On Quadric Surfaces Weighted by Arbitrary Coefficients
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；Indian Institute of Technology Kanpur（印度理工学院坎普尔分校）
本文研究带任意变量权重的四变量非奇异二次型的整数解，通过DFI的δ方法结合二次根均匀分布与Kloosterman和的Weil界，实现特征和之和的抵消，以探究二次超曲面的稀疏子集。
2026-10-12 math.NT
Arithmetic purity of the Hardy-Littlewood property and geometric sieve for affine quadrics
我们建立了$q(x_1,\cdots,x_n)=m$形式的仿射二次型中Zebriki开子集的Hardy-Littlewood性质（à la Borovoi-Rudnick），其中$q$是$n\geqslant 3$变量的非退化整二次型，$m$是非零整数.给出了取互质多项式值的整点密度的渐近公式，这是仿射二次曲面在无穷远处强逼近性质的算术纯性的一个定量形式。
2021-12-10 math.AG math.NT
Quadric surface bundles over surfaces
设T -> S是维数至多为2（且2可逆）的正则整概形之间的二次有限平坦态射，具有正则分支因子D.建立了T上Azumaya四元数代数与S上沿D单退化的二次曲面丛之间的一个双射。这是例外同构A_1^2 = D_2退化为例外同构A_1 = B_1的一种表现。在一个方向上，偶Clifford代数产生映射。在另一个方向上，我们证明了经典的代数范数函子可以唯一地扩展到判别因子上。在此基础上，我们研究了具有简单退化的二次型的光滑非约的正交群格式。最后，我们提供了两个令人惊讶的应用：构建反例的局部-全局原则的各向同性，相对于离散赋值，表面上的二次型;和一个新的证明的全球Torelli定理非常一般的立方fourfolds包含一个平面。
2012-07-17 math.AG math.NT
Strong approximation for the intersection of two quadrics
Academy of Mathematics and System Science, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of mathematical Sciences, University of CAS（中国科学院大学数学科学学院）
本文研究两个仿射二次曲面交集的强逼近问题，并将其应用于证明秩四数域上非分裂纤维由二次扩张分裂情形下的弱逼近纤维化方法。
2025-11-06 math.AG math.NT
Counting rational points on quadric surfaces
给出了由二次型$Q$定义的曲面上高度至多为$B$的有理点个数的上界。该界限显示出对$Q$的显式依赖性。它相对于$B$是最优的，并且对于典型形式$Q$也是最优的。
2018-09-07 math.NT
On a diagonal quadric in dense variables
我们研究的对角线，平移不变，二次方程系统在任意（稠密）子集A \subset Z的溶解度和显示的大小上的定量界限A，如果没有非平凡的解决方案。我们使用圆的方法和罗斯的密度增量的论点。由于限制理论的方法，我们可以处理在s \geq 7变量的方程。
2013-08-30 math.NT
Some remarks on Heath-Brown's theorem on quadratic forms
在他的论文从1996年的二次型希斯-布朗制定了一个版本的圆的方法来计算点的交叉点的无界二次与晶格的短期内，如果每个点都给予一个重量。权函数被假定为$C_0^\infty$ -光滑的，并且在二次曲面的奇异点附近消失。在我们的工作中，我们允许权函数是光滑的，并且在奇异点附近不为零，我们还给出了对权函数的一个显式依赖性。
2021-04-23 math.AP math.NT
A refinement of Heath-Brown's theorem on quadratic forms
本文改进了Heath-Brown 1996年关于二次型的定理，放宽了权重函数的光滑度要求，允许其在奇点处不消失并在无穷远处显式衰减，且仅用初等数论结果推导。
2023-04-06 math.AP math.NT
Effective Hasse principle for the intersection of two quadrics
本文考虑一个至少有13个变量的有理数上的光滑齐次二次方程组。在这种情况下，哈塞原理被认为是成立的，这要归功于莫德尔在1959年的工作。当地唯一的障碍是在雷亚尔。本文给出了一个显式算法来判断非零有理解是否存在，如果存在，则计算一个。
2016-02-16 math.NT
Counting integer points on quadrics with arithmetic weights
设$F \in \mathbf{Z}[\boldsymbol{x}]$是$4$变量的对角非奇异二次型。令$λ(n)$为满能级全纯Hecke形式的归一化傅里叶系数。我们给出了用$|\boldsymbol{x}| \leq X$计算$F$的整数零的问题的一个上界，该问题由$λ(x_1)$加权。
2020-08-03 math.NT
The Circle Method for Quadrics over Function Fields
Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Institut für Algebraische Geometrie Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学代数、数论与离散数学研究所，代数几何研究所）
本文利用圆法计算函数域上二次超曲面有界朴素高度的有理点，通过将这些点视为固定度的映射，得到依赖于n的奇偶性和二次型行列式的精确公式，包含某些情况的二次项。
2026-04-02 math.NT
Summation formulae for quadrics
本文证明偶数变量二次曲面零点集上无支集限制的 Poisson 求和公式，边界项由常数或相关较小二次曲面求和表示，并借助 Arthur 截断 theta 提升建立其与正交群表示及二次型解数估计的联系。
2025-01-07 math.CA math.NT math.RT
Regular pairs of quadratic forms on odd-dimensional spaces in characteristic 2
本文描述了特征为2的任意域上偶数维射影空间中两个二次曲面光滑交的一个规范形。我们用它来获得这样一个品种的自同构群的描述。作为应用，我们证明了特征为2的完满域上的每一个四次del Pezzo曲面都有一个正则有理点，因而是单有理的.
2017-11-09 math.AG math.NT
Generalised quadratic forms over totally real number fields
本文引入全实数域上一类新的广义二次型，并通过数域上的Hardy-Littlewood圆法证明其能刻画有理数上任意二次曲面组的算术性质。
2022-12-21 math.NT
Period -Index problem for hyperelliptic curves
Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）；Emory University（埃默里大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究双曲曲线的周期-指数问题，证明了2- torsion元素中指数与幂次相等，并通过同构建立与二次曲面 pencils 的关系，推导出弱Hasse原理。
2022-03-03 math.AG math.NT
Effective equidistribution, arithmetic purity of strong approximation, and geometric sieve for affine quadrics
本文利用对称空间中 $S$-整点的有效等分布，证明仿射二次曲面在去掉任意单个位置时强逼近的算术纯粹性，并在有理数域上建立 $p_0$-整点的几何筛。
2025-09-27 math.DS math.NT
Optimal strong approximation for quadrics over $\mathbb{F}_q[t]$
假设$q$是一个固定的奇素数幂，$F(\vec{x})$是$d\geq 5$变量$\vec{x}$和$f,g\in\mathbb{F}_q[t]$，$\boldsymbolλ\in\mathbb{F}_q[t]^d$中判别式$Δ$在$\mathbb{F}_q[t]$上的非退化二次型。我们表明，只要$\text{deg} f\geq (4+\varepsilon)\text{deg} g+O_{\varepsilon,F}(1)$，$\gcd(Δ^{\infty},fg)=O(1)$，和必要的局部条件得到满足，我们有一个解决方案$\vec{x}\in\mathbb{F}_q[t]^d$ $F(\vec{x})=f$，使$\vec{x}\equiv\boldsymbolλ\bmod g$。对于$d=4$，我们表明，如果我们有$\text{deg} f\geq (6+\varepsilon)\text{deg} g+O_{\varepsilon,F}(1)$，同样的结论成立。这给了我们一个新的证明（独立于Drinfeld证明的函数域上的Ramanujan猜想）：任何$k$ -正则Morgenstern Ramanujan图$G$的直径至多为$(2+\varepsilon)\log_{k-1}|G|+O_{\varepsilon}(1)$ .与$d=4$的情况相反，我们的结果对于$d\ge…
2022-12-15 math.AG math.NT
Quantitative strong approximation for ternary quadratic forms II
本文利用 Heath-Brown 的 Hardy–Littlewood 圆法 $\delta$ 变体，证明整三元二次型仿射曲面上的有理点在除去有限位置后的 adelic 空间中等分布，推进 Linnik 问题研究。
2024-12-08 math.NT
Algorithms for computing maximal lattices in bilinear (and quadratic) spaces over number fields
在本文中，我们描述了一个算法，快速计算一个极大a值格在F-向量空间配备了一个非退化的双线性型，其中a是一个分式理想在数域F。然后，我们应用这个结构，给出了一个算法来计算一个a-极大格的二次空间在任何数域F的素数2是unramified。我们还发展了a值二次格在O_F的任意素数p处的p-邻元理论（包括当p| 2）并证明了它与模p的二次曲面的剩余几何的密切联系。最后，我们给出了p-邻格和精确质量公式在计算（全定）二次O_F-格的一个亏格中的类的代表集的著名应用。
2012-10-25 math.NT
Retour sur l'arithmétique des intersections de deux quadriques, avec un appendice par A. Kuznestov
本文综合 Lichtenbaum 与 Salberger 的结果，推广两个二次曲面交上二次点存在性的结论，并重新证明或另证 Heath-Brown 及 Iyer–Parimala 的 Hasse 与局部—整体原理定理。
2023-12-06 math.AG math.NT
An Extension of the Abundancy Index to Certain Quadratic Rings
首先，我们引入一个传统的abductile指数的虚二次环的唯一分解的扩展。在证明了传统的abbandom指数的许多性质在我们的扩展形式中仍然成立之后，我们研究了我们所谓的$n$ -这些环中的强孤数。这个定义是为了推广孤立数的概念，孤立数已经在整数中定义和研究过了。我们以一些开放的问题和一个猜想结束。
2015-06-17 math.NT
Generalized period-index problem with an application to quadratic forms
设$F$是完备离散域上曲线的函数域。设$\ell$是不等于剩余域的特征的素数。给定Brauer群${}_{\ell}Br(F)$的$\ell$扭部分中的有限子群$B$，定义$B$的指数为分裂$B$中所有元素的域扩张的度的最小值.本文利用$F$的算术不变量给出了任意有限子群$B$的指数的一个上界。作为我们的结果的一个简单的应用，给定一个二次型$q/F$，其中$F$是一个$n$ -局部域上的曲线的函数域，我们提供了一个上界，使$q\otimes L$的Witt指数成为最大可能的最小度的域扩张$L/F$。
2022-09-05 math.AG math.NT math.RA
A resolution of Erdős Problem 1061 on the sum-of-divisors function
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
本文解决了Erdős问题1061，通过构造具有相同丰度指数的三个整数，将除数函数和恒等式简化为六个素数的两个方程，利用二次曲面的有理参数化、筛法和高维Siegel-Walfisz定理，证明了有序解的数量S(x)的增长速度超过任何x(log x)^R。
2026-06-25 math.NT
Equidistribution of integers represented by standard quadratic form under arithmetic constraints
研究算术约束下标准二次型表示整数的等分布，通过构造模形式、利用表示理论确定同余子群并建立尖点形式充要条件，证明了 $d \geq 4$ 时等分布在 $p+1$ 个轨道上局部发生。
2026-10-27 math.NT math.RT
Galois uniformity in quadratic dynamics over rational function fields
我们证明了树实伽罗瓦表示附加到一个大类的二次多项式定义在一个域上的有理函数在特征零有有限的指数在相关的原像树的全自同构群。此外，我们表明，该指数是有界的，在大多数情况下，独立的多项式。
2014-10-24 math.NT
Powers of Gauss sums in quadratic fields
在过去的二十年中，许多研究者研究了高斯和的{ \it指标$2$ }，其中由下面有限域的特征$p$生成的群在${\mathbb Z}/m{\mathbb Z}$的单位群中具有指标$2$，其中所涉及的乘法特征标的阶为$m$. Yang和Xia~（2010）给出了评价指标$2$ Gauss和问题的完整解决方案。特别地，已知在这种情况下高斯和的某些非零整数幂在二次域中。另一方面，Chowla~（1962），McEliece~（1974），Evans~（1977，1981）和Aoki~（1997，2004，2012）研究了{ \it纯}高斯和，其中某些非零整数幂在有理数域上。本文研究了某些整数幂在二次域上的高斯和。这类高斯和是指标$2$高斯和的推广，也是纯高斯和在二次域上的推广。
2021-07-01 math.CO math.NT
Optimal strong approximation for quadratic forms
对于以$d\geq5$为变量的非退化积分二次型$F(x_1, \dots , x_d)$，我们证明了一个最佳强逼近定理。设$Ω$是实数上仿射二次曲面$F(x_1,\dots,x_d)=1$的固定紧子集.取一个半径为$0<r<1$的小球$B$在$Ω$内，取一个整数$m$。进一步假设$N$是给定整数，其对于任何$δ>0$满足$N\gg_{δ,Ω}(r^{-1}m)^{4+δ}$。最后假设给出积分向量$(λ_1, \dots, λ_d) $ mod $m$。然后证明了在满足所有局部条件的条件下，存在$F(X)=N$的积分解$X=(x_1,\dots,x_d)$，使得$x_i\equiv λ_i \text{ mod } m$和$\frac{X}{\sqrt{N}}\in B$.我们还表明，4是最好的指数。此外，对于4元非退化积分二次型，当$N$是奇数且$N\gg_{δ,Ω} (r^{-1}m)^{6+ε}$是奇数时，我们证明了同样的结果。基于我们对LPS Ramanujan图直径的数值实验和Remark~ \ref{evidence}中出现的期望平方根消去，我们猜想该定理对最优指数为$4$的任何四元二次型成立.
2018-09-05 math.CO math.NT
Fields with bounded Brauer $2$-torsion index
证明了在特征不为$2$的域上，平凡全签名的各向异性二次Pfister型的维数至多是某个指数为$2$的中心除代数的维数的两倍.证明是基于中心单代数的二次迹形式的计算。
2023-02-02 math.KT math.NT math.RA
A pencil of quadratic forms in nine variables with no member of Witt index four
Orange Research（橙研）
本文构造了一个九个变量的非奇异二次型对，其有理束中所有成员在$\mathbb{Q}$上Witt指标均为3，从而反驳了关于Witt指标$\lceil (n-1)/2\rceil$的猜想，证明基于2-adic奇偶性论证和有限类验证。
2026-09-09 math.NT
Numerical Invariants of Totally Imaginary Quadratic $\mathbb{Z}[\sqrt{p}]$-orders
令$A$是判别式$p$或$4p$的实二次阶，其中$p$是素数。本文分类了所有真全虚二次$A$ -阶$B$，其指数为$w(B)=[B^\times: A^\times]>1$ .我们还计算了这些阶的数值不变量，包括类数，指数$w(B)$和这些阶的局部最优嵌入到四元数阶的数目。这些数值不变量对于计算全定四元数代数的类数是有用的。
2016-03-09 math.NT
The Siegel variance formula for quadratic forms
引入了一个与正定对称积分矩阵$A_{m\times m}$和$B_{n\times n}$相关联的光滑方差和，其中$m\geq n$ .利用振子表示，给出了该方差和的一个公式，该公式表示为一个泛函的平方上的光滑和，该泛函是由$O_{A_{m\times m}}$的theta变换得到的，它是由Hecke特征形得到的向量值全纯Siegel模形式的$B$阶Fourier系数所计算的.利用全纯尖点形式的傅里叶系数的Ramanujan界，我们给出了当$n=1$。作为应用，我们证明了一个截止现象的概率，一个幺模格的尺寸$m$表示一个给定的偶数。这给出了几乎所有偶幺模格的球填充密度的最优上界。推广了Bourgain，Rudnick和Sarnak~ \cite{Bourgain}的结果，并给出了正定$d$ -维二次曲面上$p$ -整点的丢番图指数的一个最优界，其中$d\geq 3$ .这将Ghosh、Gorodnik和Nevo~ \cite{GGN}的最佳界改进为最佳界。
2019-04-17 math.NT math.RT
The CAP representations indexed by Hilbert cusp forms
我们将Duke-Imamoglu-Ikeda提升与θ提升相结合，得到了亚群、辛群和正交群的CAP表示.这些结构部分地推广了Waldspurger关于Shimura对应的理论和Piatetski-Shapiro关于Saito-Kurokawa提升的理论。应用包括权k+1/2的希尔伯特尖点形式的傅里叶系数与秩2k的二次型与秩4k的二次型的表示数的加权和之间的关系。
2016-09-26 math.NT
Greenberg's conjecture for real quadratic fields and the cyclotomic $\mathbb{Z}_2$-extensions
设$\mathcal{A}_n$是实二次数域$F$的分圆$\mathbb{Z}_2$ -扩张的第$n$层的理想类群的$2$-部分. $\mathcal{A}_n$的基数与全群单位中分圆单位的指数有关。我们提出了一种方法来研究后者的指数。作为一个应用，我们证明了$\mathcal{A}_n$的序列对实域$F=\mathbb{Q}(\sqrt{f})$对任意整数$0<f<10000$是稳定的. Equilibrium Greenberg的猜想适用于这些领域。
2022-02-06 math.NT
A novel connection between integral binary quadratic forms and knot polynomials
我们在代数数论和纽结理论之间建立了一种新的联系。我们证明了判别式$t^2 - 4$（$t\neq \pm 2$）的整数二进制二次型的等价类的数目等于$\mathbb{S}^3$中具有规定值（取决于$t$）的三个经典链接不变量的链接的合痕类的数目。等式产生于整数二进制二次型（判别式$t^2 - 4$为$t\neq \pm 2$）和辫指数至多为3的链的合痕类之间的自然代数对应。特别地，某些二次数域的类数精确地度量了亚历山大/琼斯多项式区分辫子指数至多为3的非同位素链的失败。
2022-04-28 math.GT math.NT
Quadratic Reduction and Classical Multiple-Index Fibonacci-Lucas Identities
研究二次代数中元素幂的通用恒等式，通过矩阵迹和行列式推导斐波那契数列的二项式展开公式，揭示恒等式源于普遍代数原理。
2026-07-22 math.CO math.NT
