Degenerate Complex Monge Ampere Equation Part I
该研究解决了自丘成桐奠基性工作以来悬而未决的问题，刻画了Kähler流形上退化复Monge-Ampère方程解的奇异性态。
2024-09-13 math.AP math.DG
Isolated singularities of graphs in warped products and Monge-Ampère equations
研究了三维翘曲积空间中具有不可移孤立奇点的正外曲率图，并描述了它们在几种自然情况下在奇点处的行为.本文利用蒙日-安培方程对三维空间形式中的曲面进行了分类，这些曲面嵌入在不可移的孤立奇点周围，并且在每一点上都有一个规定的、实解析的、正的外曲率函数。具体地说，我们证明了这个空间是在一对一的对应空间的定期，解析，严格凸约旦曲线在2维球体$\mathbb{S^2}$。
2014-11-11 math.DG
Singularities of the solution to a Monge--Ampère equation on the boundary of the 3-simplex
本文研究3-单纯形边界上热带Monge–Ampère方程解的几何行为，证明其度量在6个奇点附近渐近于Gross–Wilson度量，并据此说明解在奇点处不具有C^{1,1}正则性。
2023-09-26 math.DG
Monge-Ampère equations with right-hand sides of polynomial growth
本文研究了右端项呈多项式增长的二维 Monge-Ampère 方程解的正则性与增长率，并据此证明 Gauss 曲率次仿射临界幂流的平移子是光滑、严格凸且具有特定增长率的完整图。
2024-06-01 math.AP math.DG
Singularities of the Chern-Ricci flow
The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics（阿卜杜斯·萨拉姆国际理论物理中心）
研究Chern-Ricci流有限时间奇点的性质，扩展了Di Nezza-Lu和Guedj-Lu的工作，建立了退化复 Monge-Ampère方程的先验估计。
2025-04-22 math.CV math.DG
The Complex Monge-Ampère Equation, Zoll Metrics and Algebraization
设M是实解析黎曼流形。$TM$上的适应复结构是零截面邻域上的复结构，使得黎曼叶理的叶是复子流形。如果该结构可以扩展到整个$TM$，则称为整个结构。证明了在$TM$上具有全适应复结构的$n$ -球面上唯一的实解析Zoll度量是圆球面.使用类似的想法，我们回答了一个特殊的情况下，代数化问题提出的第一作者，特征的一些Stein流形仿射代数的pluissubharmonic的耗尽功能满足齐次复蒙赫-安培（HCMA）方程。
2015-10-12 math.CV math.DG
Resolution a la Kronheimer of $\mathbb{C}^3/Γ$ singularities and the Monge-Ampere equation for Ricci-flat Kaehler metrics in view of D3-brane solutions of supergravity
我们分析了规范重力对应的广义Kronheimer建设的相关性。研究了IIB超重力D3膜解在奇异点$\mathbb{C}^3/Γ$的不同分辨率$Y$上的一般结构，其中$Γ$是$SU(3)$的有限子群.接下来，我们集中讨论D3-膜构造的另一个基本项，即，$Y$上Ricci平坦度量的存在性，特别注意$Γ=\mathbb{Z}_4$的情形.我们猜想，在例外因子的Kronheimer Kähler度量和Ricci平坦的，这是局部平坦的无穷大，重合。证明了该猜想在我们构造的${\rm tot} K_{{\mathbb WP}[112]}$上的Ricci平坦度量的情况下是成立的，它是$\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_4$的部分分解.对于全分辨率，我们有$Y=\operatorname{tot} K_{\mathbb{F}_{2}}$，其中$\mathbb{F}_2$是第二个Hizebruch曲面。我们尝试在Monge-Ampère（MA）方程中利用Kronheimer构造产生的$\mathbb{F}_2$上的单参数Kähler度量作为初始数据，将猜想的证明推广到这种情况.我们展示了这个MA方程的三个公式，一个是Kähler势，另外两个是辛势;在所有情况下，都可以建立正则丛纤维变量幂的级数解。MA方程的主要性质是它不对例外因子的初始几何形状施加任何条件，而是唯一地确定所有后续项作为…
2021-05-25 hep-th math-ph math.CV
Log-concavity of volume and complex Monge-Ampère equations with prescribed singularity
本文证明了具 prescribed singularity 的复 Monge-Ampère 方程解的存在性与唯一性，去除了小无界轨迹假设，并证实了闭正 $(1,1)$-currents 体积对数凹性猜想，揭示了其与凸几何 Brunn-Minkowski 不等式的对应关系。
2020-03-12 math.AP math.CV math.DG
On the limit behavior of metrics in continuity method to Kahler-Einstein problem in toric Fano case
这是论文\cite{Li}的延续。在任意环面Fano流形上，讨论了Kahler-Einstein问题中一类连续的复Monge-Ampere方程的解的度量序列的极限度量的性质.我们证明了极限度量满足一个奇异的复Monge-Ampere方程。这表明了极限度量的圆锥型奇点。圆锥曲线型奇点的信息可以从矩多面体的几何中读出。
2011-09-05 math.DG
On the entire self-shrinking solutions to Lagrangian mean curvature flow
证明了具有一致有界凸初值的对数Monge-Ampère流满足远离时间的一致衰减估计$t=0$ .然后应用衰减估计，我们得出结论：如果函数$|x|^{2}D^{2}u$在无穷远处的最小特征值的下界有大于$2(1-1/n)$的一致正下界，则方程{equation*} \det D^{2}u= \exp \{n（-u+1/2 \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}）\}，{equation*}的每一个经典严格凸解都应该是二次多项式.利用类似的方法，我们可以证明方程{equation*} \sum_{i=1}^{n} \arctan λ_{i}=-u+1/2 \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}的任何经典凸或凹解. {equation*}必须是二次多项式，其中$λ_{i}$是Hessian $D^{2}u$的特征值。
2012-03-15 math.AP math.DG
Removable singularities for nonlinear subequations
研究退化椭圆型方程的可去奇点问题。设F是流形X上退化椭圆型的完全非线性二阶偏微分子方程。我们研究这个问题：X中的哪些闭子集E具有X-E上的每个F-下调和函数（子解）（它在E上局部有界）扩张到X上的F-下调和函数的性质。本文还研究了在E上连续的F-调和函数（解）的有关问题.主要结果是：如果存在一个凸锥子方程M使得F+M包含在F中，则任何M-极的闭集E都具有这些性质.成为M-极函数意味着E = {f = - \infty }其中f是X上的M-次调和函数，并且在E的外部是光滑的.给出了许多例子和推广。这些包括可去奇点的复杂和四元数的Monge-Ampere方程的所有分支的结果，和一般的可去奇点的几何定义的子方程的谐波的结果。对于R^n中具有单调锥M的纯二阶子方程，引入Riesz特征p = p（M），并证明了对于任意具有局部有限Hausdorff（p-2）-测度（或更一般地，具有（p-2）-容量零）的闭奇异集E的扩张定理.这适用于例如方程s_k（D^2 u）= 0（第k个初等函数）的分支，其中p（M）= n/k。对于凸锥子方程本身，证明了几个可去奇点定理，与上述结果无关。
2014-03-06 math.AP math.DG
Periodic Maximal surfaces in the Lorentz-Minkowski space $ł^3$
完备平坦Lorentzian 3-流形$\N$中具有孤立奇点的极大曲面$\sb$称之为整的，如果它提升到$ł^3.$中的（周期）整重图$\tilde{\sb}$.另外，$\sb$称之为有限型的，如果它有有限拓扑，有多个奇点，且$\tilde{\sb}$是单圈的. $\N$中具有孤立奇点的完全真极大浸入是整的，而$\N$中具有有限个奇点的全嵌入极大曲面是有限型的.本文对含有有限型整极大曲面的完全平坦Lorentzian三维流形进行了分类，并讨论了这类曲面的拓扑、Weierstrass表示和渐近性质。最后，我们构造了$ł^3$中周期整嵌入极大曲面的新例子，其基本片具有多个奇点。
2005-01-17 math.DG
Schauder estimates for equations with cone metrics, I
这是第一篇论文在一系列发展的线性和非线性理论椭圆和抛物型方程的凯勒品种温和的奇异性。当$\mathbb{C}^n$上的背景Kähler度量沿光滑复超曲面具有锥奇点时，Donaldson建立了线性和复蒙日-安培方程的Schauder估计.本文证明了在背景度量为$β\in (0,1)$的$g_β= \sqrt{-1} ( dz_1 \wedge d\bar{z_1} + \ldots + β^2|z_n|^{-2(1-β)} dz_n \wedge d\bar{z_n}) $下，$\mathbb{C}^n$上线性椭圆型和抛物型方程的一个精确的逐点Schauder估计.我们的结果给出了Donaldson的一个有效的椭圆Schauder估计，并直接证明了锥Kähler-里奇流的短时存在性.
2016-11-30 math.DG
The number of conformally equivalent maximal graphs
我们发现，整个极大图的数量与200多个奇点是共形等价的是一个普适常数，只依赖于奇点的数量，即2^$的图与n+1奇点。我们也给出了一个明确的描述，整个极大图的家庭与有限个奇点，他们都躺在一个平面上正交的极限法向量在无穷远。
2009-03-17 math.DG
Affine Manifolds, SYZ Geometry, and the "Y" Vertex
我们研究真正的蒙日-安培方程在二维和三维，无论是从SYZ猜想的角度来看，其中的解决方案产生半平坦的卡-丘和仿射微分几何，其中的解决方案产生抛物仿射球超曲面。我们找到明确的例子，连接的全纯函数表示希钦的特殊拉格朗日模空间的描述，并构建显式的发展映射对应于类型$I_n$椭圆纤维（超凯勒旋转后）的奇点。在Baues和Cortés之后，我们证明了二维椭圆仿射球面上的各种度量锥在三维中产生蒙日-安培方程的解。然后，我们证明了一个局部和整体存在定理的椭圆仿射两球度量与规定的奇异性。在两个球面上减去三个点的度量锥产生沿着“Y”形轨迹具有奇点的抛物仿射球面。这给出了“Y”顶点附近的半平坦卡拉比-丘度量。在勘误表中，我们修正了椭圆仿射球方程解中的一个缺口（有一个小小的警告，方程中的一个参数，三次微分，必须小于我们之前假设的）。新的证明仍然允许我们利用Baues-Cortés的结果在“Y”顶点的邻域中构造半平坦的Calabi-Yau度量.我们也给出了一个替代的建设这样的半平坦的Calabi-Yau度量使用的结果，双曲仿射球由于第一作者。
2008-09-09 hep-th math.AP math.DG
Singly periodic maximal graphs with isolated singularities in Lorentz-Minkowski 3-space
Indiana University South Bend（南本德印第安纳大学）；Hiroshima University（广岛大学）
利用Weierstrass表示法构造了具有孤立锥状奇点的单周期极大曲面，探讨了其在洛伦兹-闵可夫斯基3空间中的性质。
2026-04-16 math.DG
On the non-degenerate and degenerate generic singularities formed by mean curvature flow
本文研究了由中曲率流（MCF）形成的一般奇点的邻域。我们将我们的考虑限制在$\mathbb{S}^3\times\mathbb{R}$上建模的奇异性，因为与$l\geq 2$的情况相比，$\mathbb{S}^k\times \mathbb{R}^{l}$的情况下，目前的情况下有最少的可能性被考虑。对于各种可能性，我们提供了一个小的，但固定的，奇异性的邻域的详细描述，并证明了一个小的奇异性的邻域是平均凸的，和奇异性是孤立的。对于其余的可能性，我们推测，整个邻域的奇点成为奇异的时候，爆破，并提出证据来支持这一猜想。一个关键技术是，当寻找一个主导方向的重新缩放的MCF，我们需要一个正常的形式变换，因此，重新缩放的MCF是参数化的一些选定的弯曲的圆柱，而不是在一个标准的直。这是一篇很长的论文。引言是精心编写的，以提出关键步骤和想法。
2021-07-26 math.AP math.DG
The space of complete embedded maximal surfaces with isolated singularities in the 3-dimensional Lorentz-Minkowski space $ł^3$
我们证明了三维Lorentz-Minkowski空间$L^3$中具有有限个奇点的完全嵌入极大曲面在Lorentzian等距下是任意类空平面上的整图，该整图渐近于垂直半悬链面或水平面，且具有锥状奇点.本文研究了$\{x_3=0\}$上具有$n+1 \geq 2$类锥奇点和无穷远点垂直极限法向量的整极大图空间$G_n$。证明了$G_n$是一个维数为$3n+4,$的实解析流形，其坐标由$R^3$中奇点的位置和端点的对数增长给出.我们还引入了具有$n+1$奇点的{ \em marked}图的模空间$M_n$（图中的标记是其奇点的一个序），它是$G_n.$的一个$(n+1)$-片覆盖。我们证明了识别因平移、绕垂直轴的旋转、关于水平面的同素或对称而不同的标记图，相应的商空间$M_n$是维数为$3n-1.$的解析流形
2005-01-27 math.DG
Double-periodic maximal surfaces with singularities
构造并研究了极大曲面方程的一类双周期几乎整解。解由$3\times 3$ -矩阵（所谓的生成矩阵）的子流形参数化。我们证明了所构造的解是类空的或具有光锥型孤立奇点的混合型解。
2009-03-07 math.CV math.DG
Zero mean curvature entire graphs of mixed type in Lorentz-Minkowski 3-space
经典地知道，根据Bernstein定理，在欧氏3-空间中只有零中曲率整图是平面。若Lorentz-Minkowski三维空间$\boldsymbol{R}^3_1$中的曲面的因果类型由类空变为类时，则称该曲面为混合型曲面.在$\boldsymbol{R}^3_1$中，Osamu Kobayashi发现了两个非平面的混合型零中曲率整图。据作者所知，这两个例子是唯一已知的例子，整个零中曲率图的混合型无奇点。本文在Lorentz-Minkowski $3$ -空间中构造了几类实解析零中曲率的混合型整图.上面提到的整个图都属于这些类之一。
2016-03-04 math.DG
Topological Signals of Singularities in Ricci Flow
我们实现的方法，从计算同源性，以获得一个拓扑信号的奇点形成的选择几何形状演变的数值里奇流。我们的方法，基于持久的同源性，产生精确的，定量的措施，描述整个收集的数据在一个离散的时间样本的行为。我们分析了几何临界性的拓扑信号，从应用持续的同源性模型下表现出奇异性里奇流的数值。我们得到的结果表明，这些数值模型的拓扑信号区分全球奇异性的形成（崩溃到一个圆点）从局部奇异性的形成（颈夹）。最后，我们讨论了这些结果的解释和意义以及未来的应用。
2017-08-02 math.AT math.DG
