Stable limit cycles perturbed by noise
许多物理和生物系统表现出内在的循环动力学，被随机的外部扰动所改变。我们研究连续时间自治动力系统表现出稳定极限环，加性高斯白噪声扰动。我们推导出一个正式的近似样本路径的动态保持接近极限环，在相位坐标和偏差垂直于极限环。在偏差的前序中，相位以确定性的速度前进，并叠加了类似布朗运动的漂移。偏差本身采取（n-1）维Ornstein-Uhlenbeck过程的形式。我们将这些结果的情况下出现的极限环通过超临界Hopf分岔，这是广泛存在于生态和流行病模型。我们推导出系统的平稳自协方差和功率谱密度的近似公式。后两者反映了扰动对扰动极限环的时间相干性和谱带宽的影响。我们使用数值模拟验证了我们的结果，并将其应用于厄尔尼诺南方涛动。
2018-03-09 math.DS
Splitting of separatrices for rapid degenerate perturbations of the classical pendulum
本文研究了具有$g(τ)=\sum_{|k|>1}g^{[k]}e^{ikτ}$、$2π$ -周期函数和$μ,\varepsilon \ll 1$的快速扰动摆$H(x,y,t)=\frac{1}{2}y^2+(\cos(x)-1)+μ(\cos(x)-1)g\left(\frac{t}{\varepsilon}\right)$的分裂距离.这类系统经历指数小分裂，当$μ\ll 1$时，已知Melnikov函数实际上给出了$g^{[\pm 1]}\neq 0$提供的分裂函数的渐近表达式。我们的研究集中在案例$g^{[\pm 1]}=0$上，主要有两个原因。一方面，分裂的一般理解，因为目前的结果失败的扰动一样简单的$g(τ)=\cos(5τ)+\cos(4τ)+\cos(3τ)$。另一方面，在Arnold的原始扩散模型中，有理数频率$p/q$的环面的不变流形的分裂的研究导致考虑具有$ g(τ)=\sin\left(p\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right)+\cos\left(q\cdot\frac{t}{\varepsilon}\right), $的类哈密顿算子，其中，对于大多数$p, q\in\mathbb{Z}$，扰动满足$g^{[\pm 1]}\neq 0$。正如预期的那样，Melnikov函数在这种情况下不是分裂的正确近似。为了解决这个问题，我们使用分…
2023-02-15 math.DS
Singularly Perturbed Boundary-Focus Bifurcations
我们考虑光滑系统作为$ε\to 0$限制到具有边界焦点（BF）分岔的分段光滑（PWS）系统。在得到一个合适的局部规范形后，我们利用几何奇异扰动理论和爆破理论研究了含$0 < ε\ll 1$的光滑系统的动力学行为。我们发现，在PWS系统中的BF分支的类型决定的$ε-$依赖域收缩为零的$ε\to 0$，确定超临界Andronov-Hopf分支在一种情况下，和超临界Bogdanov-Takens分支在其他两种情况下的光滑系统的分支结构。我们还表明，PWS周期与BF分叉持续作为松弛周期的光滑系统，并证明存在一个家庭的稳定极限环连接的松弛周期内的$ε-$依赖域上述定期周期。我们的结果被应用到模型高斯捕食-食饵相互作用和机械振动受到摩擦。
2021-03-19 math.DS
On the number of limit cycles in quadratic perturbations of quadratic codimension four centers
研究了二次余维四中心$Q_4$的一般二次扰动的极限环分支问题。Gavrilov和Iliev为中心周围的周期环产生的极限环的数量设置了一个上界{ \it 8}。基于Gavrilov-Iliev的证明，本文证明了扰动系统最多有五个极限环，这些极限环出现在围绕中心的周期环中.我们还证明了存在由$Q_4$的周期环产生的具有三个极限环的扰动系统。
2010-11-10 math.DS
Double canard cycles in singularly perturbed planar systems with two canard points
考虑具有两个鸭点的奇摄动平面系统中包含两个鸭的双鸭圈。以往的工作研究了具有单参数层方程的奇摄动平面系统的复杂振动，包括松弛振动和鸭式环，这些系统恰好具有一个鸭式点、两个跳跃点或一个鸭式点和一个跳跃点。基于规范形理论、Blow-up技术和Melnikov理论，研究了两个非退化鸭点处两个Hopf破缺机制诱导的双鸭环.最后，我们将所得结果应用于一类具有二次阻尼的三次Lienard方程。
2020-07-20 math.CA math.DS
Bifurcation of limit cycles from a quadratic global center with two switching lines
本文将Picard-Fuchs方程方法推广到研究具有两条开关线的扰动微分系统的极限环分支。利用Picard-Fuchs方程，得到了相应的一阶Melnikov函数的详细表达式，该函数可用于确定扰动系统的极限环个数的上界.值得注意的是，我们大大简化了计算，而且这种方法也可用于研究其他具有两条开关线的微分系统的极限环个数。我们的结果还表明，开关线的数量有本质上的影响极限环从一个周期环分叉的数量。
2018-10-07 math.DS
Bifurcations of limit cycles of perturbed completely integrable systems
本文主要从几何角度研究扰动完全可积系统的极限环分支问题。
2016-02-09 math-ph math.DS math.MP
A limit-cycle solver for nonautonomous dynamical systems
对求解边值问题的一种数值方法进行了改进，使之能得到非自治动力系统的周期稳态解。该技术使用通过周期函数的三角插值获得的时间导数的矩阵表示。这样的微分矩阵产生三角多项式的导数的精确值，因此，可以用作数值方法的主要成分来求解非线性动力系统。应用这种方法，我们得到了正弦驱动摆的极限环和歧点以及电路的稳态响应。
2003-06-10 math.DS
On two-frequency quasi-periodic perturbations of systems close to two-dimensional Hamiltonian ones with a double limit cycle
研究了当相应的受扰自治系统具有双极限环时，双频拟周期扰动对接近于任意非线性二维Hamilton系统的影响问题.它的解对于非线性振动的同步理论和动力系统的分岔理论都有重要意义。在未扰动系统的固有频率与准周期扰动频率可互换的情况下，发生共振。平均系统的推导，使人们有可能确定的结构的共振区，也就是说，描述的行为的解决方案在附近的个人共振水平。这些系统的研究允许确定可能的分叉时产生的共振水平偏离未扰动系统的水平，这会产生一个双极限环在扰动自治系统。将所得理论结果应用于研究一个双频拟周期扰动的双曲型方程，并通过数值计算加以说明。
2020-11-22 math.DS
Response of an oscillatory differential delay equation to a single stimulus
在这里，我们分析研究响应的极限环解决方案的一个简单的微分延迟方程的单脉冲扰动的分段线性非线性。我们构建的未扰动的极限环解析，并能够完全表征扰动响应的正振幅和持续时间的脉冲在不同的点在极限环。我们确定扰动的最小值和最大值和周期的极限环，并显示如何修改这些脉冲从未扰动的情况下。
2016-10-06 math.DS
Limit cycles bifurcating from the quasi-homogeneous polynomial centers of weight-degree 2 under non-smooth perturbations
研究三次多项式微分中心在三次分段光滑多项式扰动下的极限环最大数量，利用一阶平均法获得切换线为$x=0$或$y=0$时的精确界，揭示非光滑系统比光滑系统拥有更多极限环。
2025-04-02 math.DS
Study of periodic orbits in periodic perturbations of planar reversible Filippov systems having a two-fold cycle
研究了一类由可逆分段光滑微分系统的非自治周期扰动得到的平面Filippov系统周期解的存在性。假设未扰动系统是一个简单的二重循环，其特征是一个封闭的轨迹连接一个可见的二重奇点。证明了在一定的一般条件下，摄动系统存在滑动周期解和交叉周期解。为了得到我们的结果，Melnikov的想法一起应用的工具，从几何奇异扰动理论。最后，研究了扰动的分段哈密顿模型。
2020-06-12 math.DS
Bifurcation of limit cycles of the nongeneric quadratic reversible system with discontinuous perturbations
利用Picard-Fuchs方程和Chebyshev空间对间断微分系统的性质，得到了非一般二次可逆系统在所有$n$次间断多项式内扰动时极限环个数的一个上界.
2018-10-07 math.DS
Singularly Perturbed Monotone Systems and an Application to Double Phosphorylation Cycles
单调动力系统理论在基因、蛋白质和信号网络的建模中非常有用。在单调系统中，每个净反馈环都是正的。另一方面，负反馈回路是许多系统的重要特征，因为它们是适应性和精度所必需的。本文证明了，只要这些负回路作用在一个相对较快的时间尺度上，（强）单调系统的主要动力学性质，即收敛到定态，仍然是有效的。一个应用程序是制定出一个双磷酸化的“无效循环”的基序，它在真核细胞信号转导中起着核心作用。
2007-03-07 math.CA math.DS
Multiplicity of limit cycles that appear after perturbations of hyperbolic polycycles
我们考虑双曲多环受扰动时出现的多重极限环。我们证明，特别是，如果这样的开折发生在一般的有限参数家庭，每个新的极限环的重数不超过在多圈分界线连接的数量。
2022-01-26 math.DS
Heteroclinic cycles and long-time behavior in a singularly perturbed three-species Lotka--Volterra system
Université Le Havre Normandie（勒阿弗尔诺曼底大学）
研究奇异摄动三物种Lotka--Volterra系统，证明循环优势在强不对称下持续，给出优势模式定量描述，并证明长时间行为为循环非周期，由三条异宿轨道组成。
2026-10-07 math.DS
Singularly Perturbed Oscillators with Exponential Nonlinearities
具有$ε>0$小的$e^{h(x)ε^{-1}}$形式的奇异指数非线性出现在许多不同的应用中。这些项对于$ε=0$具有基本的奇异性，导致根据$h$的符号而具有非常不同的行为。在本文中，我们考虑两个典型的奇摄动振子的指数非线性。我们对这两个系统应用合适的归一化，使得$ε\rightarrow 0$极限是分段光滑系统。由于我们研究的非线性，这个非光滑系统的收敛是指数的。通过对这两个模型系统的研究，我们使用了一个爆破的方法来证明这种指数收敛在某些情况下是无害的，而在其他情况下，它可能会导致进一步的退化。对于我们的第二个模型系统，我们通过扩展空间维度来处理这种退化，遵循Kristiansen [20]中的方法，并证明-对于两个系统-通过从具有理想双曲性特性的奇异环扰动来证明（唯一）极限环的存在。
2019-12-26 math.DS
Perturbed Euler top and bifurcation of limit cycles on invariant Casimir surfaces
考虑了欧拉顶的解析摄动。的扰动是基于这样的动力系统的泊松结构，在这样一种方式，该系统的Casimir不变量保持不变的扰动流。利用Poincaré-Pontryagin理论，研究了扰动系统在一阶扰动下不变Casimir曲面上极限环的存在性，给出了极限环个数的精确界.并给出了实例。
2019-10-16 math-ph math.CA math.DS
Four limit cycles from perturbing quadratic integrable systems by quadratic polynomials
本文对二次拟可积多项式系统是否存在4个极限环这一公开问题给出了肯定的回答。证明了当二次可积系统具有两个中心且受二次多项式扰动时，至少能产生4个具有（3，1）分布的极限环。采用Melnikov函数法。
2010-02-04 math.DS
Dynamics of a linearly-perturbed May-Leonard competition model
本文研究线性扰动May-Leonard竞争模型，发现小突变率下系统保留部分原有动力学并出现新稳定不动点，但破坏异宿连接，线性扰动显著影响系统行为。
2023-05-12 math.DS
Bifurcation of limit cycles from a cubic reversible isochrone
本文研究三次可逆等时中心系统在多项式扰动下的极限环问题，通过迭代公式分析阿贝尔积分的代数结构，给出极限环个数上界，并用数值模拟验证其存在性。
2025-03-12 math.DS
Stable manifolds for periodically perturbed maps
本研究证明当Hadamard-Perron定理的映射项含T周期变量时，其稳定流形为T周期函数的图像，并将Levinson关于自治系统周期扰动下吸引闭不变曲线的经典结果推广到混合微分方程。
2023-11-07 math.DS
Bifurcation of limit cycles in piecewise holomorphic systems separated by two external circles
本文研究由两个外圆分隔的三区域分片全纯系统扰动线性中心时极限环的分支数量，并证明在特定构型下四次系统至少存在十六个极限环。
2026-10-07 math.DS
Limit cycle bifurcations near a double homoclinic loop with a nilpotent saddle of order 2
本文通过研究具有二阶幂零鞍点的双同宿环附近的一阶Melnikov函数的展开式及展开式中的系数，讨论了该环附近的极限环分支.更确切地说，我们证明了在一定条件下，扰动系统在环的邻域内可以有11，13，14或16个极限环。最后，我们给出一个例子来说明我们的主要结果的有效性。
2016-09-29 math.DS
Limit cycles of piecewise polynomial perturbations of higher dimensional linear differential systems
平均理论已被广泛用于研究光滑和非光滑微分系统的周期解。本文将平均理论推广到一类正则摄动非自治$n$维间断分段光滑微分系统的周期解的研究。作为一个基本假设，我们假设未扰动系统存在一个满足$\dim(\mathcal{Z})<n.$的周期解集$\mathcal{Z}\subset\mathbb{R}^n$。然后，我们应用这个结果研究了一类具有两个区域的不连续分段多项式微分系统$x'=Mx$的周期解的极限环分支。更准确地说，我们研究了以下微分系统$x'=Mx+ \varepsilon F_1^n(x)+\varepsilon^2F_2^n(x),$在$\mathbb{R}^{d+2}$中的周期解，其中$\varepsilon$是一个小参数，$M$是一个$(d+2)\times(d+2)$矩阵，它具有一对纯虚共轭特征值，$m$零特征值和$d-m$非零实特征值。
2019-12-06 math.DS
Limit cycles for some families of smooth and non-smooth planar systems
本文利用Brouwer度平均方法，研究了一类线性中心受连续齐次向量场之和扰动的平面系统的极限环个数的下界.我们的结果可以应用到模型的光滑性是失去了对集$Σ=\{xy=0\}$。我们还应用它们提出了一个变种的希尔伯特第16问题，其中的目标是绑定的极限环的数量方面的单项式的一个家庭的多项式向量场，而不是这样做的程度。
2020-08-18 math.DS
Unveiling the dynamics of canard cycles and global behaviour in a singularly perturbed predator-prey system with Allee effect in predator
本研究通过数学分析揭示具有捕食者Allee效应的慢快Leslie-Gower模型的丰富动力学，包括canard环、分岔及全局稳定性，并验证了不同初始条件下的共存或灭绝模式。
2023-06-23 math.DS q-bio.PE
Adjoint-Based Projections for Uncertainty Quantification near Stochastically Perturbed Limit Cycles and Tori
本文提出一种基于伴随的边值问题方法，用于量化随机扰动极限环和准周期环面附近的不确定性，通过构造不变横向超平面和协方差闭式解，并在数值延拓软件coco中实现验证。
2024-04-20 cs.NA math.DS math.NA
The number of medium amplitude limit cycles of some generalized Liénard systems
我们将考虑两类特殊的线性中心的多项式扰动。对于所得到的扰动系统，这是广义Liénard系统，我们提供了确切的上界的极限环的数目，从线性中心的周期轨道分叉。
2012-08-30 math.CA math.DS
Limit cycles of linear vector fields on $(\mathbb{S}^2)^m \times \mathbb{R}^n$
本研究针对$(\u211d^2)^m \times \u211d^n$流形上的线性向量场，运用平均理论分析其受扰后从周期轨道连续统分支出极限环的存在性，并提出该类向量场极限环最大数量的公开问题。
2022-07-14 math.DS
Birth of limit cycles for a class of continuous and discontinuous differential systems in (d+2)-dimension
可逆微分系统$\dot{x}=-y$、$\dot{y}=x$、$\dot{z}=0$，以及$x,y \in R$和$z\in R^d$的轨道，除了平衡点$(0,0, z)$之外，都是周期性的。利用一阶平均理论，计算了系统$\dot{x}=-y$，$\dot{y}=x$，$\dot{z}=0$的周期轨道分叉的最大极限环个数，当系统受扰动时，首先在所有$n$次多项式微分系统类内，其次在所有两段不连续分段$n$次多项式微分系统类内，一个在$y> 0$中，另一个在$y<0$中。在第一种情况下，该最大数是$n^d(n-1)/2$，在第二种情况下是$n^{d+1}$。
2015-01-15 math.DS
On the non-persistence of Hamiltonian identity cycles
本文研究了扰动平面多项式Hamilton叶理的完整映射的首项。这一项的非零性意味着相应的哈密顿恒等循环的非持久性。我们证明，这确实发生在一般的扰动和周期，以及周期的哈密顿叶理度为2的recruitors。我们的方法依赖于陈的理论迭代路径积分，我们简要地恢复。
2008-05-30 math.AG math.DS
The Poincare map of randomly perturbed periodic motion
本文分析了一类具有稳定极限环且受小白噪声扰动的自治微分方程系统。在未扰动确定性系统的极限环附近，我们定义、构造和分析了随机扰动周期运动的Poincare映射。我们证明了第一次从映射不动点的一个小邻域（对应于未扰动的周期轨道）退出的时间可以用几何分布很好地近似。几何分布的参数与噪声强度一起趋于零。因此，我们的结果可以解释为周期运动对随机扰动的稳定性的估计。此外，我们还证明了首次退出时间的几何分布可以转化为应用中重要微分方程模型解的统计性质。为此，我们展示了三个数学神经科学的例子，其特点是复杂的振荡模式的几何分布。我们表明，在这些模型中的每一个新兴的振荡的统计特性充分解释了随机扰动的周期性运动在本文中确定的一般性质。
2012-06-02 math.DS math.PR nlin.AO
A note on a piecewise-linear Duffing-type system
在最近的工作中，有人建议，在一个分段线性系的极限环的数量可以密切相关的区域的数量，即系统是线性的相平面的部分的数量。本文构造了一类具有n个区域的扰动分段系统的例子，使得位移函数的一阶变分恒为零。然后利用位移函数的二阶变分表示为连续函数，推测系统不存在极限环。这个系统在控制理论中可以看作是一个反馈系统。
2007-11-06 math.DS
The regularized visible fold revisited
平面可见褶皱是分片光滑系统中的一个简单奇点。在本文中，我们考虑奇异摄动系统，限制到这种分段光滑分支的奇异扰动参数$ε\rightarrow 0$。或者，这些奇异摄动系统可以被认为是其分段对应物的正则化。该文件的主要贡献是演示使用连续的爆破变换在这种情况下，使我们能够获得详细的信息，在非常一般的假设下的过渡映射附近的折叠。我们应用这些信息来证明，第一次，存在一个局部唯一的鞍结分支的情况下，极限环，在奇异极限$ε\rightarrow 0$，放牧的不连续集。我们将这一结果应用到一个质量弹簧系统的运动带所描述的Stribeck型摩擦定律。
2020-06-17 math.DS
Variables Scaling to Solve a Singular Bifurcation Problem with Applications to Periodically Perturbed Autonomous Systems
通过变量的线性标度，我们将$\R^n$中的奇异分岔方程转化为一个等价方程，经典的隐函数定理可直接应用于该方程。这使得推导出存在一个独特的分支的解决方案，以及相关的属性的频谱的衍生物的奇异分支方程沿分支。利用这些结果，我们证明了一个由一个无扰动自治系统的$T$-周期极限环分支出的$T$ -周期扰动自治系统的周期解的存在性、唯一性和渐近稳定性.这个问题是经典的，但所提出的方法的新颖之处在于，它允许我们解决这个问题，没有任何减少的状态空间的维度，因为它通常是在文献中通过的Lyapunov-Schmidt方法。
2009-09-23 math.CA math.DS
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
2020-04-14 math.CA math.DS
Slow localized patterns in singularly perturbed 2-component reaction-diffusion equations
奇异摄动反应扩散方程中的局部模式通常由慢部分组成--在慢部分中，相关的解遵循简化空间动力系统中的慢流形上的轨道--交替地由快偏移组成--在慢部分中，解从一个慢流形跳到另一个慢流形，或者跳回到原始的慢流形。在本文中，我们考虑的存在性和稳定性的静态和旅行缓慢本地化模式，不表现出这样的跳跃，即完全嵌入在一个缓慢的流形的奇异摄动空间动力系统。这些模式在文献中很少被考虑，原因有二：（i）在文献中占主导地位的经典Gray-Scott/Gierer-Meinhardt型模型中，慢流形上的流动通常是线性的，因此不能表现出同宿脉冲或异宿前沿解;（ii）文献中出现的慢流形通常是“垂直的”--即由$u \equiv u_0$给出，其中$u$是快速变量--因此稳定性问题由简单（解耦）标量方程确定。目前的研究涉及一个一般系统的奇摄动反应扩散方程和几个明确的生态系统模型的动机，不引起非垂直正常双曲慢流形上的流动可能会表现出同宿和异宿轨道-对应于静止或旅行本地化模式。相关的谱稳定性问题是在领先的顺序给出的非线性，但标量，本征值问题与Sturm-Liouville特性，我们建立同宿脉冲模式通常是不稳定的，而异宿前线可以是稳定的或不稳定的。然而，我们也表明，同宿脉冲模式是渐近接近异宿周期可能是稳定的。
2021-05-27 math.AP math.DS
Limit cycle enumeration in random vector fields
该研究针对随机多项式平面向量场的极限环问题，证明了Kostlan-Shub-Smale系综下平均极限环数的下界，得到扰动中心焦点附近极限环数的极限定律与无穷小扰动下的精确渐近，结合动力系统与随机解析函数技术推进了相关计数问题研究。
2023-06-08 math.DS math.PR
