Metric abstract elementary classes as accessible categories
我们证明了度量抽象初等类（mAEC）在[LR]（即arXiv：1404.2528）意义下是具有定向上极限、具有具体$\aleph_1$ -定向上极限和具体单态的一致可达范畴.更广泛地说，我们定义了一个概念的$κ$ -具体AEC--AEC类，其中只有$κ$ -定向colimits需要具体--和发展的理论，这样的类别，开始与一个范畴理论模拟谢拉的介绍定理和证明的存在的Escherichfeucht-Mostowski函子的情况下，类别是大的。特别是对于mAEC，[LR]中的参数精炼证明了任何范畴mAEC在许多低于范畴基数的基数中都是$μ$ -d-稳定的。
2017-03-29 math.CT math.LO
The dual fibration in elementary terms
给出了纤维化的对偶纤维化的一个初等构造。它不使用非初等概念的（伪）函子到范畴的范畴。
2015-01-08 math.CT
$μ$-Abstract Elementary Classes and other generalizations
我们介绍了$μ$ -抽象基本类（$μ$ -AEC）作为一个广泛的模型论，包括完整的布尔代数和狄利克雷级数，并开始发展他们的分类理论。此外，我们注意到，$μ$ -AEC精确地对应于所有态射都是单态射的可及范畴，并开始协调这些不同观点的过程：尤其是，μ-AEC的初步分类理论结果直接转移到具有单态射的可及范畴。
2016-02-11 math.CT math.LO
On Finitary Functors
给出了一个函子有限性的简单判据：如果对所有对象$X$，$FX$的每个有界生成子对象都通过$X$的有界生成子对象的$F$ -像进行因式分解，则称$F$有界.这等价于$F$对于“合理的”局部可表示范畴之间的所有函子都是有限的，只要$F$保持单态。我们还讨论了什么时候可以放弃最后一个假设的问题。答案是肯定的函子之间的范畴，如集，K-Vec（向量空间），布尔代数，以及任何有限群的行动，无论是对集或K-Vec域K的特征0。所有这些推广到局部$λ$ -可表示范畴、$λ$ -可达函子和$λ$ -可表示代数。作为应用，我们得到完全度量空间范畴上的Hausdorff函子是$\aleph_1$ -可达的一个简单证明.
2019-10-21 math.CT
Accessible categories, set theory, and model theory: an invitation
我们给出了一个自包含的介绍可访问的类别，以及它们如何阐明模型和集合论的问题。例如，我们调查最近的事态发展的研究presentability排名，一个概念的基数本地化到一个给定的类别，以及稳定的独立性，推广的推出和模型理论的分叉，可能会感兴趣的数学家在广大。我们给出了许多例子，包括最近发现的同伦理论和同调代数的连接。我们还讨论了具体版本的可访问类别（如抽象的基本类），以及它们如何允许非平凡的“元素的元素”的建设。我们的结论与饱和和齐次之间的等价性的一个新的证明，它不使用抽象的基本类的一致性公理。
2020-01-07 math.CT math.LO
A Theory of Elementary Higher Toposes
我们定义了一个基本的$\infty$ -拓扑，同时推广了一个基本的拓扑和Grothendieck $\infty$ -拓扑。然后我们证明了它满足预期的拓扑理论性质，如下降，局部笛卡尔闭包，局部性和分类的单叶态射，推广Lurie和Gepner-Kock的结果。我们还定义了$\infty$ -逻辑函子，证明了所得到的$\infty$ -范畴在极限和滤余极限下是闭的，推广了初等拓扑和Grothendieck $\infty$ -拓扑的类似结果.此外，我们还通过它们的同补给出了初等$\infty$ -拓扑及其$\infty$ -逻辑函子的另一种刻画。最后，我们通过讨论初等（n，1）-拓扑的情形推广了这些结果，并给出了各种例子和非例子。
2022-01-09 math.AT math.CT
On a notion of oplax 3-functor
我们引入了一个规范化oplax $3$ -函子的概念，适用于严格$3$ -范畴的初等同伦理论，遵循东方组合学。我们发现，任何这样的态射诱导的单纯集之间的街神经的态射，我们将这些态射的单纯集来自规范化oplax $3$ -函子。这使我们能够证明规范化oplax $3$ -函子组成。最后，我们构造了一个严格化的oplax $3$ -函子，其源是一个$1$ -范畴没有分裂-monos或分裂-epis。
2020-04-29 math.CT
Accessible images revisited
我们推广和改进了Makkai和Paré的结果，即任何可达函子F的强象都是可达的，假设存在一个足够大的强紧基数.我们将所需的大基数假设降为对足够大的μ存在$L_{μ,ω}$ -紧基数，并证明了在此假设下F的λ-纯幂象是可达的.从这些陈述中的第一个，我们得到每个抽象初等类的驯服性都来自一个比以前已知的更弱的大基数假设。我们提供了两种方法，采用大基数假设来证明每个结果-一个直接的超积建设和一个使用机器的初等嵌入的集合论宇宙。
2016-03-22 math.CT math.LO
Elementary schematic geometry
本文揭示了几何语境和基本概型的语言，它是研究概型、拓扑流形、微分流形、解析流形等几何对象范畴的函子形式。通过Grothendieck拓扑和几何语境理论，证明了几何是研究在基变下稳定的局部性质的。
2022-08-28 math.CT
Uniqueness of fiber functors and universal Tannakian categories
本文的主要目的是给出Tannakian范畴的任何两个纤维函子是局部同构的一个初等证明。这是建立在一个想法德利涅关于标量扩展的Tannakian类别，并实现了证明策略德利涅属性格罗滕迪克。除了范畴的一般性，证明仅仅依赖于外幂的基本性质和主理想整环上有限生成模的分类。使用相关的想法（但不太基本的手段），我们也提出了一个更一般的弱Tannakian范畴之间的Tannakian范畴的另一种表征。作为这一结果的应用，我们可以从任意具有单单位对象的右正合对称monoidal阿贝尔范畴中构造出一个泛Tannakian范畴。
2018-05-09 math.AG math.CT
Remarks on combinatorial and accessible model categories
利用可达函子的全象，我们证明了关于组合和可达模型范畴的一些结果。特别是，我们给出了一个例子，弱分解系统的局部可表示的范畴是不可访问的。
2020-06-05 math.AT math.CT
Elementary remarks on units in monoidal categories
我们探讨了一种替代的定义单位在一个幺半范畴最初由于Saavedra：一个Saavedra单位是一个可消幂等（在1-范畴意义上）。这个概念在左右约束方面比通常的概念更经济，并且受到高阶范畴理论的启发。首先，我们描述了一个给定的半幺半范畴上所有可能的单位结构的半幺半范畴，并观察到它是可收缩的（如果非空）。然后证明了这两个单位概念在强函子意义下是等价的。其次，证明了（强）monoidal函子的单位相容性条件正是该函子提升到单位范畴的条件，并解释了Saavedra单位的概念如何自然地导致等价的非代数的公平幺半范畴的概念，其中可收缩的多个单位被视为一个整体而不是选择一个单位.最后，考虑单位比较的宽松版本。纸是独立的。所有的论点都是基本的，其中一些具有某种美感。
2006-06-08 math.CT
Classification theory for accessible categories
我们表明，一些结果抽象的基本类（AEC）举行的可访问的范畴与具体的定向共极限。特别是，我们证明了一个推广的最近结果Boney驯服下的大基数假设。我们还表明，这样的类别支持一个强大的版本的Escherichfeucht-Mostowski建设。这种分析有一个额外的好处，产生一个纯粹的语言无关的表征AEC，并突出了一致性公理所发挥的作用。
2014-11-24 math.CT math.LO
Adjoint functor theorems for homotopically enriched categories
证明了一类包含在Monoidal模型范畴$\mathcal V$中的范畴的伴随函子定理。当$\mathcal V$配备了平凡的模型结构，这夺回丰富版本的Freyd的伴随函子定理。对于非平凡的模型结构，我们得到了新的同伦味的伴随函子定理-特别是，当$\mathcal V$是单纯集的范畴，我们得到了一个同伦的伴随函子定理适当的$\infty$ -宇宙的Riehl和Verity。我们还调查了丰富的设置中的可访问性，特别是获得同伦的cocompleteness结果，可访问的$\infty$ -cosmoi。
2022-12-12 math.CT
Accessible $\infty$-cosmoi
我们引入了一个可访问的$\infty$ -宇宙的概念，并证明了这些包括$\infty$ -宇宙的基本例子，并在主要结构下是稳定的。结果是$\infty$ -cosmoi的绝大多数已知实例是可获得的。由同伦丰富范畴的伴随函子定理，我们证明了在较早的文件，联合卢卡斯Vokrinek，它遵循，例如，所有这样的$\infty$ -cosmoi有灵活的加权同伦共极限。
2022-12-12 math.CT
Lifting accessible model structures
利用一对相互作用的弱因子分解系统给出了Quillen模型的结构。我们证明，在局部可表示范畴的世界中，任何具有可达函子因子分解的弱因子分解系统都可以沿着左伴随或右伴随提升。由此可见，局部可表示范畴上的可达模型结构--允许可达函子分解的范畴，包括所有组合模型结构和其他结构的范畴--可以沿着左或右伴随提升，当且仅当一个基本的“非循环性”条件成立。类似的结果声称在一份文件的赫斯Kedziorek Riehl希普利，但证明有不正确的。本文对这一错误进行了解释和修正，并给出了一个新的陈述和定理的另一种证明，使之在同伦理论中的应用更容易处理。
2018-02-27 math.AT math.CT
The Benson--Etingof--Ostrik conjecture for finite tensor categories
本文证明了正特征代数闭域上每个有限对称张量范畴均存在到高阶Verlinde范畴的对称张量函子，验证了Benson-Etingof-Ostrik猜想，并改进了相关猜想，连接了受限Steinberg模与迭代广义上同调。
2026-10-26 math.CT math.RT
Internal sizes in $μ$-abstract elementary classes
工作的上下文中的$μ$ -抽象的基本类（$μ$ -AEC）-或者，等价地，可访问的类别与所有态射单态射-我们研究的两个自然的概念的大小发生，即基数的基础集和内部大小。后者纯粹是范畴论的概念，例如推广了完全度量空间中的密度特征和希尔伯特空间中正交基的基数。我们认为这些概念之间的关系温和的集合论假设，包括削弱的奇异基数假设。我们还建立了初步结果的存在和分类谱的$μ$ -AEC，包括具体的例子显示戏剧性的失败，最终的分类猜想（与使用基数定义的分类）在$μ$ -AEC。
2019-01-31 math.CT math.LO
On local presentability of T/A
证明了：如果$\mathcal{A}$是局部$λ$ -可表示范畴，且$T : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$是$λ$ -可达函子，则$T/\mathcal{A}$是局部$λ$ -可表示范畴.
2018-07-06 cs.LO math.CT math.LO
Unifying exact completions
我们定义的概念，确切的完成方面的存在主义的基本原则。我们观察到，从2-范畴精确范畴到存在初等理论的健忘函子有一个左双伴随，它可以作为两个其他的复合而得到。最后，我们得出结论，这个概念如何涵盖了一个正规范畴的精确完备化以及一个具有弱拉回的carbohydrate范畴的精确完备化。
2012-12-05 cs.LO math.CT math.LO
Fibrations as Eilenberg-Moore algebras
本文用单子和2-范畴的概念对纤维范畴（或者更确切地说是纤维范畴）的一些基本事实作了初步的阐述。该帐户避免任何提及范畴值函子和伪函子。
2013-12-05 math.CT
Virtual concepts in the theory of accessible categories
通过引入虚反射率和虚正交性这两个新的概念，我们提供了一个新的表征丰富的可访问类别作为一般的反射率和正交性条件的局部可呈现类别。虚这个词指的是这样一个事实，即反射性和正交性条件是在小极限下所涉及的$\mathcal V$范畴的自由完备化中给出的，而不是$\mathcal V$范畴本身。通过这种方式，我们希望提供一个更清晰的理解的理论，以及一个有用的方法来识别可及的$\mathcal V$ -范畴。在最后一节中，我们证明了可达$\mathcal V$ -范畴、可达$\mathcal V$ -函子和$\mathcal V$ -自然变换的2-范畴具有全部柔性极限。
2022-07-26 math.CT
An abstract elementary class non-axiomatizable in $L_{(\infty,κ)}$
我们证明了对于任何不可数基数$λ$，基数至少为$λ$的集范畴和它们之间的单态不能作为拓扑的点的范畴出现，特别是不能作为$L_{(\infty,ω)}$ -理论的模型的范畴.更一般地说，我们表明，任何正规基数$κ< λ$既不是范畴的$κ$ -点的$κ$ -拓扑，特别是，不是范畴的模型的$L_{(\infty,κ)}$ -理论。证明依赖于一个范畴化版本的斯科特拓扑结构的建设，这构成了一个左伴随函子发送任何拓扑到其类别的点和计算这个左伴随评估的范畴集的基数至少$λ$和它们之间的单态。同样的技术也适用于其他几个类别。至少推广到维数有界的向量空间范畴和超越度有界的特征固定的代数闭域范畴。
2020-05-07 math.CT math.LO
Isoregular theories, accessible 2-categories, and free constructions
Department of Mathematics, The University of Manchester（曼彻斯特大学数学系）
引入等则理论以表达唯一同构下的存在量化，建立函子语义并证明模型2-范畴具有可访问性和灵活极限，应用于范畴论、代数与逻辑中的多个2-范畴。
2026-06-26 math.CT
Definable functors between triangulated categories
Charles University in Prague（布拉格查理大学）
该文系统发展紧生成三角范畴间的可定义函子理论，刻画凝聚函子并给出可定义函子的等价条件，还将结果应用于Ziegler谱的函子性研究。
2025-02-28 math.AT math.CT math.RT
A complete classification of categoricity spectra of accessible categories with directed colimits
我们提供了一个完整的分类所有可能的范畴谱，在内部大小，可以出现在一个大的访问类别与定向共极限，假设奇异基数假设（$SCH$），并提供明确的阈值基数为最终的范畴。这包括作为一个特殊的情况下，第一个完整的分类的范畴谱的抽象基本类（AEC的）完全在$ZFC$。更具体地说，我们有以下定理：设$\mathcal{K}$是一个大的$κ$ -可达范畴，有向共极限.假设奇异基数假设$SCH$（仅当对单态的限制不是AEC时）。则分类谱$\mathcal{C}at(\mathcal{K})=\{λ\geq κ: \mathcal{K} \text{ is $ λ $-categorical}\}$为以下之一：1）$\mathcal{C}at(\mathcal{K})=\emptyset$。2)$\mathcal{C}at(\mathcal{K})=[α, β]$用于某些$α, β\in [κ, \beth_ω(κ))$。3)对于某些$χ\in [κ, \beth_{(2^κ)^+})$，使用$\mathcal{C}at(\mathcal{K})=[χ, \infty)$。这解决了特别是谢拉范畴猜想AEC的。这三种情况都有例子，表明它们确实发生过。
2023-01-30 math.CT math.LO
The elementary theory of the 2-category of small categories
本文给出了内部范畴2-范畴的基本描述，扩展了Bourke和Lawvere的刻画，引入了2-良点性、全子对象分类器等概念，并展示了生成族与正交分解系统的提升。
2024-05-29 math.CT math.LO
Notes on limits of accessible categories
本文证明了在特定基数条件下，对 $κ$-可及范畴施加插入子和等化子等范畴论构造仍产生 $κ$-可及范畴，并探讨了各类伪极限对 $κ$-可及性的保持，其动机源于平坦模与平坦拟凝聚层理论。
2024-04-10 math.CT math.RA
When is Cat(Q) cartesian closed?
Université du Littoral-Côte d’Opale（加来海峡大学）；School of Mathematical Sciences, Ocean University of China（中国海洋大学数学科学学院）
本文研究了哪些量词oids Q 使得Cat(Q)为笛卡儿闭合，并统一了已知结果并提供了新例子。
2026-01-14 math.CT
The Equivalence Extension Property and Model Structures
给出了一类模型结构的初等构造。特别是，我们重新推导了Kan模型结构的单纯集，而不使用拓扑空间，最小复形，或任何具体的模型，如Kan的Ex^infinity函子。我们的论证在特定的三次集的特定背景下，关键地使用了科恩等人发展的胶合构造。
2017-08-26 math.AT math.CT math.LO
Bi-accessible and bipresentable 2-categories
该研究构建适配平坦伪函子形式的二维可达性与可表现性理论，定义双可达、双可表现2-范畴，证明相关对偶定理与函子定理，并验证多类范畴逻辑中的2-范畴为有限双可表现。
2024-11-12 math.CT
Class-combinatorial model categories
我们扩展了组合模型范畴的框架，使得大索引范畴和索引范畴上的小预层范畴将被称为类组合模型范畴的新机制所包含。新的模型范畴类的定义是基于在同伴论文[arXiv：1110.0605]中发展的局部可表示和可接近范畴理论的相应扩展，在那里我们引入了局部类可表示和类可接近范畴的概念。在这项工作中，我们证明了一个很好的类组合模型范畴的弱等价范畴是类可达的。我们推广了J.Smith局部化定理，并证明了一个上解集条件.最深层次的结果是，（左Bousfield）本地化的类组合模型范畴的强类可达本地化函子是类组合了。
2011-10-19 math.AT math.CT
Comparing dg category models for path spaces via $A_\infty$-functors
Purdue University（普渡大学）
通过A∞-函子比较dg范畴模型用于路径空间，构建了Chen迭代积分映射的双版本，并证明其在单连通空间中与Adams映射的同伦逆关系。
2026-02-13 math.AT math.CT
Formalizing colimits in Cat
本文在 Lean 中形式化了范畴的 1-范畴的基本构造，构造神经嵌入的左伴随并证明该伴随是反射的，从而首次形式化证明 Cat 具有余极限且范畴的范畴是余完备的。
2025-07-21 math.CT
The Scott adjunction
我们介绍和研究的斯科特附加，有关可访问的类别与定向colimits topoi。我们的重点是双重的，我们研究它的应用，正式模型论和它的几何解释。从几何的角度来看，我们介绍了分类Isbell对偶，有界（可能大）ionads拓扑。范畴化的伊斯贝尔对偶与斯科特附加物相互作用，提供了偏序集上的斯科特拓扑的范畴化（因此得名）。我们证明了范畴化的Isbell对偶是幂等的，类似于其未范畴化的版本。从逻辑的角度来看，我们使用这种机器提供候选人（几何）公理化的可访问类别与定向共极限。本文讨论了这些概念与拓扑分类理论之间的联系。我们将我们的框架与更经典的抽象初等类理论联系起来。从一个更范畴的角度来看，我们表明，2类的拓扑丰富的可访问的类别与定向colimits，我们将这一结果的斯科特附加。
2020-09-15 math.CT math.GN math.LO
$Sh(B)$-valued models of $(κ,κ)$-coherent categories
本文在句法范畴/位形语言中构造了类似引入常元符号的命名技术，将句法范畴上的Set值正则函子等同于Sh(B)值模型，从而给出Lurie关于凝聚片段结果的新证明，并推广到弱紧基数κ的L_{κκ}^g情形，进一步得到Sh(B)值完备性定理及正则函子到凝聚函子乘积的初等映射。
2025-05-15 math.CT
Hammocks and fractions in relative $\infty$-categories
本文研究了单纯空间的$\infty$-范畴$sS$中的$\infty$ -范畴的同伦理论.也就是说，我们认为$sS$ -丰富的$\infty$ -范畴是普通$\infty$ -范畴通过“局部”几何实现函子$Cat_{sS} \to Cat_\infty$的表示，并且我们证明了它们的同伦理论表示$\infty$ -范畴的$\infty$ -范畴，即这个函子从$sS$ -丰富的$\infty$-范畴的$\infty$-范畴的局部化导出等价$Cat_{sS} [[ W_{DK}^{-1} ]] \xrightarrow{\sim} Cat_\infty$.在Dwyer-Kan之后，我们定义了一个从相对$\infty$ -范畴到$sS$ -丰富的$\infty$ -范畴的 *hammock localization* 函子，从而提供了丰富的$sS$ -丰富的$\infty$ -范畴的例子.同时对他们的一个关键结果进行了解包和推广，证明了给定一个包含同伦三箭头演算的相对$\infty$ -范畴，可以用一种更明确和更容易理解的方式来描述$\infty$ -范畴中由其吊床局部化所表示的hom-space.作为这个框架的应用，我们给出了相对$\infty$ -范畴的Rezk神经是（完全）Segal空间的充分条件，推广了与Low的联合工作.
2015-10-14 math.AT math.CT
Weak Omega Categories I
我们发展了一个弱Ω范畴的理论，任何熟悉范畴和函子语言的人，以及遇到严格2-范畴定义的人，都可以使用这个理论。这个理论最显著的特点是它的简单性。我们建立在一个想法，由于雅克Penon通过定义一个弱欧米茄类别是一个跨度的欧米茄岩浆具有某些性质。(An omega magma是一个自反的球形集合，具有部分定义的二元合成操作系统，该系统尊重球形结构。范畴、双范畴、严格欧米加范畴和佩农的弱欧米加范畴都是我们的弱欧米加范畴的实例。我们提供了一个启发式的论点，证明声称Batanin的弱欧米茄类别也适合我们的框架。我们表明，Baez-Dolan稳定化假设是我们定义的弱欧米茄类别的直接后果。我们定义了一个自然的概念之间的伪函子弱欧米茄类别，并表明，它包括经典的概念之间的同态bicategories。在任何弱Ω范畴中，与固定1-胞腔的复合运算定义了这样一个伪函子。最后，我们定义了弱Ω范畴之间的弱等价概念，它推广了普通范畴之间等价的标准定义。
2004-04-11 math.AT math.CT
Equivalence of categories, Gruson-Jensen duality, and applications
对于域上的余代数$C$，我们研究了左$C$ -余模范畴${}^C\Mm$和右$C$ -余模范畴$\Mm^C$何时是对称范畴，在这个意义上，我们证明了酉左$R$ -模范畴和酉左$L$ -模范畴之间存在对偶.其中$R$和$L$是与可访问类别${}^C\Mm$和$\Mm^C$相关联的函子环。
2011-10-04 math.CT math.RA math.RT
Internal object actions in homological categories
设$G$和$A$是一个上完全同调范畴$\mathbb C$的对象.我们定义了一个$G$的$G$的（内部）作用的概念，它在函数上等价于$G$上的$\mathbb C$中的一个点，即$\mathbb C$中的一个分裂扩展，具有内核$A$和上内核$G$。这一概念及其研究是基于对泛范畴语境中函子交叉效应的初步研究。这也使我们能够定义更高的分类因子。我们证明了对象$E$的任何适当的子对象（即，$\mathbb C$中$E$上某个映射的核）允许$E$的“共轭”作用，推广了Bourn和Janelidze定义的$E$对自身的共轭作用.如果$\mathbb C$是半阿贝尔的，我们证明了对于某个对象$A$的子空间$X$，$Y$，$X$在$X$和$Y$的上确界中是真的当且仅当$X$在$A$对自身的共轭作用对$Y$的限制下是稳定的.这相当于一个初等的证明伯恩和Janelidze的函等价点之间的$G$在$\mathbb C$和代数在一定的单子$\mathbb T_G$在$\mathbb C$。这样一个代数的两个公理可以用其他三个公理来代替，就交叉效应而言，其中两个公理概括了一个群对另一个群的作用的通常性质。
2010-02-27 math.CT math.GR
Topological categories, quantaloids and Isbell adjunctions
在相当基本的条款，本文介绍，并扩大了，最近的结果加纳的概念拓扑的一个具体函子被归入下的概念，全余完备性丰富的范畴论。受20世纪70年代一些关键结果的启发，本文从量子体理论中发展了所有需要的成分，以便将范畴拓扑的基本结果置于量子体丰富的范畴论的背景下，这是一个以前从其他领域（如量子逻辑和层理论）汲取其动机和应用的领域。
2016-01-01 math.CT math.GN
