Seymour's second-neighborhood conjecture from a different perspective
Seymour的第二邻域猜想指出：每个基础图是简单图的有向图至少有一个点$v$，使得离$v$远距离的$2$的顶点数至少等于离它远距离的$1$的顶点数.本文用线性代数的语言给出了该猜想的另一种表述.
2019-07-29 math.CO
Subdivisions in apex graphs
Kelmans-Seymour猜想指出5-连通非平面图包含一个细分的$K_{_5}$。某些问题的马德尔提出了一个“计划”对一个可能的决议这一猜想。这个计划的一部分是证明一个包含$K^-_{_4}$或$K_{_{2,3}}$作为子图的5-连通非平面图有一个细分的$K_{_5}$。最近，Ma和Yu证明了含有$K^-_{_4}$作为子图的5-连通非平面图有一个细分的$K_{_5}$ .我们对$K_{_{2,3}}$感兴趣，证明了含有$K_{_{2,3}}$作为子图的5-连通非平面顶点图有一个细分的$K_{_5}$
2010-12-28 math.CO
Seymour's Second Neighborhood Conjecture for Subsets of Vertices
Seymour证明了每个有向简单图都包含一个顶点，该顶点的第二个邻域至少与第一个邻域一样大。在本文中，我们提出了一个猜想，我们证明实际上是等价的：每一个有向简单图包含一个子集的顶点$S$的第二个邻域至少是一样大的第一个。这个子集的观点给了一些洞察原来的猜想。例如，如果有一个反例的第二个邻居猜想的最小程度$δ$，那么存在一个反例在最多${δ+ 1 \choose 2}$顶点。给定顶点$v$，令$d_1^+(v)$和$d_2^+(v)$分别为其第一和第二邻域的大小。一个有向图是$m$自由图，如果$m$上没有有向圈或顶点数较少.设$λ_m$是使得每个无$m$图都含有一个顶点$v$且$d_2^+(v) \geq λ_m d_1^+(v)$为$d_2^+(v) \geq λ_m d_1^+(v)$的最大值.第二个邻域猜想意味着对所有$m \geq 2$都有$λ_m = 1$。Liang和Xu提供了所有$λ_m$的下界，并表明$λ_m \to 1$为$m \to \infty$。我们改进梁和徐的界$m \geq 3$使用这个子集的角度。
2019-04-12 math.CO
Split-Twin Extensions Preserving Seymour Vertices
研究Seymour第二邻域猜想中Pisa图的结构，提出分解公式并验证小阶数图的分类。
2026-07-24 math.CO
Seymour and Woodall's conjecture holds for graphs with independence number two
本文针对独立数为二的图，证明其在 $2\ell\leqχ(G)$ 时包含 $K^{\ell}_{\ell,χ(G)-\ell}$-minor，从而验证 Seymour–Woodall 猜想在该图类中成立。
2025-02-19 math.CO
On the Chudnovsky-Seymour-Sullivan Conjecture on Cycles in Triangle-free Digraphs
对于一个不含有向三角形或对角形的简单有向图$G$，令$β(G)$是使得$G\setminus X$不含有向圈的最小子集$X \subseteq E(G)$的大小，令$γ(G)$是$G$中不相邻顶点的无序对的数目。2008年，Chudnovsky、Seymour和Sullivan证明了$β(G) \le γ(G)$，并证明了$β(G) \le γ(G)/2$。最近，Dunkum、Hamburger和Pór证明了$β(G) \le 0.88 γ(G)$。本文证明了$β(G) \le 0.8616 γ(G)$ .
2009-09-14 math.CO
On Seymour's and Sullivan's Second Neighbourhood Conjectures
Nankai University（南开大学）；Royal Holloway University of London（伦敦皇家霍洛威学院）；Central China Normal University（华中师范大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
研究西摩和沙利文关于有向图顶点邻域关系的第二邻域猜想，给出满足沙利文猜想的传递三角形数量充分条件，证明其对平面图等成立，还表明对一些定向分裂图族两个猜想也成立。
2026-07-16 math.CO
Towards a hypergraph version of the Pósa-Seymour conjecture
该研究证明了满足特定最小余度条件的k-均匀超图包含紧哈密顿环的指定次幂，同时该余度条件也适用于寻找特定树宽的生成超图副本，推进了Pósa-Seymour猜想的超图版本研究。
2023-07-19 math.CO
A Minimum Counterexample Proof of the Seymour Second Neighborhood Conjecture via the Graph Level Order
将Seymour第二邻域猜想转化为集合包装优化问题，通过引入图层次序（GLOVER）坐标系，证明最小反例中非Seymour顶点的包装不可持续，从而完成构造性证明。
2026-05-30 cs.DS math.CO
Seymour's second neighbourhood conjecture for quasi-transitive oriented graphs
Seymour的第二邻域猜想断言，每个定向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与它的外邻域一样大。本文证明了该猜想对拟传递定向图成立，它是竞赛图和传递无圈有向图的超类。一个有向图$D$称为拟传递的，是指每一对不同顶点之间的弧$xy,yz$，$x,y,z$，$xz$或$zx$（“或”包括在内）都在$D$中。
2017-11-19 cs.DM math.CO
Thoughts on Barnette's Conjecture
本文证明了三次3连通可平面图是Hamilton图的一个新的充分条件。这个条件最容易描述为对偶图的一个性质。设$G$为平面三角剖分。则对偶$G^*$是三次3连通可平面图，且$G^*$是二部图当且仅当$G$是欧拉图.我们证明了如果$G$的顶点被（不适当地）着色为蓝色和红色，使得蓝色顶点覆盖$G$的面，不存在蓝色圈，并且每个红色圈包含一个次数至多为4的顶点，则$G^*$是Hamilton的.这个结果暗示了以下巴内特猜想的特殊情况：如果$G$是一个欧拉平面三角剖分，其顶点被适当地着色为蓝色、红色和绿色，使得每个红绿循环都包含一个4度顶点，则$G^*$是哈密尔顿的。我们的最终结果突出了使用适当的着色的$G$作为一个起点证明巴内特猜想的局限性。我们还解释了巴内特猜想的相关结果，得到了Kelmans和详细的自包含的证明尚未公布。
2013-12-13 math.CO
Minimum multicuts and Steiner forests for Okamura-Seymour graphs
研究了无向平面图的最小多割问题，其中所有的终端顶点都在图的外表面的边界上。这被称为Okamura-Seymour实例。我们表明，对于这样的情况下，最小的多割问题可以减少到最小成本的Steiner森林问题的一个适当定义的对偶图。最小费用Steiner森林问题有一个2-近似算法。因此，对于Okamura-Seymour实例，最小多割问题具有2-近似算法。
2011-02-27 cs.DM cs.DS math.CO
About The Second Neighborhood Problem in Tournaments Missing Disjoint Stars
在一定条件下证明了缺失图为不交星时的Seymour第二邻域猜想。当n=2或3时，需要较弱的条件。在某些情况下，我们展示了两个具有所需属性的顶点。
2015-09-13 math.CO
Nonexistence of uniformly most reliable graphs of least corank
如果$G$是一个简单的图，并且$ρ\in[0,1]$，则可靠性$R_G(ρ)$是在以概率$ρ$独立地移除其每条边之后$G$被连接的概率。一个简单图$G$是一个\emph{uniformly most reliable graph}（UMRG），如果对每个$ρ\in[0,1]$和每个简单图$H$，在相同的顶点数和边数的$G$的$R_G(ρ)\geq R_H(ρ)$。Boesch [J].图论10（1986），339- 352]证明，如果$n$和$m$使得在$n$和$m$的顶点和边上存在连通简单图，则在相同数目的顶点和边上也存在UMRG。Kelmans，Myrvold等人给出了Boesch猜想的一些反例，布朗和考克斯已知Boesch猜想在定义为$c=m-n+1$的corank至多为$4$时成立（并且相应的UMRG被完全刻画）。Ath和Sobel证明了Boesch的猜想成立，只要顶点数至少为$2c-2$，则当corank $c$在$5$和$8$之间时成立.本文给出了Boesch关于corank $5$猜想的无穷多个反例。这些是第一次报道的反例，达到最小可能的corank。作为副产品，Ath和Sobel的猜想被推翻。
2023-03-01 math.CO
Nearly Hamilton cycles in sublinear expanders, and applications
University College London（伦敦大学学院）；University of Illinois at Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出了一种在亚线性扩张器中构造近哈密顿环的新方法，并应用于解决Verstraëte猜想及两个其他问题。
2026-01-21 math.CO
Vertices with the Second Neighborhood Property in Eulerian Digraphs
第二邻域猜想指出，每个简单有向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与其第一外邻域一样大，即具有第二邻域性质。偶图的圈交图是一个新的图，其顶点是原图的圈分解中的圈，其边表示圈的顶点交。通过使用这个概念的一个有向图的变体，我们证明了允许一个简单圈交图的欧拉有向图不仅符合第二邻域猜想，而且局部简单性在某些情况下也意味着原有向图中存在一个Seymour顶点.
2019-10-04 math.CO
On Induced Colourful Paths in Triangle-free Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，其顶点已被适当着色，我们说$G$中的一条路是“彩色的”，如果没有两个顶点在路径具有相同的颜色。它是Gallai-Roy-Vitaver定理的一个推论，即每一个适当着色的图在$χ(G)$顶点上都含有一条着色路。本文提出了一个猜想，即每一个适当着色的无三角形图$G$在其$χ(G)$顶点上都含有一条诱导色路，并证明了当$G$的围长至少为$χ(G)$时，这个猜想是正确的. Gyárfás和Sárközy以及Scott和Seymour最近对这个猜想的研究表明存在一个函数$f$，使得如果$χ(G)\geq f(k)$，则在$k$顶点上的诱导彩色路保证存在于任何正确着色的无三角形图$G$中。
2019-01-18 math.CO
Obstructions for three-coloring graphs without induced paths on six vertices
证明了存在24个4-临界无$P_6$图，并给出了完整的列表。我们注意到，如果$H$是连通的，并且不是$P_6$的子图，则存在无穷多个4-临界$H$ -free图。我们的结果回答了Golovach等人和Seymour的问题。
2018-02-19 cs.DM math.CO
Powers of Hamilton cycles of high discrepancy are unavoidable
Pósa-Seymour猜想断言，$n$顶点上的每一个最小度至少为$(1 - 1/(r+1))n$的图都包含一个Hamilton圈的$r^{th}$幂。Komlós，Sárközy和Szemerédi著名的证明了猜想大$n.$的概念出现在许多领域的数学，包括图论。在这种情况下，图$G$与其边的$2$ -着色一起给出。然后要求在$G$中找到具有大差异的给定子图的副本，即，其明显多于一半的边缘为一种颜色。对于$r \geq 2,$，我们确定的最小程度阈值需要找到$r^{th}$功率的汉密尔顿循环的大差异，回答了一个问题所提出的Balogh，Csaba，Pluhár和Treglown。值得注意的是，对于$r \geq 3,$，这个阈值近似匹配Pósa-Seymour猜想的最小度要求。
2022-08-26 math.CO
Obstructions for normally spanned sets of vertices
本文强化了Halin关于图正常生成树的猜想结论，提出局部版本：连通图指定顶点集可被正常树包含当且仅当对应根式子式均有可数着色数，结合正常划分树与闭包论证完成证明。
2025-10-05 math.CO
A generalization of the Grid Theorem
一个图的树宽至多为$k$，如果它可以从一组顶点数至多为$k+1$的图中通过一系列团和得到.对于每个非负整数$θ$，定义一个图的$θ$树宽度至多为$k$，如果它可以从一组图中获得，每个图具有至多$k+1$顶点，通过大小小于$θ$的团的团和序列。我们找到了具有大$θ$ -树宽度的图的不可避免的子图，并得到了Robertson和Seymour的网格定理作为推论。
2016-09-28 math.CO
A note on the second neighborhood problem for $k$-anti-transitive and $m$-free digraphs
本文证明：若有限有向图 $D$ 是 $k$-反传递且 $(k-4)$-自由的，则 $D$ 必存在 Seymour 顶点，从而在 7-反传递定向图上验证了 Caccetta-Haggkvist 猜想的一个特例，扩展了已知结果。
2024-05-28 math.CO
A lower bound on the tree-width of graphs with irrelevant vertices
Robertson和Seymour证明了存在一个函数$f$，使得如果一个具有$k$对终端的图$G$的树宽至少为$f(k)$，则$G$包含一个解无关的顶点（Graph Minors）。二十二、JCTB 2012）。给出了$f$的一个单指数下界。这个界限甚至对平面图也成立。
2019-01-14 cs.DM math.CO
A single exponential bound for the redundant vertex Theorem on surfaces
设s1，t1，. . . sk，tk是图G中嵌入亏格g的曲面σ上的顶点. G的一个顶点v是“冗余的”，如果存在k个顶点不相交的道路连接si和ti（1 \lequal i \lequal k）在G中当且仅当这样的道路也存在于G -v. Robertson和Seymour证明，如果v是“远”从顶点si和tj和v包围在一个平面部分σ由l（g，k）不相交的循环，那么v是冗余的。不幸的是，他们对l（g，k）的存在性的证明不是构造性的。本文给出了g和k的一个显式单指数界。
2013-09-30 math.CO
Linkages and removable paths avoiding vertices
我们称一个图$G$是$(2,m)$ -连通的，如果对于$G$中的任意不同顶点$a_1,\ldots, a_m, b_1,b_2$，存在$G$的顶点不交连通子图$A,B$，使得$\{a_1, \ldots, a_m\}$包含在$A$中，而$\{b_1,b_2\}$包含在$B$中.结构图论中的一个基本结果是$(2,2)$ -链接图的特征，由Robertson和Chakravarty，Seymour和Jassassen独立获得不同的版本。对于$m\ge 3$，刻画$(2,m)$ -连接图似乎是非常困难的.在本文中，我们通过增加一个平均度条件，给出了$(2,m)$ -链接图的一个部分刻画。这意味着$(2m+2)$ -连通图是$(2,m)$ -连通的。此外，如果$G$是$(2m+2)$ -连通图，并且$a_1, \ldots, a_m, b_1,b_2$是$G$的不同顶点，则在$G$中存在$b_1$和$b_2$之间的路径$P$，并且避免了$\{a_1, \ldots, a_m\}$，使得$G-P$是连通的，从而改进了$10m$的先前连通性界.
2023-03-21 math.CO
Locating a Seymour vertex in oriented graphs having minimum outdegree at most 7
Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）
通过局部约简和OR-Tools CP-SAT不可行性检验，证明了最小出度为7的有向图的Seymour第二邻域猜想，将阈值从6提升至7。
2026-10-15 cs.DM math.CO
Vertex-minors and the Erdős-Hajnal conjecture
证明了对图$H$，存在$\varepsilon>0$，使得每个与$H$同构的没有顶点子式的$n$ -顶点图都有一对顶点的不交集$A$，$B$，使得$|A|, |B|\ge \varepsilon n$和$A$是$B$的完全或反完全的.我们从Chudnovsky，Scott，Seymour和Spirkl（2018）的最新工作中推断出这一点。这证明了Erdens-Hajnal猜想对于顶点子式的类似性。
2018-09-06 math.CO
Packing six T-joins in plane graphs
设G是一个平面图，T是其顶点的偶子集.如果G的所有T-割都具有相同的奇偶性，且每个T-割的长度至少为k，则G包含k个边不相交的T-并. k=3的情形等价于四色定理，Seymour证明的k=4的情形和Guenin证明的k=5的情形。我们解决下一个开放的情况k=6。
2014-04-24 math.CO
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
2025-04-10 math.CO
A note on Hadwiger's Conjecture for $W_5$-free graphs with independence number two
图$G$的Hadwiger数，记为$h(G)$，是使$G$包含$K_t$作为子图的最大整数$t$。Hadwiger在1943年提出了一个著名的猜想：对每个图$G$，$h(G) \ge χ(G)$，其中$χ(G)$表示$G$的色数。令$α(G)$表示$G$的独立数。如果一个图不包含图$H$作为导出子图，则该图是$H$自由图.在2003年，Plummer，Stiebitz和Toft证明了：对于所有无$H$的图$G$，有$α(G) \le 2$，有$h(G) \ge χ(G)$，其中$H$是任何四点图，有$α(H) \le 2$，$H=C_5$，或$H$是一个特殊的七点图.在2010年，Kriesell考虑了一个由Seymour提出的Hadwiger猜想的特殊强化，并随后将该陈述推广到包含所有具有$α(H) \le 2$的五个顶点上的禁止子图$H$。本文证明了对所有无$W_5$的图$G$，有$α(G) \le 2$，有$h(G) \ge χ(G)$，其中$W_5$表示六点轮.
2019-01-21 math.CO
There are finitely many uniformly most reliable graphs of corank 5
本文构造了余秩为5的无限族反例，否定了Boesch关于一致最可靠图存在性的猜想，并同时推翻了Ath和Sobel的猜想。
2024-12-30 math.CO
Simplicial vertices in graphs with no induced four-edge path or four-edge antipath, and the $H_6$-conjecture
设$\mathcal{G}$是所有没有导出四边路或四边反路的图的类。Hayward和Naidian \cite{MS}证明了$\mathcal{G}$中不同构于长度为5的圈的每一个素图要么是分裂图，要么包含某种有用的单纯顶点和反单纯顶点的排列。本文给出了他们猜想的一个反例，并证明了一个较弱的版本。此外，应用第一作者和Seymour \cite{grow}的一个结果，我们给出了Fouquet关于$\mathcal{G}$中包含的无牛图子类的结构的结果\cite{C5}的一个简短证明.
2013-05-28 cs.DM math.CO
Every graph with no $\mathcal{K}_8^{-4}$ minor is $7$-colorable
Hadwiger猜想在1943年提出，任何没有$K_{t}$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的;它对所有的$t\ge 7$都是开放的。对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。我们说一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。Jakobsen在1971年证明了没有$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图是$6$ -可着色的。在本文中，我们考虑下一步，并证明了每一个没有$\mathcal{K}_8^{-4}$子图是$7$ -着色。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对于每个八个顶点的图$H$都成立，使得$H$的补最大度至少为四、完美匹配、三角形和长度为四的循环。我们的证明利用本文中得到的$\mathcal{K}_8^{-4}$未成年人的极值函数，Rolek和第二作者的压缩临界图的广义Kempe链，以及Kawarabayashi和Toft从三个不同的$K_5$子图中找到$K_7$未成年人的方法;该方法首先由Robertson，Seymour和Thomas在1993年开发，以证明$t=6$的Hadwiger猜想。
2022-08-22 math.CO
Local resilience of an almost spanning $k$-cycle in random graphs
著名的Pósa-Seymour猜想在1998年被Komlós、Sárközy和Szemerédi证实，它指出对任何$k \geq 2$，每个在$n$顶点上具有最小度$kn/(k + 1)$的图都包含一个Hamilton圈的$k$次幂。我们将这一结果推广到稀疏随机设置。本文证明了对每个$k \geq 2$都存在$C > 0$，使得如果$p \geq C(\log n/n)^{1/k}$，那么w. h. p.随机图$G_{n, p}$的每个最小度至少为$(k/(k + 1) + o(1))np$的子图，至少在$(1 - o(1))n$顶点上包含$k$次圈幂，改进了Noever和Steger关于$k = 2$以及Allen等人关于$k \geq 3$的最新结果.我们的结果几乎是最好的可能在三个方面：对于$p \ll n^{-1/k}$的随机图$G_{n, p}$ w. h. p.不包含任何长循环的$k$次幂;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) + o(1))np$和$Ω(p^{-2})$顶点不属于三角形;存在$G_{n, p}$的子图具有最小度$(k/(k + 1) - o(1))np$不包含$(1 - o(1))n$顶点上的循环的$k$次幂。
2018-08-30 math.CO
Integral Biflow Maximization
本文针对满足最大双流最小割定理的 Seymour 图，提出了一种基于结构描述的组合多项式时间算法，用于寻找最大整数双流，弥补了以往非算法性证明的不足。
2024-07-25 math.CO
Explicit bounds for graph minors
令$Σ$是具有边界$b(Σ)$的表面，$\mathcal{L}$是$Σ$中的$k$不相交的$b(Σ)$ -路径的集合，并且$P$是$Σ$中的非分离的$b(Σ)$ -路径。我们证明了存在一个同胚$ϕ: Σ\to Σ$，它固定$b(Σ)$的每个点，并且使得$ϕ(\mathcal{L})$至多$2k$次满足$P$。利用这个定理，我们导出了Robertson和Seymour的图子式算法中的显式常数.本文重新证明了关于曲面上图的冗余顶点的一个结果，但有明确的界。也就是说，我们证明了存在一个可计算的整数$t:=t(Σ,k)$，使得如果$v$是一个“$t$保护”的顶点在表面$Σ$，那么$v$是冗余的关于任何$k$ -链接。
2016-05-02 math.CO
On graphs containing few disjoint excluded minors. Asymptotic number and structure of graphs containing few disjoint minors K4
设${\rm ex \,} {\mathcal B}$是一个极小闭图类，它有一个极小排除极小子图集${\mathcal B}$.本文研究了${\mathcal B}$中不含$k+1$不交子图的渐近数和由所有这类图在顶点$\{1,\dots,n\}$上画出的一致随机图的性质。我们提出了新的结果的情况下，当${\rm ex \,} {\mathcal B}$包含任意大的球迷一般（足够好）的一组禁止未成年人${\mathcal B}$。我们的结果成立的一个特殊情况是${\mathcal B} = \{K_4\}$。对于任何固定的$k = 1, 2, \dots$，我们推导出精确的渐近计数公式，并描述了典型的图的结构，最多有$k$不相交的未成年人$K_4$。对于$k = 0$，这是著名的串-并联图类。对于$k \ge 1$，我们表明典型实例具有复杂的树状结构，其中$2k+1$具有非常高程度的特殊顶点。证明结合了各种方法，包括新的结构结果，罗伯逊和西摩的图子理论和分析组合。
2019-07-14 math.CO
The $k$-in-a-tree problem for graphs of girth at least~$k$
对于所有整数$k\geq 3$，我们给出了问题的$O(n^4)$时间算法，该问题的实例是周长至少为$k$和$k$顶点的图$G$，问题是“$G$是否包含一个包含$k$顶点的导出子图且同构于树？".对于$k=3$，这直接遵循Chudnovsky和Seymour的三叉树算法，对于$k=4$，这直接遵循Derhy、Picouleau和Trotignon的结果。这里我们解决了$k\geq 5$的问题。我们的算法依赖于周长至少$k$不包含一个诱导树覆盖$k$给定顶点（$k\geq 5$）的图的结构描述。
2013-09-05 cs.DM math.CO
Towards a conjecture on long induced rainbow paths in triangle-free graphs
该研究针对无三角形图中长诱导彩虹路径的存在性问题，改进了现有结果并证明了路径能覆盖半数颜色。
2026-01-02 cs.DM math.CO
Unique colorability and clique minors
对于图G，设h（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通非空子图的最大k，设s（G）表示使得G有k个两两不相交的两两相邻连通大小为1或2的子图的最大k. Hadwiger猜想指出h（G）至少是c（G），其中c（G）是G的色数. Seymour证明了s（G）至少是|V（G）|/2，对所有不含反三角形的图，i. e.三个两两不相邻的顶点在这里，我们集中在图G的恰好一个c（G）-染色。我们证明了（i）如果c（G）至多为6且G恰好有一个c（G）-染色，则h（G）至少为c（G），这里的证明不使用四色定理;（ii）如果G没有反三角形且G恰好有一个c（G）-染色，则s（G）至少为|V（G）|/2.
2015-08-06 math.CO
Directed graphs without short cycles
对于没有环或平行边的有向图$G$，令$β(G)$表示最小反馈弧集的大小，即，最小子集$X \subset E(G)$，使得$G \sm X$没有有向圈。令$γ(G)$是$G$中不相邻的无序顶点对的数目。证明了最短有向圈长度不小于$r \ge 4$的有向图满足$β(G) \le cγ(G)/r^2$，其中$c$是一个绝对常数.这与常数因子紧密相关，并扩展了Chudnovsky、Seymour和Sullivan的结果。这个结果也可以用来回答Yuster关于有向图中几乎给定长度圈的一个问题。我们证明了对于任何固定的$0 < θ< 1/2$和足够大的$n$，如果$G$是一个有向图的$n$顶点和$β(G) \ge θn^2$，那么对于任何$0 \le m \le θn-o(n)$，它包含一个有向圈，其长度在$m$和$m+6 θ^{-1/2}$之间.此外，存在一个常数$C$，使得$G$包含$C$和$θn-o(n)$之间的任何长度的有向圈，或者它接近于具有简单结构的有向图$G'$：$G'$的每个强分支都是周期的。这些结果也与常数因子密切相关。
2008-09-26 math.CO
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
2016-12-21 math.CO
Every graph with no $\mathcal{K}_9^{-6}$ minor is $8$-colorable
对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对于每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。受著名的Hadwiger猜想的启发，Jakobsen在1971年证明了所有不含$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图都是$6$ -可着色的;最近，作者证明了所有不含$\mathcal{K}_8^{-4}$子图的图都是$7$ -可着色的。在本文中，我们继续我们的工作，并证明了任何没有$\mathcal{K}_9^{-6}$子图的图是$8$ -可着色的。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对所有九点图$H$成立，使得$H$是$ \mathcal{K}_9^{-6}$中每个图的子图。
2022-10-05 math.CO
Hadwiger's conjecture for $\ell$-link graphs
在本文中，我们定义和研究一个新的家庭的图形，概括的概念线图和路径图。设$G$是一个没有环但可能有平行边的图。$G$的\emph{$\ell$-link}是长度为$\ell \geqslant 0$的$G$的行走，其中连续的边是不同的。我们确定了一个$\ell$ -链接与其反向序列。$G$的\emph{$\ell$-link graph $\mathbb{L}_\ell(G)$}是具有$G$的$\ell$ -链接的顶点的图，使得如果两个顶点对应于$G$的每个$μ$ $(\ell + 1)$ -链接的两个连续性，则它们由$\mathbb{L}_\ell(G)$中的$μ\geqslant 0$边连接。通过揭示一个递归结构，我们从上界得到了$\ell$ -链图的色数.作为推论，对于给定的图$G$和足够大的$\ell$，$\mathbb{L}_\ell(G)$是$3$ -列.通过研究$G$中$\ell$ -链的分流，我们证明了非空$\mathbb{L}_\ell(G)$的Hadwiger数大于或等于$G$的Hadwiger数. Hadwiger猜想指出一个图的Hadwiger数至少是该图的色数。Reed和Seymour（2004）已经证明了这个猜想，并因此证明了$1$ -link图。我们证明了关于一类广泛的$\ell$ -链图的猜想。
2016-03-01 math.CO
Edge Clique Cover of Claw-free Graphs
本文利用无爪图的结构定理，证明了独立数至少为3的无爪图满足边团覆盖数不超过顶点数，并刻画了等号成立时的所有图。
2016-11-11 math.CO
Irrelevant Vertices for the Planar Disjoint Paths Problem
不相交路径问题询问，给定图$G$和一组终端对$(s_{1},t_{1}),\ldots,(s_{k},t_{k})$，是否存在连接$s_{i}$和$t_{i}$的$k$成对顶点不相交路径的集合，对于$i=1,\ldots,k.$在他们用于该问题的$f(k)\cdot n^{3}$算法中，Robertson和Seymour引入了不相关顶点技术，根据该技术，在树宽大于$g(k)$的每个实例中存在“不相关”顶点。顶点，其移除创建问题的等效实例。这一事实是基于著名的唯一链接定理，其-非常技术-证明给出了一个函数$g(k)$，这是负责一个巨大的参数依赖的运行时间的算法。在本文中，我们给出了一个新的和自包含的证明这一结果，强烈利用可平面图的组合性质，并实现了$g(k)=O(k^{3/2}\cdot 2^{k}).$我们的界是从根本上优于一般图的边界。
2016-06-20 cs.DS math.CO
Competition Numbers, Quasi-Line Graphs and Holes
有向无圈图D的竞争图是与D在同一顶点集上的无向图，其中两个不同的顶点相邻，如果它们在D中有一个共同的外邻居。一个无向图G的竞争数是使G成为一个有向无圈图的竞争图所需的最少孤立顶点数。我们解决了两个关于竞争图的问题。首先证明了Opsut的一个猜想，证明了每个拟线图的竞争数至多为2。回想一下，拟线图，也称为局部余二部图，是指每个顶点的邻域最多可划分为两个团的图。为了证明这一猜想，我们设计了一个替代的拟线图的一个由Chudnovsky和Seymour的特征。其次，我们证明了Kim的一个猜想，证明了任何图的竞争数至多大于图中洞的数目。我们的方法也使我们能够证明一个加强形式的这个猜想最近提出的Kim，Lee，Park和Sano，表明任何图的竞争数是最多大于的尺寸的循环空间的子空间的孔。
2013-10-23 math.CO
The Modular Nash--Williams Theorem
本文通过生成树打包研究 Tutte 流猜想，提出指定方向定理并证明图论加法基猜想，同时给出圆周流界及反例说明打包数大于 9/2 不足以保证模五方向。
2026-11-05 math.CO
The four-in-a-tree problem in triangle-free graphs
Chudnovsky和Seymour的三分树算法在时间上决定图的三个给定顶点是否属于导出树$O(n^4)$。在这里，我们研究了无三角形图的四叉树。我们给出了一个结构性的回答以下问题：什么是一个三角形的自由图看起来像如果没有诱导树覆盖四个给定的顶点？我们的主要结果说，任何这样的图必须有“相同的结构”，在某种意义上被精确定义，作为一个正方形或立方体。我们提供了一个$O(nm)$ -时间算法，给定一个三角形自由图$G$连同四个顶点输出要么诱导树，包含它们或分区的$V(G)$证明没有这样的树存在。证明了判定是否存在一棵覆盖四个顶点的树$T$使得$T$中至多有一个顶点的度至少为3的问题是NP-完全的.
2013-09-04 cs.DM math.CO
Excluded Forest Minors and the Erdős-Pósa Property
Robertson和Seymour的一个经典结果指出，包含固定可平面图$H$作为子图的图集具有所谓的Erdens-Pósa性质;即，存在仅依赖于$H$的函数$f$，使得对于每个图$G$和每个正整数$k$，图$G$具有$k$顶点不相交的子图，每个子图包含$H$作为子图，或者存在具有$|X| \leq f(k)$的$G$的顶点的子集$X$，使得$G - X$没有$H$ -子。虽然目前已知的最佳函数$f$在$k$中是指数的，但在$H$是森林的特殊情况下，$O(k \log k)$界限是已知的。这是一个后果的定理Bienstock，罗伯逊，西摩，和托马斯的路宽图排除森林小。本文证明了当$H$是森林时，函数$f$可以取线性.如果$H$有一个循环，那么在这个意义上，这是最可能的，即没有线性界限是可能的。
2013-05-23 cs.DM math.CO
Avoidability beyond paths
本文针对将可避免路径结果推广到其他结构的问题，明确带两个终端顶点的任意图的可避免性概念，给出正负结果，部分与相关近期工作有关。
2025-04-17 cs.DM math.CO
Odd clique minors and chromatic bounds of {3$K_1$, paraglider}-free graphs
本文研究独立数为 2 的图的奇团 minor 猜想，并针对不含 {3$K_1$, paraglider} 的图给出改进的最优线性色数界。
2025-08-31 math.CO
Point partition numbers: perfect graphs
本文考虑的图是有限的、无向的、无环的、但有多条边的图。对于整数$t\geq 1$，用$\mathcal{MG}_t$表示最大重数至多为$t$的图类。一个图$G$称为严格$t$ -退化图，如果$G$的每个非空子图$H$都包含一个顶点$v$，且该顶点在$H$中的度至多为$t-1$ . $G$的点划分数$χ_t(G)$是对$G$的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每个顶点都接受一种颜色，并且具有相同颜色的顶点诱导出$G$的严格$t$ -退化子图.所以$χ_1$是色数，而$χ_2$被称为点不纯性。点划分数$χ_t$与$t\geq 1$是由Lick和White提出的。如果$H$是简单图，则$tH$表示通过将$H$的每条边替换为$t$平行边而从$H$获得的图。则$ω_t(G)$是最大整数$n$，使得$G$包含一个$tK_n$作为子图。设$G$是属于$\mathcal{MG}_t$的图。则有$ω_t(G)\leq χ_t(G)$，我们说$G$是$χ_t$ -完美的，如果$G$的每个导出子图$H$都满足$ω_t(H)=χ_t(H)$ .基于Chudnowsky，Robertson，Seymour和Thomas的强完美图定理，给出了$\mathcal{MG}_t$的$χ_t$ -完美图的一个禁止导出子图集的刻画.我们还讨论了$χ_t$ -临界图类的一些复杂性问题.
2020-03-13 math.CO
Perfect digraphs
设$D$是一个有向图。给定顶点集合$S \subseteq V(D)$，$D$的$S$ -路径划分$\mathcal{P}$是$D$的路径集合，使得对于每个$P \in \mathcal{P}$，$\{V(P) \colon P \in \mathcal{P}\}$是$V(D)$和$|V(P) \cap S| = 1$的划分。我们说$D$满足$α$ -性质，如果对于$D$的每个最大稳定集$S$，存在$D$的$S$ -路划分，我们说$D$是$α$ -双完全的，如果$D$的每个导出子图满足$α$ -性质。有向图$C$是反有向奇圈，如果（i）$C$的底层图是圈$x_1x_2 \cdots x_{2k + 1}x_1$，其中$k \in \mathbb{Z}$和$k \geq 2$，并且（ii）每个顶点$x_1, x_2, x_3, x_4, x_6,$ $x_8, \ldots, x_{2k}$是源或宿。Berge（1982）证明了一个有向图是$α$ -双完全的当且仅当它不包含诱导反有向奇圈。请注意，这个猜想与Berge关于完美图的猜想惊人地相似-现在被称为强完美图定理（Chudnovsky，Robertson，Seymour和Thomas，2006）。据我们所知，Berge关于$α$ -双完全有向图的猜想仅在对称有向图和其基础图是完全的有向图中得到了验证。在本文中，我们证明了它的有向图…
2019-04-04 math.CO
