改进的 $L^2$ 估计用于梯度方案，以及 TPFA 有限体积方案的超收敛性
Improved $L^2$ estimate for gradient schemes, and super-convergence of the TPFA finite volume scheme
AI总结：
本文改进了梯度方案的 $L^2$ 估计，并通过改进的 HMM 方法证明了在特定条件下 TPFA 有限体积方案的超收敛性。
摘要：
梯度离散化方法是一种适用于扩散方程多种方案的通用框架，特别提供了在 $L^2$ 和 $H^1$-like 规范下的通用误差估计。本文建立了梯度方案的改进的 $L^2$ 误差估计。该估计应用于一系列梯度方案，即混合仿射混合（HMM）方案，并在局部补偿发生在定义方案的单元点和单元质心之间时，得到 $L^2$ 范数下的 $\mathcal O(h^2)$ 超收敛率。为了得出这一结果，设计了一个改进的 HMM 方法，仅通过改变源项的求积方式；这种改进的 HMM 即使在没有局部补偿的网格上也具有超收敛结果。最后，通过探讨 HMM 与两点流近似（TPFA）有限体积方案之间的联系，部分回答了一个长期存在的关于 TPFA 方案超收敛性的猜想。
英文摘要：
The gradient discretisation method is a generic framework that is applicable to a number of schemes for diffusion equations, and provides in particular generic error estimates in $L^2$ and $H^1$-like norms. In this paper, we establish an improved $L^2$ error estimate for gradient schemes. This estimate is applied to a family of gradient schemes, namely, the Hybrid Mimetic Mixed (HMM) schemes, and yields an $\mathcal O(h^2)$ super-convergence rate in $L^2$ norm, provided local compensations occur between the cell points used to define the scheme and the centers of mass of the cells. To establish this result, a modified HMM method is designed by just changing the quadrature of the source term; this modified HMM enjoys a super-convergence result even on meshes without local compensations. Finally, the link between HMM and Two-Point Flux Approximation (TPFA) finite volume schemes is exploited to partially answer a long-standing conjecture on the super-convergence of TPFA schemes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
