On the growth of the Kronecker coefficients
Emmanuel Briand, Amarpreet Rattan, Mercedes Rosas
我们研究的增长率所经历的克罗内克系数，因为我们添加细胞的行和列索引分区。我们通过移动到约化Kronecker系数的设置来做到这一点。
We study the rate of growth experienced by the Kronecker coefficients as we add cells to the rows and columns indexing partitions. We do this by moving to the setting of the reduced Kronecker coefficients.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the growth of the Kronecker coefficients: accompanying appendices
本文是我们的工作“关于克罗内克系数的增长”的附录，arXiv：1607.02887。在这里，我们提供了一些补充定理，评论和计算，为了空间的缘故，不会出现在我们的论文的最终版本中。我们遵循相同的术语和符号。外部引用的编号方程、定理等是指向arXiv：1607.02887的指针。
On rectangular Kronecker coefficients
我们表明，矩形克罗内克系数稳定时，矩形的边的长度增长，我们给出了一个明确的公式中的不变量的$\fsl_n$的极限值。
Computation of Dilated Kronecker Coefficients
Kronecker系数的计算是一个具有挑战性的问题，具有多种应用。本文提出了一种基于辛几何和留数演算的方法。我们概述了问题的一般算法，然后在几个有趣的例子说明其有效性。值得注意的是，我们的算法不仅计算单个Kronecker系数，而且计算整个多面体腔室上有效的符号公式。作为副产品，我们能够计算几个希尔伯特级数。
Combinatorics on several families of Kronecker coefficients related to plane partitions
我们提出了一个研究三个家庭的克罗内克系数，我们描述的减少克罗内克系数。本研究是基于生成函数的系数，证明了两个组合对象之间的双射。这项研究包括平面分区和这三个家庭的减少克罗内克系数之间的联系，为我们提供他们的组合解释。作为一个应用程序，我们验证了我们的三个家庭的减少克罗内克系数的饱和假设成立。这项研究还包括其他解释的quasipolynomials，管理这些家庭。我们指定的程度和这些quasipolynomialies的周期。最后，克罗内克系数和减少克罗内克系数之间的直接关系，使我们能够给一些意见的增长率的克罗内克系数与减少克罗内克系数的研究。
A note on certain Kronecker coefficients
本文证明了高为2的矩形所定义的对称群的不可约复表示的张量积的一个显式公式。我们还描述了由高度为2和4的矩形定义的表示的张量积的分解的一部分。我们的结果是通过Schur-Weyl对偶从向量空间的三重张量积上的某些作用是多重自由的这一观察中推导出来的。
A virtual character and nonzero Kronecker coefficients for self-conjugate partitions
推广了Regev关于$S_n$的一个虚特征标的结果.假设$λ$和$μ$是$n$的整数划分。对于$S_n$的关联不可约特征标$χ^λ$，当$χ^λ(μ)\neq0$时，我们找到与$λ$相关的另一个划分$τ$，使得$χ^τ(μ)\neq0$被虚拟特征标。应用这个结果，我们得到了一类非零的Kronecker系数Pak等人。的性格标准。此外，我们讨论了Pak等人的有效性。的性质标准。
Quasipolynomial formulas for the Kronecker coefficients indexed by two two-row shapes (extended abstract)
我们证明了由两个两行形状索引的Kronecker系数（对称群的Clebsch-Gordan系数）是由二次拟多项式公式给出的，其域是扇形的最大胞元.简单的计算明确地提供了准多项式公式和相关风扇的描述。这些新公式是由相应的约化Kronecker系数的类似公式和由约化Kronecker系数恢复Kronecker系数的公式得到的。作为一个应用，我们描述了所有的克罗内克系数索引的两个两行的形状，等于零。这使我们能够反驳一个猜想Mulmuley的行为的拉伸功能重视克罗内克系数。
Horn inequalities for nonzero Kronecker coefficients
Kronecker系数和Littlewood-Richardson系数是取决于三个分区的非负整数。根据定义，这些系数是对称群的两个不可约表示的张量积分解的重数（分别为线性群）。利用经典的Littlewood-Murnaghan的结果，推广了Littlewood-Richardson的Kronecker系数，Littlewood-Richardson系数的非零性蕴涵了关于三个分拆的线性不等式，称为Horn不等式.本文将本质Horn不等式推广到Kronecker系数为非零时的三重分拆。
Estimating and computing Kronecker Coefficients: a vector partition function approach
我们研究了克罗内克系数$g_{λ, μ, ν}$通过一个公式，这是由米什纳，罗萨斯，和Sundaram，其中的系数表示为一个有符号的矢量分拆函数的评估之和。特别地，我们使用该公式来确定根据分区$λ, μ$和$ν$的长度来评估、绑定和估计$g_{λ, μ, ν}$的公式。我们描述了一个计算工具来计算克罗内克系数$g_{λ, μ, ν}$与$\ell(μ) \leq 2,\ \ell(ν) \leq 4,\ \ell(λ) \leq 8$。我们提出了一组新的消失条件的Kronecker系数有关的原子Kronecker系数的消失，本身由一个单一的矢量分拆函数评估。对任意正整数$m,n$，给出了Kronecker多面体的一个稳定面.最后，我们给出了原子Kronecker系数和Kronecker系数的上界。
Deligne categories and reduced Kronecker coefficients
克罗内克系数是对称群表示的张量范畴的结构常数;即，给定$n$的三个划分$λ, μ, τ$，$λ$在$μ\otimes τ$中的重数称为克罗内克系数$g^λ_{μ, τ}$。当每个分区的第一部分被取为非常大（其余部分被固定）时，适当的克罗内克系数的值稳定;稳定值被称为约化（或稳定）克罗内克系数。这些系数也推广了Littlewood-Richardson系数，并已被广泛研究。在本文中，我们表明，约化Kronecker系数自然出现的Deligne范畴$\underline{Rep}(S_t)$的结构常数。这使我们能够解释各种属性的减少克罗内克系数的范畴属性的类别$\underline{Rep}(S_t)$。
On the largest Kronecker and Littlewood--Richardson coefficients
我们给出了Kronecker和Littlewood-Richardson系数的新的界和渐近估计。值得注意的是，我们解决斯坦利的问题上的形状分区达到最大的克罗内克和Littlewood-理查森系数。我们将结果的渐近性的一些标准的杨tableaux的斜形状。
The co-Pieri rule for Kronecker coefficients
对称群Sn的表示论中的一个基本问题是描述两个简单表示的张量积的分解中的系数。这些系数在文献中称为克罗内克系数。Littlewood-Richardson系数是稳定克罗内克系数的一个重要子类。这个系数的子族可以使用称为Littlewood-Richardson规则的表格计数算法来计算。本文将这一规则的一半（“合作Pieri”规则）推广到更广泛的稳定克罗内克系数家族。
Data-scientific study of Kronecker coefficients
本文用数据科学方法研究Kronecker系数是否为零，通过定义分拆的载荷并借鉴主成分分析与核方法，给出了系数非零的充分条件。
Durfee squares, symmetric partitions and bounds on Kronecker coefficients
解决了关于对称群的Kronecker系数$g(λ,μ,ν)$的两个公开问题.首先，我们证明了分区$λ,μ,ν$与固定Durfee平方的大小，克罗内克系数增长最多多项式。其次，我们证明了自共轭分拆$λ$的最大Kronecker系数$g(λ,λ,λ)$超指数增长。我们也给应用程序显式的特殊情况。
All Kronecker coefficients are reduced Kronecker coefficients
本文通过显式构造证明了对称群的每个 Kronecker 系数均等于约化 Kronecker 系数，解决了其位置问题，并推论出判定其正性是 NP-hard，计算它是 #P-hard。
Proof of Stembridge's conjecture on stability of Kronecker coefficients
我们证明了Stembridge关于Kronecker系数稳定性的一个猜想，极大地推广了Murnaghan定理。其主要思想是用模的Hilbert函数来确定Kronecker系数序列。证明只使用Schur-Weyl对偶和Borel-Weil定理，不依赖于任何现有的工作克罗内克系数。
Upper bounds on Kronecker coefficients with few rows
我们提出了三个不同的上界的Kronecker系数$g(λ,μ,ν)$的Kostka数，列联表和Littlewood-Richardson系数。然后，我们给出各种例子，渐近应用，并与现有的下界比较。
Bounds on the Kronecker coefficients
给出了对称群的Kronecker系数的几个上下界。我们证明了Kronecker系数的$k$ -稳定性，推广了（通常的）稳定性，并给出了一个新的上界.利用$S_n$的性质证明了一个下界。我们应用这些和其他结果来概括西尔维斯特的单峰的$q$ -二项式系数$\binom{n}{k}_q$作为多项式在$q$：我们推导出明确的尖锐的界限上的差异，其连续的系数。
Vector partition functions and Kronecker coefficients
本文利用多面体几何工具将Kronecker函数表示为向量分拆函数的系数，定义原子Kronecker系数，并在首个非平凡情形给出精确公式与上界。
Rectangular Kronecker coefficients and plethysms in geometric complexity theory
我们证明了在几何复杂性理论程序中矩形Kronecker系数的消失不能用来证明永久多项式的超多项式行列式复杂性下界。此外，我们证明了积极的矩形Kronecker系数的一大类分区的矩形的边长至少是二次的长度的分区。我们还比较了矩形Kronecker系数与其相应的体积系数，这导致了一个新的下限矩形Kronecker系数。证明了矩形Kronecker半群的饱和性是平凡的，证明了矩形Kronecker正性伸缩因子对于长的第一行为2，并对Manivel在2011年引入的矩形极限Kronecker系数的正性进行了完全分类.
A Permutation Module Deligne Category and Stable Patterns of Kronecker Coefficients
Deligne范畴$\underline{\rm Rep}(S_t)$是一个依赖于参数$t$的张量范畴，该参数“内插”对称群$S_n$的表示范畴。我们构建了一个家庭的类别$\mathcal{C}_λ$（取决于变量$λ= (λ_1, λ_2, \ldots, λ_l)$，这可能是专门的值在地面环），这是模块类别$\underline{\rm Rep}(S_t)$。范畴$\mathcal{C}_λ$定义在任意环上，并通过内插置换表示构造.此外，他们承认专业化函子$S_n$ -国防部这是张量兼容的函子$\underline{\rm Rep}(S_t) \to S_n$ -国防部。我们表明，$\mathcal{C}_λ$可以提出使用Lusztig的泛包络代数$\dot{U}(\mathfrak{gl_{\infty}})$的Kostant积分形式，并表现出分类的克罗内克系数的一些稳定性。
A stability property for coefficients in Kronecker products of complex S_n characters
本文给出了Kronecker系数的一个稳定性性质，该性质隐含在Y.迪维即使在最简单的非平凡的情况下，这个属性被忽视，尽管工作的几个作者。作为应用，我们给出了某些Kronecker系数的一个新公式.
Simple modules for the partition algebra and monotone convergence of Kronecker coefficients
本文构造了凹室几何中以路为指标的划分代数的单模的基。这使我们能够给出一个具体的解释（和新的证明）的单调收敛性质的克罗内克系数使用分层的细胞模块的分区代数。
The partition algebra and the Kronecker coefficients
利用对称群与划分代数之间的Schur-Weyl对偶性，提出了一种研究Kronecker系数的新方法.我们解释的限制行为和相关的界限的上下文中的分区代数。我们的分析导致一个统一的描述时，索引分区之一是一个钩子或两部分分区的克罗内克系数。
On vanishing of Kronecker coefficients
证明了Kronecker系数的正性判定问题是NP-困难的。以前，这个问题被证明是在P，就像Littlewood-Richardson系数。我们的结果以一种形式的方式建立了Kronecker系数比Littlewood-Richardson系数更困难，除非P=NP。我们还表明，存在一个P-公式的一个特定的子类的克罗内克系数的积极性是NP-难以决定。这是一个证据，尽管困难的积极性问题，有可能存在一个积极的组合公式的克罗内克系数。寻找这样的公式是表示论和代数组合学中的一个主要开放问题。最后，我们考虑了$(λ, μ, π)$的划分三元组的存在性，使得Kronecker系数$k^λ_{μ, π} = 0$，但Kronecker系数$k^{l λ}_{l μ, l π} > 0$对于某个整数$l>1$ .这种“洞”是非常感兴趣的，因为它们见证了克罗内克系数的饱和特性的失败，这仍然是知之甚少。利用计算复杂性理论的洞察力，我们将我们的硬度证明转化为一个积极的结果：我们表明，不仅存在许多这样的三元组，而且它们也可以被有效地找到。具体地说，我们表明，对于任何$0<ε\leq1$，存在$0<a<1$，使得对于所有$m$，存在$Ω(2^{m^a})$分区三元组$(λ,μ,μ)$在克罗内克锥，使得：（a）克罗内克系数$k^λ_{μ,μ}$是零，（b）$μ$的高度是$m$，（c）$λ$的高度是$\le m^ε$…
Bounds on Kronecker and $q$-binomial coefficients
利用~ $S_n$的性质，给出了对称群的张量平方的Kronecker系数的一个下界，并利用它得到了各种显式估计.值得注意的是，我们延长西尔维斯特的单峰的$q$ -二项式系数$\binom{n}{k}_q$作为多项式在~ $q$推导出其连续系数的差异上的尖锐的界限。然后，我们推导出有效的渐近下界更广泛的一类克罗内克系数。
Kronecker coefficients for (dual) symmetric inverse semigroups
本文研究了对称逆半群、对偶对称逆半群及有限集子商间双射逆半群的 Kronecker 系数类似物，将其确定问题归约为群论与组合问题，并为对称逆半群给出了基于经典 Kronecker 与 Littlewood--Richardson 系数的显式公式。
Kronecker Coefficients, Crystals, and Bitableaux
本文引入 bitableaux 组合对象并提出一个纯组合问题，若解决可给出 Kronecker 系数的组合解释，同时取得部分进展，得到 Schur 函数 Kronecker 积在单项式基中的组合展开，并将其与 RSK 插入算法的推广联系起来。
Multiparameter colored partition category and the product of the reduced Kronecker coefficients
通过对特征为零的代数闭域$\Bbbk$上多参数$\textbf{x}\in \Bbbk^{r}$上的分划范畴的构造进行推广，引入并研究了多参数色分划范畴$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$. $\mathcal{CPar}(\textbf{x})$中的态射空间具有根据分区图的基，分区图的部分由乘法循环群$C_r$的元素着色。证明了$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$的自同态空间和$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$的加性Karoubi包络是一般半单的.范畴$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$是刚性对称的严格monoidal，我们给出了$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$是幺半范畴的一个刻划. $\mathcal{CPar}(\textbf{x})$的路代数允许一个三角分解，其Cartan子代数等于复反射群$G(r,n)$的群代数的直和.用两种方法计算了$\mathcal{CPar}(\textbf{x})$的下分拆子范畴的路代数上模范畴的分裂Grothendieck环中单模类的结构常数.除此之外，这给出了一个封闭的公式，用于$G(r,n)$的Littlewood-Richardson系数和圈积$(C_r \times C_r)\wr S_n$的某些Kronecker系数的约化Kron…
A remark on the quantum complexity of the Kronecker coefficients
本文证明对称群克罗内克系数的计算属于 #BQP 复杂性类，并利用量子计算工具与经典表示论见解改进了已有结果，同时将类似结论推广到 plethysm 系数。
Kronecker Coefficients and Simultaneous Conjugacy Classes
该研究引入克罗内克赫克代数研究有限群的克罗内克系数，建立同时共轭类数量与克罗内克系数的关系，定义双实群并刻画其与无重数张量积的关联，证明多类有限群不具有无重数张量积。
Stability of Kronecker coefficients via discrete tomography
本文给出了Kronecker系数的一般稳定性的一个新的充分条件，我们称之为可加稳定性。它的动机是J. Stembridge最近在纪念Richard P. Stanley 70岁生日的会议上的讲话，并且它是基于作者多年来在离散断层扫描方面的工作。本文的主要贡献是发现了整数矩阵的可加性与Kronecker系数的稳定性之间的联系。在我们的上下文中，可加性是来自离散断层扫描的概念。它的优点是非常容易产生大量可加矩阵的示例，从而产生稳定性属性的新实例。我们还证明了Stembridge的假设和可加性是密切相关的，并证明了之前发现的Kronecker系数的所有稳定性性质都符合可加稳定性。
Reduced Kronecker coefficients and counter-examples to Mulmuley's strong saturation conjecture SH
我们提供反例Mulmuley的强饱和猜想（强SH）的克罗内克系数。这个猜想是在几何复杂性理论的背景下提出的，以表明决定克罗内克系数是否为零可以在多项式时间内完成。我们还提供了一个简短的证明，#P-硬度计算克罗内克系数。这两个结果都依赖于克罗内克系数和对称群的表示论中的另一个结构常数族之间的联系：Murnaghan的约化克罗内克系数。Mulmuley的附录介绍了饱和假设SH的放松形式，对于几何复杂性理论的目标来说仍然足够强大。
Recursive formulas for the Kronecker quantum cluster algebra with principal coefficients
我们利用量子形式的切比雪夫多项式，显式地构造了主系数Kronecker量子团簇代数的递推公式。作为副产品，我们获得了两个条不变的正$\mathbb{ZP}$ -基，其中一个是原子基。
Some unimodal sequences of Kronecker coefficients
本文猜想并证明广义 Kronecker 系数序列的单峰性（对至多两列划分），利用硬 Lefschetz 性质，并探讨更一般的 Lefschetz 性质及对 Alon–Tarsi 猜想高维类比的启示。
On the asymptotics of Kronecker coefficients
克罗内克系数编码对称群的复不可约表示的张量积。最近几位作者（Vallejo，Pak和Panova，Stembridge）考虑了它们的稳定性。我们描述了一种几何方法，Schur-Weyl对偶的基础上，允许产生巨大的一系列的实例，这种现象。此外，该方法还提供了许多额外的信息。最值得注意的是，我们经常可以计算稳定的克罗内克系数，有时作为非常明确的多面体中的点的数量。我们也可以明确地描述我们的稳定三元组附近的矩多面体。最后，我们解释了观察Stembridge的某些矩形克罗内克系数的行为，将其与仿射Dynkin图类型$E\_6$。
Kronecker coefficients and noncommutative super Schur functions
非交换Schur函数的理论可以用来获得各种对称函数的Schur展开式的正组合公式，如Fomin和Greene所示。我们开发了一个理论的非交换超舒尔功能，并使用它来证明一个积极的组合规则的克罗内克系数的分区之一是一个钩子，恢复以前的结果的两个作者。这种方法也给出了一个精确的连接这一规则和启发式克罗内克系数首先调查的Lascoux。
Machine-Learning Kronecker Coefficients
针对 Kronecker 系数是否为零这一 NP 难判定问题，本文训练多种标准机器学习模型进行二分类，实现约 0.98 的高准确率。
A Geometric Approach to the stabilisation of certain sequences of Kronecker coefficients
我们使用几何不变论的工具给出了S的结果的另一个证明。萨姆和A.斯诺登在2014年，关于克罗内克系数的稳定性。这一结果表明，一些序列的克罗内克系数最终稳定，我们的方法给出了一个很好的几何约束，从稳定发生。我们执行明确的计算这样一个界限上的两个例子，一个是经典的情况下，Murnaghan的稳定性。此外，我们看到，我们的技术适用于其他系数所产生的表示论：即一些体积系数，并在张量积的情况下的超八面体群的表示。
The problem of deciding the positivity of Kronecker coefficients and Saxl conjecture
本文研究了确定Kronecker系数正性的问题，通过半群性质和广义块方法探讨Saxl猜想中不可约表示的分解问题。
On the complexity of computing Kronecker coefficients
我们研究了计算克罗内克系数的复杂性$g(λ,μ,ν)$。我们给出明确的界限的部分$\ell$在分区的数量，其最大的部分大小$N$和最小的第二部分$M$的三个分区。当$M = O(1)$，即其中一个分区是钩状时，边界在$\log N$中是线性的，但指数地依赖于$\ell$。此外，即使当$M=e^{O(\ell)}$。通过一个单独的参数，我们表明，积极的克罗内克系数可以决定在$O(\log N)$时间有限的$\ell$的部分和没有限制的$M$。本文还讨论了当一个划分为钩子时计算Kronecker系数的相关问题，以及计算$S_n$的性质。
The stability of the Kronecker products of Schur functions
在20世纪30年代末的Murnaghan发现存在一个稳定现象的克罗内克产品的舒尔职能。当n足够大时，出现在两个n次Schur函数乘积中的克罗内克系数的值不依赖于索引分区的第一部分，而仅依赖于其剩余部分的值。我们计算的确切值n的所有系数的克罗内克产品的舒尔函数稳定。我们还计算了两个新的边界稳定的系数序列，并表明他们改善现有的界限M。Brion和E.瓦列霍
Conjectures on the reduced Kronecker coefficients
本文提出关于对称群表示稳定张量积的猜想，扩展了Okounkov和Lam等人的相关结论，并在特定情况下验证了这些猜想。
Multiplicity of compact group representations and applications to Kronecker coefficients
这些笔记是第二作者的一个演讲的扩展版本。我们的主要兴趣集中在计算克罗内克系数的挑战性问题。我们决定，在开始时，采取一个非常普遍的方法来研究多重函数的问题，我们调查了理论的各个方面，发挥作用，给读者一个详细的参考书目。尽管如此，涉及多重性函数（凸性，拟多项式行为，Jeffrey-Kirwan剩余）的主要一般定理没有证明。然后，我们详细介绍了我们的方法来计算问题，给出明确的公式，并概述了算法，计算许多有趣的例子，其中一些出现在文献中也与希尔伯特级数。
Fundamental invariants of tensors, Latin hypercubes, and rectangular Kronecker coefficients
我们研究张量的多项式SL-不变量，主要集中在最小次数的基本不变量。特别是，我们证明了某些3维模拟的阿隆-Tarsi猜想拉丁立方体考虑以前由Bürgisser和Ikenmeyer，意味着积极的（广义）克罗内克系数在矩形分区，并作为结果提供价值的程度序列的基本不变量。
Kronecker products and the RSK correspondence
这项工作的出发点是一个身份，与规定的1-边缘和系数序列的一个线性组合的克罗内克系数的最小矩阵的数量。在本文中，我们提供了一个双射实现组合这个身份。因此，我们得到一个算法，每个最小的矩阵关联的最小组件，相对于优势顺序，在克罗内克产品，和组合描述的相应克罗内克系数的最小矩阵和Tableau插入。我们的双射如下从广义的双RSK对应3维二进制矩阵，我们的状态和证明。用同样的工具，我们也得到了一个推广的RSK对应的3维整数矩阵。
Cluster Algebras, Invariant Theory, and Kronecker Coefficients II
证明了$l$标记的$m$ -arrow Kronecker图的标准表示空间的半不变环是任何$l,m\in \mathbb{N}$的上簇代数.明确给出了群和簇。我们证明了具有刚性势的多面体集团模型。因此，为了在大多数$m$部分使用$λ$计算每个Kronecker系数$g_{μ,ν}^λ$，我们只需要在${\rm g}$ -向量锥内的大多数$m!$纤维（有理）多面体中计数格点，这是明确给出的。
On the computation of Kronecker coefficients I: column-row polytopes
本文提出了一种基于列-行多面体的新方法，用于计算Kronecker系数，并给出了相关公式的推导与新证明。
Cluster Algebras, Invariant Theory, and Kronecker Coefficients I
我们将对称函数的$m$ -截断Kronecker积与一个群表示族的半不变环联系起来。当$m=2$。这些簇代数的每个{ \sf g}-向量锥${\sf G}_{\Diamond_l}$控制所有次数不大于$l$的对称函数的$2$ -截断Kronecker积。因此，每个相关的克罗内克系数是两个有理多面体内的格点的数量之差。对所有的${\sf G}_{\Diamond_l}$也给出了明确的描述。作为应用，我们计算了一些不变环。
On the asymptotics of Kronecker coefficients, 2
克罗内克系数编码对称群的复不可约表示的张量积。最近几位作者（Vallejo，Pak和Panova，Stembridge）考虑了它们的稳定性。在以前的作品中，我们描述了一种几何方法，Schur-Weyl对偶的基础上，允许产生巨大的一系列的情况下，这种现象。在本说明中，我们将展示如何超越这些所谓的加法三元组。我们表明，一组稳定的三元组定义了一个联盟的时刻多面体的面。此外，这些面可以具有不同的维度，并且它们中的许多具有余维度1。
Production of faces of the Kronecker cone containing only stable triples
研究Kronecker系数的一种方法是关注Kronecker锥，它由对应于非零Kronecker系数的三元组分区生成。在这篇文章中，我们感兴趣的是产生这个圆锥的特定面，由稳定的三元组组成（J. Stembridge在2014年定义的概念），使用许多几何概念-主要是那些占主导地位的和良好的覆盖对-以及N的结果。雷塞尔这推广了L. Manivel和E. 2014年或2015年的瓦列霍，以加法矩阵表示。为了说明它允许产生相当多的克罗内克锥的新面的事实，我们在文章的最后给出了关于我们的结果在“小尺寸”下产生的细节。
Kronecker coefficients for one hook shape
对于n的任意划分λ，nu和钩形μ（d）：=（n-d，1^d），我们给出了Kronecker系数g_{lambda mu(d) nu}的一个正组合公式.我们的主要工具是Haiman的\emph{mixed insertion}。这是Schensted插入到\emph{colored words}的一般化，\emph{colored words}是带条纹的字母表中的单词\bar{1}，\bar{2}，.和未加横杠的字母1，2，....我们定义\emph{colored Yamanouchi tableaux of content lambda and total color d}（CYT_{lambda, d}）的集合为具有恰好d个带条纹字母的彩色单词w的混合插入表格的集合，并且使得w^{blft}是内容为lambda的Yamanouchi单词，其中w^{blft}是通过将其带条纹字母向左洗牌然后移除其条纹而从w形成的普通单词。我们证明了g_{lambda mu(d) nu}等于形状为nu且西南角无限制的CYT_{lambda, d}的个数。
The Newton polytope of the Kronecker product
本文研究了两个 Schur 函数的 Kronecker 积，利用 Horn 不等式证明了其单项式展开具有饱和 Newton 多面体的猜想特例，并导出了 Kronecker 系数正性的必要条件。
The Computational Complexity of Plethysm Coefficients
在两篇论文中，Bürgisser和Ikenmeyer（STOC 2011，STOC 2013）使用了Mulmuley和Sohoni（Siam J COMPUT 2001，2008）的几何复杂性理论（GCT）方法来证明矩阵乘法张量的边界秩的下界。一个关键因素是关于某些克罗内克系数的信息。虽然张量是GCT思想的一个有趣的测试平台，但其遥远的目标是分离代数复杂性类。克罗内克系数在这种情况下的作用由所谓的体积系数（plethysm coefficients）承担：这些是多项式空间的坐标环中的多重性。尽管已知Kronecker系数的几个硬度结果，但几乎没有关于计算体积系数或甚至确定其正性的复杂性的结果。在本文中，我们表明，确定积极的体积系数是NP-困难的，计算体积系数是#P-困难的。事实上，即使体积系数的内部参数是固定的，这两个问题仍然很难。通过这种方式，我们获得了内部与外部的对比：如果体积系数的外部参数是固定的，那么体积系数可以在多项式时间内计算。此外，我们推导出新的上下界，在特殊情况下，甚至组合描述的体积系数，我们认为是独立的利益。我们的技术以比Ikenmeyer，Mulmuley和Walter最近关于Kronecker系数的工作更精细的方式使用离散断层扫描（Comput Compl 2017）。这使得我们的工作的第一个应用技术从离散断层扫描的体积系数的研究。令人惊讶的是，这种解释也导致…
Field-independent Kronecker-plethysm isomorphisms
本文构造了域无关的SL2-等变同构，推广了Hermite互反律等经典同构，并证明了Kronecker系数与plethysm系数的一致性，从而在任意特征下证明了q-二项式系数的单峰性。
Kronecker coefficients and Harrison centres of the representation ring of the symmetric group
本文利用特征标理论计算$S_6$的Kronecker系数与幂公式，刻画其表示环的生成元、单位群和本原幂等元，并借助Harrison中心理论证明相关三次型的Harrison中心与表示环自身同构。
Quantum mechanics of bipartite ribbon graphs: Integrality, Lattices and Kronecker coefficients
本文在固定边数二部带状图张成的代数 Hilbert 空间上构造可解量子系统，以对称群特征标和 Kronecker 系数刻画谱与简并，并给出 Kronecker 系数的组合格维数解释。
Interpretable Machine Learning for Kronecker Coefficients
本文用可解释机器学习预测对称群 Kronecker 系数是否为零，结合分拆三元组与嵌入主成分 b-loadings，获得约83%准确率及显式决策公式，transformer 模型准确率超过99%。
A Polyhedral Formula for $n\times2\times2$ Kronecker Coefficients via Cluster Algebras
研究通过簇代数得到\(n\times2\times2\)克罗内克系数的多面体公式，利用商切片等确定有符号马尔可夫图，证明相关等式，通过对生成元配对等得到非负有限和公式，并用行列式约化扩展到所有系数。
Geometric realization of affine bases: the Kronecker quiver case
本文从几何角度研究Kronecker箭图量子包络代数负部分中PBW基与标准基之间的转移矩阵，通过旗层复形构造PBW基元素的几何实现，并证明转移系数由交上同调复形限制到小子层的局部系统重数决定。
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