Tetravalent edge-transitive Cayley graphs of Frobenius groups
Lei Wang
本文给出了一类边传递Cayley图的一个刻画，并给出了构造具有一定对称性的Cayley图的方法。本文还构造并证明了一类新的半传递图。
In this paper, we give a characterization for a class of edge-transitive Cayley graphs, and provide methods for constructing Cayley graphs with certain symmetry properties. Also this study leads to construct and characterise a new family of half-transitive graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tetravalent vertex-transitive graphs of order $6p$
一个图是点传递的，如果它的自同构群作用在图的顶点上是传递的。一个点传递图是Cayley图，如果它的自同构群包含一个正则作用在它的顶点上的子群。本文对每一个素数$p$，对阶为$6p$的四价点传递非Cayley图进行了分类.
Tetravalent $2$-arc-transitive Cayley graphs on non-abelian simple groups
一个图Gamma称为2-弧传递的，如果它的全自同构群Aut（Γ）在长度为2的有序路上有一个轨道，并且对于G \leq Aut（Γ），如果G在Γ的顶点集上正则，则称Γ是G-正则的.设G是有限非交换单群，Γ是连通的四价2-弧传递G-正则图. 2004年，Fang，Li和Xu证明了G \unlhd \Aut（Γ）或G是22个可能候选之一.本文将候选数减少到7个，并证明了对于每个候选G，\Aut（Γ）都有正规弧传递的非交换单群T，使得G \leq T和对（G，T）显式给出
Constructing infinitely many half-arc-transitive covers of tetravalent graphs
证明了在满足一定条件的有限图$Σ$中，存在无穷多个$Σ$的四价半弧传递正规覆盖.应用这个结果，我们建立了具有某些顶点稳定化的有限四价半弧传递图的无限族的存在性，并将顶点稳定化分类到有限连通四价半弧传递图的$2^8$阶.这为长期存在的有限四价半弧传递图的点稳定化分类问题提供了新的思路。
On automorphism groups of half-arc-transitive tetravalent graphs
本文刻画了存在子群M<H使得图是M-半弧传递且H-弧传递的连通四价图，构造了各类例子，包括对Rivera和Šparl 2019年问题的反例以及首个非交换单群上的四价正规边传递非正规Cayley图。
Cubic vertex-transitive graphs on up to 1280 vertices
如果一个图的所有顶点分别是3价和4价，则该图被称为三次图和四价图。如果它的自同构群分别作用在它的点集和弧集上，则称它是点传递的和弧传递的。本文将一些新的理论结果与计算机计算相结合，构造了阶数不超过1280的所有三次点传递图。在这个过程中，我们还构造了阶数不超过640的所有四价弧传递图。
Factorizations of almost simple groups with a solvable factor, and Cayley graphs of solvable groups
对至少有一个因子可解的几乎单群的因子分解进行了分类，并将其应用于刻画可解群的$s$ -弧传递Cayley图，得到了一个惊人的推论：除圈外，可解群的每个非二部连通3-弧传递Cayley图都是Petersen图或Hoffman-Singleton图的覆盖.
Basic Tetravalent Oriented Graphs of Independent-Cycle Type
本文对具有至少两个独立循环正规商的基本四价图-群对进行了显式分类，这些对构成所有四价图-群对的覆盖基础。
Normal Edge-Transitive Cayley Graphs of Frobenius Groups
一个群$G$的Cayley图称为正规边传递的，如果它允许$G$的全形（$\operatorname{Sym}(G)$中$G$的正则副本的正规化子）的某个子群的边传递作用.通过对两个素数的乘积为a阶的弗罗贝尼乌斯群的Cayley图的研究，完成了这类图的分类.我们确定这些图的自同构群，特别证明有一个独特的顶点本原的例子，即Fano平面的旗图。
On arc-transitive inner-automorphic Cayley graphs on dihedral groups
本文研究二面体群上的弧传递内自同构赛雷图，分析其结构并给出存在条件，构造无限例并完成2-距离传递赛雷图的分类。
Vertex-transitive Haar graphs that are not Cayley graphs
在最近的一篇论文（arXiv：1505.01475）中，Estélyi和Pisanski提出了一个问题，即是否存在点传递的Haar图而不是Cayley图。本文构造了一类点传递的非Cayley三价Haar图。最小的例子有40个顶点，是十二面体图$G(10,2)$上的著名克罗内克覆盖，在连通对称三价图的福斯特普查中作为图$40$出现。
Cubic vertex-transitive non-Cayley graphs of order 12p
一个图称为{ \em顶点传递的非凯莱图}，如果它的全自同构群在它的顶点上作用是传递的，并且不包含正则作用在它的顶点上的子群.本文给出了阶为$12p$（其中$p$是素数）的三次点传递非Cayley图的一个完全分类.因此，有$11$零星和一个无限族这样的图，其中零星的发生时，$p=5$，$7$或$17$，和无限族存在当且仅当$p\equiv1\ (\mod 4)$，在这个家庭有一个唯一的图为给定的顺序。
Normal edge-transitive Cayley graphs and Frattini-like subgroups
对于有限群$G$和$G$的逆闭生成集$C$，设$Aut(G;C)$由$G$的保持$C$不变的自同构组成。我们定义了$G$的一个$Aut(G;C)$ -不变正规子群$Φ(G;C)$，它具有这样的性质：对于$G$的任何生成元的$Aut(G;C)$ -不变正规集，如果我们从其中去掉$Φ(G;C)$的所有元素，那么剩下的集合仍然是$G$的一个$Aut(G;C)$ -不变正规生成集.亚组$Φ(G;C)$包含弗拉蒂尼子群$Φ(G)$，但包含可能是适当的。Cayley图$Cay(G,C)$是正规边传递的，如果$Aut(G;C)$作用在来自$C$的对$\{c,c^{-1}\}$上是传递的.证明了对于正规边传递Cayley图$Cay(G,C)$，其模$Φ(G;C)$的商是唯一的最大正规商，且该商同构于特征单群的正规边传递图的次直积.特别地，我们可以因此将特征单群的正规边传递凯莱图视为正规边传递凯莱图的构建块，只要子群$Φ(G;C)$是平凡的。我们探讨了几个问题，这些结果提出，一些有关的一套所有的逆封闭生成组在一个给定的家庭。特别是，我们用这个理论来分类所有的$4$ -价正常的边传递凯莱图的二面体群，这涉及到一个新的建设的无限家庭的例子，并反驳了一个猜想的Talebi。
Half-arc-transitive graphs of prime-cube order of small valencies
一个图称为{ \em半弧传递}，如果它的全自同构群作用在顶点和边上是传递的，但不作用在弧上。众所周知，对于任何素数$p$，不存在阶为$p$或$p^2$的四价半弧传递图. Xu~[素立方阶半传递图，J.代数学. 1（1992）275-282]对阶$p^3$和价$4$的半弧传递图进行了分类。本文对阶为$p^3$、价为$6$或$8$的半弧传递图进行了分类。特别地，构造了非亚循环$p$ -群上第一个已知的半弧传递Cayley图无限族.
Isomorphism Classes of Vertex-Transitive Tournaments
拓扑图是通过为无向完全图中的每条边指定方向而得到的图。给出了素数阶点传递竞赛图同构类个数的一个计算公式。为此，我们引入了特殊的Cayley有向图& Cayley竞赛图，并证明了素数阶点传递竞赛图的同构类与素数阶Cayley竞赛图的同构类之间存在一一对应的关系.
Resolution of a conjecture about linking ring structures
本文使用群合并的方法，解决了P. Potočnik和S. Wilson在研究围长为4的四价半对称图工具LR-结构的论文中遗留的关于连接环结构的猜想及问题。
Cayley properties of merged Johnson graphs
本文推广了Godsil和Dobson及Malnic关于Johnson图的结果，构造了一类Cayley图，即连通的、有一个自同构群正则地作用在顶点上的合并Johnson图$J=J(n,k)_I$.我们还讨论了不是Cayley图但具有传递群的自同构的合并Johnson图，这些自同构具有$2$阶的点稳定子。即使这些合并约翰逊图都是顶点传递的，我们表明，只有相对较少的凯莱图或具有传递自同构群与顶点稳定的顺序$2$。
Finite transitive groups having many suborbits of cardinality at most two and an application to the enumeration of Cayley graphs
令$G$是集合$Ω$上的有限传递群，令$α\in Ω$和令$G_α$是$G$中点$α$的稳定子。在本文中，我们感兴趣的比例$$\frac{|\{ω\in Ω\mid ω\textrm{ lies in a }G_α\textrm{-orbit of cardinality at most two}\}|}{|Ω|},$$，即$Ω$的元素的比例躺在子轨道的基数最多为2。我们证明了，如果这个比例大于$5/6$，则$Ω$的每个元素都位于基数至多为2的子轨道中，因此$G$可由Bergman和Lenstra的一个结果分类.对达到有界$5/6$的置换群进行了分类.我们使用这些结果来回答一个问题，有关凯莱图的计数。给定一个包含正则子群$R$的可迁群$G$，给出了$R$上包含$G$的Cayley图个数的一个上界.
Transitive permutation groups of prime-squared degree
本文明确地确定了所有的p-平方次传递群，p是素数，其Sylow p-子群不是两个p阶循环群的圈积。此外，我们给出了Sylow p-子群是这样一个圈积的p-平方次传递群的一般描述，并明确地确定了其中的大多数。作为应用，我们解决了p-平方阶交换群的Cayley对象的Cayley同构问题，明确地确定了p-平方阶阿贝尔群的Cayley图的全自同构群，并找到了所有p-平方阶非正规Cayley图.
On transitivity and connectedness of Cayley graphs of gyrogroups
在这项工作中，我们探讨的边缘方向，传递性和连通性的凯莱图的回转群。更具体地说，我们发现条件的凯莱图的陀螺群是无向的，传递的，和连接。我们还证明了某一类子回转群的陪集与Cayley图的连通分支之间的关系。提供了关于这些调查结果的一些例子。
Cayley properties of the line graphs induced by consecutive layers of the hypercube
令$n >3$和$ 0< k < \frac{n}{2} $为整数。本文研究了图$ {Q_n}(k,k+1) $的线图的一些代数性质，其中$ {Q_n}(k,k+1) $是由权值$k$和$k+1$的顶点集诱导的超立方体$Q_n$的子图.在第一步中，我们确定这些图的自同构群的$n,k$的所有值。第二步，研究这些图的线图的凯莱性质。特别地，我们证明了如果$k\geq 3$和$ n \neq 2k+1$，那么除了$k=3, n=9$和$k=3, n=33$的情况外，图$ {Q_n}(k,k+1) $的线图是点传递的非Cayley图。证明了图$ {Q_n}(1,2) $的线图是Cayley图当且仅当$ n$是素数$p$的幂.证明了对于\lq{}，几乎所有$k$的\rq{}偶数值，图$ {Q_{2k+1}}(k,k+1) $的线图都是点传递的非Cayley图.
Characterizing a vertex-transitive graph by a large ball
众所周知，一个完备的黎曼流形M如果局部等距于一个对称空间，则它被一个对称空间覆盖。在这里，我们证明了这种性质的离散版本（称为局部到全局刚性）适用于一大类顶点传递图，包括单李群中无挠格的Cayley图，以及无挠虚幂零群的Cayley图。相比之下，我们展示了各种例子的凯莱图的非线性提出的群体（例如SL（4，Z）），没有这个属性，回答了一个问题的Benjamini，埃利斯，和Georgakopoulos。基于Cornulier的一个问题，我们还构造了一个非两两等距大规模单连通局部有限点传递图的连续统。这个问题的动机是这样一个事实，即大规模的单连通凯莱图正是凯莱图的群，因此有可数许多等距类。
On Isomorphisms of Vertex-transitive Graphs
Cayley图的同构问题已经在文献中得到了很好的研究，例如CI（DCI）-图和CI（DCI）-群的刻画。在本文中，我们将这些推广到点传递图，并建立平行的结果。给出了一些有趣的点传递图，包括第一个连通对称非Cayley非GI-图的例子。此外，我们开始研究GI和DGI-组，定义类似的概念CI和DCI-组。
Arc-transitive Cayley graphs on nonabelian simple groups with prime valency
在2011年，Fang等人在（J. Combin. Theory A 118（2011）1039-1051）提出了以下问题：对价$d$的有限单群的非正规局部本原凯莱图进行分类，其中$d\leq 20$或$d$是素数。唯一的情况下，这一问题的完整解决方案是已知的是$d=3$。除此之外，人们还做了大量的努力来解决这个问题，考虑以下问题：刻画有限非交换单群，其中允许非正规局部本原Cayley图的某些价$d\geq4$。即使对于这个问题，它也只在$d\leq 5$或$d=7$和顶点稳定器可解的情况下才得到解决。在本文中，我们取得了至关重要的进展，对上述问题的情况下，完全解决了第二个问题时，$d\geq 11$是一个素数和顶点稳定子是可解的。
On the non-discreteness of automorphism groups of Cayley graphs of Coxeter groups
本文研究了Coxeter群的Cayley图关于标准生成集的不可数顶点稳定子。作为推论，我们完全确定了当配备置换拓扑时，其Cayley图相对于标准生成集的自同构群不是离散的可生成Coxeter群。作为应用，我们还给出了具有局部紧自同构群的无限度点传递图的新的显式构造。
On vertex-uniprimitive non-Cayley graphs of order pq
设$p$和$q$是不同的奇素数.设$Γ=(V(Γ), E(Γ))$是一个阶为$pq.$的非Cayley点传递图。令$G\leq \Aut(Γ)$连续作用在点集$V(Γ)$上。本文证明了$G$是单本原的，它是本原的但不是2-传递的，并得到了关于$p, q$和Socle $T=\soc(G).$的极小性的一些信息
Cayley numbers with arbitrarily many distinct prime factors
一个正整数$n$是一个Cayley数，如果每一个点可迁图$n$是一个Cayley图. 1983年，Dragan Maruši提出了确定凯莱数的问题。本文给出了一个素数的无限集$S$，使得来自$S$的每个不同元素的有限积都是Cayley数.这回答了1996年布伦丹·麦凯和谢丽尔·普拉格提出的一个悬而未决的问题，他们认为这是凯莱数的关键未解决问题。我们还证明了，对于每个有限产品$n$不同的元素从$S$，每个传递群的程度$n$包含一个半正则元素。
Symmetric graphs of prime valency with a transitive simple group
一个图$\Ga=(V,E)$称为某个群$T$的Cayley图，如果自同构群$\Aut(\Ga)$包含一个正则作用于$V$的子群$T$.若子群$T$在$\Aut(\Ga)$中正规，则称$\Ga$为$T$的正规Cayley图.设$r$为奇素数。Fang等在\cite{FMW}中证明了，除了有限个单群$T$的有限个例外，$r$的$T$的每个连通对称Cayley图都是正规的.本文利用有限几乎单群的极大因子分解，给出了$T$的例外的可能列表。
Cayley--Abels graphs and invariants of totally disconnected, locally compact groups
一个连通的局部有限图$Γ$是一个全不连通的局部紧群$G$的Cayley-Abels图，如果$G$作用在$Γ$上，且具有紧的开点稳定子.将$G$的最小度定义为$G$的凯莱-阿贝尔图的最小度。我们以各种方式将极小度与模函数、标度函数和紧开子群的结构联系起来。作为应用，证明了若$T_d$表示$d$ -正则树，则对所有$d\geq 2$，${\rm Aut}(T_d)$的最小度为$d$.
More odd graph theory from another point of view
Kneser图$K(n, k)$具有$[n]=\{1,2,...,n \}$的所有$k$ -元素子集作为顶点，以及不相交的任何两个顶点之间的边。如果$n=2k+1$，则$K(n, k)$称为奇图。设$ n >4$和$1< k < \frac{n}{2} $。本文证明了：如果Kneser图$K(n,k)$是偶数阶的，其中$n$是奇整数或两个整数$n,k $都是偶数，则$K(n,k)$是点传递非Cayley图.虽然，这些是Godsil [8]的特殊情况，不像他的证明使用了一些非常深刻的群论事实，我们的证明没有使用沉重的群论事实。我们利用数论和群论中的一些相当基本的事实得到了这些结果。我们证明了“几乎所有”奇图都是偶阶的，因此是点传递的非Cayley图。最后，证明了如果$ k > 4 $是一个偶数，使得对于某些$ t> 2 $，$k$不具有$ k = 2^t $的形式，则奇图$O_{k+1}$的线图是一个点传递的非Cayley图.
On rotarily transitive graphs
从离散几何的观点来看，局部有限传递图是一类广泛而重要的图。凯莱图的子类是特别感兴趣的，因为证明了几何群论的发展。Cayley图可以定义为非空的局部有限连通图，它具有一个传递群作用，使得任何非单位元素都没有不动点.我们定义了一类传递图，它们是以“绝对非Cayley方式”传递的：我们考虑赋予一个传递群作用的图，使得群中的任何元素都有一个不动点.我们称这样的图为“有限可迁传递图”，并证明了即使不存在至少2个顶点的有限可迁传递图，也存在一个无限局部有限连通可迁传递图.证明是基于群体建立的伊万诺夫这是生成的，有限指数和有少量的共轭类。我们还建立了无限传递图（不是局部有限的），其中任何自同构有一个不动点。这是通过考虑与实数的适当子域上的射影平面相关联的“单位距离图”来完成的。
On groups with Cayley graph isomorphic to a cube
我们说群G是立方体群，如果它是由一组对合生成的，使得对应的Cayley图Cay（G，S）同构于立方体。等价地，G是一个立方体群，如果它作用在一个立方体上，使得作用在顶点上是简单传递的，并且边稳定子都是非平凡的。立方体上的作用扩展为正交线性作用，我们称之为几何表示。证明了立方群的一个组合分解为2-子群的乘积，并证明了其几何表示总是可约的。
On covers of graphs by Cayley graphs
我们证明了：对于一个充分大的r，每个点传递的平面1-端图覆盖了每个其半径为r的球同构于G中半径为r的球的图。我们问，这是否是一个一般性质的非线性凯莱图，以及进一步相关的问题。
The transitive groups of degree 48 and some applications
本文的主要目的是报告在岩浆的成功枚举的代表$195\,826\,352$共轭类的传递子群的对称群$S_{48}$度48。此外，我们已经确定，25707这些群体是最小的传递，其中713是难以捉摸的。最小传递的例子已经被用来枚举度为$48$的点传递图，其中有$1\,538\,868\,366$，除了$0.1625\%$之外，所有的都是Cayley图。我们还发现，最大数量的元素所需的任何这些群体是10，我们已经使用这一事实，以改善以前的一般界限的第三作者的数量所需的元素，以产生一个任意的传递置换群的一个给定的程度。这个改进的界限的证明细节将由第三作者作为单独的论文发表
Planar transitive graphs
本文证明了平面局部传递有限图$G$的第一同调群是一个局部生成的${\rm Aut}(G)$ -模，并对局部有限平面Cayley图的基本群证明了类似的结果.这些结果的推论包括Droms的定理，平面群的可达性和邓伍迪的定理，平面局部有限传递图是可达的。
Quasirandom Cayley graphs
我们证明了Cayley图的小偏差和小第二特征值的性质是等价的，推广了Kohayakawa，Rödl和Schacht关于交换图的一个结果.证明依赖于Grothendieck不等式。作为推论，我们还证明了一个类似的结果在所有的点传递图中成立。
Pentavalent symmetric graphs admitting vertex-transitive non-abelian simple groups
一个图Γ称为{ \em对称}，如果它的自同构群\Aut（Γ）在Γ的弧集上是传递的.设$G$是有限非交换单群，Γ是连通五价对称图，使得\leq \Aut（Γ）.本文证明了：若$G$在Γ的顶点集上可迁，则\unlhd（Γ）或\Aut（Γ）都包含一个非交换单正规子群$T$，使得$G\leq T$和$(G,T)$是$58$的一个可能的非交换单群对.特别地，如果$G$是弧传递的，则$(G,T)$是$17$可能对之一，如果$G$在Γ的顶点集上是正则的，则$(G,T)$是$13$可能对之一，这改进了Fang，Ma和Wang在2011年给出的关于五价对称Cayley图的结果.
The generalized X-join of Cayley graphs
作为本文的主要结果，我们给出了Cayley图的广义$X$ -联是Cayley图的条件。特别地，我们证明了同构Cayley图的$X$ -联是一个Cayley图.为此，在基群正则作用的情况下，给出了置换群的广义圈积的新性质。给出了广义圈积包含正则子群的条件，并将其应用于Cayley图的广义$X$ -联.同时证明了同构Cayley图的广义$X$ -联总是一个点传递图。
$S$-arithmetic groups acting simply transitively on products of Bruhat-Tits trees
针对全定四元数代数上的Bruhat-Tits树，利用Kirschmer和Voight的分类，构造了几乎对所有素理想简单传递作用的同余算术格，并推广到树的乘积，产生新的Ramanujan Cayley图与立方复形。
Structure of Cayley Codes
研究Cayley码的一般性质，给出连通Cayley图的约化方法，并识别一族对称Cayley码，分析直积和笛卡尔积下的行为。
Two-sided Cayley graphs
我们介绍了一个家庭的图形，推广类凯莱图。对于群G的非空子集L，R，双边Cayley图2SC（G;L，R）是顶点集G和一条从x到y的弧的有向图当且仅当y=a^{-1}xb，其中a在L中，b在R中.因此，与凯莱图一样，双侧凯莱图可以用于对网络进行建模，因为可以在每个顶点处实现相同的路由和通信方案。我们确定了双边Cayley图是简单无向图的条件，并给出了它们是连通图、点传递图或Cayley图的充分条件。几个开放的问题提出。给出了许多例子，包括一个12个顶点的连通分量大小为4和8。
On Small Separations in Cayley Graphs
本文给出了关于Cayley图的扩张的两个结果。第一个结果解决了由DeVos和Mohar提出的一个猜想。具体地说，我们证明了对于任何正常数$c$，存在$\mathbb{Z}^2$的Cayley图的有限连通子集$A$，使得$\frac{|\partial A|}{|A|}< \frac{c}{depth(A)}$ .这就产生了对于无限或有限顶点传递图的子集，不存在$\frac{|\partial A|depth(A)}{|A|}$的泛界。设$X=(V,E)$是一个有限生成无限群的Cayley图，且$A\subset V$是有限的，使得$A\cup\partial A$是连通的.我们的第二个结果是，如果$|A|> 16|\partial A|^2$，则$X$具有环状结构。
Cayley graphs without a bounded eigenbasis
是否每个$n$ -顶点Cayley图都有一个其坐标都是$O(1/\sqrt{n})$的正交本征基？虽然对阿贝尔群的回答是肯定的，但我们证明了一般情况下它是否定的。另一方面，我们证明了每一个$n$ -顶点Cayley图（更一般地说，顶点传递图）有一个规范正交基，其坐标都是$O(\sqrt{\log n / n})$，并且这个界几乎是最好的可能。我们的调查是出于一个问题的Assaf Naor，谁证明了随机阿贝尔凯莱图是小集扩张，扩展了经典的结果Alon-Roichman。他的证明依赖于阿贝尔凯莱图的有界本征基的存在，我们现在知道这对一般群不成立。另一方面，我们绕过这个障碍，并扩展Naor的结果nonabelian组。
Hamiltonicity of Cubic Cayley Graphs
根据Lovász在1969年提出的一个问题，人们相信每个连通的点传递图都有一条Hamilton路，这里证明了这对于由具有$(2,s,3)$ -表示的群产生的三次Cayley图是正确的，也就是说，对于由对合$a$和阶为$s\geq3$的元素$b$生成的群$G=\la a,b| a^2=1, b^s=1, (ab)^3=1, etc. \ra$，使得它们的乘积$ab$的阶为3。更准确地说，它表明，凯莱图$X=Cay(G,\{a,b,b^{-1}\})$有一个哈密尔顿圈时，$|G|$（因此$s$）是全等2模4，并有一个长的循环时，$|G|$是全等0模4只缺少两个顶点（因此必然是哈密尔顿路径）。
A finitary structure theorem for vertex-transitive graphs of polynomial growth
我们证明了一个定量的，有限的版本Trofimov的结果，一个连接，局部有限顶点传递图G的多项式增长承认商与有限纤维上的行动Aut（G）几乎是幂零的有限顶点稳定。我们还介绍了一些应用。我们表明，一个有限的，连接顶点传递图G的大直径承认一个商与纤维的小直径的行动Aut（G）几乎是阿贝尔顶点稳定的有界大小。我们还表明，G有适度的增长在Diaconis和Saloff-Coste的意义下，这是已知的，这意味着混合和松弛时间的懒惰随机游动在G的直径是平方。这些结果推广了Breuillard和第二作者关于大直径有限Cayley图的结果。最后，给定一个连通的，局部有限的顶点传递图G表现出多项式增长在一个单一的，足够大的规模，我们描述其增长在随后的规模，延长陶的结果和早期的结果，我们自己的凯莱图。在接下来的工作中，我们将进一步应用。
Automorphism groups of Cayley graphs generated by block transpositions and regular Cayley maps
本文研究了Cayley图$\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n),$，其中生成集由所有的块转置组成.研究这些特殊凯莱图的动机来自生物信息学的当前研究。作为主要结果，我们证明了Aut $(\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n))$是左平移群与一个$2(n+1)$阶二面体群$\mathsf{D}_{n+1}$的乘积.证明使用了集合$T_n$诱导的$\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n)$的子图$Γ$的几个性质。特别地，$Γ$是$2(n-2)$ -正则图，其自同构群是$\mathsf{D}_{n+1},$ $Γ$具有多达$n+1$个大小为$2,$的极大团，并且其顶点是这些团中的顶点的子图$Γ(V)$是$3$ -正则、Hamilton和顶点传递图。讨论了$\mathsf{D}_{n+1}$的唯一循环子群与$\mathrm{Sym}_n$上正则Cayley映射的关系.证明了左平移群与后一个群的乘积可以作为$\mathrm{Sym}_n$上的非$t$ -平衡正则Cayley映射的自同构群。
An Inaccessible Graph
描述了一个不可达的、点传递的、局部有限的图。这个图不是Cayley图的拟等距图。
Cliques in derangement graphs for innately transitive groups
本文研究本原传递群错位图的团大小，证明除无穷例外族外存在函数 $f$ 使得无大小为 $k$ 的团时次数 $n\le f(k)$，为置换群的 Erdős-Ko-Rado 型定理研究提供支持。
Cactus Trees, and Estimations of the Spectral Radius of Vertex-Transitive Graphs
本文给出了点传递图的谱半径的下界，它是基于点传递图的“素圈”个数.边界是通过在图中构造类似于“仙人掌树”的电路并枚举它们来获得的。计算这些电路给出了图的格林函数的系数低估，因此也低估了它的谱半径。对于亏格g>=2的曲面群的Cayley图（这些图是双曲平面被4g-顶点镶嵌的1-骨架，每个顶点4g），得到了很好的界.例如，对于g=2，我们有0.662420<= |M| <=0.662816;对于g=3，我们有0.552773<= |M| <=0.552792。
Finite groups with coprime fixed-point-free automorphisms and applications
研究了一类有限群$G$，它的性质类似于具有$p$素数的初等交换$p$ -群，即存在一个子群$N$使得$G\setminus N$的所有元素在$\Aut(G)$下共轭或逆共轭.本文证明了这类群是可解的。作为应用，我们构造了$G$的一类正规边传递Cayley图，这类图是完全多部图.
Some algebraic properties of bipartite Kneser graphs
令$n$和$k$是整数，其中$n> k\geq1$和$[n] = \{1, 2, ... , n\} $。$bipartite \ Kneser \ graph$ $H(n, k)$是以所有$k$ -元素和$[n] $的所有（$n-k$）-元素子集作为顶点的图，并且当一个是另一个的子集时，任何两个顶点之间存在边。本文证明了$H(n, k)$是弧传递图。同时，我们证明了$H(n,1)$是一个距离传递的Cayley图.最后，我们确定了图$H(n, 1)$的自同构群，并证明了$Aut(H(n, 1)) \cong Sym([n] )$ $\times \mathbb{Z}_2$，其中$\mathbb{Z}_2$是阶为$2$的循环群.此外，我们还提出了关于二部Kneser图$H(n, k)$的自同构群的一些公开问题。
Planar graphs and covers
讨论了几乎点传递的平面局部有限图。如果图是3-连通的且至多有一端，则自同构的自同构群是平面不连续群，其结构是已知的。对于端点数不受限制的图，得到了一个一般性的结果。结果表明，这样的图可以由一端图或有限个可平面图以精确的方式建立起来。结果给出了平面Cayley图的有限生成群的一个分类.
A coarse Halin Grid Theorem with applications to quasi-transitive, locally finite graphs
本文证明了粗版本的Halin网格定理：每个一端、局部有限且包含无穷多条射线的不交并作为渐近子式的图，也包含半网格作为渐近子式，并应用于拟传递局部有限图，解决了Georgakopoulos和Papasoglu的猜想与问题。
On triangles in derangement graphs
给定一个置换群$G$，$G$的乱序图$Γ_G$是连通集为$G$的所有乱序的集合的Cayley图.证明了当$G$的度至少为$3$时，$Γ_G$包含三角形.这项工作的动机是多大的问题可以是$Γ_G$的独立数的比例的稳定器的一个点在$G$的大小。我们给出了这个比率最大的传递群的例子。
Equality of Lifshitz and van Hove exponents on amenable Cayley graphs
本文研究了周期Laplace算子和随机Laplace算子在顺从有限生成群的Cayley图上的低能渐近性。对于周期算子的渐近性的特点是范霍夫指数或零诺维科夫-舒宾不变量。我们考虑的随机模型是根据Cayley图的一个邻接Laplacian在站点上或边渗流子图给出的。谱分布的渐近行为是指数的，其特征在于Lifshitz指数。我们表明，对于相邻拉普拉斯算子的两个不变量/指数重合。结果也适用于更一般的对称转移算子。对于组合拉普拉斯算子，谱分布函数的低能渐近性具有不同的普适性，这实际上可以建立在没有顺从性假设的准传递图上。后者的结果也适用于长程键渗流模型。
Cayley graphs with few automorphisms
本文证明了包含高阶元素的有限生成群可构造自同构群等于自身的 Cayley 图，通过顶点邻域的强刚性结果扩展了经典群论结论，并给出了有标无向 Cayley 图存在的充要条件。
Asymptotic half-grid and full-grid minors
该研究证明两类满足粗端、圈空间由有界长圈生成条件的图分别包含全网格、半网格作为渐近与发散子式，部分解决了相关学者提出的问题。
Vertex-transitive graphs with uniformly bisecting quasi-geodesics
本文研究满足一致平分拟测地线性质的顶点可递图，证明其拟等距于欧氏或双曲平面，对应群为虚曲面群，正面解决了Kourovka笔记本的一个问题。
A study of 2-ended graphs via harmonic functions
本文利用拟等距于实数轴的常返图上本质唯一的 Lipschitz 调和函数，证明两端顶点传递图的连接常数下界，并构造非 Cayley 的三次两端顶点传递图。
Percolation in the hyperbolic space: non-uniqueness phase and fibrous clusters
在这篇论文中，我将考虑d维双曲空间H^d的等距群的点传递作用的图上的Bernoulli渗流。在第一章中，我对渗流及其术语作了概述。在对其他各章的单独介绍中，我更准确地解释了它的内容，也给出了其中需要的一些细节。在第二章中，我证明了Cayley图上Bernoulli渗流的非平凡非唯一相的存在性，对于H^3中的一类有限型多面体的Coxeter反射群。在第三章中，我们考虑了H^d中一类连通的、传递的、局部有限的图上Bernoulli键渗流中的簇在非唯一性阶段的几何性质，对于任意d。
Periodic colorings and orientations in infinite graphs
研究了无限图中周期性着色和定向的存在性，证明了路径宽度有界的拟 transitive 图具有周期性适当着色和定向，并探讨了相关开放问题。
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