Entropic Measure and Wasserstein Diffusion
我们构造了一个新的随机概率测度，它在球面上和单位区间上都具有Gibbs结构，并以相对熵泛函作为Hamilton量.它分别关于球面和区间的光滑反同态作用满足一个拟不变公式。利用相应的分部积分法公式，用Dirichlet型方法构造了两类关于概率测度（球面上或单位区间上）的扩散过程.第一个与同胚群上的Malliavin布朗运动密切相关。第二种是热流的概率值随机扰动，其内在度量是二次Wasserstein距离。它可以看作是Wasserstein空间上的正则扩散过程。
2007-04-05 math.AP math.PR
Long-time behaviour of entropic interpolations
本文研究熵插值。这些测度值曲线描述了薛定谔问题[Sch 31]的最优解，薛定谔问题是找到一个独立布朗粒子系统的最可能演化的问题。熵插值在短时间内收敛于最优输运的McCann-Geodesics。在这里，我们专注于长时间的行为，证明特别是熵成本的渐近结果，并建立对热方程，这是梯度流的熵根据奥托演算解释熵插值的收敛。假设Bakry-{\displaystyle {\merry}}mery曲率维数条件，也给出了显式速率。在这方面，我们的工作的主要新颖之处之一是，我们能够控制长时间的行为熵插值假设CD（0，n）条件。
2021-07-08 math.AP math.PR
An entropic interpolation proof of the HWI inequality
本文给出了HWI不等式的一个路径证明，它是基于熵插值而不是位移插值。与后者不同，熵插值在空间和时间上都是正则的。因此，我们的方法更接近于文章第一部分[23]中提出的Otto-Villani算法，而不是[23]第二部分中提出的原始严格证明。
2018-07-18 math.CA math.PR
Spherical Harmonic Sliced Wasserstein Displacement Interpolation for Acoustic Source and Reflection Density Modeling
NuSpace Audio
本文提出球谐切片Wasserstein插值方法，用于声源与反射密度建模，通过新展开高效拟合密度并评估插值，实验证明优于线性与几何插值并实现模型降阶。
2026-09-21 cs.SD eess.AS eess.SP
On the convexity of the entropy along entropic interpolations
在测地测度空间的下界曲率的Lott-Sturm-Villani理论中，熵沿位移插值的凸性是至关重要的.由于离散空间不能是测地线，在离散环境中需要另一个类似的理论。取代位移插值熵的允许发展一个严格的微积分，与奥托的非正式微积分。当底层状态空间是一个黎曼流形，我们表明，一阶和二阶导数的熵作为时间的函数沿熵插值表示的标准Bakry-Émery运营商$Γ$和$ Γ_2$。另一方面，在离散设置中出现了新的操作符。我们的方法是概率的，它依赖于马尔可夫性和时间反演。我们通过流形上的布朗扩散和图上的随机游动来说明这些计算。我们还给出了一个新的统一证明，涵盖流形和图形的情况下，对数Sobolev不等式收敛到平衡。
2013-10-04 math.PR
Statistical learning in Wasserstein space
我们寻求回归和主成分分析（PCA）在度量空间的数据点的分布度量的Wasserstein度量的推广。我们将这些分析转化为多边际最优输运问题。特定的配方允许有效的计算，确保存在的最优解，并承认概率的解释路径（线段）的空间。应用该理论的插值经验分布，图像，功率谱，以及评估试验设计中的不确定性，设想。
2020-04-16 math.OC math.PR
An entropic interpolation problem for incompressible viscid fluids
鉴于研究不可压缩的无粘流体，Brenier介绍了在80年代后期放松的测地线问题解决阿诺德在1966年。而非无粘流体，本文件致力于不可压缩粘性流体。一个自然的类似的Brenier的问题，广义流不再支持绝对连续的路径，但布朗样本路径。结果表明，这个新的变分问题是一个熵最小化问题的边缘约束进入类凸极小化问题。本文探讨了这个变分问题和Brenier的原始问题之间的联系。它的对偶问题的推导和一般形状的解决方案进行了描述。在压力为良函数的限制性假设下，将其解的运动学形式显式化，并建立了其与Navier-斯托克斯方程的联系。
2017-04-07 math.PR
Soft Quantization using Entropic Regularization
Technische Universität Chemnitz（开姆尼茨工业大学）
本文研究了熵正则化量化问题的性质与鲁棒性，采用 softmin 函数和熵正则化的 Wasserstein 距离，通过随机梯度方法求解，控制参数可调整难度，并在多种实验中验证了性能。
2023-09-08 cs.LG math.OC math.PR
On the difference between entropic cost and the optimal transport cost
考虑在$\mathbb{R}^d$上将密度从$ρ_0$转移到$ρ_1$的Monge-Kantorovich问题，其代价函数是严格凸的.一个流行的放松的问题是一个参数的家庭称为熵成本问题。熵成本$K_h$、$h>0$的计算速度明显更快，并且已知当$h$趋于零时，$h K_h$收敛到最优输运成本。我们感兴趣的是收敛的收敛速率。我们发现，之间的差异$K_h$和$1/h$倍的最佳成本的运输有逐点限制时，运输一个压缩支持的密度，满足其他一些技术限制。该极限是$ρ_1$相对于$\mathbb{R}^d$上的黎曼体积测度的相对熵，该黎曼体积测度测量输运图的局部灵敏度。对于二次Wasserstein输运，该相对熵正好是$ρ_1$和$ρ_0$的熵差的一半。在这种情况下，我们补充了亚当斯等人的结果，Duong等人和Erbar等人，他们都使用伽马收敛。更令人惊讶的是，我们证明了这两个熵的差异（加上成本）也是最近由Wong和Wong引入的Dirichlet输运的极限。后者可以被认为是Wasserstein输运的乘法模拟，对应于非局部算子。它暗示了一个潜在的熵梯度流，在乔丹-金德勒-奥托的意义上，即使成本函数不是一个度量。证明是基于高斯近似薛定谔桥的$h$接近零。
2019-10-11 math.PR
Neural Sampling from Boltzmann Densities: Fisher-Rao Curves in the Wasserstein Geometry
Institute of Mathematics（数学研究所）；TU Berlin（柏林工业大学）
本文研究从非归一化玻尔兹曼密度采样问题，针对线性插值的质量瞬移缺陷，提出仅参数化能量并固定适当速度场的插值方法，对应Langevin动力学下KL散度的Wasserstein梯度流，并通过数值实验验证其有效性。
2024-10-04 cs.LG math.AP math.PR
Optimal transport and barycenters for dendritic measures
我们介绍和研究一个变种的Wasserstein距离的空间上的概率测度，专门设计来处理的措施，其支持有一个树枝状的，或树状结构与特定方向的取向。我们的动机是比较和插值植物的根系。我们的特征重心相对于这个度量，并建立根样措施的插值，使用这个新的度量，也是根样的，在一定意义上说，这个属性失败的传统Wasserstein重心。我们还建立了测地凸关于这个度量的各种泛函，其中一些我们希望有生物学上的重要性。
2019-10-17 math.OC math.PR q-bio.QM
Sharp Poincaré interpolation along Wasserstein geodesics
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
研究沿二次瓦瑟斯坦测地线的庞加莱常数的尖锐插值不等式，设\(\mu_i\)为\(\kappa_i\)-强对数凹概率测度及最优位移插值\((\mu_t)\)，给出不等式估计并刻画等式情况，用两端点博赫纳方法证明，解决了相关奇函数问题。
2026-09-02 math.FA math.MG math.PR
Diffusion processes as Wasserstein gradient flows via stochastic control of the volatility matrix
本文通过随机控制波动率矩阵，在欧氏空间和黎曼流形上分别建立了扩散过程的时间边际分布流与Wasserstein梯度流之间的对应关系，统一了Fokker-Planck方程的梯度流刻画。
2023-10-28 math.PR
Entropic regularisation of non-gradient systems
概率测度空间中的Wasserstein梯度流理论在过去的20年里取得了巨大的进展。它构成了一个统一的和强大的框架，在耗散偏微分方程（PDE）的研究提供了手段，以证明适定性，正则性，稳定性和定量收敛到平衡。最近发展的熵正则化技术为求解这些梯度流的快速有效的数值方法铺平了道路。然而，许多感兴趣的偏微分方程不具有梯度流结构，并且先验地，该理论不适用。在本文中，我们开发了一个时间离散熵正则变分方案的一般类这样的非梯度偏微分方程。我们证明了该方案的收敛性，并说明了所提出的框架的广度与具体的例子，包括非线性动力学福克-普朗克（Kramers）方程和非线性退化扩散的Kolmogorov型。还提供了数值模拟。
2022-01-14 math.AP math.PR
Entropic curvature on graphs along Schr{ö}dinger bridges at zero temperature
将测地空间上的Lott-Sturm-Villani曲率理论推广到离散图空间。L{é}onard通过在熵曲率的定义中用Schr{ö}odinger桥代替W2-Wasserstein测地线[23，25，24]。作为一个值得注意的事实，当温度参数趋于零时，这些薛定谔桥被空间的测地线所支持。我们在离散图上分析这个性质，以达到离散空间上的熵曲率。我们的方法提供了下界的熵曲率的几个例子的图形空间：格Z n赋予计数措施，离散立方体赋予产品概率测度，圆，完全图，Bernoulli-Laplace模型。我们的一般结果也适用于一个大类的图，这在本文中没有专门研究。与Erbar-Maas关于图的结果[27，10，11]不同，本文的熵曲率结果在离散空间上给出了新的Pr{é}kopa-Leindler型不等式，并在上述图上给出了与精细浓度性质有关的新的输运熵不等式.例如在离散超立方体{0，1} n上，对于Bernoulli Laplace模型，得到了一个新的W2 - W1输运熵不等式，它不能用通常的归纳法在n维上导出.作为一个令人惊讶的事实，我们的方法也给出了与Talagrand [38]的所谓凸壳方法相关的弱输运熵不等式（见[28，15]）的改进。
2022-10-05 math.PR
From a large-deviations principle to the Wasserstein gradient flow: a new micro-macro passage
我们一方面研究了多个独立布朗粒子系统与确定性扩散方程之间的联系。对于一个固定的时间步长$h>0$，一个大偏差率泛函$J_h$描述了粒子系统在$t=0$的初始分布在$t=h$的行为。对于扩散方程，在时间离散的熵Wasserstein梯度流的一个单一的步骤，其特征在于功能$K_h$的最小化。通过证明$J_h$和$K_h$在$h$中等于二阶，作为$h\to0$，我们建立了这些系统之间的新联系。这一结果从微观上解释了扩散方程的熵-Wasserstein梯度流公式的起源。同时，这里提出的极限通道通过将其描述为熵梯度流，给出了底层粒子系统的物理自然描述。
2010-04-23 math-ph math.AP math.MP
Entropic curvature and convergence to equilibrium for mean-field dynamics on discrete spaces
考虑离散空间上粒子系统的平均场极限引起的非线性发展方程。我们调查的曲率边界的概念，这些动态的基础上凸的自由能沿插值在一个离散的运输距离相关的梯度流结构的动态。这个概念推广了Erbar和Maas研究的线性马尔可夫链动力学的概念。我们表明，正曲率界需要几个功能的不平等控制的动态收敛到平衡。我们从统计力学的各种经典模型的平均场极限的几个例子，建立明确的曲率界。
2019-08-09 math-ph math.MP math.PR
Provably convergent stochastic fixed-point algorithm for free-support Wasserstein barycenter of continuous non-parametric measures
INSEAD（INSEAD商学院）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文提出一种基于估计器的随机固定点框架，用于近似计算连续非参数概率测度的2-Wasserstein均值，并首次严谨分析了该算法的收敛性，提出了一种可证明收敛且计算可行的随机算法。
2026-10-07 cs.NA math.NA math.OC
Geometric Sparse Coding in Wasserstein Space
Tufts University（塔夫茨大学）
Wasserstein字典学习是一种无监督的方法，用于学习概率分布的集合，这些概率分布生成观察到的分布作为Wasserstein重心组合。用于Wasserstein字典学习的现有方法优化了一个目标，该目标通过重心插值来寻找具有足够表示能力的字典以近似观察到的训练数据，但不对与字典相关联的系数施加额外的结构属性。这导致字典密集地表示观察到的数据，这使得系数的解释具有挑战性，并且当在下游任务中使用学习的系数时，也可能导致经验性能差。相反，在欧氏空间中的稀疏字典学习的动机，我们提出了一个几何稀疏正则化的Wasserstein空间，促进表示的数据点只使用附近的字典元素。我们表明，这种方法导致稀疏表示在Wasserstein空间和地址的重心表示的非唯一性的问题。此外，当数据被生成为固定分布的Wasserstein重心时，该正则化器有助于在非正则化Wasserstein字典学习不适定的情况下恢复生成分布。通过对合成数据和真实数据的实验，我们证明了我们的几何正则化方法在Wasserstein空间中产生了更稀疏和更可解释的字典，在下游应用中表现更好。
2022-10-21 cs.CV cs.LG eess.SP
Projected Langevin dynamics and a gradient flow for entropic optimal transport
本文提出一种投影 Langevin 动力学，用于在给定边际分布的耦合集合上采样熵正则最优传输，证明其指数收敛并刻画其 Wasserstein 梯度流结构。
2023-09-15 math.AP math.PR stat.ML
Tree-Based Diffusion Schrödinger Bridge with Applications to Wasserstein Barycenters
École polytechnique（巴黎综合理工学院）；Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院联盟）；ENS（巴黎高等师范学校）；PSL University（巴黎文理研究大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出TreeDSB算法，将扩散薛定谔桥推广到树结构熵正则化多边际最优传输，并将其应用于高维Wasserstein重心计算，在图像插值和贝叶斯融合中验证了有效性。
2023-10-28 cs.LG math.PR stat.ML
Computing Barycentres of Measures for Generic Transport Costs
Université Paris Cité, CNRS, MAP5（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，MAP5）
本文研究了通用传输成本下barycentre的固定点方法，探讨其推广至更广泛传输成本和概率测度的应用，并展示收敛性结果及数值表现。
2026-07-17 cs.NA math.NA math.PR
A second order equation for Schrödinger bridges with applications to the hot gas experiment and entropic transportation cost
在Monge-Kantorovich问题中，用相对熵代替均方距离得到了\emph{Schrödinger problem}.它首先由薛定谔提出，作为描述大量布朗粒子最有可能演化的问题，这些粒子的条件是达到一种“意想不到的构型”。其最优值\textit{entropic transportation cost}及其最优解\textit{Schrödinger bridge}是运输成本和位移插值的自然概率对应物。此外，它们提供了一种从点提升到测度的自然方式，从而建立了布朗桥的概念。在这篇文章中，我们证明了薛定谔桥解决了一个二阶方程的黎曼结构的最优输运。粗略地说，这个方程说它的加速度是费歇尔信息的梯度。利用这一结果，我们得到了一个很好的定量描述的动力学，和一个新的函数不等式的熵运输成本，推广Talagrand的运输不等式。最后，我们研究了凸的Fisher信息沿Schrödigner桥，假设相关的\textit{reciprocal characteristic}是凸的。本文所发展的技术也非常适合于研究布朗运动的\emph{Feynman-Kac penalisations}。
2018-06-21 math.FA math.PR
Wasserstein Diffusion on Multidimensional Spaces
本文在任意闭Riemannian流形的概率测度空间上构造了一个关于entropic measure可逆的扩散过程，该过程关联于基于Otto calculus的Wasserstein梯度的正则Dirichlet form，并在球面和环面上证明了其非退化性。
2024-04-24 math.FA math.MG math.PR
Optimal Transport and Ricci Curvature: Wasserstein Space Over the Interval
本文讨论了测地测度空间上的最优输运的概念和相应的（2-）Wasserstein距离。然后，我们研究位移凸性的熵泛函的空间上的概率测度。特别地，我们给出了广义Ricci界的Lott-Villani-Sturm概念与光滑流形的经典概念一致的详细证明.证明了广义Ricci界在格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是保持的。特别是，我们详细研究了空间的概率测度的间隔，$P(X)$配备Wasserstein度量$d^W$。我们表明，这个度量空间是等距的希尔伯特空间，$L^2[0,1]$，这使得具体的计算，相反的通常状态的最优输运理论的事务的一个完全凸的子集。我们明确地证明了$(P(X),d^W)$有消失的Alexandrov曲率，并给出了一个易于工作的表达式，在这个空间上的熵泛函。此外，我们研究有限维Gromov-Hausdorff近似这个空间，并使用这些来构建一个措施的极限空间，熵措施首先考虑冯Renesse和Sturm。我们研究的措施，特别是解释为什么人们会期望它有广义里奇下界的性质。然后，我们表明，这实际上是不正确的。我们还讨论了找到一个不同的措施，承认广义里奇下界的可能性和后果。
2012-04-15 math.DG math.MG math.PR
Wasserstein geometry and Ricci curvature bounds for Poisson spaces
该研究在Poisson构形空间上定义扩展Wasserstein距离与形式Riemannian结构，利用非局部连续性方程证明相关空间的测地完备性，并得到Poisson空间的熵Ricci曲率下界等三个核心几何结果。
2023-03-01 math.FA math.PR
Limit Laws for Gromov-Wasserstein Alignment with Applications to Testing Graph Isomorphisms
本文首次在熵正则化GW距离下推导了离散、半离散及矩约束一般分布的GW经验距离极限定律，并基于此提出无需重采样的高效估计方法，应用于无标签图同构分布检验。
2024-10-23 math.PR math.ST stat.TH
