Phase transition for Gibbs Delaunay Tessellations with geometric hardcore conditions
在本文中，我们证明了存在无限吉布斯Delaunay Potts镶嵌标记粒子配置。粒子系统具有两种类型的相互作用，所谓的\emph{background potential}确保Delaunay细分中排除小三角形和大三角形，并且类似于\cite{Der08}中引入的所谓硬核势。颗粒带有一个$q$分离标记。我们的主要结果是，对于大的活动和高\emph{type interaction}强度的模型至少有$ q$不同的反射不变吉布斯Delaunay Potts镶嵌。主要的技术是一个粗粒化程序，使用系统中的尺度，然后与$ \Z^2 $上的现场渗流进行比较。
2021-04-11 math-ph math.MP math.PR
The $β$-Delaunay tessellation III: Kendall's problem and limit theorems in high dimensions
$\mathbb{R}^{d-1}$中的$β$ -Delaunay曲面细分是经典Poisson-Delaunay曲面细分的推广。作为本文的第一个结果，我们表明，$β$ -Delaunay曲面细分的加权典型细胞的形状，条件是具有大的体积，是接近的形状，在$\mathbb{R}^{d-1}$的一个规则的单纯形。这推广了Hugo和Schneider关于典型（非加权）Poisson-Delaunay单形的早期结果。其次，分析了高维$β$曲面细分中加权典型单元体积的渐近行为，即$d\to\infty$。特别是推导出了各种高维极限定理，如定量中心极限定理以及中偏差和大偏差原理。
2021-04-15 math.PR
Second-order properties for planar Mondrian tessellations
本文考虑了具有加权轴平行切削方向的平面STIT曲面。在机器学习文献中，它们也被称为加权平面蒙德里安镶嵌，用于随机森林学习和核方法。各种二阶属性的随机镶嵌推导，特别是，明确的公式得到适当适应版本的对和互相关函数的长度测量的边缘骨架和顶点点过程。文中还详细讨论了方差的显式表达式和渐近性质。
2022-04-28 math.PR
Percolation on stationary tessellations: models, mean values and second order structure
我们认为一个固定的面对面的镶嵌$X$的$\mathbb{R}^d$，并介绍了几个渗流模型的颜色在一个一致的方式黑色的一些面。我们的主要模型是细胞渗滤，其中细胞被宣布为黑色的概率为$p$，否则为白色。我们感兴趣的是黑色面孔的联盟$Z$的几何性质。在自然可积性假设下，我们首先表示渐近平均值的内在卷的棕榈期望与脸。本文的第二部分研究了$Z\cap W$的内禀体积的渐近协方差，其中观测窗口$W$被假定为一个多胞形。这里我们需要假设$X$的面过程存在适当的渐近协方差。我们检查这些假设中的一个重要的特殊情况下的泊松Voronoi曲面细分。在正常的镶嵌上的细胞渗流的情况下，特别是在平面上，我们的公式大大简化。
2013-12-22 math.PR
Limit theorems for functionals on the facets of stationary random tessellations
我们通过一个无限扩展的凸采样窗口$W$观察$\mathbb{R}^d$中的平稳随机镶嵌$X=\{Ξ_n\}_{n\ge1}$，并确定在$X$的$k$ -刻面上诱导的那些$(k-1)$维流形过程的总$(k-1)$ -体积（$1\le k\le d-1$）通过它们与$(d-1)$的交叉-独立和同分布运动的方面-在$X$的每个单元$Ξ_n$内生成的不变镶嵌$X_n$。$X$的情况下，无论是一个泊松超平面镶嵌或随机镶嵌与弱依赖分别处理。然而，在这两种情况下，当$W$足够大时，我们得到在$W$中测量的所有总体积近似正态分布。平均值和渐近方差的结构公式推导和明确的数值给出了平面Poisson-Voronoi曲面（PVTs）和Poisson线曲面（PLTs）。
2007-09-05 math.PR
Fractal random sets associated with multitype Galton-Watson trees
该研究用多类型 Galton-Watson 树编码由正则镶嵌相邻瓦片迭代生成的随机平面集，证明极限集的盒维数与 Hausdorff 维数相等，并由再生矩阵谱半径计算，还给出三类镶嵌示例。
2024-10-29 math.PR
Fractal random series generated by Poisson-Voronoi tessellations
本文构造了一类新的定义在$\R^D$上的随机序列族，它由一个标度参数和两个Hurst指数表示.该模型是接近Takagi-Knopp函数，除了这样一个事实，即底层分区的$\R^D$是不是通常的二元网格，但随机Voronoi镶嵌生成的泊松点过程。这种方法使我们得到一个连续函数，其随机图是分形的，具有明确的和相等的盒维数和豪斯多夫维数。这一主要结果的证明是基于几个新的分布性质的Poisson-Voronoi镶嵌一方面，估计的振荡的功能加上应用的Frostman型引理的另一方面。最后，我们介绍了两个相关的模型，并特别提供了一个盒维数计算派生的确定性Takagi-Knopp系列与六角形基地。
2013-05-26 math.PR
Proofs of Two Conjectures by Mecke for Mixed Line-Generated Tessellations
对于一个紧凑的凸窗口，Mecke描述了离散时间内细胞分裂产生的镶嵌过程。在每个时间步，根据等可能性法则选择现有小区之一。独立地，一条线被扔到窗户上。如果线命中选定的单元格，则单元格被分割。如果线没有命中选定的单元格，则在该时间步中不会发生任何事情。利用一个参数依赖于时间的几何分布，梅克将他的结构转化为一个连续时间模型。他提出了两个apturtures中，他假设这个连续时间模型有一定的性质，就其迭代。这些结构导致了第三个猜想，其中国家的等价性建设STIT镶嵌和Mecke的建设在一定的同质性条件下。本文证明了前两个定理。实现这一点的一个关键工具是Cowan分类的等可能模型的连续时间版本的属性。
2011-10-25 math.PR
The combinatorial structure of spatial STIT tessellations
考虑了三维欧几里得空间中在迭代（嵌套）下稳定的空间均匀随机镶嵌，即所谓的STIT镶嵌。它们是随后细胞分裂的时空过程的结果，因此它们不是面对面的。本文的目的是开发一个详细的分析这种镶嵌的组合结构，并确定一些新的几何平均值，例如典型顶点的邻域。结果的核心是基于其端点的类型或与其他类型的线段的相等关系对细分边进行精细分类。在背景的证据是微妙的空间STIT镶嵌分布特性。
2011-11-02 math.CO math.PR
Random conical tessellations
我们考虑欧氏$(d-1)$ -球面通过$(d-2)$ -维大子球面的镶嵌，或者等价地，欧氏$d$ -空间通过原点的超平面的镶嵌;这些我们称之为圆锥镶嵌。对于随机多面体锥定义为典型的圆锥在圆锥镶嵌随机超平面，随机锥是对偶的分布，我们研究的期望一般类的几何泛函。它们包括组合量，例如面数，以及圆锥形内禀体积。对于各向同性圆锥镶嵌（由球对称分布的随机超平面生成的那些），我们确定了随机向量的完整协方差结构，其分量是诱导的球形随机多面体的$k$面内容。这个结果可以被认为是Roger Miles的经典结果的球面对应。
2016-04-30 math.MG math.PR
Second-Order Properties and Central Limit Theory for the Vertex Process of Iteration Infinitely Divisible and Iteration Stable Random Tessellations in the Plane
研究了欧氏平面上可无限分的迭代或迭代稳定的随机镶嵌顶点的点过程。我们明确地确定了它的协方差测度和它的对相关函数以及交叉协方差测度和交叉对相关函数的顶点点过程和随机长度测度在一般非平稳区，我们专门为平稳和各向同性设置。给出了紧和凸采样窗口中顶点数方差的精确公式，并导出了渐近关系。我们的结果进行了比较与泊松线镶嵌具有相同的长度密度参数。此外，建立了适当重新标度的总边数和边长联合过程的泛函中心极限定理，其中过程$(ξ,tξ)$，$t>0,$产生于极限中，其中$ξ$是具有显式已知方差的中心高斯变量.
2011-01-04 math.PR
Anchored expansion, speed, and the hyperbolic Poisson Voronoi tessellation
我们证明了具有正锚定扩张和指数体积增长的平稳随机图上的随机游动具有正速度。我们还表明，两个家庭的随机三角剖分的双曲平面，双曲Poisson Voronoi tessellation和双曲Poisson Delaunay三角剖分，有1骨架正锚定的扩展。因此，我们证明了这些图上的简单随机游动具有正速度。我们包括一个开放的问题和命题上的主题平稳的几何随机图和双曲泊松Voronoi镶嵌的一节。
2014-10-31 math.MG math.PR
Geometric inequalities, stability results and Kendall's problem in spherical space
本文研究球面空间中泊松随机镶嵌胞腔的Kendall形状问题，通过建立球面凸体尺寸泛函与命中泛函的新几何不等式及稳定性结果，在高强度渐近机制下获得了尺寸泛函的偏差不等式与渐近分布。
2025-08-29 math.MG math.PR
Conical tessellations associated with Weyl chambers
我们考虑$d$维随机向量$Y_1,\dots,Y_n$满足一个温和的一般位置假设a.s.超平面\begin{align*} (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n). \end{align*}生成欧几里得$d$空间的圆锥形镶嵌，其与$A_{n-1}$类型的Weyl腔室密切相关。我们确定了这个镶嵌中的圆锥体的数量，并表明它是a.s.常数对于一个随机锥均匀随机选择从这个随机镶嵌，我们计算的期望一般一系列的几何泛函。这些包括面数，以及圆锥曲线的固有体积和圆锥曲线的quermassintegrals。在$Y_1,\ldots,Y_n$上交换的附加假设下，对于具有与$Y_1-Y_2,\ldots, Y_{n-1}-Y_n$的正壳相同分布的对偶随机锥也进行同样的处理，条件是该正壳不等于$\mathbb R^d$。所有这些期望都是免费的。类似地，我们考虑由超平面\begin{align*} (Y_i+Y_j)^\perp\;\; (1 \le i<j\le n),\quad (Y_i-Y_j)^\perp\;\; (1\le i<j\le n),\quad Y_i^\perp\;\; (1\le i\le n) \end{align*}引起的圆锥镶嵌。这种镶嵌与$B_n$型的Weyl腔密切相关。我们计算这个镶嵌中的圆锥体的数量和从这个随机镶嵌中绘制的随机圆锥体的各种…
2021-06-22 math.CO math.MG math.PR
On the Number of Faces and Radii of Cells Induced by Gaussian Spherical Tessellations
研究了$\mathbb{R}^{d}$中与球面超平面镶嵌有关的一个几何性质。我们首先考虑一个固定的$x$上的欧几里德球和镶嵌与$M \gg d$超平面通过原点具有法向量分布根据高斯分布。我们表明，有很高的概率存在一个子集的超平面，其基数是$d\log(d)\log(M)$的顺序，使半径的细胞包含$x$诱导这些超平面是有界的以上，直到常数，$d\log(d)\log(M)/M$。我们将这一结果扩展到具有高概率的镶嵌中的所有细胞。直到对数项，该上界与Goyal等人先前建立的下界相匹配。通知。Theory 44（1）：16-31，1998）。
2021-08-30 cs.IT math.IT math.PR
Cells with many facets in a Poisson hyperplane tessellation
令$Z$是$\mathbb{R}^d$中静态泊松超平面细分的典型单元。研究了典型单胞的$f(Z)$面数分布。它表明，在一个良好的传播条件下的方向分布，数量$n^{\frac{2}{d-1}}\sqrt[n]{\mathbb{P}(f(Z)=n)}$是有界的，从上面和下面。当$f(Z)$较大时，$Z$的等周比以高概率远离零有界。这些结果依赖于一方面的互补定理，它提供了一个精确的分解分布的$Z$，另一方面在几个几何估计有关的近似多面体多面体与较少的方面。从$f(Z)$的分布的渐近性，尾部估计为所谓的$Φ$内容的$Z$的推导以及结果的条件分布的$Z$时，其$Φ$内容是大的。
2016-08-29 math.MG math.PR
A general study of extremes of stationary tessellations with applications
设$\mathfrak{m}$是在有界Borel子集$W$中观察到的$\mathbf{R}^d$中的随机镶嵌，并且$f(\cdot)$是定义在凸体集合上的可测函数。对于$\mathfrak{m}$的每个细胞$C$，我们将点$z(C)$与$C$的核相关联。将$f(\cdot)$应用于$\mathfrak{m}$的所有细胞，当$ρ$趋于无穷大时，我们研究了$f(C)$在所有细胞$C\in\mathfrak{m}$上的顺序统计量，其中细胞核在$\mathbf{W}_ρ=ρ^{1/d}W$中。在强混合性质和$\mathfrak{m}$和$f(\cdot)$上的局部条件下，我们给出了一个一般定理，该定理将顺序统计量的研究归结为随机变量$f(\mathscr{C})$，其中$\mathscr{C}$是$\mathfrak{m}$的典型胞元.证明推导出一个泊松近似依赖图通过陈斯坦方法。本文证明了点过程$\left\{(ρ^{-1/d}z(C), a_ρ^{-1}(f(C)-b_ρ)), C\in\mathfrak{m}, z(C)\in \mathbf{W}_ρ\right\}$（其中$a_ρ>0$和$b_ρ$是依赖于$ρ$的两个合适的函数）收敛于非齐次Poisson点过程.在Poisson-Voronoi和Poisson-Delaunay镶嵌的特定设置和不同的功能$f(\cdot)$，如内径，…
2013-10-21 math.PR
On Angles in Higher Order Brillouin Tessellations and Related Tilings in the Plane
研究平面中局部有限集合的高阶 Brillouin 镶嵌及相关铺砌的角度单调性，证明平稳 Poisson 点过程下各类镶嵌的角度分布独立于阶数。
2022-04-03 cs.CG math.CO math.MG
Almost Sure Central Limit Theorems in Stochastic Geometry
我们证明了一个几乎必然的中心极限定理的泊松空间，这是完全适合于稳定的泛函出现在随机几何。因此，我们给出了$(i)$（$k$ -最近邻随机图的总边长）、$(ii)$（随机几何图的团数）、$(iii)$（通过Poisson-Voronoi镶嵌逼近的集合体积）的几乎必然中心极限定理.
2019-12-13 math.PR
Minimax Rates for High-Dimensional Random Tessellation Forests
本文证明一大类采用一般分裂方向的随机森林（包括 STIT forests 和 Poisson 超平面镶嵌导出的森林）在任意维度上都能达到极小极大最优收敛速率，首次表明斜向分裂随机森林变体具有极小极大最优性。
2023-10-29 math.PR math.ST stat.ML
Extreme Distance Distributions of Poisson Voronoi Cells
针对齐次 Poisson Voronoi 镶嵌中生成点到顶点的最小、最大距离，本文用 $10^8$ 个单元仿真并比较多种分布拟合，证明 Generalized Gamma 最优并给出参数估计与算法。
2024-05-12 cs.NA math.NA math.PR
New perspective on sampling-based motion planning via random geometric graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
在没有障碍物的情况下，许多基于采样的运动规划器构建的路线图与随机几何图（RGG）的标准模型一致。这些模型已经被研究了几十年，到目前为止，已经有大量的文献分析了RGG的各种属性和类型。Karaman和Frazzoli（2011）在他们关于最优运动规划的开创性工作中指出，如果底层RGG也具有此属性，则基于采样的规划器具有特定属性。在本文中，我们解决这个猜想，并利用它的发展的一般框架分析抽样为基础的规划。我们的框架，我们称之为本地化，镶嵌，可以很容易地转移的RGG参数从自由单位超立方体的空间穿孔的障碍，这是几何和拓扑更复杂。我们证明了它的力量，提供替代和（可以说）简单的证明概率的完整性和渐近（近）最优的概率路线图（PRM）。此外，我们介绍了几个变种的PRM，分析他们使用我们的框架，并讨论了分析的影响。
2016-02-17 cs.CG cs.RO math.PR
