Ordering Thurston's geometries by maps of non-zero degree
Christoforos Neofytidis
我们得到了非双曲Thurston几何的闭非球面4-流形的一个序。作为应用，我们得到了几何4-流形的Kodaira维数关于非零次映射的存在性是单调的。
We obtain an ordering of closed aspherical 4-manifolds that carry a non-hyperbolic Thurston geometry. As application, we derive that the Kodaira dimension of geometric 4-manifolds is monotone with respect to the existence of maps of non-zero degree.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Orderings of mapping class groups after Thurston
本文研究具有非空边界曲面的映射类群。我们提出了一个非常自然的方法，由于瑟斯顿，发现许多不同的左排序等群体。构造方法是在曲面上构造一个双曲结构，在双曲平面上嵌入泛覆盖，并将映射类群对它的作用推广到它在无穷远圆上的极限点.我们对以这种方式产生的辫群的所有序进行分类。此外，限制到一定的类的“nonpathological”序，我们证明了只有1000个共轭类的这种排序。
Menelaus' and Ceva's theorems for translation triangles in Thurston geometries
本文基于非常曲率Thurston几何中类平移三角形的表面定义，利用射影模型将经典的Menelaus定理和Ceva定理推广至平移三角形，为转移更多经典欧几里得定理提供了方法。
How to see the eight Thurston geometries
本文综述了几何化猜想的历史和Thurston八种几何分类的背景资料。我们还讨论了最近的技术沉浸式可视化的相关三维流形的背景下的几何化猜想。
Geodesic-preserving bijections of the Thurston geometries
本研究完成了Thurston几何中保测地线双射的完全分类，证明了满足特定技术条件的黎曼流形的全测地子集为子流形，同时分类了欧几里得柱面的保测地线双射与双曲平面的保常曲率曲线双射。
Thurston Geometries from Eleven Dimensions
在三维空间中，所有瑟斯顿几何的“主理论”都需要虚通量。然而，这些几何可以从物理三维理论与各种额外的标量场，这可以被解释为模在各种紧致化的高维“主理论”。三个瑟斯顿几何的形式为N_2 x S^1，其中N_2表示常曲率的二维黎曼空间。这使我们能够通过T-对偶将这些空间扭曲成N_2上的U（1）丛的其他Thurston几何。这样，在高维M-理论框架中，霍普夫T-对偶关系除了一个几何之外的所有几何。例外的是“溶胶几何”，这是从D3-膜在背景B-场的去耦极限降维的结果。
Ray-marching Thurston geometries
我们描述的算法，产生准确的实时交互式的空间视图的八个瑟斯顿几何形状，使用射线推进。我们给出了一个理论框架，我们的算法，独立的几何形状。除了场景内的几何$X$，我们还考虑场景内的商流形和orbifolds $X / Γ$。我们将Phong照明模型适应于非欧几里德几何。其中最困难的部分是光强度的计算，这与测地线球体的面积密度有关。我们还为每个几何形状提供了广泛的实用细节。
Each Thurston geometry admits a Heegaard genus two example
我们收集的例子属两个Heegaard图紧凑的3流形承认每八个瑟斯顿几何。
Complément to the Thurston 3D-Geometrization
本文通过引入“区域李生成几何”概念，使仿射粘合尊重度量几何解释，利用Thurston几何化定理解决了一个45年前关于庞加莱猜想的疑问/方法。
The Thurston's program derived from the Langlands global program with singularities
Thurston几何化程序中的七个非欧几何被证明是自然地起源于Langlands整体程序框架中生成的欧几里德三维流形上的奇异态射和奇异变形。三维流形上的庞加莱猜想是Thurston方案的一个特例。
Distinguishing 4-dimensional geometries via profinite completions
众所周知，在Thurston意义下的四维流形有19类几何。我们可以问，闭光滑几何4-流形的基本群的profinite完备化在多大程度上揭示了几何信息。本文证明了在Thurston意义下的闭可定向四维流形的几何可以通过其基本群的profinite完备化来检测，除非几何是$ \mathbb{H}^{4}$，$\mathbb{H}^{2}_{\mathbb{C}}$或$\mathbb{H}^2 \times \mathbb{H}^2$ .此外，尽管不是每个光滑的四维流形都可以有一个Thurston意义上的几何，但某些具有Seifert双曲结构的四维流形确实是几何的。对于闭的可定向Seifert流形$M$，我们证明了$M$是否是几何流形可以通过它的基本群的profinite完备化来判定.
Geometric conemanifold structures on $\mathbb{T}_{p/q}$, the result of $p/q$ surgery in the left-handed trefoil knot $\mathbb{T}$
作为一个例子之间的过渡的一些八个几何瑟斯顿，调查之前，我们研究的几何形状支持的锥流形上的三叶结手术奇异集的核心手术。几何结构被明确地构造。最有趣的现象是从$SL(2,\mathbb{R})$ -几何到$S^{3}$ -几何通过Nil-几何的转变。图中给出了不同的几何形状，在瑟斯顿的类似图的精神，为几何形状的手术支持的8字结。
5-dimensional geometries II: the non-fibered geometries
我们在Thurston意义下对$5$维齐性几何进行了分类.本文（第二部分）对线性各向同性表示不可约或平凡的表示进行了分类。具有不可约各向同性的$5$维几何是不可约黎曼对称空间，而具有平凡各向同性的$5$维几何是$\mathbb{R}^3 \rtimes \mathbb{R}^2$或$N \rtimes \mathbb{R}$形式的单连通可解李群，其中$N$是幂零的。
5-dimensional geometries I: the general classification
本文是第一个3部分的系列分类的5维瑟斯顿几何。本文（第1部分，共3部分）总结了一般分类，给出了完整的列表，概述了方法和一些说明性的例子。这包括在低维几何中没有出现的现象，例如不可数的几何家族。
Braid ordering and the geometry of closed braid
研究了辫序与其闭包几何的关系。我们证明了，如果闭辫的补空间中的本质闭曲面$F$相对于辫的Dehornoy底具有较小的亏格，则$F$在Birman-Menasco的辫叶理论意义下是圆叶的.作为结果的一个应用，我们证明了当辫子的Dehornoy底大于3时，辫子的Nielsen-Thurston分类与其闭包补的几何是一一对应的.利用这一结果，我们从映射类群的伪Anosov元显式地构造了无穷多个双曲纽结。
On continuous families of geometric Seifert conemanifold structures
本文确定了轨道空间为$S^2$且例外纤维不超过三个的Seifert流形中的任何Seifert纤维锥流形结构所具有的Thurston几何，其由纤维组成的奇异集最多有三个分支，这些分支可以包括例外纤维或一般纤维（例外纤维和奇异纤维的总数小于或等于三）.我们还给出了获得该结构完整性的方法。我们将这些结果应用到三个家庭的塞弗特流形，即球面，Nil流形和流形Dehn手术获得的环面结$K_{(r,s)}$。因此，我们推广到所有的环面结的结果在\cite{LM2015}的情况下，左柄三叶结。按照瑟斯顿的精神，我们将不同几何形状的每个环面结关联到一个图。
Haefliger structures and symplectic/contact structures
对于n维流形上的辛结构和切触结构，我们给出了Gromov h-原理的两步逼近。第一步，从形式几何数据中建立余维n的横向几何Haefliger结构。这一步适用于所有流形，甚至是闭流形。第二步，只适用于开流形和所有几何，正则化中间Haefliger结构，并产生一个真正的几何结构。这两个步骤都允许相对参数版本。证明借用了W.瑟斯顿，像抖动和膨胀。实际上，我们使用的是更原始的抖动，因为R。托姆
Four-manifolds, geometries and knots
这本书的目标是代数特征的封闭4-流形，纤维nontrivially或承认几何的意义上的瑟斯顿，或获得手术2节，并提供参考的拓扑结构等流形和结。第一章是纯代数的。其余的书可以分为三个部分：一般结果同伦和手术（第2-6章），几何和几何分解（第7-13章），和2节（第14-18章）。在许多情况下，欧拉示性数，基本群和Stiefel-Whitney类一起形成了这类流形的同伦型的一个完整的不变量系统，并且可以明确地描述这些不变量的可能值。最强的结果是对在S^1或非球面上同伦纤维的流形（直到同伦等价）和下解流形（直到同胚）的刻画。因此，其组是poly-Z的2-节点被确定为Gluck重建和仅由其组改变方向。这本书出现了两个较早的书籍“2结和他们的团体”和“代数表征的几何4流形”，出版剑桥大学出版社为澳大利亚数学学会和伦敦数学学会，分别。本文约有四分之一的内容摘自这些书，我感谢剑桥大学出版社允许我使用这些材料。该书于2007年3月修订，并于2022年11月再次修订。详情见序言末尾。
Orderable 3-manifold groups
研究了三维流形的基本群的可序性。许多3-流形群支持左不变序，包括所有第一贝蒂数为正的紧致P^2-不可约流形。对于八个几何中的七个（不包括双曲），我们能够描述哪些流形的群支持左不变或双不变序。我们还表明，这些几何形状的流形建模几乎双有序群。一般的3-流形群，甚至是双曲流形的虚可序性问题，仍然是一个悬而未决的问题，并且与瓦尔德豪森等人的理论密切相关。
Essential open book foliation and fractional Dehn twist coefficient
我们介绍了一个重要的开卷叶理，一个完善的开卷叶理，并开发技术估计的分数德恩捻系数（FDTC）的monodromies和FDTC的封闭编织，我们介绍以及。作为应用，我们定量地研究了过扭曲切触结构和非右转向单值点的“间隙”。给出了三维流形不可约且超环面的充分条件。我们还表明，一个3-流形的几何形状和一个封闭的辫子的补充确定的Nielsen-Thurston型的monodromies的开卷分解。
On three-dimensional Alexandrov spaces
本文研究了具有下曲率界的三维Alexandrov空间，推广了关于三维流形的三个经典结果：第一，证明了具有至少一个拓扑奇点的正曲率闭三维Alexandrov空间必同胚于实射影平面的悬置;我们用它来分类，同胚，封闭的，积极弯曲的三维亚历山德罗夫空间。其次，我们对具有非负曲率的三维Alexandrov闭空间进行了分类。第三，我们研究了著名的庞加莱猜测在三维，在亚历山德罗夫空间的背景下，在两种形式，它通常是制定的流形。我们首先证明，唯一的三维亚历山德罗夫空间，也是一个同伦球面是3-球;然后，我们给出了封闭的，几何的，单连通的三维亚历山德罗夫空间的例子，为8个瑟斯顿几何中的5个，一路证明了不可能得到这样的例子为零，$\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$和溶胶几何。最后，我们证明了封闭的三维Alexandrov空间的几何化猜想的模拟文件。
Closed Spaces in Cosmology
本文讨论了具有封闭（紧的和无限的）空间截面的相对论宇宙学的两个方面。这些时空是基于广义相对论的理论，并允许一个叶划分到空间截面S（t）中，空间截面S（t）是满足空间封闭性假设的类空超曲面：每个S（t）是一个三维封闭的黎曼流形。讨论的主题是：（1）本文澄清和发展了以前得到的Thurston几何和Bianchi-Kantowski-Sachs度量之间的比较。(2)从观测的角度分析了常曲率局部齐性三维空间的整体非齐性的一些含义。
3-manifolding admitting locally large distance 2 Heegaard splittings
从Heegaard分裂的观点出发，我们知道，如果一个闭的可定向3-流形允许至少三个Heegaard分裂的距离，那么它是双曲的。然而，对于一个封闭的可定向3-流形只允许至多两个Heegaard分裂的距离，有例子表明它可以是可约的，Seifert的，环面的或双曲的。根据瑟斯顿的几何化猜想，八种几何中最重要的一种是双曲几何。因此，从远处读出双曲三维流形的两个Heegaard分裂对于研究Heegaard分裂至关重要。受距离为2的双曲3-流形构造的启发[Qiu，Zou and Guo，Pacific J. Math. 275（2015），no. 1，231-255]，我们引入了曲线复形中局部大测地线的定义，并进一步引入了局部大距离两个Heegaard分裂。然后证明了如果一个3-流形允许局部大距离2 Heegaard分裂，则它是一个沿不可压缩环面的双曲流形或一个双曲流形和一个seifert流形的合并，即，几乎双曲，而第3节的例子表明，在这种情况下，有一个非双曲3-流形。在考察了这些非双曲情形后，我们给出了双曲3-流形允许局部大距离2 Heegaard分裂的一个充分和必要条件.
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