Stable rationality of quadric surface bundles over surfaces
Brendan Hassett, Alena Pirutka, Yuri Tschinkel
研究了射影平面上二次曲面丛的有理性。我们展示了家庭的顺利投射复杂的四倍，这种类型的连接基地，包含合理和非合理的纤维。
We study rationality properties of quadric surface bundles over the projective plane. We exhibit families of smooth projective complex fourfolds of this type over connected bases, containing both rational and non-rational fibers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rationality of even-dimensional intersections of two real quadrics
研究了非闭域上两个二次曲面光滑完全交的有理性构造。在实数上，我们建立了四维合理性的判据。
Rationality of complete intersections of two quadrics
研究了二次曲面光滑完全交的合理性问题。我们专注于三维的情况下，为了了解不变量的合理性的几何合理的三倍在一个非封闭的领域。
Quadric surface bundles over surfaces and stable rationality
证明了有理曲面上一类广泛的二次曲面丛的稳定无理性的一般特化定理。作为应用，我们解决了除两种情况外，任何非常一般的复射影二次曲面丛在射影平面上的稳定合理性问题，由一个对称矩阵的齐次多项式。这两个例外退化的平面六次曲线和相应的双重覆盖是一个K3曲面。
Double covers of smooth quadric threefolds with Artin-Mumford obstructions to rationality
本文分类了作为光滑二次三重流形双重覆盖且具有 Artin-Mumford 有理性障碍的节点 Fano 三重流形，证明其属于三个明确描述的族，其中两个族为首次发现。
Symmetric correspondences on quadrics
本文证明了Alexander Vishik引入的定义在正交Grassmannian上的一些初等代数圈的合理性与定义在相应二次曲面的纤维积上的一些代数圈的合理性的比较结果。
On the rationality of quadric surface bundles
本文证明了 $\mathbb P^2$ 上任意标准二次曲面丛的有理纤维轨迹在模空间中稠密。
On the rationality problem for quadric bundles
我们对所有的正整数n和r进行分类，使得在有理n重上存在（稳定）非有理复r重二次丛.特别地，我们证明了对于任意的n和r，当r位于从$2^{n-1}-1$到$2^{n}-2$的区间内时，n-射影空间上的一类光滑r-重二次丛是不稳定有理的.在我们的证明中，我们介绍了一个推广的专门化方法的Voisin和Colliot-Thélène-Pirutka，它避免了普遍$CH_0$平凡决议的奇异性。
Stable rationality of quadric and cubic surface bundle fourfolds
本文从0-圈Chow群退化方法的角度研究了曲面上二次和三次曲面丛的稳定合理性问题。我们的主要结果是：在P^2 × P^3中，一个非常一般的二次（2，3）超曲面X不是稳定有理的。通过在这两个因子上的投影，X是P^2上的三次曲面丛和P^3上的圆锥丛，我们从这两个角度分析了稳定合理性问题。这提供了具有有理和非有理纤维的有理连通四重的光滑族的另一个例子。最后，我们引入了P^2上的新的四重二次曲面丛，它的判别曲线为任意偶数次，且具有非平凡的非分歧Brauer群，并允许一个普遍的CH 0-平凡分解。
On the unirationality of quadric bundles
本文证明了数域上的一般$n$ -fold二次丛$\mathcal{Q}^{n-1}\rightarrow\mathbb{P}^{1}$，具有$(-K_{\mathcal{Q}^{n-1}})^n > 0$和奇次判别式$δ_{\mathcal{Q}^{n-1}}$是单有理的，并且证明了任意无限域上的二次丛也是单有理的，只要$\mathcal{Q}^{n-1}$有点，否则是一般的且是$n\leq 5$ .由此得到了代数闭域上一般$n$ -重二次丛$\mathcal{Q}^{h}\rightarrow\mathbb{P}^{n-h}$与奇次$δ_{\mathcal{Q}^{h}}\leq 3h+4$判别式的单理性，以及任意光滑$4$ -重二次丛$\mathcal{Q}^{2}\rightarrow\mathbb{P}^{2}$与$δ_{\mathcal{Q}^{2}}\leq 12$的单理性.
Fibrations in complete intersections of quadrics, Clifford algebras, derived categories, and rationality problems
设X -> Y是一个纤维化，其纤维是两个二次曲面的完全相交。我们发展了新的范畴和代数工具-偶Clifford代数在双曲分裂二次约化下的相对同调投射对偶理论和Morita不变性-来研究X的有界导出范畴的半正交分解.结合二次型理论中的新结果，我们将这些工具应用于X -> Y的相对维数为1、2或3的情况，在这种情况下，纤维分别是亏格为1的曲线、度为4的Del Pezzo曲面或Fano三重曲面。在后两种情况下，如果Y是特征为零的代数闭域上的投影线，我们将合理性问题与X的范畴可表示性联系起来。
Equivariant geometry of odd-dimensional complete intersections of two quadrics
固定有限群$G$。我们试图分类品种与$G$ -行动等变双有理的表示$G$仿射或射影空间。我们的重点是奇维光滑完全相交的两个二次曲面，有关的等变合理性问题与类似的丢番图问题在非封闭的领域。我们探讨如何不变量-古典上同调不变量和最近的符号结构-在某些情况下控制理性。
Symmetric locally free resolutions and rationality problems
我们证明了$\mathbb{P}^2$上二次曲面丛的双合理性类是由其相关的上核层决定的。作为应用，我们讨论了$\mathbb{P}^2$上非常一般的二次丛的稳定合理性，并给出了其固定次数的判别曲线。特别是，我们构建明确的模型，这些束的一些判别数据。除其他外，我们得到各种双有理数模型的节点Gushel-Mukai四倍，以及立方四倍包含一个平面。最后证明了几类二次曲面丛的稳定无理性。
Weak weak approximation for certain quadric surface bundles
研究 $\mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^2$ 中一类双二次四维簇在远离有限位集合时的弱逼近问题，部分情形涉及 Hassett--Pirutka--Tschinkel 的近期工作。
Intersections of three quadrics in $\mathbb{P}^7$
研究了$\mathbb{P}^7$中三种二次曲面光滑完全交的有理性。我们展示了一个光滑的家庭，这样的交点与理性和非理性的纤维。
A two-dimensional rationality problem and intersections of two quadrics
设$k$是一个带有字符$k\neq 2$的域，并且$k$不是代数闭的。设$a\in k\setminus k^2$和$L=k(\sqrt{a})(x,y)$是$k$的域扩张，其中$x,y$在$k$上代数独立.假设$σ$是由\[ σ: \sqrt{a}\mapsto -\sqrt{a},\ x\mapsto \frac{b}{x},\ y\mapsto \frac{c(x+\frac{b}{x})+d}{y} \]定义的$L$上的$k$ -自同构，其中$b,c,d \in k$、$b\neq 0$和至少一个$c,d$是非零的。设$L^{\langleσ\rangle}=\{u\in L:σ(u)=u\}$为$L$的固定子字段。我们证明了$L^{\langleσ\rangle}$同构于$P^4_k$中某个曲面的函数场，该曲面是两个二次曲面的交。利用Hilbert符号给出了$L^{\langleσ\rangle}$的$k$ -合理性的判别准则.作为本文的附录，我们还给出了J. - L. Colliot-Thélène。
Models of quadric surface bundles
本文建立了具有指定的étale局部形式的二次曲面丛模型的存在性。
Rationality of cycles modulo 2 on products of generically smooth quadrics in characteristic 2
本文在特征2下研究一般光滑二次曲面乘积上模2的有理循环，扩展了Karpenko等人关于非退化二次型的研究方法，并探讨了退化二次型的应用与开放问题。
Monads and Rank Three Vector Bundles on Quadrics
本文通过研究二次超曲面\Q_n（n>3）上的秩为3的无“内”上同调向量丛的单子，给出了其分类。
Birational geometry of quadrics in characteristic 2
特征为2的圆锥丛或二次丛可以有在基簇的函数域上任何地方都不光滑的泛纤维。在这种情况下，一般纤维称为拟线性二次曲面。我们解决了拟线性二次曲面的双有理几何的一些主要问题。首先，如果有一个有理映射从一个拟线性二次曲面到另一个相同维数的二次曲面，也有一个映射回来，那么这两个二次曲面是双有理的。接下来，我们确定哪些拟线性二次型是直纹的，也就是说，在基域上双有理的一些品种与投影线的产品。这两种说法都适用于具有任何特征的二次曲面。证明开始于将Karpenko和Merkurjev关于二次曲面本质维数的定理推广到特征2的任意二次曲面（光滑或不光滑）。
Monads and Vector Bundles on Quadrics
本文改进了二次超曲面上向量丛的Ottaviani分裂准则，得到了Rao，Mohan Kumar和Peterson结果的等价结果.然后给出了Q_n（n>3）上无“内”上同调的秩2丛的分类。令人惊讶的是，它与Ancona，Peternell和Wisniewski对秩2 Fano丛的分类完全一致。
Nef vector bundles on a quadric surface with first Chern class $(2,2)$
本研究针对特征零代数闭域上光滑二次曲面，完成了第一陈类为$(2,2)$的nef向量丛的分类工作，填补了相关代数几何研究的内容。
Arithmetic and birational properties of linear spaces on intersections of two quadrics
该文研究非闭域上两二次曲面光滑交线的线性空间Fano概形有理性，通过二次曲面束双曲约化证明其与对称幂双有理等价，给出不同维数下的有理性结论及实数域判别准则，推广了前人结果。
Identifying quadric bundle structures on complex projective varieties
本文利用某些有理曲线族的几何性质，刻画了在稠密开子集上具有二次丛结构的光滑复射影簇。
Quadric bundles and their moduli spaces
紧黎曼曲面X上的二次丛推广了正交丛，并且在研究$π_1(X)$在Sp（2n，R）中的表示的模空间时自然出现。本文证明了X上任意秩的二次丛的模空间的一些基本结果，并在秩为2的情况下考察了更深层次的结果。
Rank-two weak Fano bundles on a four-dimensional quadric hypersurface $Q^4$
本文对四维二次超曲面Q^4上的秩2弱法诺丛分类，经线丛扭转后这类丛分为三类，含文献[APW94]构造的特定稳定丛。
Quadric surface bundles over surfaces
设T -> S是维数至多为2（且2可逆）的正则整概形之间的二次有限平坦态射，具有正则分支因子D.建立了T上Azumaya四元数代数与S上沿D单退化的二次曲面丛之间的一个双射。这是例外同构A_1^2 = D_2退化为例外同构A_1 = B_1的一种表现。在一个方向上，偶Clifford代数产生映射。在另一个方向上，我们证明了经典的代数范数函子可以唯一地扩展到判别因子上。在此基础上，我们研究了具有简单退化的二次型的光滑非约的正交群格式。最后，我们提供了两个令人惊讶的应用：构建反例的局部-全局原则的各向同性，相对于离散赋值，表面上的二次型;和一个新的证明的全球Torelli定理非常一般的立方fourfolds包含一个平面。
Globally generated vector bundles on a smooth quadric surface
利用$c_1\le (2,2)$给出了光滑二次曲面上秩$2$的整体生成向量丛的分类，并将结果推广到任意高阶情形.研究了它们的不可分解性，给出了数值型向量丛不可分解的充必要条件。
The rationality of the moduli space of two-pointed ineffective spin hyperelliptic curves
利用三重二次曲面的几何性质，证明了亏格g无效自旋的两点超椭圆曲线的粗模空间对每个$g \geq 2$都是有理簇.
On higher rank globally generated vector bundles over a smooth quadric threefold
本文利用$c_1\leq 2$给出了三重光滑二次曲面上秩为3的整体生成向量丛的完全分类，并将结果推广到任意高阶情形。我们还研究了整体生成的不可分解向量丛的存在性，并给出了数值型向量丛不可分解的充必要条件。
Residual categories of quadric surface bundles
证明了二次曲面丛的剩余范畴在下列假设下等价于某些概型的（扭曲）导出范畴。情形1：二次曲面丛具有光滑截面。情况2：二次曲面束的全空间是光滑的，并且底面是光滑的表面。我们提供了两个证明的情况1描述的计划作为双曲约化和作为一个子计划的相对希尔伯特计划的线，分别。在情形2中，扭曲格式通过对相对的希尔伯特线格式进行双有理变换而得到。最后，我们将结果应用到某些完全相交的二次曲面。
Globally generated vector bundles of rank 2 on a smooth quadric threefold
研究了三重光滑二次曲面上用$c_1\leq 3$整体生成的秩为2的向量丛的存在性，并确定了它们的Chern类.作为一个自动的结果，每个秩为2的全局生成的向量丛在$Q$上具有$c_1=3$是一个奇瞬子直到扭曲。
Motives of quadric bundles
本文是关于二次丛的基模的。在奇维纤维的情况下，当基是二维时，我们给出了一个显式的相对和绝对Chow-Künneth分解。这表明二次丛的模同构于基的模与判别式的双覆盖的Prym模的直和。特别是这是一个细化与$\mathbb Q$系数的结果Beauville有关的上同调和周群的奇数维二次丛上$\mathbb P^2$。这个Chow-Künneth分解满足Murre的分解II和III。本文是Nagel和Saito关于锥丛\cite{NS}的一篇文章的推广。
Stability of Quadric bundles
设$(E,φ)$是光滑射影曲线$X$上的$(a,b,c,N)$型装饰向量丛.对于这样的物体有一个合适的半稳定性条件，对于$E$的任何加权过滤都必须检查该条件。我们证明，至少当$a=2$，这是足够的，以考虑过滤的长度小于或等于2。在这种情况下，装饰丛非常接近二次丛，为了检验半稳定性条件，可以只考虑前者。对于L-扭丛和二次丛，已经证明了类似的结果。我们的证明提供了一个明确的算法，它需要一个不稳定的过滤，并确保不稳定的subfiltration的长度最多为2。二次丛可以被认为是正交丛的推广。我们证明了装饰丛的简化半稳定性条件与通常的正交丛的半稳定性条件是一致的。最后，我们注意到我们的证明可以很容易地推广到节点曲线上的修饰向量丛。
Algebraic vector bundles on punctured affine spaces and smooth quadrics
我们构造了在打孔仿射空间上的非同构代数向量丛的例子，并将其同构拉回到光滑二次曲面上。
Characteristic classes and quadric bundles
通过分析相关二次丛的交理论，构造了具有二次型的向量丛的Euler类和Stiefel-Whitney类。我们还计算了二次和迷向旗丛的Chow环。在此基础上，我们证明了Fulton关于偶数秩二次向量丛的极大迷向子丛的顶Chern类的一个猜想。
Ulrich bundles on intersections of two quadrics
本文在两个二次曲面光滑交线上构造Ulrich丛，确定所有可能秩并证明每个允许秩下存在不可分解丛，首次为任意大维数非齐次簇族提供此类构造，并证明Eisenbud-Schreyer猜想。
Stable rationality and conic bundles
研究了有理曲面上锥丛的稳定有理性。
Quadric bundles applied to non-maximal Higgs bundles
本文综述了紧致黎曼曲面X上秩为2的二次丛的模空间。这些是对象的推广正交束和自然发生的研究的模空间的希格斯包在X上的真正的辛群Sp（4，R），与非最大的托莱多不变的组件。因此它们也与$π_1(X)$在Sp（4，R）中表示的模空间有关。我们详细解释了这个动机。
Ulrich bundles on intersections of two 4-dimensional quadrics
本文用两种完全不同的方法研究了$\mathbb P^5$中两个$4$维二次曲面的光滑完全交上Ulrich丛的存在性。首先，我们找到好的ACM曲线，并利用Serre对应构造Ulrich丛，这类似于Casanellas-Hartshorne-Geiss-Schreyer在三次三重上的构造。其次，我们利用相干层的导出范畴的Bondal-Orlov半正交分解来分析Ulrich丛。利用这些方法，我们证明了在$\mathbb P^5$中两个4维二次曲面的光滑交对每个$r \ge 2$都有秩为$r$的Ulrich丛.此外，我们还给出了稳定Ulrich丛的模空间的一个刻画。
Extensions of vector bundles and rationality of certain moduli spaces of stable bundles
本文证明了某些稳定的秩3向量丛可以写成线丛和稳定的秩2丛的扩张。作为应用，我们证明了射影平面P^2上稳定秩3丛的某些模空间的合理性。
Qregularity and an Extension of Evans-Griffiths Criterion to Vector Bundles on Quadrics
本文定义了二次曲面上凝聚层的Q正则性概念。在这种情况下，我们证明类似的一些经典性质。我们比较了$\Q_n\subset \mathbb P^{n+1}$上相干层的Q正则性和$\mathbb P^{n+1}$上相干层零扩张的Castelnuovo-Mumford正则性。我们还用Q正则性$-\infty$对相干层进行了分类。本文利用我们的Q正则性概念证明了Evans-Griffiths准则在二次曲面上的向量丛上的推广。特别是，我们得到了一个新的和简单的证明Knörrer的特征的ACM丛。
Around rationality of cycles
本文证明了二次曲面的函数域上的代数圈与基域上的代数圈的合理性的比较结果。这些结果已经由Alexander Vishik在特征0的情况下证明，这使他能够使用代数配边理论。我们的证明使用的模2 Steenrod操作在周理论和工作在任何特性不同于2。
Rationality Of the Locus Of Singularities Of the General Gough-Stewart Platform
我们证明了一般Gough Stewart平台的奇异位形集合具有合理的参数化。我们引入了一个倒易扭曲映射，对于平台的一般方向，实现了三次曲面的奇异性作为一个二次曲面在五个点的爆破。
Cubic symmetroids and vector bundles on a quadric surface
研究了光滑二次曲面$Q$上秩为2的稳定向量丛$\Ee$关于样本线丛$\Oo_Q(1,1)$的跳跃二次曲线，其中Chern类为$c_1=\Oo_Q(-1,-1)$和$c_2=4$.利用$\Ee$的上同调性质，描述了$\PP_3$中的三次对称曲面$\Ee$的跳跃二次曲线集.因此，我们证明了跳跃二次曲线的集合，$S(\Ee)$，唯一地确定$\Ee$。证明了这种向量丛的模空间是有理的。
A threefold violating a local-to-global principle for rationality
本文构造了一个在 $\mathbb Q$ 上非有理但在所有局部处均有理的光滑射影三维簇，通过在相关亏格 $2$ 曲线的 Jacobian 的 Tate--Shafarevich 群中构造阶为 $4$ 的显式元素证明其有理性。
Nef vector bundles on a quadric threefold with first Chern class two
本文分类了特征零代数闭域上三维光滑超二次簇上第一陈类为二的 nef 向量丛，并证明它们都是整体生成的。
Integral Hodge classes on fourfolds fiberd by quadric bundles
本文讨论了平滑曲线上二次曲面丛$X$的截面空间和某些对分空间。从这些空间到中间雅可比矩阵的阿贝尔-雅可比矩阵将被证明是有理连接纤维的优势。作为应用，我们证明了积分霍奇猜想对于在平滑曲线上由二次丛纤维化的四重四次积分霍奇类成立。这给出了Colliot-Th{é}l{é}ne和Voisin的一个结果的另一种证明。
Qregularity and tensor products of vector bundles on smooth quadric hypersurfaces
设$\Q_n \subset \mathbb P^{n+1}$是光滑二次超曲面。本文证明了$\Q_n$上的$m$ -Q正则层与$\Q_n$上的$l$ -Q正则向量丛的张量积是$(m+l)$ -Q正则的.
On Buchsbaum bundles on quadric hypersurfaces
设$E$是特征为零的代数闭域上射影空间$\PP^n, n \ge 3$上的不可分解秩二向量丛.众所周知，$E$是算术Buchsbaum当且仅当$n=3$和$E$是零相关丛。本文建立了光滑二次超曲面$Q_n\subset\PP^{n+1}$，$n\ge 3$上秩为2的不可分解算术Buchsbaum向量丛的一个类似结果.我们实际上给一个完整的分类，并证明$n$必须是最多5。对于$k$ -Buchsbaum秩为2的向量丛在$Q_3$，$k\ge2$上，我们证明了两个有界性结果.
On rationality of nonsingular threefolds with a pencil of Del Pezzo surfaces of degree 4
本文证明了$P^1$上两个纤维二次曲面的完全交的非奇异性准则。作为推论，我们得到以下除了Alexeev定理的合理性标准Del Pezzo纤维化的4度$P^1$：我们证明，任何纤维化的这种拓扑欧拉示性数-4是合理的。
Stable rationality of Brauer-Severi surface bundles
对于有理曲面上的充分线性系，我们证明了一个非常一般的关联Brauer-Severi曲面丛不是稳定有理的.
Topology of Quadric Bundles
本文首先利用一般正交群的分类空间的上同调环，刻画了非退化二次丛的上同调不变量。在此基础上，本文的主要定理确定了当二次丛在一个因子上退化时，这些不变量在Gysin边界映射下的行为。
Tropical degenerations and stable rationality
利用Shinder和第一作者提出的稳定有理性的动机障碍，建立了几类新的稳定无理超曲面和完备交。特别是，我们表明，非常一般的四次fivefolds和完全相交的二次和三次$\mathbb P^6$是稳定的不合理。一个重要的新成分是使用热带变性技术。
Horrocks Correspondence on a Quadric Surface
我们将射影平面上向量丛与上同调模之间的Horrocks对应推广到两条射影线的乘积上。引入了两条射影线的乘积上的向量丛的一组不变量，其中包含了向量丛的第一上同调模，并证明了这组不变量与无线丛和项的向量丛的同构类之间存在一一对应.
Rank $2$ quasiparabolic vector bundles on $\mathbb{P}^1$ and the variety of linear subspaces contained in two odd-dimensional quadrics
设N是射影直线上具有2g+1个标记点的定度稳定秩2拟抛物向量丛的模空间，其中g>1，稳定性是关于每个标记点的权{0，1/2}.本文证明了N同构于P^{2g}的（g-2）维线性子空间簇，它包含在两个二次曲面的交中。这个证明依赖于Bhosle关于P^1上的拟抛物向量丛与超椭圆曲线上的不变向量丛之间关系的工作，以及Bhosle和Ramanan对超椭圆曲线上稳定秩为2的向量丛的模空间的描述，其中奇次行列式是固定的.
D-affinity and Frobenius morphism on quadrics
我们计算了二次曲面上线丛的Frobenius推进分解为线丛与旋量丛的直和。作为一个应用，我们展示了当Frobenius推进给出一个倾斜丛时，我们将其应用于研究二次曲面上的D-模。
The rationality problem for conic bundles
本文研究具有锥丛结构的三维代数簇的合理性问题。我们讨论了这一理论的主要方法。我们概述了某些主要结果的证明，并提出了一些最近的成就。许多开放的问题也被提出。
On the rationality of some real threefolds
本文研究某些实三维二次曲面包络在实数域及更一般的实闭域上的有理性，通过未分枝上同调和birational刚性技术，得出正负结果及具体构造。
Around rationality of integral cycles
本文证明了二次曲面的函数域上的整代数圈与基域上的整代数圈的合理性比较的一个结果。这是已知系数模2的结果的积分版本。这些结果已经由Alexander Vishik在特征0的情况下证明，这使他能够使用代数配边理论。我们的证明使用的模2 Steenrod操作在周理论和工作在任何特性不同于2。
Characterizations of projective spaces and quadrics by strictly nef bundles
本文证明了：如果光滑射影簇的切丛是严格nef，则它同构于射影空间;如果射影簇$X^n$ $(n>4)$有严格nef $Λ^2 TX$，则它同构于$\mathbb{P}^n$或二次$\mathbb{Q}^n$ .证明了在椭圆曲线上，严格nef向量丛是充分的，而在亏格为$g\geq 2$的光滑曲线上，存在Hermitian平坦的严格nef向量丛.
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