On the low-rank approach for semidefinite programs arising in synchronization and community detection
为了解决困难的最优化问题，基于半定规划的凸松弛算法在许多领域都很常见。虽然可以在多项式时间内求解，但大型半定程序往往在计算上具有挑战性。十多年前，利用在许多感兴趣的应用中所需的解决方案是低秩的这一事实，Burer和Monteiro提出了一种启发式算法，通过将搜索空间限制在低秩矩阵来解决这种半定规划。伴随的理论并不能解释实证成功的程度。我们专注于同步和社区检测问题，并提供理论保证，揭示这种启发式的显着效率。
2016-05-27 math.OC
Complexity of the positive semidefinite matrix completion problem with a rank constraint
本文研究了对角为全一的部分有理对称矩阵能否完备为秩至多为$k$的完全正半定矩阵的判定问题。我们证明了这个问题是$\NP$ -困难的任何固定整数$k\ge 2$。等价地，对于$k\ge 2$，在秩约束椭圆形$\EE_k(G)$中测试隶属度是$\NP$ -困难的，即，在$G$的边上指定了非对角元素的所有部分矩阵的集合，它可以被补充为秩至多为$k$的正半定矩阵。此外，我们表明，决定成员在凸包的$\EE_k(G)$也$\NP$ -硬的任何固定整数$k\ge 2$。
2012-09-18 math.OC
Chordal Decomposition in Rank Minimized Semidefinite Programs with Applications to Subspace Clustering
半定规划（SDP）经常出现在一些NP难问题的松弛中，如果SDP的解服从一定的秩约束，则松弛将是紧的。基于弦稀疏性的分解方法已经被应用于加速稀疏SDP的求解，但是处理秩约束的方法还不发达。本文利用最小秩完备化结果将单个大矩阵上的秩约束分解为一组较小矩阵上的多个秩约束。重新加权的启发式算法被用作排名的代理，并且启发式算法的特定形式保留了迭代之间的稀疏模式。讨论了秩最小化SDP的邻域点算法和一阶算法的实现。子空间聚类的问题被用来证明所提出的方法的计算改进。
2019-11-12 math.OC
Correlation matrices, Clifford algebras, and completely positive semidefinite rank
我们引入了相关阵的矩阵值Gram分解的概念，其研究的动机是量子信息论。我们表明，对于极值相关性，在这样的分解矩阵生成Clifford代数，因此，它们的大小是指数的秩的相关阵。利用这一点，我们给出了最近在文献中推导出的具有亚指数cpsd秩的完全正半定矩阵存在性的独立且简洁的证明。这一事实也支持和推广了Tsirelson关于产生极端量子关联所必需的量子系统的局部维度的开创性下界。
2018-09-28 math.OC
Sequential constant rank constraint qualifications for nonlinear semidefinite programming with applications
对非线性半定规划提出了新的约束规格条件，推广了非线性规划中的常秩型条件。作为这些条件的应用，我们在不假设Lagrange乘子唯一性和Lagrange乘子集有界的情况下，给出了一类算法到平稳点的整体收敛的统一证明.这类算法包括，例如，一般形式的增广拉格朗日，序列二次规划，和内点方法。我们还比较了这些新的条件与一些现有的，包括非退化条件，罗宾逊的约束规格，和度量次正则性约束规格。
2021-06-07 math.OC
A Low-Rank Coordinate-Descent Algorithm for Semidefinite Programming Relaxations of Optimal Power Flow
交流最优潮流（ACOPF）是最著名的非凸非线性优化问题之一。我们提出了一种新的重新制定的ACOPF，这是基于提升的矩形功率电压等级约束的制定，并使之有可能获得替代SDP松弛。针对这些问题，我们提出了一种基于平行坐标下降的一阶方法，该方法具有基于三次多项式根的新的封闭形式步骤。
2016-10-16 math.OC
A Low-Rank Rounding Heuristic for Semidefinite Relaxation of Hydro Unit Commitment Problems
水电机组组合是指在满足短期水库运行约束和长期目标的前提下，在多个水电站的日常运行中，使水资源利用效率最大化，同时使启动成本最小化的问题。一个低秩舍入启发式半定松弛的混合整数二次约束制定这个问题。除了水库和发电机运行的限制，传输约束表示的近似交流潮流模型。在我们提出的方法中，数学规划等价地制定为QCQP问题解决的凸松弛的基础上半定规划，其次是MILP解决方案的未定义的机组承诺时间表。最后，一个降秩过程。所提出的启发式的有效性进行比较，分支定界的解决方案，不同大小的发电和输电系统的数值案例研究。
2017-11-16 math.OC
Exploring chordal sparsity in semidefinite programming with sparse plus low-rank data matrices
Institute of Operations Research and Analytics, National University of Singapore（新加坡国立大学运筹学与分析研究所）；Department of Mathematics, and Institute of Operations Research and Analytics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系及运筹学与分析研究所）
针对高维半定规划（SDP）求解难的问题，本文研究系数矩阵为稀疏加低秩（SPLR）结构的SDP问题，提出将其转化为有界树宽稀疏SDP的统一框架，并推导了最坏情况下紧的秩界。
2026-10-21 math.OC
Exploiting Low-Rank Structure in Semidefinite Programming by Approximate Operator Splitting
与许多其他凸优化类相比，最先进的半定规划求解器还不能有效地解决大规模的情况。这项工作的目的是减少这种可扩展性的差距，提出了一种新的近似算法解决一般半定规划问题。所提出的方法，基于原始-对偶混合梯度法，允许存在的线性不等式，而不需要添加额外的松弛变量，并避免在每次迭代求解一个线性系。更重要的是，它同时计算与线性约束相关的对偶变量。这项工作的主要贡献是通过有效地调整所提出的算法，以利用几个半定规划问题固有的低秩属性，以实现大幅加速。这种修改是允许算子分裂方法有效地扩展到更大实例的关键因素。收敛性的保证，以及一个直观的解释算法。此外，一个开源的半定规划求解器，称为ProxSDP，提供和实施细节进行了讨论。案例研究，以评估所提出的方法的性能。
2018-12-19 math.OC
Low-rank optimization for semidefinite convex problems
本文提出了一个求解以正半定矩阵变量$X$定义的非线性凸规划的算法。该算法依赖于因子分解$X=Y Y^T$，其中Y的列数固定$X$的秩。因此，它是非常有效的解决方案，有一个低秩的解决方案。因子分解$X=Y Y^T$唤起了一个重新制定的原始问题作为一个特定的商流形上的优化。本文讨论了该流形的几何性质，并导出了一种二阶最优化方法。此外，它提供了一些条件的秩的因式分解，以确保等价于原问题。该算法的效率被证明在两个应用：一个图的最大割和稀疏主成分分析问题。
2008-07-28 math.OC
Efficient Rank Minimization to Tighten Semidefinite Programming for Unconstrained Binary Quadratic Optimization
本文提出了一种低秩半定规划方法，并将其应用于无约束二元二次问题的半定松弛。该方法改进了半定规划松弛问题的现有解，得到了较低秩的解。该方法不需要在正半定矩阵的锥上进行投影，因而计算效率高。它的性能方面的目标改进和降秩测试多个图的大规模Gset图集合和二进制最优化问题从Biq Mac集合。
2017-08-05 cs.CC math.OC
Lower bounds on matrix factorization ranks via noncommutative polynomial optimization
我们使用的技术（跟踪非交换）多项式优化，制定层次的半定规划下界矩阵分解秩。特别地，我们考虑非负秩，半正定秩，以及它们的对称类似物：完全正秩和完全半正定秩。我们研究了层次结构的收敛性，将它们与已知的下界进行了广泛的比较，并提供了一些（数值）示例。
2018-11-05 math.OC
Positive semidefinite rank and nested spectrahedra
给定半正定秩的矩阵的集合是半代数的。在本文中，我们研究这个集合的几何，并在小的情况下，我们描述它的边界。对于一般值的半正定秩，我们提供了一个猜想的描述这个边界。我们的证明技术是几何的性质，并依赖于嵌套多面体之间的光谱。
2017-01-10 math.AG math.OC
An inexact proximal DC algorithm with sieving strategy for rank constrained least squares semidefinite programming
本文考虑了用于数据降维（DR）的有监督距离保持投影（SDPP）的最优化问题，该问题等价于秩约束最小二乘半定规划（RCLSSDP）。为了克服秩约束带来的困难，采用凸差分正则化策略，将RCLSSDP转化为一系列带DC正则化的最小二乘半定规划（DCLSSDP）.提出了一种带筛选策略的非精确邻近DC算法（s-iPDCA）求解DCLSSDP，其子问题采用加速块坐标下降法（ABCD）求解.收敛性分析表明，生成的s-iPDCA序列全局收敛于相应DC问题的平稳点.通过对COIL-20数据库的DR实验，将s-iPDCA算法与经典的邻近DC算法（PDCA）和PDCA外推算法（PDCAe）进行了比较，结果表明，s-iPDCA算法在求解效率上优于PDCA和PDCAe算法.在ORL数据库和YaleB数据库上进行的DR人脸识别实验表明，秩约束核SDPP（RCKSDPP）与核半定SDPP（KSSDPP）和核主成分分析（KPCA）的识别率相比，具有较好的识别效果。
2021-05-26 math.OC
Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming
常秩约束规格是Janin在1984年为非线性规划引入的，它已被广泛地用于灵敏度分析、一阶和二阶算法的整体收敛以及计算值函数的导数。本文基于近似Karush Kuhn-Tucker最优性最优性条件和约简方法的应用，讨论了二阶锥规划和半定规划的常秩型约束规格的朴素推广.我们的定义严格弱于Robinson的约束规格，并应用于增广拉格朗日算法的整体收敛。
2020-09-12 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
An equivalent nonlinear optimization model with triangular low-rank factorization for semidefinite programs
本文提出了一种新的求解半定最优化问题的非线性最优化模型，给出了局部最优解的一些性质.该模型基于Burer和Monteiro（2003）提出的另一个非线性最优化模型，但它具有一些现有模型所没有的优良特性。首先，该模型的决策变量是一个三角形低秩矩阵，因此其决策变量空间的维数较小。其次，在一定条件下，保证了所提出的模型存在严格的局部最优值，而现有的模型没有严格的局部最优值。换句话说，很难使用现有的模型构造具有快速收敛性的求解方法。一些数值结果也被提出来检验所提出的模型的效率。
2021-03-29 math.OC
A Decomposition Augmented Lagrangian Method for Low-rank Semidefinite Programming
我们开发了一种基于增广拉格朗日框架的分解方法来解决广泛的半定规划问题，可能与非线性目标函数，非光滑正则化，一般线性等式/不等式约束。特别地，半正定变量和一组线性约束可以通过矩阵分解转化为光滑流形上的变量。非光滑正则化和其他一般的线性约束由增广拉格朗日方法处理。因此，每个子问题都可以用流形上的半光滑牛顿法求解。理论上，我们证明了在一定条件下，分解子问题的一阶和二阶最优性必要条件最优性条件对于原子问题也是充分的。对黎曼子问题和增广拉格朗日方法进行了收敛性分析。大规模半定规划问题，如最大割，最近的相关估计，聚类和稀疏主成分分析广泛的数值实验表明，我们提出的方法相比，其他国家的最先进的方法的强度。
2023-03-07 math.OC
A Class of Semidefinite Programs with rank-one solutions
证明了一类半定规划（SDP）的解是秩至多为$r$的正半定矩阵，其中$r$是SDP的目标函数中所涉及的矩阵的秩.这类最优化问题是半定装箱问题，它类似于向量装箱问题的SDP。特别感兴趣的是，在这种情况下，我们的结果保证存在一个解决方案的秩1：我们表明，该解决方案的计算实际上减少到一个二阶锥计划（SOCP）。我们指出了一个应用统计，在最优设计的实验。
2010-11-25 math.CO math.OC
Computational complexity of decomposing a symmetric matrix as a sum of positive semidefinite and diagonal matrices
本文研究对称矩阵的低秩半正定加对角分解复杂性，证明常数秩情形可多项式求解，而一般及近似情形 NP-hard，且许多问题在实数一阶理论中完全。
2023-09-29 math.OC
First- and second-order optimality conditions for second-order cone and semidefinite programming under a constant rank condition
众所周知的常数秩约束规格[数学。程序。Study 21：110- 126，1984]最近通过利用问题的特征向量结构将Janin提出的非线性规划推广到圆锥曲线上。在本文中，我们提出了一个更一般和几何的方法来定义一个新的扩展这个条件的圆锥曲线的背景。我们的方法的主要优点是，我们能够重铸强二阶性质的恒定秩条件下的圆锥曲线的背景下。特别是，我们得到了一个二阶必要的最优性条件是强于经典的罗宾逊的约束规格下获得的，在这个意义上，它适用于每个拉格朗日乘子，即使我们的条件是独立的罗宾逊的条件。
2021-07-09 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
Positive semidefinite rank
设M是一个p × q矩阵，其元素为非负。M的半正定秩（psd秩）是存在大小为$k \times k$的正半定矩阵$A_i, B_j$使得$M_{ij} = \text{trace}(A_i B_j)$的最小整数k。psd秩有许多吸引人的几何解释，包括多面体的半定表示和信息论应用。在本文中，我们发展和调查psd秩的主要数学性质，包括它的几何形状，与其他秩概念的关系，以及计算和算法方面。
2014-07-15 cs.DM math.CO math.OC
Second-order optimality conditions for SDCMPCC and application to rank optimization problems
研究了半定锥补约束数学规划（SDCMPCC）的二阶最优性条件，首先利用投影算子在SDCC集上的二阶方向导数给出了SDCC集的二阶切集的一个精确刻画，然后在适当的次正则约束规格条件下，利用SDCC集的二阶正切集得到SDCMPCC的二阶充要条件.最后给出了半定秩正则化问题二阶最优性必要条件最优性条件的一个应用。
2019-11-24 math.OC
Support-based lower bounds for the positive semidefinite rank of a nonnegative matrix
非负$(m\times n)$ -矩阵$S$的半正定秩是使得存在半正定$(q\times q)$ -矩阵$q$，$B_1,\dots,B_n$使得$S(k,\ell) = \mbox{tr}(A_k^* B_\ell)$ .最重要的，非负秩的下界技术仅基于矩阵S的支持，即，零/非零模式。本文刻画了半正定秩的下界的幂，给出了仅基于支撑的幂的刻画。
2013-11-15 cs.DM math.CO math.OC
Decomposed Structured Subsets for Semidefinite and Sum-of-Squares Optimization
半定规划（SDP）是在控制和优化应用中经常发现的标准凸问题。内点方法可以在多项式时间内求解任意精度的SDP，但随着矩阵变量的大小和约束数量的增加，其扩展性很差。为了提高可伸缩性，可以通过使用结构化子集（例如，对角占优和比例对角占优矩阵）。同时，可以利用任何潜在的稀疏或对称结构来形成具有较小半正定约束的等效SDP。在本文中，我们提出了一个概念，分解的结构化子集}近似的SDP与结构化子集后的等价转换。通过转换后的近似找到的下/上界比通过直接近似原始SDP获得的界限更紧。我们将分解的结构子集应用于半定和平方和最优化问题，并以H-无穷范数估计和约束多项式优化为例。现有的基追踪方法适应到这个框架，迭代细化边界。
2021-07-27 cs.SY eess.SY math.OC
A Penalty Method for Rank Minimization Problems in Symmetric Matrices
最小化对称正半定矩阵的秩问题可以等价地转化为带互补约束的半定规划问题。该公式要求两个正半定矩阵互补。这是一个连续的和非凸的重新制定的秩最小化问题。我们研究了SDCMPCC方程的局部最优解的镇定性，从而证明了任何局部最优解都是KKT点。我们开发了一个惩罚制定的问题。我们提出了冷静的结果，局部最优解的处罚制定。我们还开发了一个近端交替线性化最小化（PALM）计划的惩罚制定，并调查纳入一个动量项的算法。计算结果。
2018-02-01 math.OC
Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank
本文主要在多面体的背景下，给出了非负矩阵半正定秩的各种最坏情况结果。本文证明了具有v个顶点的一般n维多胞形的psd秩至少比以前的下界提高了（n）^（1/4）。对于顶点数为v的多边形，我们证明了psd秩不能超过4ceil（v/6），这反过来又证明了秩为3的p × q矩阵的psd秩至多为4ceil（min{p，q}/6）。一般来说，秩为（k+1选2）的非负矩阵的psd秩至少为k，我们提出了一个问题，即psd秩是否正好为k。使用几何和限制量词消除，我们表明，这一决定可以在多项式时间时，k是固定的。
2014-05-30 math.CO math.OC
A lower bound on the positive semidefinite rank of convex bodies
凸体$C$的半正定秩是其最小半正定公式的大小。证明了任意凸体$C$的半正定秩至少为$\sqrt{\log d}$，其中$d$是在$C$的极边界上为零的多项式的最小次数.这改善了现有的界限，依赖于从量词消除的结果。证明依赖于应用于Karush-Kuhn-Tucker最优性条件的Bézout界。本文讨论了半定规划的代数次数的关系，并证明了对于适当维数的随机谱面，其上界是紧的（直到常数因子）。
2017-12-05 cs.CC cs.SC math.OC
A Semidefinite Representation for some Minimum Cardinality Problems
利用[Lasserre 02]中的技巧，我们证明了某些服从线性不等式的最小基数问题可以表示为半定规划的有限序列.特别地，我们给出了正半定矩阵上最小秩问题的半定表示。我们也使用这种技术铸造的问题，找到凸下界的目标作为一个半定的计划。
2003-02-27 math.OC
Rank conditions for exactness of semidefinite relaxations in polynomial optimization
LAAS-CNRS（法国国家科学研究中心拉兹实验室）；Toulouse School of Economics（图卢兹经济学院）
本文针对多项式优化中的Moment-SOS层级，提出一个基于矩矩阵秩的充分条件，保证截断K-矩问题有原子表示测度且层级有限收敛，并适用于受约束问题及恢复全局极小点。
2026-09-18 math.OC
Accelerating Low-Rank Factorization-Based Semidefinite Programming Algorithms on GPU
本文提出利用GPU加速基于低秩分解的一阶半定规划求解方法，以LoRADS为例开发的cuLoRADS在NVIDIA H100上仅需数秒至数分钟即可求解超大规模（如上亿维矩阵变量）的MaxCut和Matrix Completion问题，实现了前所未有的效率与可扩展性。
2024-08-24 math.OC
A Low-Rank ADMM Splitting Approach for Semidefinite Programming
提出基于ADMM和矩阵分裂的低秩半定规划求解器LoRADS，通过热启动和动态增秩策略显著提升效率，在超大规模问题上展现优异性能。
2024-07-26 math.OC
Bundle Method Sketching for Low Rank Semidefinite Programming
在本文中，我们表明，束方法可以适用于解决半定规划问题的低秩的解决方案，而不必构造一个完整的矩阵。为了实现这一点，我们使用最近的结果，从随机素描矩阵最优化问题和束方法的分析。在SDP的强对偶性和严格互补性下，算法产生的原始序列和对偶序列以$\tilde{O}(1/ε)$的速度收敛于可行性，以$\tilde{O}(1/ε^2)$的速度收敛于最优性.此外，我们的算法输出一个低秩表示其近似解的距离最多$\tilde{O}(1/ε^2)$ $\tilde{O}(1/ε^2)$迭代$O(\sqrtε)$的最优解。
2021-02-01 math.OC stat.ML
Graph Coloring and Semidefinite Rank
本文考虑半定规划，矩阵秩，图着色之间的相互作用。Karger，Motwani和Sudan \cite{KMS98}给出了一个向量程序，它可以将图的着色编码为低秩的半定矩阵。利用半定规划的互补松弛性条件，若最优对偶解具有充分高的秩，则最优原解必具有低秩。我们试图刻画图形，我们可以证明，相应的对偶最优解必须有足够高的秩。在原Karger，Motwani，和苏丹矢量程序的情况下，我们表明，任何图是一个$k$树有足够高的对偶秩，我们可以提取相应的低秩原始解决方案的着色。我们还可以证明，如果图不是唯一可着色的，则不存在足够高秩的对偶最优解。这使我们能够完全刻画可平面图的对偶最优解有足够高的对偶秩。然后，我们修改的半定规划有一个目标函数的成本，并探讨当我们可以创建一个成本函数的最佳对偶解有足够高的排名。我们表明，它总是可以构造这样的成本函数给定的图着色。的成本函数的建设产生了一个启发式的图形着色，我们表明，在可平面图的情况下工作良好。我们的研究是由Colin de Verdière图不变量\cite{CDV90}（以及Colin de Verdière的一个相应猜想）激发的，其中，在图是某种类型的情况下，与对偶可行矩阵具有某些相似性的矩阵必须具有高秩。我们探讨的猜想和对偶解的秩之间的联系。
2022-02-21 cs.DS math.OC
Solving Low-Rank Semidefinite Programs via Manifold Optimization
提出基于流形优化的低秩半定规划求解方法，结合非精确增广拉格朗日法和Burer-Monteiro分解，证明全局收敛性并发布开源求解器ManiSDP，实验显示其在效率、精度和可扩展性上显著优于现有先进求解器。
2025-04-29 math.OC
An Inexact Tensor-Train Primal-Dual Interior-Point Method for Semidefinite Programs
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
针对半定规划中解非低秩但可低张量列车秩近似的问题，介绍一种利用张量分解和原始对偶不可行内点框架的方法，实验表明该方法能处理大规模问题，有精度保证且张量列车秩适中，为相关问题求解提供新途径。
2026-07-15 math.OC
Low-rank semidefinite programming for the MAX2SAT problem
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Bosch Center for Artificial Intelligence（博世人工智能中心）
将搜索法与半定规划方法相结合，提出了一种求解MAX2SAT问题的新算法。半定规划技术是众所周知的近似最大可满足性问题的理论工具，但它们的应用传统上受到其速度和随机性的限制。我们的方法克服了这一困难，使用最近的低秩半定规划的方法，专门工作在一个增量的方式适合于使用在一个精确的搜索算法。该方法可以在完整或不完整的求解器中使用，并且我们在最近的比赛中演示了各种问题。我们的实验表明，该方法是更快（有时由数量级）比现有的国家的最先进的完整和不完整的解决方案，代表了一个实质性的进步，专门为MAX2SAT问题的搜索法。
2018-12-15 cs.AI math.OC
cuHALLaR: A GPU Accelerated Low-Rank Augmented Lagrangian Method for Large-Scale Semidefinite Programming
本文提出cuHALLaR，一种GPU加速的低秩增广拉格朗日方法，用于大规模半定规划，通过优化关键操作实现30-140倍加速，高效处理超大规模问题。
2025-10-24 math.OC
New Understandings and Computation on Augmented Lagrangian Methods for Low-Rank Semidefinite Programming
本研究针对低秩半定规划的ALM-BM方法理论认知不足的问题，开展严谨理论分析，证明相关子问题的结构性质与梯度下降全局收敛性，进而提出秩自适应方法ALORA，实现了数千万维度SDP的高效GPU求解。
2025-05-21 math.OC
Semidefinite Relaxations for Best Rank-1 Tensor Approximations
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究对称和非对称张量的最佳秩-1近似问题，提出基于平方和表示的半正定松弛方法，通过数值实验验证其在获取最佳秩-1近似中的实用性。
2014-05-28 cs.NA math.NA math.OC
Exploring the bounds on the positive semidefinite rank
非负和半正定（PSD-）秩与多面体的非负和半正定扩展复杂性密切相关，它们是表示该多面体的线性和SDP程序的最小维度。虽然最近已经证明了某些特殊多面体的松弛矩阵的非负秩和PSD秩的指数下界，但这些量仍然没有严格的界。我们探讨了PSD秩的一些现有的界限，并证明了它们不能给出扩展复杂度的指数下界。我们的方法包括在证明现有的界限是上界的多项式的正规秩的矩阵，这是等于维数的多面体（添加剂常数）。作为其中的一个含义，我们还检索上界的联合分布的任意矩阵的互信息，基于其正规秩。
2017-04-21 cs.CC math.CO math.OC
Optimization over Structured Subsets of Positive Semidefinite Matrices via Column Generation
IBM Research（IBM 研究部）
本文提出通过线性规划和二次锥规划近似正定矩阵锥的方法，利用列生成思想改进初始近似，并应用于非凸多项式优化和离散优化问题。
2016-03-11 cs.DM cs.SY eess.SY
Barrier and penalty methods for low-rank semidefinite programming with application to truss topology design
本文的目的是解决大型稀疏线性半定规划（SDP）的低秩解。我们提出了在二阶SDP算法中使用预条件共轭梯度法，并引入了一种新的有效的预条件充分利用低秩信息。我们证明了预条件是通用的，在这个意义上，它可以有效地使用在一个标准的邻域点算法，以及一个新开发的原始-对偶惩罚方法。数值实验证明了该方法的有效性，并给出了变维桁架拓扑最优化问题的算例。
2021-05-18 cs.NA math.NA math.OC
Rank-one Solutions for Homogeneous Linear Matrix Equations over the Positive Semidefinite Cone
University of Birmingham（伯明翰大学）；Kyoto University（京都大学）
针对正半定锥上齐次线性矩阵方程系统，利用同伦不变性和二次变换的P_∅性质，提出秩一解存在的充分条件，并通过半定规划高效求解解的上界。
2012-11-09 cs.NA math.NA math.OC
Grothendieck inequalities for semidefinite programs with rank constraint
Grothendieck不等式是数学和计算机科学中经常用到的基本不等式。它们可以被解释为两个最优化问题之间的完整性差距的上界：一个困难的半定规划秩-1约束和其容易的半定松弛的秩约束下降。例如，MAX CUT的Goemans-Williamson近似算法的完整性间隙可以被视为Grothendieck不等式。本文考虑秩大于1的Grothendieck不等式，并给出两个应用：统计力学中n-向量模型中基态的近似和量子信息论中异或博弈.
2012-05-04 cs.DS math.CO math.FA
Smoothed analysis for low-rank solutions to semidefinite programs in quadratic penalty form
TTI Chicago（芝加哥丰田理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）
半定规划在学习和组合优化中有着重要的应用。在追求低秩的解决方案和低复杂度的算法，我们考虑的Burer-Monteiro分解方法解决SDP。我们表明，所有近似的局部最优解是全局最优的适当秩约束的SDP的处罚制定，只要约束的数量规模与所需的秩的最优解的次二次方。我们的结果是基于一个简单的惩罚函数制定的秩约束SDP随着平滑的分析，以避免最坏情况下的成本矩阵。我们列举了我们的结果，两个应用程序，即最大割和矩阵完成。
2018-03-01 cs.LG math.OC stat.ML
Entropy Penalized Semidefinite Programming
半定规划（SDP）的低秩方法最近引起了人们的极大兴趣，特别是在机器学习应用中。它们的分析通常涉及基于行列式或Schatten范数的惩罚，由于计算量大，在实践中很难实现。在本文中，我们提出了熵罚半定规划（EP-SDP），它提供了一个统一的框架，广泛的罚函数在实践中使用，以促进低秩的解决方案。我们发现，EP-SDP问题允许有效的数值算法具有（几乎）线性时间复杂度的梯度迭代，这使得它适用于许多机器学习和最优化问题。我们说明了我们的方法在几个组合优化和机器学习问题的实际效率。
2019-08-01 math.OC
Rank-sensitive vertex bounds for semidefinite lifts
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文研究半定松弛分解中因子秩对分解大小的约束，给出置换多面体和正多边形的渐近最小分解阶，并证明秩至多四的多胞形顶点数上界为十二。
2026-10-22 math.CO math.OC
Multichannel Frequency Estimation with Constant Amplitude via Convex Structured Low-Rank Approximation
针对恒幅复正弦波的多通道频率估计问题，提出一种利用恒幅特性的凸结构化低秩逼近方法SACA，通过半定规划实现原子范数最小化，理论分析与仿真验证了其优势。
2024-04-20 math.OC
Solving clustered low-rank semidefinite programs arising from polynomial optimization
针对源自多项式优化的聚类低秩半定规划高精度求解需求，提出结合采样、对称性约简与贪心基选取的专用原-对偶内点法，在接吻数界计算等问题上实现加速且对病态问题表现良好。
2025-02-21 math.MG math.OC
A relaxed interior point method for low-rank semidefinite programming problems with applications to matrix completion
本文提出了求解低秩半定规划问题的一种新的松弛型内点方法。该方法是通常的内点框架之外的一个步骤。为了使原迭代收敛于低秩原解，对原迭代赋予了一种特殊的近似低秩形式。为了适应这样的（限制性）结构，一阶最优性条件必须放松，因此近似通过求解辅助最小二乘问题。放松的内点框架打开了许多可能性如何原始和对偶近似牛顿方向可以计算。特别是，它承认在这方面的应用程序的第一和第二阶的方法。证明了该方法的收敛性。一个原型的实施进行了讨论，并报告了令人鼓舞的初步计算结果，为解决的SDP-重新制定的矩阵完成问题。
2021-03-25 cs.NA math.NA math.OC
Low-Rank Extragradient Methods for Scalable Semidefinite Optimization
Faculty of Data and Decision Sciences, Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院数据与决策科学学院）
本文研究高维半定优化问题，提出在低秩解假设下，初始化于最优解附近的Extragradient方法仅需低秩SVD即可保证标准收敛率，并通过Max-Cut数据集验证了其有效性。
2025-04-07 cs.LG math.OC
Uniqueness of size-2 positive semidefinite matrix factorizations
UC Davis（加州大学戴维斯分校）；San Francisco State University（旧金山州立大学）；Aalto University（阿尔托大学）
该研究利用刚性理论，刻画了特定正矩阵的2阶半正定分解的唯一性，关联了无穷小刚性与全局刚性，并证明了该类正矩阵需满足的边界条件。
2026-09-01 math.MG math.OC
