Uniqueness of the extremal graph in the problem of maximizing the number of independent sets in regular graphs
Alexei Dmitriev, Alex Dainiak
本文的主要目的是证明在所有$k$ -正则图中，对于$2k|n$，在$n$顶点上独立集个数达到最大值的图是唯一的.
The main purpose of this paper is to prove the uniqueness of a graph attaining the maximum of the number of independent sets over all $k$-regular graphs on $n$ vertices for $2k|n$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Maximizing the number of maximal independent sets of a fixed size
对于固定图G，一个极大独立集是一个独立集，它不是任何其他独立集的真子集。P. Erdös，and independently，J. W.月亮和L。Moser和R. E. Miller和D. E. Muller等人的结果，确定了n阶图中极大独立集的最大个数，以及极图。本文研究了n阶图的极大独立集的最大化问题，确定了n阶图的极图。我们的结果推广了经典结果。
Trees maximizing the number of almost-perfect matchings
本文刻画了最大化近乎完美匹配与强近乎完美匹配数量、并最小化极大匹配数量的极值树，并将结果用于加权 Hosoya 指数的极值问题。
Elusive extremal graphs
研究了极值图论问题最优解的唯一性。Lovasz证明了每个有限可行子图密度约束集都可以被一个有限集密度约束集进一步扩展，使得得到的子图密度约束集满足一个渐近唯一图.这句话通常被称为“每一个极值图论问题都有一个强有力的最优解”。我们提出了一个反例的猜想。我们的技术还扩展到一个更一般的设置，涉及其他类型的约束。
Maximizing the signless Laplacian spectral radius of simplicial 2-complexes with a prescribed second Betti number
本文研究了二维简单复形在给定第二贝蒂数下的无符号拉普拉斯谱半径的渐近公式及最大值复形的结构特征。
Extremal values of semi-regular continuants and codings of interval exchange transformations
给定一个正整数$a_1<\cdots<a_k$的集合$A$和一个划分$P: n_1+\cdots+n_k=n$，求正则和半正则连分数$x_i\in A$的极值算子，其中每个$a_i$恰好在$x_1,\ldots,x_n$中出现$n_i$次。1983年，G. Ramharter给出了一个明确的描述极值安排的定期连续分数和最小化安排的半定期连续分数，并表明，在每种情况下，安排是唯一的逆转和独立的实际值的整数$a_i$。然而，一个明确的确定的最大化安排的半正规连续变得更加困难。Ramharter解释说，在其他三种情况下，最大化的安排是唯一的，直到逆转，只取决于分区$P$，而不是对$a_i$的值。他进一步验证了二进制$A$的情况下的猜想。本文用$|A|=3$证明了Ramharter关于集合$A$的猜想，并给出了唯一极大化排列的算法构造.我们还表明，Ramharter的猜想失败的集合与$|A|\geq 4$，作为最大化的安排是在一般情况下既不唯一，也不独立的数字值在$A$。其中心思想是极值排列满足一个强组合条件，这也可以在有序集上的无限序列的上下文中陈述。我们表明，对于双无限二进制字，这个条件符合马尔可夫性质，发现A.A.马尔可夫在1879年在他的研究极小的二元二次型。我们进一步表明，这种相同的组合条件是基本属性，它描述了轨道结构的自然编码的点下的对称$k$ -区间交换变换。
Extremal total distance of graphs of given radius
1984年，Plesník确定了给定阶数和直径的最小全距离，并刻画了极图和有向图。我们证明了模拟给定的顺序和半径，当顺序是足够大的半径相比。这证实了渐近陈等人的一个猜想。我们在相同的条件下，最小化总距离和最大化大小之间的连接。我们还证明了一些渐近最优的最大总距离的界限。
Maximizing Kirchhoff index of unicyclic graphs with fixed maximum degree
一个连通图的Kirchhoff指标是图中所有无序顶点对之间的电阻距离之和。它在各个领域都有相当多的应用。本文确定了顶点数和度均为最大的单圈图中Kirchhoff指标的最大值，并刻画了相应的极图。
An extension of Turán's Theorem, uniqueness and stability
我们确定了一个$n$ -顶点图$G$的最大边数，它的$r$ -团都不与一个固定集$M\subset V(G)$相交.对于$(r-1)|M|\ge n$，证明了$(r-1)$ -部Turan图是唯一的极值图.对于$(r-1)|M|<n$，有一个完整的家庭的极值图，我们明确地描述。此外，我们还提供了相应的稳定性结果。
A Unified Linear Programming Approach for Maximizing Vertex-Degree-Based Indices of Trees
本文提出统一线性规划方法，解决树的基于顶点度的指标最大化问题，确定不同指标下标准基的最优性阈值，明确构造各类极值树。
Maximizing the number of stars in graphs with forbidden properties
本文将非Hamilton图中边数与t-星形数量的极值结果推广至可迹性、Hamilton连通性等性质，确定了各禁用性质的极图族，并找到了非k-连通图中t-星形的最大数量。
Maximizing Cliques in Shellable Clique Complexes
在极值图论中，寻找一个给定的包含最多团的图类的元素的问题可以追溯到图兰的著名定理。我们考虑的单纯复形的连通性的影响称为壳集团复杂的图。在本文中，我们找到了在$n$顶点上的所有具有$Δ(G)\leq r$且具有可壳团复形的图中最大化团的图。
Extremal problems related to Betti numbers of flag complexes
研究了单纯复形的最大贝蒂数问题。证明了任意n-顶点旗复形的贝蒂数和的上界为1.32 ^n，无三角形图的独立复形的上界为1.25 ^n.这些发现意味着上界的贝蒂数的各种相关类别的空间，包括一个图的邻域复。我们还提出了一些相关的意见。
Maximizing five-cycles in $K_r$-free graphs
Erdos的五角大楼问题要求找到一个$n$ -顶点无三角形的图，该图最大化$5$ -圈的数目。这个问题是解决了使用旗代数Grzesik和独立的哈塔米，Hladkirk，Král '，诺林，和Razborov。最近，Palmer提出了在无$K_{k+1}$图中最大化$5$ -圈数的一般问题.利用旗代数，我们证明了对于任意$k \geq 3$，$n$阶的$K_{k+1}$ -free图至多包含$C_5$的\[\frac{1}{10k^4}(k^4 - 5k^3 + 10k^2 - 10k + 4)n^5 + o(n^5)\]拷贝，且当$n$足够大时，Turán图开始于极图.
Maximizing the number of independent sets of fixed size in $K_n$-covered graphs
如果图$G$中的每个顶点都包含在$H$的一个副本中，则图$G$被某个给定的图$H$覆盖。本文给出了大小为$N\ge n+t-1$的$K_n$ -覆盖图中大小为$t\ge 3$的独立集的最大个数，并确定了它的极图。结果回答了Chakraborit和Loh提出的一个问题。证明使用的超图的边切换操作，保持独立集的数量不减。
Extremal Threshold Graphs for Matchings and Independent Sets
许多图的极值问题都有阈值图作为其极值的例子。例如，目前的作者证明，对于固定的$k\ge 1$，在所有的图中的$n$顶点与$m$的边缘，一些阈值图具有最少的匹配大小$k$ ;事实上，无论是lex图或colex图是这样一个极端的例子。在本文中，我们考虑的问题，最大化的匹配数的阈值图类。我们证明了极小是我们所谓的\emph{almost alternating threshold graphs}。我们还讨论了一个类似的问题：阈值图具有最少的独立集。在这里，我们受到启发的结果，在所有的图中的$n$顶点和$m$边的lex图具有最多的独立集。
Maximizing proper colorings on graphs
图$G$的$q$ -染色数，记作$P_G(q)$，是一个重要的图参数，在图论、计算复杂性理论等相关领域中起着重要的作用.我们研究了Linial和Wilf的一个老问题，寻找具有$n$顶点和$m$边的图，使这个参数最大化.近年来，这个问题吸引了很多研究兴趣，然而对于一般的$m,n,q$却知之甚少。利用分析和组合的方法，我们刻画了固定边密度和$q$的极图的渐近结构。此外，我们还证明了Lazebnik的一个猜想是不成立的，该猜想指出Turán图$T_s(n)$比具有相同顶点数和边数的图具有更多的$q$ -染色.事实上，我们表明，有无限多的反例在范围$q = O({s^2}/{\log s})$。另一方面，当$q$大于某个常数倍${s^2}/{\log s}$时，我们证明了Turán图$T_s(n)$渐近地是达到最大$q$ -着色数的极值图.此外，其他（新的和旧的）结果的各种情况下的Linial-Wilf问题也成立。
Extremal Bounds on Peripherality Measures
本文研究了网络中顶点与边的边缘性度量，改进了边边缘性、边和边缘性及 Trinajstić 指数在 n 顶点图上的渐近上界，扩展至二部图、树和固定直径图，并反驳了 Furtula 的两个猜想。
Extremal values of degree-based entropies of bipartite graphs
我们刻画了最小化（基于第一度）熵的二部图，在所有给定大小的二部图，或给定大小和（上界）的顺序。这些极图是完全二部图或几乎完全二部图。这里我们利用了二部图的一个等价表示，即通过Young tableaux，这使得比较相关图的熵更容易。我们的结论是，极值图的一般特征是一个困难的问题，由于其与数论的联系，但他们很容易找到特定值的顺序$n$和大小$m$。我们也给出了一个直接的参数来刻画图的熵最大化给定的顺序和大小。我们指出，我们的一些想法扩展到其他度为基础的拓扑指数以及。
An extremal graph problem with a transcendental solution
本文证明了顶点集为$\{1, \ldots, n\}$且每四个顶点至多有九条边的多重图的个数是$a^{n^2 + o(n^2)}$，其中$a$是超越的（假设Schanuel猜想来自数论）.这是一个简单的结果的解决方案有关的产品最大化的边缘多重性在某些多重图，似乎是第一个明确的（有点自然）问题，在极值图论的解决方案是超越的。这些结果可能揭示了一个问题的拉兹博罗夫谁问是否有aidtures或定理极值组合不能证明的某一类有限的方法，包括柯西-施瓦茨参数。我们的证明涉及到一个新的应用Zykov对称化应用到多重图，一个相当技术的进步归纳，并直接使用超图容器。
Maximizing directed cycles in tournaments
本文解决了极值组合学中竞赛图最大化有向圈的剩余情况，证明当ℓ被4整除时，旋转木马竞赛图的有向ℓ-圈数量渐近最多，且多于随机竞赛图，证实了Bartley和Day的猜想。
Homomorphisms into loop-threshold graphs
极值图论中的许多问题对应于涉及到同态成一个固定的图像图的问题。最近，有兴趣在最大限度地提高同态的数量从图与一个固定数量的顶点和边到小的图像图。对于图像图$H_{\text{ind}}$，两个邻顶点上的图，其中一个是循环的，从$G$到$H_{\text{ind}}$的每个同态对应于$G$中的一个独立集。根据Kruskal-Katona定理，到$H_{\text{ind}}$的同态的数目被lex图最大化，lex图的边形成lex阶的初始段。\emph{loop-threshold graph}是从单个顶点递归地构建的图，该单个顶点可以是循环的或非循环的，通过在每个阶段连续地添加循环的支配顶点或非循环的孤立顶点。因此，图$H_{\text{ind}}$是循环阈值图。我们调查已知的结果，最大限度地提高同态成小循环阈值图像图的数量。唯一的极值同态问题的循环阈值图像图在最多三个顶点尚未解决的是$H_{\text{ind}}\cup E_1$，其中极值图是一个lex图和一个空图的联合。剩下的唯一问题是极值图的lex分量的大小。虽然我们不能给出一个确切的答案，每一个数量的顶点和边，我们建立的意义，并给出了一个界$\ell(m)$，顶点的数量在lex组件的极图的$m$边和至少$m+1$顶点。
Maximizing the number of $x$-colorings of $4$-chromatic graphs
设$\mathcal{C}_4(n)$是阶为$n$的连通$4$ -色图族.给定一个整数$x\geq 4$，考虑在$\mathcal{C}_4(n)$中求图的最大$x$ -着色数的问题.证明了$x$ -着色的最大数目等于$(x)_{\downarrow 4}(x-1)^{n-4}$，极图是团数为$4$，大小为$n+2$的图.在这篇文章中，我们把这个问题归结为一个\textit{finite}图族。证明了存在一个有限族$\mathcal{F}$，使得如果$\mathcal{F}$中每个图$G$的$x$ -着色数小于$(x)_{\downarrow 4}(x-1)^{|V(G)|-4}$，则猜想成立.
Five results on maximizing topological indices in graphs
本文证明了关于图形指数的五个结果，包括确定极值图、推广已有工作、提供替代证明，并解决两个猜想，涉及维纳指数、外部维纳指数、加权塞格德指数等。研究问题聚焦于给定匹配数或独立数等条件下的指数最大化，核心方法是推导与证明，主要贡献在于推广和解决相关猜想。
Maximum edges possible in a graph for restricted independence number, maximum degree, and maximum matching size
本文给出了单图在最大匹配大小、独立数和最大度三个参数中的两个参数为限制值时可能的最大边数的精确界。我们还构造极值图，实现在所有情况下的边缘界限。我们进一步建立这些极值图的唯一性，只要他们是唯一的。
Independent Sets in n-vertex k-chromatic, \ell-connected graphs
研究了$n$ -点$k$ -色$\ell$ -连通图中独立集个数的最大化问题.首先，我们考虑最大化的独立集在这样的图与$n$足够大的总数，对于这个问题，我们使用的稳定性参数，以找到唯一的极值图。我们发现，我们的结果持有的$n$ -顶点$k$ -色图的最小程度至少$\ell$，再次为$n$足够大的大家庭。我们还最大化了$n$ -点3-色2-连通图中每个固定大小的独立集的数目。最后，我们解决了所有$n$ -顶点$k$ -色$\ell$ -连通图上大小为2的独立集的数量最大化（等价地，最小化边的数量）。
The signless Laplacian spectral radius of graphs with forbidding linear forests
Turán型极值问题是指在不含固定禁止子图的图上，如何最大化边数的问题。类似地，谱Turán型极值问题是如何在所有不包含固定子图的图上最大化（无符号拉普拉斯）谱半径。本文首先给出了$k\cdot P_3$的边数稳定性结果，然后分别在不包含至多两条奇路的固定线性森林或不包含$k\cdot P_3$作为子图的所有图上确定了最大化无符号Laplacian谱半径的所有极图.
Maximizing $H$-colorings of connected graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持边邻接的映射。考虑如下极值计数问题：对于给定的$H$，哪个连接$n$ -顶点图的最小度$δ$最大化$H$ -着色数？我们证明了对于非正则$H$和足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是唯一的最大化器。作为推论，对于非正则$H$和足够大的$n$，图$K_{k,n-k}$是唯一的$k$ -连通图，它使得所有$k$ -连通图中$H$ -着色的个数最大化.最后，我们表明，这一结论并不适用于所有定期$H$展示一个连接的$n$顶点图与最低程度$δ$有更多的$K_{q}$染色（足够大的$q$和$n$）比$K_{δ,n-δ}$。
Characterizations of certain matroids by maximizing valuative invariants
本文通过最大化估值不变量刻画了若干 matroids，并证明了均匀 matroids 的直接和产生多面体顶点。
Extremal Peisert-type graphs without the strict-EKR property
本研究针对不具有严格EKR性质的边数最少的极值Peisert型图，确定了各素数幂q对应的边数，证明平方或立方q下极值图的唯一性并分类最大团，还验证了平方q下的相关界的紧性。
Some extremal ratios of the distance and subtree problems in binary trees
在树的拓扑指数中，距离和$σ(T)$与子树个数$F(T)$是一对长期存在的图不变量，它们之间存在负相关.也就是说，在各种给定的树类中，极值结构最大化一个通常最小化另一个，反之亦然。通过引入这些不变量的“局部”版本，$σ_T(v)$表示从$v$到所有其他顶点的距离之和，$F_T(v)$表示包含$v$的子树的数目，可以提出并研究树内顶点的极值问题。这就引出了树的“中间部分”的概念。一个具有挑战性的问题是找到图的指数和相应的局部函数之间的比值在中间部分或叶的极值。这个问题也提供了新的机会，以进一步验证不同的指标，如$σ(T)$和$F(T)$之间的相关性。这种极端的比率，随着极端的结构，进行了研究和比较一般的树的距离和子树的问题。在本文中，这项研究被扩展到二叉树，一类树与众多的实际应用中，极端的比率问题似乎更加复杂。在证明了树和二叉树中距离和子树问题的一些基本性质之后，给出了给定阶二叉树中达到两个极值比的极值结构的特征.这项工作的推广$k$ -ary树也简要讨论。研究结果与以前建立的极值结构一般树。最后，提出了未来可能开展的工作。
Exact results on generalized Erdős-Gallai problems
针对不含给定长度路径或环的图中最大化 $t$ 团数量的问题，本文刻画全部极值图，完全解决 Luo 仅渐近求解的问题，并推广到固定边数版本。
Maximizing the number of q-colorings
设P_G（q）表示图G的真q-染色数。这个函数被称为G的色多项式，是Birkhoff在1912年提出的，他试图通过在所有可平面图G上最小化P_G（4）来解决著名的四色问题。此后，在各种应用的推动下，人们对各种图族上的最小化或最大化P_G（q）做了大量的研究。本文研究了Linial和Wilf的一个老问题，即寻找n点m边图中最大q-染色数。我们提供了第一种方法，使人们能够解决这个问题的许多非平凡的参数范围。利用我们的机器，我们证明了，对于每个q >= 4和足够大的m < κ_q n ^2，其中κ_q约为1/（q log q），极图是完全二部图减去一个星的边，加上孤立点。此外，当q = 3时，我们建立了所有大的m <= n^2/4的最优图的结构，从而（以更强的形式）证实了Lazebnik在1989年提出的一个猜想。
Exact extremal constructions for the inducibility of blowup graphs
对于任意图H，证明存在常数h_*(H)，使得当h≥h_*(H)且n足够大时，所有最大化H^{(h)}诱导拷贝数的n顶点图都是H的爆炸图，解决了Bollobás等人1995年提出的问题。
On the extremal values of the cyclic continuants of Motzkin and Straus
在1983年的一篇论文中，G.拉姆哈特问什么是极值安排的循环类似物的定期和半定期连续首次介绍了T. S。Motzkin和E.G. Straus于1956年。在本文中，我们回答了这个问题，证明了对于每个集合$A$组成的正整数$1<a_1<a_2<\cdots <a_k$和$k$项划分$P: n_1+n_2 + \cdots + n_k=n$，存在一个唯一的（直到反转）循环字$x$，最大化（分别）。最小化）具有Parikh向量$(n_1,n_2,\ldots,n_k)$的$A$上的所有循环字中的规则循环连续词$K^{\circlearrowright}(\cdot)$。我们还表明，同样是真实的半正则循环连续$\dot K^{\circlearrowright}(\cdot)$的最小化安排。在非循环的情况下，主要的困难是找到半正则连续的最大化安排，这通常不是唯一的，可能取决于整数$a_1,\ldots,a_k$，而不仅仅是它们的相对顺序。我们表明，如果一个循环字$x$最大化$\dot K^{\circlearrowright}(\cdot)$之间的所有排列的$x$，那么它验证了一个强大的组合条件，我们称之为奇异性。我们开发了一个算法，用于构建所有奇异循环词具有规定的Parikh向量。
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
Three conjectures in extremal spectral graph theory
我们证明了三个关于最大化的谱不变量在某些家庭的图。我们最困难的结果是$P_2$和$P_{n-2}$的并是所有可平面图上唯一的最大谱半径的图。这是由Boots和Royle在1991年，Cao和Vince在1993年独立完成的。类似地，我们证明了Cvetković和Rowlinson在1990年提出的一个猜想：最大谱半径的唯一外平面图是顶点与$P_{n-1}$的并.最后，我们证明了Aouchiche等人在2008年提出的一个猜想，即菠萝图是使谱半径减去平均度最大化的唯一连通图。为了证明我们的定理，我们使用一个声称的极值图的领导特征向量来推导该图的结构性质。使用这种设置，我们给出了几个老结果的简短证明：曼特尔定理，斯坦利的边界和扩展，适用于$\mathrm{ex}\left(n, K_{2,t}\right)$的Kavari-Sós-Turán定理，和一个老问题的部分解决方案的Erdos关于使一个三角形自由图二分。
Maximizing the index of signed complete graphs with spanning trees on $k$ pendant vertices
本文研究负边由生成树诱导的不平衡符号完全图，确定在悬挂顶点数给定时使最大特征值最大的极值树与符号图结构。
Many cliques with few edges and bounded maximum degree
在过去的几十年中，广义图兰问题一直是极值组合学研究的中心课题。Chase最近完全解决了这样一个问题，即最大化具有固定顶点数和有界最大度的图中固定阶团的数量。Kirsch和Radcliffe提出了这个问题的一个自然变体，其中边的数量是固定的，而不是顶点的数量。本文给出了边数固定且最大度有界的图中固定阶团的最大个数，解决了Kirsch和Radcliffe的一个猜想。我们还给出了极图的一个完整的刻画。
Closeness Centralization Measure for Two-mode Data of Prescribed Sizes
我们证实了Everett，Sinclair和Dankelmann的一个猜想~[Some Centrality results new and old，J. Math. Sociology 28（2004），215- 227]关于在双模式数据中最大化接近中心化的问题，其中每种类型的数据的数量是固定的。直观地说，我们的结果表明，在通过双模式数据可获得的所有网络中，最大的接近度是通过简单地局部最大化节点的接近度来实现的。在数学上，我们的研究涉及固定大小的二部图，我们表明，极值配置是一个有根树的深度~ $2$，其中邻居的根有一个相等或几乎相等数量的儿童。
Maximizing the density of $K_t$'s in graphs of bounded degree and clique number
Zykov在1949年表明，图之间的$n$顶点与团数$ω(G) \le ω$，图兰图$T_ω(n)$最大化不仅边缘的数量，但也有数量的副本$K_t$为每个大小$t$。最大化$K_t$的拷贝数的问题也在其他类图中被研究过，例如那些在具有最大度$Δ(G) \le Δ$的$n$顶点上的图。我们结合这些限制，并调查哪些图与$Δ(G) \le Δ$和$ω(G) \le ω$最大化的副本数$K_t$每个顶点。我们定义$f_t(Δ,ω)$作为$ρ_t$的上确界，每个顶点的$K_t$的副本数，在这样的图，并显示固定的$t$和$ω$，$f_t(Δ,ω) = (1+o(1))ρ_t(T_ω(Δ+\lfloor\fracΔ{ω-1}\rfloor))$。对于两个无限族的$(Δ,ω)$对，我们精确地确定了所有$t\ge 3$的$f_t(Δ,ω)$。另一方面，我们确定$f_t(Δ,ω)$正是两个最大的可能团的大小。最后，我们证明，并不是每对$(Δ,ω)$有一个极值图，同时最大限度地提高了每个顶点的$K_t$的副本数量为每个大小的$t$。
Percolation on hypergraphs and the hard-core model
本文通过凸松弛优化方法证明了两类最大度受限的k-均匀超图的点渗流阈值紧界，并结合分歧渗流改进硬核模型的唯一性阈值，进而为高效近似计数与采样算法提出新的计算阈值猜想。
Extremal results for graphs with binding number strictly less than $1/r$
本文研究了绑定数严格小于1/r的图的极值问题，确定了在给定阶数下最大化图大小或谱半径的极值图。
On the inducibility of oriented graphs on four vertices
考虑了四顶点定向图的诱导数（诱导副本的最大可能渐近密度）的确定问题。我们提供了确切的值超过一半的图，和非常接近的下限和上界的所有剩余的。对于某些图，最大化其导出副本密度的极值结构是非常复杂的。
The unique extremal threemodular lattice of rank 26, the generalized hexagon $(2,8)$, and the tight Cayley-plane $5$-design
本文通过调和 theta 恒等式和 Niemeier 构造，从秩26格重构广义六边形(2,8)，证明其唯一性，并利用射影3-设计第三矩证明紧致Cayley平面5-设计的几何唯一性，最终确定自同构群为 ^3D_4(2):3。
Maximizing the number of cliques in $K_{r+1}$-free graphs with forbidden properties
本文研究$K_{r+1}$-自由图中避免若干哈密顿相关性质时的最大边数和$t$-团数，推广了先前结果，并确定了所有极值图。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。