓷砖组成的非正多边形与n >= 3边是计算上的普遍。
2015-08-18 cs.CG
Strict Self-Assembly of Fractals using Multiple Hands
在本文中，我们考虑的问题，严格的自组装的无限分形瓷砖自组装。特别是，我们提供了瓷砖组装算法的离散谢尔宾斯基三角形和离散谢尔宾斯基地毯内的一类模型，我们称之为\emph{$h$-handed assembly model}（$h$ -HAM），它概括了2-HAM，以允许高达$h$组件在一个单一的组装步骤相结合。尽管有大量的考虑，还没有纯粹的生长自组装模型已被证明严格组装一个无限的分形没有显着修改的分形形状。在本文中，我们不仅实现了这一点，但在谢尔宾斯基地毯的情况下，能够实现它的2-HAM，在文献中研究得最好的瓷砖组装模型之一。我们的具体结果如下。我们为Sierpinski三角形提供了一个$6$ -HAM构造，它工作在比例因子1，30种瓦片类型，并以\emph{near perfect}的方式组装分形，其中所有中间组件都是递归分形的有限大小的迭代。我们进一步以比例因子3和990瓦片类型在$3$ -HAM内组装谢尔宾斯基三角形。对于Sierpinski地毯，我们给出了一个$2$ -HAM结果，该结果在比例因子3下工作，使用了1，216种瓷砖类型。我们进一步分析表明，aTAM无法严格组装本文中考虑的非树谢尔宾斯基三角形，并且需要多只手才能近乎完美地组装谢尔宾斯基三角形和谢尔宾斯基地毯。
2015-05-24 cs.CG cs.DM
Connected Assembly and Reconfiguration by Finite Automata
我们考虑的方法连接重新配置有限自动在所谓的\emph{hybrid}或\emph{Robot-on-Tiles}模型的可编程物质，其中一些简单的机器人移动和重新安排的被动瓷砖在平面上，形成\emph{polyomino}形状的安排，利用供应的额外的瓷砖，可以放置。我们研究了在保持瓦片排列的连接性的约束下的重新配置问题;这反映了断开的子排列可能漂移的情况，例如，在没有重力的太空中。我们表明，两个有限的自动机足以标记一个限界框，然后可以作为一个垫脚石更复杂的操作，如缩放一个瓷砖的安排由一个给定的因素，旋转的安排，或复制安排到不同的位置。我们还描述了一个算法缩放单调多项式没有一个限界框的帮助。
2019-09-09 cs.CG
The self-assembly of paths and squares at temperature 1
我们证明，在Winfree的抽象瓷砖组装模型中，当仅限于使用非合作瓷砖绑定时，构建大小为n × n的正方形所需的瓷砖类型的数量至少为2n-1，这也是最知名的上限。非合作自组装，也称为温度1，是指如果瓷砖在一个或多个侧面上匹配，则瓷砖彼此结合，而在合作结合中，一些瓷砖只有在多个侧面上匹配时才能结合。我们的证明为温度1引入了一种新的编程技术，这反驳了非常直观和普遍持有的信念，即在同一模型中，两个点A和B之间的组装路径不能用比它们之间的曼哈顿距离更少的瓦片类型来完成。然后，我们证明了一个必要条件，这些“有效路径”被组装，并表明，这一必要条件不能保持完全填充的广场。这个结果证明了算法自组装中最古老的猜想，由Rothemund和Winfree在STOC 2000中发表，在生长从正方形的一个角落开始的情况下。作为推论，我们建立n作为一般情况下的瓦片复杂性的下限。确定最小数量的瓦片类型以自组装形状的问题是已知的Sigma^p_2-完全的。
2013-12-09 cs.CC cs.CG cs.DM
Optimal Staged Self-Assembly of General Shapes
我们分析了在分阶段瓦片组装模型中组装$n \times n$正方形和缩放形状所需的瓦片类型$t$、箱$b$和阶段的数量。对于$n \times n$平方，我们证明了$\mathcal{O}(\frac{\log{n} - tb - t\log t}{b^2} + \frac{\log \log b}{\log t})$阶段是足够的，并且$Ω(\frac{\log{n} - tb - t\log t}{b^2})$对于几乎所有的$n$都是必需的.对于形状$S$与柯尔莫哥洛夫复杂度$K(S)$，我们证明$\mathcal{O}(\frac{K(S) - tb - t\log t}{b^2} + \frac{\log \log b}{\log t})$阶段足够和$Ω(\frac{K(S) - tb - t\log t}{b^2})$是必要的组装一个缩放版本的$S$，几乎所有的$S$。当允许更强的柔性胶时，我们得到了类似的紧界。
2016-09-13 cs.CG cs.ET
The Impacts of Dimensionality, Diffusion, and Directedness on Intrinsic Universality in the abstract Tile Assembly Model
我们提出了一系列的结果相关的数学模型的自组装瓷砖和三个不同的属性对其动态的影响。我们扩展了一系列先前的结果，这些结果表明：（1）抽象瓦片组装模型（aTAM）本质上是通用的（IU）[FOCS 2012]，（2）有向aTAM系统的类不是IU [FOCS 2016]。模型（或模型内的系统类）的IU意味着存在可用于模拟该模型（或类）内的任意系统的通用瓦片集。此外，仿真不仅必须产生相同的合成结构，还必须保持仅以比例因子为模的被仿真系统的完整动态。虽然FOCS 2012结果显示标准的二维（2D）aTAM为IU，但在这里我们显示3D版本也是如此。相反，FOCS 2016的结果显示了aTAM系统的类别是有向的（a.k.a.确定性，或汇合）不是IU，这意味着非确定性是基本上需要这样的模拟。然而，在这里，我们表明，在3D的类的直接aTAM系统实际上是IU，即有一个通用的有向模拟器。然后，我们考虑更严格的维数概念的影响。也就是说，我们引入了平面aTAM，其中瓦片不仅限于在平面内绑定，而且还限于在平面内旅行，并证明了平面aTAM不是IU，平面aTAM内的有向系统类也不是IU。最后，类似于平面aTAM，我们介绍了空间aTAM，它的3D对应，并证明它是IU。为了证明我们的积极成果，我们不仅设计了，而且还实现了我们认为是第一个在任何瓦片组件模型中实现和模拟的IU瓦片集。我们已经做了它和一个模拟器，可以免费演示它…
2019-10-09 cs.CG
Fast Arithmetic in Algorithmic Self-Assembly
在本文中，我们考虑的时间复杂度计算的总和和积的两个$n$位数内的瓷砖自组装模型。（抽象）瓦片组装模型是自组装的数学模型，其中系统组件是具有分配给瓦片边缘的不同胶水类型的正方形瓦片。当胶对瓦片的净吸引力超过某个固定阈值时，通过将单体瓦片附接到生长的种子组件来驱动组件。在这个框架内，我们研究的时间复杂度计算2个n位数的总和或产品，其中输入的数字被编码在一个初始的种子汇编，并在最后的输出编码，终端组装的系统。我们证明了加法和乘法问题在2D装配中有$Ω(\sqrt{n})$的最坏情况下界，在3D装配中有$Ω(\sqrt[3]{n})$的最坏情况下界。在加法的情况下，我们设计了二维和三维的算法，分别满足$O(\sqrt{n})$和$O(\sqrt[3]{n})$的最坏情况运行时间的上限，这击败了以前最好的已知上限O（n）。此外，我们认为平均情况下的复杂性，除了均匀分布的n位串，并显示如何实现$O(\log n)$平均情况下的时间与同时$O(\sqrt{n})$最坏情况下的运行时间在2D。对于乘法，我们提出了一个$O(n^{5/6})$时间乘法算法，它工作在3D，它击败了以前最好的已知的O（n）的上限。作为我们的算法的速度的额外证据，我们实现我们的加法算法，随着更简单的O（n）时间加法算法，到一个概率运行时模拟器和比较的时序结果。
2013-08-05 cs.CC cs.CG cs.DS
Producibility in hierarchical self-assembly
三个结果显示在积的层次模型的瓷砖自组装。结果表明，一个简单的贪婪多项式时间策略决定是否是一个组件A是可生产的。该算法可以优化为O（|A| log^2 |A|）时间。Cannon，Demaine，Demaine，Eisenstat，Patitz，Schweller，Summers，and Winslow证明了对于非合作的"温度1"系统的特殊情况，判定一个组件A是否是瓦片系统T的唯一可产生终端组件的问题可以在O（|A| ^2 |T| + |A| |T| ^2）时间内解决。它表明，这可以提高到O（|A| |T| log |T|）的时间。最后，它表明，如果两个组件是可生产的，如果他们可以重叠一致-即，如果它们共享的位置在每个组合中具有相同的瓦片类型--那么它们的并集也是可产生的。
2013-05-01 cs.CC cs.CG cs.DS
The Simulation Powers and Limitations of Higher Temperature Hierarchical Self-Assembly Systems
在本文中，我们扩展了现有的结果模拟和内在的普遍性在一个模型的瓷砖为基础的自组装。也就是说，我们在双手组装模型（2HAM）中工作，这是一种自组装模型，其中组件由允许组合的正方形瓦片形成，沿着它们的边缘使用胶水，单独地或作为分层方式中的任意大组件对，并且我们探索这些系统在模拟系统具有较高的“温度”参数时相互模拟的能力，这是一个系统范围的阈值，规定了在两个组件之间必须形成多少胶粘结以允许它们结合。先前已经表明，具有较低温度的系统不能模拟具有较高温度的任意系统，并且在某些较高温度下的系统可以模拟那些在特定较低温度下的系统，从而创建无限组无限层次的2HAM系统，其中每个层次内的模拟能力严格增加。这些先前的结果依赖于两种不同的模拟定义，一种（强模拟）似乎比另一种（标准模拟）更具限制性，但以前没有被证明是不同的。在这里，我们证明了它们之间的区别，首先充分表征了一组温度对，使高温系统本质上是通用的较低的温度系统（即一个瓷砖设置在较高的温度可以模拟任何在较低的）使用强模拟。这包括温度向下模拟的第一个不可能结果。然后，我们表明，较低的温度系统，不能模拟较高的温度系统使用强定义，实际上可以模拟使用标准定义，证明了不同类型的模拟之间的区别。
2015-03-16 cs.CG cs.ET
Deterministic 2-Dimensional Temperature-1 Tile Assembly Systems Cannot Compute
我们认为非合作绑定在所谓的“温度1”，在确定性（这里称为{ \it汇合}）瓷砖自组装系统（1-TAS），并证明了常设猜想，这样的系统不具有普遍的计算能力。我们称一个TAS的最大组件包含至少一个最终周期的组装路径{ \it para-periodic}。我们观察到，合流1-TAS有最多一个最大的可生产的组装，$α_{max}$，可以被认为是一个联盟的路径组件，我们表明，这样的系统总是para-periodic。这个结果是通过两条路径的叠加和组合得到的，这两条路径产生了一条具有所需属性的新路径，我们称之为两条路径的\emph{co-grow}技术。此外，我们提供了一个融合的1-TAS的$α_{max}$作为两种可能的情况下，所谓的，一个网格或不相交的联合梳之一的表征。对于给定的$α_{max}$，我们可以关联一个有限标记图，称为\emph{quipu}，使得quipu中所有路径标记的并集等于$α_{max}$，因此给出了$α_{max}$的有限描述。这种有限描述意味着$α_{max}$是$\mathbb{Z}^2$的半仿射子集的并集，并且由于这种有限描述可以从任何1-TAS算法生成，1-TAS不能具有通用计算能力。
2019-01-24 cs.CC cs.CG cs.DS
New Geometric Algorithms for Fully Connected Staged Self-Assembly
我们考虑分阶段的自组装系统，其中方形瓷砖可以添加到箱子在几个阶段。在这些箱子内，瓷砖可以根据其边缘的胶水类型彼此连接。Demaine等人先前的工作表明，相对少量的瓷砖类型足以在该模型中产生任意形状。然而，这些构造仅基于几何形状的生成树，因此在具有孔的形状的情况下，它们没有产生底层网格图的完全连通性;设计具有多对数级数的完全连通组件是一个主要的开放问题。我们解决了这个挑战，提出了新的系统，分阶段组装，生产完全连接的polyominoes在O（log^2 n）阶段，各种比例因子和温度τ = 2以及τ = 1。我们的构造甚至适用于有孔的形状，并且只使用恒定数量的胶水和瓷砖。此外，基本的方法是几何的性质，这意味着它承诺是更可行的形状紧凑的几何描述。
2016-12-31 cs.CG cs.DS
The program-size complexity of self-assembled paths
我们证明了一个泵引理的非合作抽象瓦片组装模型，核心算法自组装理论的模型，因为该领域的开始。这一理论表明，我们的结果证明，抽象的正方形分子之间的粘合剂结合性质的微小差异会产生截然不同的表达能力。在协同抽象瓦片装配模型中，正方形瓦片通过一个、两个或多个边的多边协作而彼此附着。这种精确控制的瓷砖绑定直接利用算法的任务，包括使用非常少的瓷砖类型，以及图灵机的模拟，甚至自我模拟的自组装系统的指定形状的增长。但是，这些计算任务需要协作绑定吗？定义上更简单的非合作（或温度1）模型对局部绑定事件的控制很差：如果瓷砖至少在一侧绑定，它们就会粘在一起。这导致了猜想，它是不可能表现出精确控制的计算定义的形状的增长。在这里，我们证明了这样一个不可能的结果。我们表明，任何平面非合作系统，试图增长大型算法控制的瓷砖效率组件也必须增长无限的非算法（泵）结构与一个简单的封闭形式的描述，否则遭受阻塞的预期算法结构。我们的结果适用于有向和无向系统，并给出了一个明确的上界$(8|T|)^{4|T|+1}(5|σ| + 6)$，其中$|T|$是的大小的tillable和$|σ|$是的大小的种子组装，超过它的任何路径的瓷砖是泵或阻塞。
2020-02-10 cs.CC cs.CG cs.FL
Universal Shape Replicators via Self-Assembly with Attractive and Repulsive Forces
我们展示了如何在具有吸引力和排斥力的自组装系统中设计一个通用的形状复制器。更确切地说，我们表明，有一个通用的一组恒定大小的对象，当添加到任何未知的无孔polyomino形状，产生无限数量的副本的形状（加上恒定大小的垃圾对象）。使用恒定数量的预处理自组装步骤，可以很容易地从恒定数量的单个瓦片类型构建恒定大小的对象。我们的构造使用了瓷砖自组装的良好研究的双手组装模型（2 HAM），在简单的模型中，胶水只与相同的胶水相互作用，允许胶水强度为正（吸引力）或负（排斥力），以及恒定的温度（部件保持在一起所需的胶水强度）。我们还要求给定的形状在其表面上具有指定的胶水类型，并且特征尺寸（非关联边之间的最小距离）由常数限制。形状复制必然需要一个自组装模型，其中部分可以连接和分离，这种构造是第一个使用负/排斥胶的自然模型（之前也研究过其他问题，如燃料效率计算）这样做;以前的复制构造需要更强大的全局操作，如“酶”破坏瓷砖类型的子集。
2016-08-01 cs.CG
Noncooperative algorithms in self-assembly
我们展示了第一个非平凡的积极的算法结果（即程序的输出大于其大小），在一个模型的自组装，到目前为止，已经抵制了许多尝试的正式分析或编程：平面非合作的变体Winfree的抽象瓷砖组装模型。在过去的15年里，这个模型一直是几个开放问题和模型的中心，关于它的计算能力的第一个完全通用的结果直到最近才得到证明（SODA 2014）。这些结果，以及我们的结果，揭示了自组装中可能发生的计算和几何之间的复杂联系。在此模型中，只要瓷砖的一条边与现有组件匹配，瓷砖就可以粘到现有组件上。该特征与一般的协作模型形成对比，在一般的协作模型中，可以要求图块在其侧的\emph{several}上匹配以便绑定。为了描述我们的算法，我们还介绍了一个泛化的正则表达式称为巴金斯表达式。最后，我们将此模型与其他自动机理论模型进行了比较。
2014-07-10 cs.CC cs.CG cs.DS
Unique Assembly Verification in Two-Handed Self-Assembly
瓦片自组装中最基本和研究最充分的问题之一是唯一组装验证（UAV）问题。这个算法问题询问给定的瓦片系统是否唯一地组装特定的组件。恒温条件下双手装配模型（2 HAM）的复杂性是该模型提出以来的一个长期未决问题。以前，只有类coNP中的成员是已知的，并且如果温度为1（$τ=1$），则问题在P中。众所周知，这个问题对于模型的许多推广来说都很困难，例如允许一步进入第三维或允许系统的温度是一个变量，但最基本的版本仍然是开放的。在本文中，我们证明了无人机问题在2 HAM是困难的，即使有一个小的恒定温度（$τ= 2$），并最终回答了这个问题的复杂性（自2013年开放）。此外，这一结果证明，分阶段自组装模型中的无人机是具有单个箱和阶段的coNP完全的（自2007年以来开放），并且q瓦片模型中的无人机也是coNP完全的（自2004年以来开放）。我们减少从单调平面3-SAT与相邻变量对，一个特殊的情况下，3SAT最近被证明是NP-困难的。我们伴随着这种减少与积极的结果表明，无人机是可解的多项式时间的承诺，给定的目标组件将有一个树形键合图，即，不包含循环。当温度固定为$2$时，我们提供了一种用于树键合组件上无人机的$\mathcal{O}(n^5)$算法，当温度是输入的一部分时，我们提供了一种$\mathcal{O}(n^5\log τ)$时间算法。
2021-12-09 cs.CC cs.CG
Improved lower and upper bounds on the tile complexity of uniquely self-assembling a thin rectangle non-cooperatively in 3D
我们调查一个基本的问题，在一个最简单的基准类的形状，但最广泛使用的抽象模型的算法瓷砖自组装。具体来说，我们研究了有向瓷砖复杂性的$k \times N$薄矩形Winfree的抽象瓷砖组装模型，假设合作绑定不能强制执行（温度-1自组装），瓷砖被允许放置在最多一步到第三维（刚刚勉强3D）。虽然在温度为1的情况下，正方形和任何算法指定形状的放大版本的有向图块复杂度在刚刚3D中都与它们在2D中的温度为2的情况下（分别）渐近相同，但在2D中的温度为2的情况下，薄矩形的有向图块复杂度的界限在刚刚3D中的温度为1时并不存在。出于这种差异，我们建立了新的下限和上限上的温度为1的薄矩形的有向瓦片的复杂性在刚刚三维。我们开发了一种新的，更强大的类型的窗口电影引理，让我们上限的数量“足够相似”的方式分配胶水到一组固定的位置。因此，我们的下限，$Ω\left(N^{\frac{1}{k}}\right)$，是一个渐进的改进，在以前的最佳下限，是更美观，因为它消除了$k$用于划分$N^{\frac{1}{k}}$。我们的上限的证明是基于一个刚刚3D的，温度为1的计数器，根据“数字区域”组织，与以前的最佳计数器相比，它为相同的目标矩形提供了大约50%的数字。这种数字密度的增加导致$O\left(N^{\frac{1}{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}}+\log N\…
2020-07-21 cs.CG cs.DS
Two Hands Are Better Than One (up to constant factors)
我们研究了瓦片自组装的标准种子模型和瓦片自组装的“无种子”双手模型之间的差异。我们的大多数结果表明，双手模型更强大。特别是，我们展示了如何模拟任何种子系统的双手系统，基本上只是一个常数因子较大。我们表现出有限的形状与繁忙的海狸分离所需的种子与双手的不同瓷砖的数量，并表现出无限的形状，可以构建双手，但没有种子。最后，我们证明了在双手模型中验证给定系统是否唯一地组装所需的超瓦片是co-NP-完全的，而在种子模型中它是多项式可解的。
2012-01-08 cs.CC cs.CG
Tilt Assembly: Algorithms for Micro-Factories That Build Objects with Uniform External Forces
我们目前的算法结果，许多微尺度物体的并行组装在二维和三维的微小颗粒，这已被提出的可编程物质和自组装的背景下，建立高产量的微型工厂。基础模型中的粒子在均匀外力的影响下移动，直到它们碰到障碍物;当粒子被迫与另一个适当的粒子结合在一起时，它们可以结合在一起。由于物理和几何约束，并非所有形状都可以以这种方式构建;这导致了决定可构建性的可装配问题（TAP）。对于由$N$单位正方形（“瓦片”）组成的二维单连通多项式$P$，我们证明了TAP可以在$O(N\log N)$时间内决定。对于优化变量MaxTAP（其中的目标是构建一个子形状的最大可能的大小），我们显示polyAPX硬度：除非P=NP，MaxTAP不能近似的一个因素内的$Ω(N^{\frac{1}{3}})$，树形结构，我们给出了一个$O(N^{\frac{1}{2}})$ -近似算法。对于组装过程本身的效率，我们表明，任何可构造的形状都允许流水线组装，这在$O(1)$摊销时间内产生$P$的副本，即，以$O(N)$时间步长表示的$P$的$N$拷贝。这些考虑可以扩展到三维对象：对于类的polycubes $P$，我们证明了它是NP-难决定是否有可能构建路径之间的两个点的$P$ ;它也是NP-难决定的polycubes $P$的可构造性。此外，从给定的起点最大化路径是expapx困难的。
2017-09-19 cs.CC cs.CG cs.DS
