Symmetric identities for an analogue of Catalan polynomials
Taekyun Kim, Dae San Kim, Jong-Jin Seo
本文考虑Catalan多项式的一个类似，并利用$p$-adic整数环上的费米子$p$-adic积分给出了这类多项式的对称性恒等式
In this paper, we consider an analogue of Catalan polynomials and give some identities of symmetry for those polynomials by using fermionic $p$-adic integrals on the ring of $p$-adic integers
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A new approach to Catalan numbers using differential equations
本文引入了两个由Catalan数的母函数所产生的微分方程，它们在某种意义上是“逆”的。从这些微分方程，我们得到了一些新的和明确的身份，Catalan和高阶Catalan数。此外，通过其他手段比微分方程，我们也得到了一些有趣的身份涉及加泰罗尼亚数的算术和组合的性质。
Multinomial Catalan Numbers and Lucas Analogues
该研究提出卡特兰数的多项式系数新推广形式，通过数论方法分析其及卢卡斯诺米推广的整性，完整刻画了除有限例外外对应数为整数的正则卢卡斯序列。
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
Sums of powers of Catalan triangle numbers
在本文中，我们考虑组合数$C_{m, k}$为$m\ge 1$和$k\ge 0$，它统一了加泰罗尼亚三角形$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$的条目，参数$m$和$k$的适当值，即，$B_{n, k}=C_{2n,n-k}$和$A_{n, k}=C_{2n+1,n+1-k}$。事实上，其中一些数字是著名的加泰罗尼亚数字$C_n$，即$C_{2n,n-1}=C_{2n+1,n}=C_n$。给出了$C_{m,k}$的递推关系、线性和及交错和的新恒等式.之后，我们检查$C_{m,k}$的平方和和立方的和（以及交替和），从而检查$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$。特别是，这些等式之一解决了\cite{[GHMN]}中提出的一个开放问题。我们还提出了一些涉及调和数$H_n$和Catalan三角形数$C_{m,k}$的线性恒等式.最后，在最后一节中，新的开放问题和涉及$C_n$的身份被澄清。
Study on q-analogues of Catala-Daehee numbers and polynomials
Catalan-Daehee数和多项式的生成函数可以表示为Zp上的p-adic Volkenborn积分，以前被研究过。本文的目的是借助于p-adic q-积分von Zp引入Catalan-Daehee数和多项式的q-模拟。除其他外，我们推导出一些明确的表达式的q-类似物的Catalan-Daehee数和多项式。
Integral representations of Catalan numbers using Touchard-like identities
本文利用 Touchard 恒等式及其 Callan 变体，结合已知积分表示与二项式定理，构造了 Catalan 数的新积分表示，并指出该方法可推广到其他形式合适的积分表示。
q-Analogs of some congruences involving Catalan numbers
我们提供了一些变化的Greene-Krammer的身份，其中涉及q-Catalan数。我们的方法揭示了这些新的身份和一些同余模素数之间的一个奇怪的类比。
An elliptic analogue of Fukuhara's trigonometeric identities
我们得到了新的椭圆函数恒等式，它是Fukuhara三角恒等式的椭圆模拟。我们证明了我们的椭圆恒等式的$z=0$上的Laurent展开式的系数给出了椭圆Dedekind和的一些互易律。
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
On a congruence involving $q$-Catalan numbers
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
Analogues of cyclic insertion type identities for multiple zeta star values
我们证明了多个zeta星值的身份，推广了一些身份由于今富，田中，田坂和若林。这个身份给出了一个类似的循环插入型身份，多个zeta星值，并连接块分解与赵的广义2-1公式。
On Series Involving Cubed Catalan Numbers
本文利用广义二项式系数恒等式和Dougall的结果，推导出涉及卡特兰数立方的级数家族，并建立包含四次方卡特兰数的级数家族，还推广了Bauer级数用于1/π，并得到一些Ramanujan-like级数用于1/π²和1/π³。
Some identities on $λ$-analogues of $r$-stirling numbers of the second kind
最近，Kim-Kim研究了第一类$r$ -Stirling数的$λ$ -类似物。本文的目的是引入第二类$r$ -Stirling数的$λ$ -模拟，并研究这类数的一些性质、递推关系和某些恒等式.我们还引入了第二类Whitney型$r$ -Stirling数的$λ$ -模拟，并得到了与第二类r-Stirling数的$λ$ -模拟类似的结果.此外，我们考虑了道林多项式的$λ$ -类似物，并推导出一个Dobinski式。
Zeros of $p$-adic hypergeometric functions, $p$-adic analogues of Kummer's and Pfaff's identities
在$p$ -adic设置下，我们对超几何级数族的所有零值和非零值进行了分类。超几何级数在$p$ -adic设置中的这些值导致超几何级数在$p$ -adic设置中的变换，其可以被描述为经典超几何级数上的Kummer和Pfaff的线性变换的$p$ -adic类似物。我们也评估某些求和的身份，超几何级数的$p$ -adic设置以及高斯超几何级数。
Algebraic identities among $q$- analogue of Euler double zeta values
本文探究另一类q-双重zeta函数变体及其星型变体的恒等式，借助q>1的Nielsen反射公式q-模拟，研究相关恒等式，分析参数趋于0的行为并与经典情形对比，还讨论Mordell-Tornheim r重zeta函数q-模拟及其与q-双重zeta函数的关系。
One variable Generalization of five entries of Ramanujan and their finite analogue
本文提出了Bhoria等人恒等式的单变量推广及其有限类比，并据此推导出Ramanujan五个$q$-级数恒等式的单变量推广及相应有限类比。
Some properties of generalized $k$-Pell sequences
本文的目的有两个：（1）建立广义$k$ -Pell序列的几个恒等式（包括Binet，Catalan，Cassini和d 'Ocagne的恒等式）;（2）研究三对角生成矩阵在$k$ -Pell和广义$k$ -Pell序列中的应用。
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
Ramanujan's identities, minimal surfaces and solitons
利用Ramanujan恒等式和极小曲面的Weierstrass-Enneper表示以及Born-Infeld孤子的类似表示，我们得到了进一步的非平凡恒等式.
$p$-adic analogues of hypergeometric identities
证明了截断超几何级数的一些超同余。
Identities of symmetry for q-Bernoulli polynomials
本文导出了与$q$ -伯努利多项式及幂和的$q$ -模拟有关的三元对称性的八个基本恒等式。这些和它们的大多数推论都是新的，因为只有关于二元对称恒等式的结果。这些丰富的对称性甚至为现有的恒等式提供了新的线索，从而产生了一些更有趣的恒等式。恒等式的推导是基于$q$ -伯努利多项式的生成函数的$p$ -adic整式和可以表示为幂和的$q$ -模拟的指数母函数的积分的商。
Identities of symmetry for q-Euler polynomials
本文导出了与$q$ -欧拉多项式及交替幂和的$q$ -模拟有关的三元对称性的八个基本恒等式。这些和它们的大多数推论都是新的，因为只有关于二元对称恒等式的结果。这些丰富的对称性甚至为现有的恒等式提供了新的线索，从而产生了一些更有趣的恒等式。恒等式的推导是基于$q$ -欧拉多项式的生成函数的$p$ -adic整式和可以表示为交替幂和的$q$模拟的指数母函数的积分的商。
Values and recurrence relations for integrals of powers of arctan and logarithm and associated Euler-like sums
本文研究了涉及arctan和logarithm函数的幂次积分，给出了其求值与递推关系，并提出了关于奇调和数和Milgram常数的新求和恒等式，这些恒等式可表示为π、Catalan常数等特殊常数的有限和。
Trigonometric analogue of the identities associated with twisted sums of divisor functions
本文受 Ramanujan 丢失笔记启发，推导出与除数函数扭曲和相关恒等式的三角函数等价版本，并给出了 $r_6(n)$ 的模拟恒等式。
Cassini-Catalan Determinants via Ramanujan's Theta Identity
本文利用拉马努金 theta 恒等式统一推导 Fibonacci 数的 Cassini 与 Catalan 行列式，并推广到划分细化版本及高阶递推，揭示其模形式来源与组合意义。
Some identities of type 2 Degenerate Bernoulli polynomials of the second kind
近年来，许多数学家研究了一些特殊多项式的各种退化形式，并发现了许多有趣的结果。本文引入了第二类2型退化伯努利多项式及其高阶类似多项式，并研究了这类多项式的一些恒等式和表达式.特别地，我们得到了第二类退化伯努利多项式与第二类退化伯努利多项式之间的一个关系，以及这些多项式的高阶模拟与第二类退化stirling数之间的一个恒等式，和表达式的高阶类似物的那些多项式在较高的-二阶二型退化伯努利多项式和第一类退化Stirling数。
On $q$-analogues of two-one formulas for multiple harmonic sums and multiple zeta star values
最近，本作者与Tauraso共同发现了一个家庭的二项式恒等式的多重调和和（MHS）的字符串$(\{2\}^a,c,\{2\}^b)$，似乎是有用的证明新的同余MHS以及新的关系多zeta值。最近，Zhao将这组MHS恒等式推广到具有上述模式重复的弦，并作为应用，证明了Ohno和Zudilin提出的多重zeta星值的2 - 1公式。在本文中，我们将我们的方法推广到$q$ -二项式恒等式和证明$q$ -类似的两个一公式的多zeta星值。
On q-analogues of quadratic Euler sums
本文定义了Euler和的广义q-模拟，并利用级数的Jackson q-积分表示方法，给出了Euler和的q-模拟的一族新的恒等式。然后，我们应用它来获得一个家庭的身份有关的二次欧拉和线性和q-多项式。此外，我们还利用一定的填充积计算了几个具有q-调和数的q-级数。一些有趣的新结果和说明性的例子被认为是。最后，当q趋于1时，我们可以得到经典欧拉和的一些显式关系。
Character analogues of Cohen type identities and related Voronoi summation formulas
本文针对 Cohen 型恒等式给出特征类比，推导相关 Voronoi 求和公式，并证明实原特征下 L(1,χ) 的正性。
Cubic identities for theta series in three variables
我们介绍了三个变量的类似物的θ系列的Borwein和Borwein。我们证明了各种身份涉及这些θ系列包括一个概括的三次身份的Borwein和Borwein。
The Geometry of some Fibonacci Identities in the Hosoya Triangle
\emph{Hosoya triangle}是一个三角形数组，其中每个条目都是两个斐波那契数的乘积。我们使用这个三角形的几何来寻找与斐波那契数相关的新恒等式。给出了斐波那契数的几个著名恒等式的几何解释。例如，卡西尼恒等式和加泰罗尼亚恒等式。我们还将杨辉三角形中的一些恒等式推广到Hosoya三角形。例如，曲棍球棒从二项式扩展到斐波那契数的乘积，菱形属性从杨辉三角形扩展二项式恒等式到Hosoya三角形中的斐波那契数的乘积恒等式。
New polynomial analogues of Jacobi's triple product and Lebesgue's identities
在作者最近的一篇论文中，建立了Goellnitz（大）划分定理的有界版本。在这里，我们将展示除其他事项外，这一定理如何导致非平凡的新的多项式类似物的某些基本身份的雅可比和勒贝格。我们还推导出了Jacobi著名的三重积恒等式的一个两参数的推广。
Some new congruences and identities for $SOME(n)$, $DSOME(n)$, $\overline{SOME}(n)$ functions and analogues
本文证明了 $SOME(n)$, $DSOME(n)$, $\overline{SOME}(n)$ 函数的新恒等式和同余式（包括单调性），并推广到一般分拆族 $S_{\mathcal P}(n)$ 和彩色分拆类似物，证明了可除性性质。
Two identities involving the cubic partition function
本文给出了三次分拆函数的Chan恒等式的一个新证明，并给出了三次分拆函数的一个新恒等式，它类似于普通分拆函数的Zuckerman恒等式.
Short proofs, generalizations and applications of certain identities concerning multiple Dirichlet series
本文给出Tahmi和Derbal（2022）关于多重狄利克雷级数的恒等式的其他证明、推广和类似.作为应用，我们得到了某些相关和的带余项的渐近公式。
Congruences for sums of MacMahon's $q$-Catalan polynomials
针对 Liu 未覆盖的 $n\equiv0\pmod3$ 情形，研究 MacMahon $q$-Catalan 多项式加权和模 $\Phi_n(q)^2$ 的同余式，并联系 Dirichlet 特征和恒等式。
Identities of symmetry for higher-order q-Euler polynomials
本文给出了与高阶q-欧拉多项式及高阶交替幂和的q-模拟有关的二元对称性的基本恒等式。恒等式的推导是基于高阶q-欧拉多项式的生成函数的多元p-adic费米子积分表示。
On the q-binomial identities involving the Legendre symbol modulo 3
我使用多项式模拟的Jacobi三重产品的身份与爱森斯坦公式的勒让德符号模3。证明了涉及$q$ -二项式系数的六个恒等式。这些身份，然后扩展到新的无限层次的q-系列身份的特殊情况下贝利引理。拉马努金、斯莱特、麦克劳克林和西尔斯的一些恒等式就是这样得到的。
Some identities of Frobenius-Euler polynomials arising from Frobenius-Euler basis
本文给出了由Frobenius-Euler基导出的几个新的有趣的恒等式。最近，Simsek等人（见[13]）给出了Frobenius-欧拉多项式与q-伯恩斯坦多项式的q-模拟的一些恒等式.从本文的方法中，我们还可以导出Simsek等人的结果和恒等式（cf. [13]）。
A note on q-analogue of Boole polynomials
本文考虑布尔多项式的q-扩张。从这些多项式出发，我们得到了一些与特殊多项式有关的新的有趣的性质和恒等式。
$p$-adic analogues of hypergeometric identities and their applications
本文证明了Sun最近提出的几个定理，例如，我们证明了对任何奇素数$p$，都有$$ \sum_{k=0}^{p-1}A_k\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}\quad&\text{if $p=x^2+2y^2\ (x,y\in\mathbb{Z})$},\\ 0\pmod{p^2}\quad&\text{if $p\equiv5,7\pmod{8}$},\end{cases} $$，其中$A_n:=\sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}^2\binom{n}{k}^2$是Apéry数.
Analogues of the Aoki-Ohno and Le-Murakami relations for finite multiple zeta values
我们建立有限的类似物的身份称为青木大野关系和乐村上关系的理论中的多个zeta值。我们使用一个明确的形式的生成系列青木和大野。
Some identities on r-central factorial numbers and r-central Bell polynomials
本文引入了第二类和第一类的广义r-中心阶乘数和广义r-中心Bell多项式，作为一些先前引入的数和多项式的扩展版本和中心类似物。然后我们研究了与这些数和多项式有关的各种性质和恒等式，以及它们之间的联系。
Multiple Bracket Function, Stirling Number, and Lah Number Identities
作者在最近的一篇文章中构造了几个组合数族的多个类似物，包括括号符号，以及第一类和第二类斯特林数。本文提出了另一个序列--Lah数的多重模拟，并构造了所有这些序列的某些相关恒等式和重要性质。
Affine Jacobi-Trudi Identities and $q,t$-Rogers-Ramanujan Identities
猜想正交和辛Schur函数的对偶Jacobi-Trudi恒等式的仿射类比，用于推导Rogers-Ramanujan恒等式的t-模拟，包括经典、Andrews-Gordon及GOW恒等式，并证明任意高度矩形分区Schur函数的仿射对偶Jacobi-Trudi恒等式。
Proving some identities of Gosper on $q$-trigonometric functions
戈恩介绍了功能$\sin_q z$和$\cos_q z$作为$q$ -类似物的三角函数$\sin z$和$\cos z$分别。他说，但没有证明各种身份涉及这两个$q$ -三角函数。本文利用椭圆函数的理论证明了函数$\sin_q z$和$\cos_q z$上的三个公式。
Supercongruences arising from hypergeometric series identities
利用某些超几何级数恒等式，证明了截断超几何级数上的两个超同余，其中一个与模Calabi-Yau三重有关，另一个被认为是Ramanujan恒等式的$p$ -adic模拟.
Logarithmic and complex constant term identities
在最近的工作表示论的顶点代数相关的Virasoro极小模型M（2，p），阿达莫维奇和米拉斯发现对数类似物（特殊情况下）著名的戴森和莫里斯常数项身份。在本文中，我们将展示如何身份的Adamovic和Milas自然产生的区别，作为尚未-turnal复杂的类似物的常数项身份的戴森和莫里斯。我们还讨论了任意根系的复和对数常数项恒等式的存在性，特别证明了根系G_2的复和对数常数项恒等式。
A multilateral Bailey Lemma and multiple Andrews--Gordon identities
证明了一个多边Bailey引理，并构造了Roger-Ramanujan恒等式和Euler五角定理的多个类似物作为应用。极端情况下的安德鲁斯-戈登身份也推广使用多边贝利引理，其最终形式是书面的决定因素的θ函数。
New infinite hierarchies of polynomial identities related to the Capparelli partition theorems
我们证明了一个新的多项式加细的Capparelli的身份。使用贝利引理的特殊情况下，我们证明了许多无限家庭的和产品的身份，根从我们的有限类似的卡帕雷利的身份。我们还讨论了基恒等式的$q\mapsto 1/q$对偶变换和一些相关的划分理论关系。
Lucas atoms
给定两个变量$s$和$t$，卢卡斯多项式的相关序列由$n\ge2$的$\{0\}=0$、$\{1\}=1$和$\{n\}=s\{n-1\}+t\{n-2\}$归纳定义。整数（例如，由$\prod_i n_i/\prod_j k_j$形式的表达式定义的卡塔兰数）具有通过用相应的卢卡斯多项式替换每个因子而获得的卢卡斯模拟。有兴趣决定这种表达式，这是一个先验的唯一合理的功能，实际上是多项式在$s,t$。到目前为止，这些方法都是组合的。我们引入了一个强大的代数方法来回答这个问题，通过分解$\{n\}=\prod_{d|n} P_d(s,t)$，我们称之为多项式$P_d(s,t)$卢卡斯原子。这使我们能够表明，卢卡斯类似物的Fuss-Catalan和Fuss-Narayana数的所有不可约Coxeter群是多项式在$s,t$。使用伽玛展开，一种最近在组合数学和几何学中流行的技术，可以表明卢卡斯原子与分圆多项式$Φ_d(q)$有密切的关系。关于$Φ_d(q)$的某些结果可以被提升到卢卡斯原子。特别是，可以证明类似的定理高斯和卢卡斯，推导出减少公式，并评估$P_d(s,t)$在各种特定值的变量。
Polynomial Identities Implying Capparelli's Partition Theorems
我们提出并递归证明多项式的身份，这意味着Capparelli的分割定理。我们还找到完美的同伴安德鲁斯的结果，和Alladi，安德鲁斯和戈登涉及$q$ -三项式系数。我们遵循Kurhungöz的想法，提供我们的一些表达式的直接组合解释。我们使用的三项式类似贝利引理，以获得新的身份。这些恒等式涉及三重和和乘积。一对夫妇的新斯莱特类型的身份也注意到。
Multilateral basic hypergeometric summation identities and hyperoctahedral group symmetries
利用级数的对称性给出了某些双边基本超几何求和公式的新证明。特别地，作为一个应用，我们给出了Bailey的$_3ψ_3$求和公式的一个证明.我们还证明了一个多重级数模拟这个身份考虑超八面体群对称性的更高的排名。
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
On Sum-Of-Tails Identities
本文得到了Andrews和Freitas的广义尾和恒等式的有限模拟。我们得出了一些有趣的结果，作为特殊情况下，这种类似物，特别是最近的身份，Dijuana，Eyyyunni，Maji和Sood。我们得到一个新的扩展阿贝尔引理的帮助下，我们得到一个单参数推广的尾和恒等式的安德鲁斯，Garvan和梁，身份的Ramanujan以及两个新的结果-一个Ramanujan的功能$σ(q)$和另一个功能最近推出的安德鲁斯和Ballantine。随后我们引入了Fokkink，Fokkink和Wang的一个函数的一个新的推广$\mathrm{FFW}_{c}(n)$，并导出了它的生成函数的一个恒等式.作为一种特殊情况，这给出了Andrews，Garvan和Liang给出的$\mathrm{spt}(n)$的生成函数的一个最近的表示.我们还获得了一些加权划分的身份，以及新的表示为两个Ramanujan的三阶模拟θ函数通过组合技术。
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