Rainbow induced subgraphs in proper vertex colorings
对于给定的图$H$，我们定义$ρ(H)$为图$G$的最小阶，使得$G$的每一个真点染色都包含一个与$H$同构的彩虹诱导子图.我们给出了$ρ(H)$的上界和下界，计算了某些类图的精确值，并考虑了一个有趣的组合问题与路径的$ρ(H)$的计算。本研究的动机是一些想法，在线图着色算法。
2011-05-18 math.CO
Graph colorings under global structural conditions
十多年前的2008年，图论中出现了一种新的图着色，即图的{ \it彩虹连通着色}，随后又出现了图的{ \it真连通着色、单色连通着色、无冲突连通着色}等图着色的新概念。在近十年的研究中，我们发现这些新的图着色概念与经典的图着色有很大的不同。这些图的{ \it着色连接着色}是全新的着色，它们需要考虑图在着色下的全局结构性质（例如连通性）;而图的传统着色是仅考虑图的局部结构性质（邻顶点或边）的着色。经典染色和新的有色连通染色都能产生所谓的色数。我们称着色联络数为{ \it全局色数}，称经典或传统色数为{ \it局部色数}。本文旨在阐明色连通染色与传统染色的区别，并在此基础上提出了保持有色图全局结构性质的全局染色和全局色数的新概念.
2020-09-15 cs.DM math.CO
Edge Coloring Signed Graphs
我们定义了一个边着色的方法签署的图，这意味着这样的着色是适当的。我们的方法有许多理想的性质：它专门针对通常的边染色的概念时，签署的图是全负的，它有一个自然的定义，在一个线图的顶点染色，和所需的最小颜色数的签署单图的适当着色是有界的Δ + 1以上平行于Vizing定理。事实上，Vizing定理是关于符号图的更困难的定理的特殊情况。
2018-12-04 math.CO
The proper conflict-free $k$-coloring problem and the odd $k$-coloring problem are NP-complete on bipartite graphs
本文研究了图的正常着色问题，证明了对于任意整数 $k\geq3$，PCF $k$-Coloring 和 Odd $k$-Coloring 问题在二部图上均为 NP 完全的，且 PCF $4$-Coloring 问题在平面图上也是 NP 完全的。
2022-08-17 cs.CC math.CO
Ordinary and measurable colorings of Euclidean three-space
该研究利用OpenAI的平面特征定律刚性定理，证明三维欧氏空间的普通色数与可测色数相等，且均介于7和15之间。
2026-10-15 math.CO
Estimates for the number of vertices with an interval spectrum in proper edge colorings of some graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得使用$t$中的每一种颜色，并且相邻的边被不同地着色。与$G$的顶点$x$关联的边的颜色的集合被称为$x$的谱。如果图$x$的谱是整数区间，则图$G$的正常边$t$ -染色是其顶点$x$的区间.图$G$的正常边$t$染色是其顶点$x$的持续区间，如果$x$的谱是从色1开始的整数区间.对于某些图类中的图$G$，我们得到了$G$的正常边$t$ -染色为区间或持久区间的可能顶点数的估计.
2012-05-01 cs.DM math.CO
Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
2007-04-20 math.CO
Proper conflict-free and unique-maximum colorings of planar graphs with respect to neighborhoods
图{ \em相对于开}的{ \em无冲突着色}（相应地，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，在其开域中存在恰好出现一次的颜色（相应地，关闭）社区。类似地，图{\em相对于开}的{\em唯一最大着色}（分别，{ \em closed}）{ \em neighborhood}是顶点的着色，使得对于每个顶点，出现在其开放（相应地，封闭的）邻居只出现一次。关于这两个概念有大量的文献，其中着色不需要适当，即，允许邻顶点具有相同的颜色。本文主要研究可平面图的两种着色问题。我们建立了上界的颜色的数量在类的可平面图的所有考虑的着色，并提供建设的可平面图达到相对较高的值，相应的色数。作为主要结果，我们证明了每个平面图都有关于开邻域的最多10种颜色的唯一最大真染色，并给出了可平面图至少需要$6$颜色的例子.我们还建立了外平面图的紧上界。最后，我们提供了几个新的界限也考虑着色的不适当的设置。
2022-07-11 cs.DM math.CO
Note on the number of proper colorings of a graph
我们提出了一个更简单的证明，最近刘和Murty使用Tur'an筛得到的图的正确着色数的界（事实上，我们证明了一个更强的不等式）。我们还指出，这些结果被归入一个更强的结果，由于Lazebnik在1990年。
2006-09-06 math.CO math.NT
Restricted extension of sparse partial edge colorings of hypercubes
我们考虑以下类型的问题：给定$d$维超立方体$Q_d$的部分正确$d$ -边着色，以及$Q_d$的非着色边的允许颜色列表，我们可以仅使用列表中的颜色将部分着色扩展到正确的$d$ -边着色吗？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分着色和色表满足一定的稀疏性条件。
2017-11-03 math.CO
Nordhaus-Guddam Type Relations of Three Graph Coloring Parameters
设G是一个单图。图G的顶点的染色称为：（i）2-真染色，如果距离为2的顶点接收不同的颜色;（ii）内射染色，如果拥有共同邻居的顶点接收不同的颜色;（iii）正方形染色，如果距离至多为2的顶点接收不同的颜色。本文研究了2-真色数、单射色数和平方色数的Nordhaus-Guddam型不等式.
2012-09-11 math.CO
On the existence of a rainbow 1-factor in proper coloring of K_{rn}^{(r)}
El-Zanati等人证明了：对于完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任意1-因子分解$\mathcal{F}$，若其具有$r\geq 2$和$n\geq 3$，则存在彩虹1-因子.我们推广了他们的结果，证明了在完全一致超图$\mathcal {G}=K_{rn}^{(r)}$的任何带有$r\geq 2$和$n\geq 3$的适当染色中，都存在彩虹1-因子。
2007-11-19 math.CO
Proper edge coloring with rainbow diamonds
受Gyárfás和Sárközy定义的B-着色启发，提出一种新的边着色D-着色，要求每个菱形子图是彩虹的，并给出D-色指数上界及猜想。
2026-06-05 math.CO
Nowhere-Harmonic Colorings of Graphs
图的真点着色与它的边界映射有关，也称为它的符号点边关联矩阵。图的顶点拉普拉斯算子是边界映射的自然扩张，它使我们引入无处调和着色和类似的色多项式以及斯坦利定理，该定理将色多项式的负评价与非循环方向联系起来。此外，我们还讨论了一些例子，证明无处调和着色更复杂，从枚举的角度比适当的着色。
2010-11-17 math.CO
Coloring intersection hypergraphs of pseudo-disks
证明了一类$n$伪圆盘关于另一类伪圆盘的交超图允许$4$颜色的正常染色和$O(\log n)$颜色的无冲突染色.一路上，我们证明了相应的Delaunay图是平面的。我们还证明了一类具有线性并复杂度的$n$区域关于一类伪圆盘的交超图允许常色正常染色和$O(\log n)$色无冲突染色.我们的结果作为一个共同的推广和加强的许多早期的结果，包括正确的和冲突的染色点的伪磁盘，染色区域的线性联盟复杂性的点和染色磁盘的磁盘。
2018-09-18 cs.CG math.CO
The forb-flex method for odd coloring and proper conflict-free coloring of planar graphs
本研究提出贪心着色新工具forb-flex方法，结合放电法改进了平面图奇着色与正常无冲突着色的色数上界，优化了已有研究结果。
2024-01-26 math.CO
On restricted colorings of $(d,s)$-edge colorable graphs
如果一个循环的边被两种不同的颜色正确着色，则该循环是$2$着色的。一个$(d,s)$ -边可着色图$G$是一个$d$ -正则图，它允许一个适当的$d$ -边着色，其中$G$的每条边至少在$s-1$ $2$ -着色$4$ -圈中.给定一个$(d,s)$ -边可着色图$G$和满足一定稀疏性条件的$G$的边的禁色列表分配$L$，证明了$G$存在一个避免$L$的$d$ -边适当着色，即$G$的适当边着色$φ$，使得对$G$的每条边$e$都有$φ(e) \notin L(e)$.
2019-05-25 math.CO
Majority dominator colorings of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图.图$G$的多数支配着色是指图的每个顶点至少支配一个色类的一半的真着色。多数支配色数$χ_{md}(G)$是$G$的多数支配着色中颜色类的最小数目。本文研究了图的多数支配染色的性质。利用色数、控制色数、最大度、控制数和独立数得到了紧的上、下界。我们还研究了所选图族的多数支配染色数。
2022-12-28 math.CO
About Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。本文回答了\cite{dun}关于图的秋天着色与其它几类图的秋天着色之间的关系的一些问题。
2009-09-15 math.CO
Graceful Coloring of Ladder Graphs
一个非空图$G=(V,E)$的优美k-染色是一个真点染色$f:V(G)\rightarrow\lbrace 1,2,...,k \rbrace$，$k\geq 2$，它诱导一个由$f^{*}(uv) = |f(u)-f(v)|$定义的真边染色$f^{*}:E(G)\rightarrow\lbrace 1, 2, . . . , k-1 \rbrace $，其中$u,v\in V(G)$ .使$G$具有优美$k$ -染色的最小$k$称为优美色数$χ_{g}(G)$ .本文研究了几类梯形图的优美色数。
2022-11-29 math.CO
Partially normal 5-edge-colorings of cubic graphs
在一个三次图的正常边染色中，如果与$e$相邻的边所使用的颜色集的基数为3或5，则边$e$是正常的。Petersen着色猜想认为每个无桥三次图都有正规5-边着色，也就是说，有一个真5-边着色使得所有的边都是正规的。本文证明了与Petersen着色猜想有关的一个结果。参数$μ_3$是Steffen在2015年引入的三次图的度量。我们的结果表明，每一个无桥三次图$G$都有一个适当的5-边染色，使得至少$|E(G)|-μ_3(G)$（不小于$\frac{4}{5}|E(G)|$）有许多边是正规的.这一结果改进了B 'ılková和Šámal的一些早期结果.
2019-11-15 math.CO
Coloring Distance Graphs on the Integers
给定一个正整数的集合D，整数上的关联距离图是以整数为顶点的图，如果它们的差在D中，则不同顶点之间有一条边。研究了距离图的色数。我们证明了，如果$D = {d_1,d_2,d_3,...}$，且对所有n都有$d_n | d_{n+1}$，则距离图有一个适当的4-染色。我们进一步找到了所有这类距离图的精确色数。其次，我们刻画了具有周期真染色的距离图，并给出了色数与周期真染色存在性之间的关系。
1998-05-19 math.CO
Strongly proper connected coloring of graphs
基于\emph{strong}边着色的概念，研究了图的\emph{connected coloring}的一个新的变形（每个颜色类形成一个\emph{induced}匹配）.特别地，如果边缘着色路径的颜色序列在至多两个距离内不包含相同项，则该边缘着色路径是\emph{strongly proper}。图$G$的\emph{strong proper connected}染色是指图$G$的每对顶点至少由一条强真路连接的染色，用spc（$G$）表示图$G$的这种染色所需的最少颜色数.本文证明了对于任何$2$ -连通图$G$，上界spc（$G$）$\leq$ {5}成立.另一方面，我们证明了存在具有任意大围长的$2$连通图满足spc（$G$）$\geq$ {4}.此外，我们还证明了圈长可被$3$整除的图满足spc（$G$）$\leq{3}$ .我们还简要地考虑了其他连接着色定义的各种限制的颜色序列的连接路径。例如，在$G$的\emph{nonrepetitive connected coloring}中，每对顶点都应该由颜色序列为\emph{nonrepetitive}的路径连接，也就是说，它不包含两个相邻的相同块。我们证明了$2$ -连通图是$15$ -可着色的，而$4$ -连通图是$6$ -可着色的，在连通非重复意义下.一个类似的结论与有限的上限的颜色的数量保持了更广泛的各种连接着色…
2023-02-08 math.CO
On Fall Colorings of Graphs
图$G$的降$k$ -染色是$G$的真$k$ -染色，使得$G$的每个顶点都看到其闭邻域上的所有$k$颜色。我们记${\rm Fall}(G)$为所有正整数$k$的集合，其中$G$具有下降$k$ -着色。本文研究了图的字典积和图的范畴积的落染色，并回答了\cite{dun}中关于完全图的范畴积的落染色的一个问题.然后，我们研究了并图的秋天染色。然后证明了图的降$k$ -染色可以约化为图在指定集合中的真$k$ -染色。然后，我们刻画了图的Mycielskian的秋天染色。最后，证明了对每个二部图$G$，${\rm Fall}(G^{c})\subseteq \{χ(G^{c}) \}$，判定是否为${\rm Fall}(G^{c})=\{χ(G^{c}) \}$是多项式时间的.
2009-09-15 math.CO
Proper conflict-free list-coloring, odd minors, subdivisions, and layered treewidth
本文研究图的正常无冲突列表着色问题，针对稀疏图与稠密图分别证明了两个逆命题，给出相关问题的部分答案，还得到子式闭族的更优界及分层树宽有界图的着色数上界，可应用于(g,k)-平面图。
2023-07-02 math.CO
Avoiding and extending partial edge colorings of hypercubes
考虑超立方体的部分边着色的推广和避免问题，即给定$d$维超立方体$Q_d$的部分边着色$φ$，我们关心的是是否存在$Q_d$的正确$d$ -边着色，它与在$φ$下着色的每条边的着色$φ$一致;或者，类似地，如果在$φ$下着色的每个边上存在与$φ$不一致的适当的$d$ -边着色。特别地，我们证明了对任何$d\geq 1$，如果$φ$是$Q_d$的部分$d$ -边染色，则$φ$是可避免的，如果每种颜色都出现在至多$d/8$边上，并且该染色满足一个相对温和的结构条件，或者$φ$是适当的，并且每种颜色都出现在至多$d-2$边上.我们还证明了如果$d$可被$3$整除且$φ$的每一个颜色类都是诱导匹配，则同样的结论也成立。此外，对于所有的$1 \leq k \leq d$，我们的特征在于，其中配置组成的部分着色$φ$的$d-k$边缘和部分着色$ψ$的$k$边缘，有一个扩展的$φ$，避免了$ψ$。
2021-04-01 math.CO
An introduction to equitable DP coloring of graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；University of Illinois at Urbana--Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文介绍了一种更一般的公平DP着色概念，扩展了传统公平着色的定义，并研究了这一新参数的性质。
2026-05-18 math.CO
Proper Distinguishing Colorings with Few Colors for Graphs with Girth at Least 5
图$G$的可区别色数$χ_D(G)$是$G$的真染色$φ$中的最小颜色数，使得$G$的唯一保持$φ$的所有颜色的自同构是恒等映射。柯林斯和特伦克指出，如果$G$与周长至少为5和$G\ne C_6$相连，则$χ_D(G)\le Δ+1$。我们证明了这个猜想。
2018-10-17 math.CO
A note on fall colorings of Kneser graphs
图G的秋天染色是指图G的k种颜色的真染色，使得每个顶点在其闭邻域上都能看到所有的k种颜色。本文刻画了KG（n，2）型Kneser图的所有秋天染色.
2018-11-09 math.CO
Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs
在适当的边着色中，每种颜色的边形成匹配。如果它的边的端点诱导匹配，则诱导匹配。强边染色是指每种颜色的边都形成诱导匹配的边染色。我们考虑中间类型的边缘着色，其中某些颜色的边缘被允许形成匹配，其余的形成诱导匹配。我们的研究是由Gastineau和Togni在最近的一篇关于S-填充边着色的论文中提出的猜想（关于三次图的S-填充边着色，离散应用数学259（2019），63-75）断言，通过允许三个额外的诱导匹配，人们能够保存一个匹配颜色。证明了最大度为3的图可以分解为一个匹配至多8个诱导匹配和两个匹配至多5个诱导匹配。我们还证明了如果一个图是I类图，则诱导匹配数可以减少一个，从而证实了上述猜想。
2020-11-04 cs.DM math.CO
Connectedness and Hamiltonicity of graphs on vertex colorings
给定一个图$H$，设$G^j_k(H)$是其顶点是$H$的真$k$ -着色的图，如果$H$在至多$j$顶点上包含一个连通子图，该连通子图包括着色不同的所有顶点，则其边连接两个着色。$G^1_k(H)$的性质已经被研究过，包括连通性和哈密尔顿性。引入并研究了参数$g_k(H)$和$h_k(H)$，它们分别表示使$G^j_k(H)$连通或Hamilton的最小$j$.
2015-07-19 math.CO
Asymptotically optimal neighbor sum distinguishing total colorings of graphs
给定图$G$的一个适当的全$k$ -染色$c:V(G)\cup E(G)\to\{1,2,\ldots,k\}$，我们定义一个顶点$v$的值为$c(v) + \sum_{uv \in E(G)} c(uv)$ .使$G$有一个其值构成一个真染色的真全$k$ -染色的最小整数$k$是$G$的邻和可区别色数数$χ"_Σ(G)$。Pilogniak和Woogniak（2013）证明了$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)+3$对于任何具有最大度$Δ(G)$的简单图。在本文中，我们证明了这个界是渐近正确的，通过显示$χ"_Σ(G)\leq Δ(G)(1+o(1))$。我们的论证的主要思想依赖于Przybytelo（2014）关于邻域和可区别边着色的证明。
2016-08-05 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
Remarks on proper conflict-free colorings of graphs
一个图的顶点染色称为关于邻域的\textit{conflict-free}，如果对于每个非孤立顶点，在其（开）邻域中有一种颜色只出现一次。如[Fabrici等人，\textit{Proper Conflict-free and Unique-maximum Colorings of Planar Graphs with Respect to Neighborhoods}，arXiv preprint]中，图$G$的任何这样的适当着色中的颜色的最小数目是$G$的PCF色数，记为$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$。本文对树、圈、超立方体和完全图的剖分等几类基本图确定了这个图参数的值。我们也给出了$χ_{\mathrm{pcf}}(G)$的上界的其他图参数。特别是，我们表明，$χ_{\mathrm{pcf}}(G) \leq5Δ(G)/2$和表征平等。对$4\le k\le 6$建立了图的PCF $k$ -可染性的几个充分条件.本文的结论与几个开放的问题。
2022-03-02 math.CO
On irredundance coloring and irredundance compelling coloring of graphs
本文研究图的非冗余着色与非冗余强制着色，定义并详细分析了非冗余色数和非冗余强制色数，探讨它们与其他着色及控制参数之间的关系。
2023-11-29 math.CO
On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Proper conflict-free 7-coloring of planar graphs
Instituto de Ingeniería Matemática – CIMFAV, Facultad de Ingeniería, Universidad de valparaíso（瓦尔帕莱索大学工程学院数学工程研究所-CIMFAV）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）
该研究针对不含K₅、Q₆子式的图，证明其恰当无冲突着色的7色上界，改进平面图此前的8色上界，还推导了不含Kₖ₊₁子式图的奇偶无冲突着色的2k-1色相关结论。
2026-08-04 math.CO
Distinguishing colorings, proper colorings, and covering properties without the Axiom of Choice
本文在无选择公理的ZF集合论中证明若干关于无限局部有限连通图的色数、边色数、区分数与区分指数的命题等价于Kőnig引理，并给出与AC或Kőnig引理等价的覆盖与支配集存在性新条件。
2024-05-26 math.CO math.LO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Extremal H-colorings of trees and 2-connected graphs
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保邻接映射. $H$ -着色推广了图中的独立集和真着色等概念。最近有很多关于极值问题的研究，即在一个固定的族中找到最大化或最小化$H$ -着色数的图。在本文中，我们证明了这方面的几个结果。首先，我们找到一类图${\mathcal H}$，它具有这样的性质：对于每个$H \in {\mathcal H}$，使$H$ -着色数最小的$n$ -顶点树是路$P_n$ .然后，我们提出了一个新的证明定理的Sidorenko，有效的大$n$，即对于每个$H$的明星$K_{1,n-1}$是$n$顶点树，最大限度地提高了$H$ -着色。我们的证明使用了一个稳定的技术，我们也用它来表明，对于任何非正规$H$（和某些正规$H$）的完全二分图$K_{2,n-2}$最大化的$H$ -着色的$n$ -顶点$2$ -连通图的数量。最后，我们证明了$C_n$圈使$n$ -顶点$2$ -连通图的真染色数最大化.
2016-10-20 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
On sublinear approximations for the Petersen coloring conjecture
如果$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$是一个函数，那么让我们说$f$是次线性的，如果\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{n}=0.\]如果$G=(V,E)$是一个三次图和$c:E\rightarrow \{1,...,k\}$是一个正确的$k$ -边染色的$G$，那么边$e=uv$的$G$是穷人（丰富）在$c$，如果边事件$u$和$v$是三（五）色。如果一个边既不富也不穷，那么它就是不正常的。Jaeger的Petersen着色猜想指出，任何无桥三次图都有一个正常的5-边着色$c$，使得$G$关于$c$没有异常边。对于$G$的正确5-边着色$c$，设$N_G(c)$是$G$关于$c$的异常边的集合。本文证明了：（a）Petersen着色猜想等价于存在一个次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，使得所有无桥三次图都有一个具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$;（b）对于$k=2,3,4$，存在次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$的陈述，使得所有（循环）$k$ -边连通三次图允许具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$等价于所有（循环）$k$ -边连通三次图允许一…
2021-04-19 cs.DM math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: I. Acyclic, star, and treewidth colorings
我们证明了对任意固定整数$m \geq 1$，最大度$Δ$的图有一个用$O(Δ^{(m+1)/m})$颜色着色的图，其中每个连通的双色子图至多包含$m$边.这一结果统一了先前已知的上界的颜色的数量足够的某些类型的图着色，包括星形着色，其中$O(Δ^{3/2})$颜色足够，和非循环着色，其中$O(Δ^{4/3})$颜色足够。我们的证明使用了Alon，McDiarmid和Reed的概率方法。这个结果也给出了以前未知的上界，包括这样一个事实，即最大程度$Δ$的图有一个适当的着色与$O(Δ^{9/8})$颜色，其中每个双色子图是平面的，以及一个适当的着色与$O(Δ^{13/12})$颜色，其中每个双色子图有树宽最多$3$。
2022-09-23 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
Characterization of Graphs with Villainy 2
设$f$是图$G$的一个最优真染色，$c$是图$G$的顶点的一个染色，它是通过置换真染色$f$中顶点的颜色得到的. $c$的缺点，写作$B(c)$，是必须重新着色的顶点的最小数量，以获得$G$的正确着色，附加条件是每种颜色的使用次数不变。$G$的劣性被定义为在$G$的所有最优适当着色上的$B(G)=max_{c}B(c)$。本文用$B(G)=2$刻画了图$G$.
2021-03-10 math.CO
Minimal colorings for properly colored subgraphs in complete graphs
令$pr(K_{n}, G)$为在没有$G$的正确着色副本的情况下$K_{n}$的边着色中的最大颜色数。在本文中，我们表明，$pr(K_{n}, G)-ex(n, \mathcal{G'})=o(n^{2}), $其中$\mathcal{G'}=\{G-M: M \text{ is a matching of }G\}$。此外，我们确定了$l\ge 27$和$n\ge 2l^{3}$的$pr(K_{n}, P_{l})$值以及$pr(K_{n}, G)$的精确值，其中$G$分别为$C_{5}, C_{6}$和$K_{4}^{-}$。并给出了$pr(K_{n}, K_{2,3})$的上界和下界.
2019-11-11 math.CO
Improved bounds for some facially constrained colorings
$2$ -边连通平面图的面奇偶边染色是指每一个面与每种颜色的零条或奇数条边关联的面真边染色。$2$ -连通平面图的面奇偶点染色是指每一个面与每种颜色的零个或奇数个顶点关联的面真点染色。Czap和Jendrocket（在平面图的面约束着色：一项调查，离散数学。340（2017），2691- 2703），证明了$10$颜色在两种着色中都足够。我们提出了一个无限的家庭的反例，这两个命题。平面图$G$的面$(P_{k}, P_{\ell})$ -WORM着色是顶点的着色，使得$G$不包含彩虹面$k$ -路径和单色面$\ell$ -路径。数学图论37（2017），353- 368），证明了对于任何整数$n\ge 12$，在$n$顶点上存在连通平面图，最大度至少为$6$，没有面部$(P_{3},P_{3})$ -WORM着色。他们还询问是否存在具有最大度$4$的图具有相同的属性。证明了对任意整数$n\ge 18$，存在一个连通平面图，其最大度为$4$，且无面$(P_{3},P_{3})$ -WORM染色.
2020-05-20 cs.DM math.CO
Between proper and square colorings of sparse graphs
该研究探讨介于正常着色与平方着色之间的packing着色，构造了不满足对应着色的稀疏/平面图，确定了平面图的最小围长条件，并拓展了次立方图的列表着色结果、强化了非列表可着色的平面图示例。
2025-09-03 math.CO
Star edge coloring of some classes of graphs
图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。
2013-07-04 math.CO
Coloring Graphs to Produce Properly Colored Walks
对于一个连通图，我们定义了正确行走连接数，它是使图的每对顶点之间都有行走，而没有两条连续的边具有相同颜色所需要的最少颜色数.我们证明了所有循环图的正确行走连接数至多为3，无桥图的正确行走连接数至多为2。我们还刻画了正确行走连接数等于2的二部图，并证明了这种刻画也适用于类似的问题，其中一个被限制为正确着色的道路。
2017-04-21 math.CO
On differences between DP-coloring and list coloring
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoconák和Postle引入的列表着色的推广。许多已知的列表-色数的上界可以扩展到DP-色数，但并不是所有的上界都可以扩展到DP-色数.在这篇文章中，我们描述了DP-着色的一些不寻常的性质，使它远离列表着色。特别地，我们给出了一个具有DP-色数$4$的平面二部图的例子，证明了具有$d\geq 2$的$d$ -正则图的边DP-色数总是至少为$d+1$ .
2017-10-31 math.CO
Equitable colorings of hypergraphs with few edges
研究了均匀超图的均匀染色的一个极值问题.回想一下，超图$H$的一个顶点着色称为真着色，如果在这个着色下没有单色边。一个超图被称为是公平$r$ -可着色的，如果存在一个适当的$r$颜色着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多一个。本文证明了：如果边数为$|E(H)|\leq 0.01\left(\frac{n}{\ln n}\right)^{\frac {r-1}{r}}r^{n-1}$，则超图$H$在$r<\sqrt[5]{\ln n}$的条件下是$r$ -可着色的.
2019-09-01 math.CO
Counting colorings of a regular graph
一个正则图最多允许多少个（真）q-染色？Galvin和Tetali证明了在所有的n-顶点图中，d-正则图具有2d| n，没有一个图比完全二部图K_{d,d}的n/2d个副本的不交并允许更多的q-染色.本文给出了这一猜想的渐近证据，给出了一个n-顶点d-正则图允许的q-染色数的上界，该上界为a^n b^{n（1+o（1））/d}（其中a和b依赖于q，当d趋于无穷大时o（1）趋于0），它与K_{d,d}的n/2d个拷贝的q-染色数在o（1）项上一致.一个辅助结果是正则图的着色数的一个上界。例如，我们证明了对所有偶数q和固定ε> 0，存在δ=δ（ε，q）使得一个没有大小为n（1-ε）/2的独立集的n-顶点d-正则图允许的真q-染色数至多为（a-δ）^n.
2012-05-11 math.CO
