Toward Parallel in Time for Chaotic Dynamical Systems
由于CPU时钟速度停滞不前，高性能计算机继续拥有更高的核心数量，因此需要增加并行性以利用这些新架构。传统的串行时间推进方案是一个显着的瓶颈，因为许多类型的模拟需要大量的时间步长，必须顺序计算。并行时间计划，如多重网格减少时间（MGRIT）的方法，纠正这一问题的并行跨时间步长，并已显示出可喜的成果抛物问题。然而，混沌问题已被证明是更困难的，因为混沌初值问题是固有的病态。MGRIT依赖于一个层次结构的连续粗糙的时间网格迭代校正的最好的时间网格上的解决方案，但由于混沌系统的性质，微妙的不准确的粗糙水平可能会导致穷人粗网格校正。在这里，我们提出了一个修改的非线性FAS多重网格，以及一个新的时间粗化计划，这两个共同更好地捕捉长期的行为粗网格上，大大提高收敛的MGRIT混沌初值问题。我们提供支持数值结果的洛伦兹系统模型问题。
2022-01-25 cs.NA math.NA
A two-scale approach for efficient on-the-fly operator assembly in massively parallel high performance multigrid codes
大规模并行几何多重网格的无矩阵有限元实现节省内存，并且通常比使用经典稀疏矩阵技术的实现快得多。它们特别适合于多面体域上的分层混合网格。在常系数的情况下，粗宏单元内部的所有细网格节点间距相等。然而，对于非多面体域，情况发生了变化。然后，即使对于拉普拉斯算子，非线性元映射也会导致精细网格扩展，其可以从网格点到网格点变化。这种观察激发了一种新的双尺度方法，该方法利用细网格算子相对于粗网格步长的分段多项式近似。这些替代多项式的低成本评估导致非多面体域的有效模板组装，其可以比基于逐元素组装的无矩阵技术显著更有效。性能分析和额外的硬件感知代码优化是基于执行-缓存-内存模型。提出了双尺度先验误差界和双离散化技术。弱和强缩放结果说明了新技术的好处，当用于大规模PDE求解器。
2016-08-23 cs.NA math.NA
An agglomeration-based massively parallel non-overlapping additive Schwarz preconditioner for high-order discontinuous Galerkin methods on polytopic grids
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文设计并分析了一种两级非重叠加法Schwarz预条件子，用于求解源自多面体网格上二阶椭圆偏微分方程的不连续Galerkin离散化线性方程组。该预条件子基于粗空间和非重叠的计算域划分，其中局部求解器并行应用。特别地，粗空间可以相对于细空间非嵌套，确实可以通过聚类和边粗化技术从细网格获得。我们研究了预条件系统条件数与扩散系数和离散化参数（即网格尺寸和细粗空间多项式次数）之间的依赖关系。数值实验验证了理论界限。
2019-03-27 cs.NA math.NA
Parallel-in-time Multilevel Krylov Methods: A Prototype
本文提出一种求解微分代数方程的时间并行多层 Krylov 迭代方法，通过特殊时间算子粗化网格并解耦最粗层级系统以实现完全并行化，数值实验证明其相比单处理器和顺序格式具有显著加速效果。
2023-12-30 cs.NA math.NA
A Local Parallel Finite Element Method for Super-Hydrophobic Proppants in a Hydraulic Fracturing System Based on a 2D/3D Transient Triple-Porosity Navier-Stokes Model
针对含超疏水支撑剂的水力压裂系统的瞬态三重孔隙Navier-Stokes模型，提出结合解耦、双重网格与区域分解的局部并行非迭代有限元法，提升计算效率且具备收敛性，经2D/3D实验验证有效。
2023-11-09 cs.NA math.NA
Asynchronous Truncated Multigrid-reduction-in-time (AT-MGRIT)
在本文中，我们提出了新的“异步截断multigrid-reduction-in-time”（AT-MGRIT）算法引入时间并行的离散时间相关问题的解决方案。新算法是基于多重网格减少时间（MGRIT）的方法，这在一定的设置，相当于另一种常见的多级并行时间的方法，Parareal。与Parareal和MGRIT都在粗粒度级别上考虑整个时间间隔上的全局时间网格相比，AT-MGRIT算法在粗粒度级别上使用截断的本地时间网格，每个网格覆盖某些时间子间隔。这些局部网格可以彼此完全独立地求解，这减少了算法的顺序部分，从而增加了方法的并行性。在这里，我们研究的效果，使用截断的局部粗网格的算法的收敛性，在理论上和数值上，并显示，使用具有挑战性的非线性问题，新算法始终优于经典Parareal/MGRIT的时间解决方案。
2021-07-20 cs.NA math.NA
Explicit and CPU/GPU parallel energy-preserving schemes for the Klein-Gordon-Schrödinger equations
本文将单变量系统的网格点分区AVF保能量格式扩展到多变量耦合系统，提出双分区AVF方法，为Klein-Gordon-Schrödinger方程构造全显式逐点解耦保能量格式，支持CPU/GPU并行，数值实验验证其守恒性与高效性。
2025-02-13 cs.NA math.NA
Lowest-degree piecewise polynomial de Rham complex on general quadrilateral grids
本文讨论了在不限于平行四边形的一般四边形网格上构造有限元的问题。分别对$H^1$和$H(\rm rot)$椭圆问题建立了两个定义为Ciarlet三元组的有限元。在渐近收敛假设下，证明了这两种格式在能量范数下的$\mathcal{O}(h)$阶收敛速度和$H^1$格式在$L^2$范数下的$\mathcal{O}(h^2)$阶收敛速度.进一步地，在一般四边形网格上的两个有限元空间，连同分段常数函数的空间，形成一个离散化的de Rham复形。有限元空间由分段多项式函数组成，因此，在一般的四边形网格上是离散的。实际上，本文给出了一个严格的分析，这是不可能的构造一个实际有用的有限元定义为Ciarlet的三元组，可以制定一个有限元空间，其中包括连续的分段多项式功能的网格上，可以包括任意四边形。
2020-06-24 cs.NA math.NA
Optimizing multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal coarse-grid operators for linear advection
在现代高性能计算环境中模拟时间依赖的PDE时，时间并行方法，如多重网格时间缩减（MGRIT）和Parareal，提供了一个有吸引力的选择，以增加并发性。虽然这些技术已经非常成功的抛物型方程，它经常被观察到，他们的性能受到显着时，应用于对流主导的问题或纯双曲偏微分方程使用标准的重新离散方法在粗网格。在本文中，我们应用MGRIT或Parareal的常系数线性平流方程，呼吁现有的收敛理论，提供洞察这些解决这个问题的典型的不可扩展的，甚至发散的行为。为了克服这些缺点，我们用改进的粗网格算子来代替粗网格上的重新离散化，这些算子是通过应用优化技术来计算的，以近似地最小化收敛理论中的误差估计。我们的主要发现之一是，为了获得快速收敛的抛物型问题，粗网格运营商应考虑到双曲问题的行为，通过跟踪的特征曲线。我们的方法进行了测试，各种订单使用显式或隐式龙格-库塔法与迎风有限差分空间离散相结合的计划。在所有情况下，我们只需几次迭代即可获得可扩展的收敛，并行测试也显示出顺序时间步长的显着加速。我们的洞察粗网格上的跟踪特性提供了一个关键的想法，解决了长期存在的问题，高效的并行时间积分双曲偏微分方程。
2021-03-03 cs.NA math.NA
Alternating direction implicit time integrations for finite difference acoustic wave propagation: Parallelization and convergence
本文研究了两种有限差分声波传播方法在二维矩形网格上的并行化和经验收敛性，这两种方法使用相同的交替方向隐式（ADI）时间积分。该ADI积分基于二阶隐式Crank-Nicolson时间离散化，该时间离散化通过时间和空间方程项的Cracheman-Rachford分解分解。在空间上，这些方法高度发散，并应用不同的四阶精确微分技术。第一种方法使用紧凑的有限差分（CFD）的节点网格，需要解决沿每个网格线的三对角线性系，而第二个采用交错网格模拟有限差分（MFD）。对于每种方法，我们实现了三个并行版本：（i）Octave中的多线程代码，（ii）利用OpenMP循环并行化的C++代码，以及（iii）NVIDIA GTX 960 Maxwell卡的CUDA内核。在这些实施方式中，并行性的主要来源是根据微分方向的列方式或行方式的每个波场矩阵的同时ADI更新。在我们的数值应用程序中，CFD和MFD CUDA代码显示出最高的性能，相对于具有最佳编译标志的C++顺序代码，它们分别实现了7.21倍和15.81倍的加速比。我们的测试案例也可以评估这两种方法的数值收敛性和准确性。在具有精确调和解的问题中，这两种方法的收敛速度接近4，并且收敛精度实际上更高。或者，这两个收敛衰减到二阶光滑的问题与严重的梯度在边界上，并在高分辨率的网格，导致更大的不准确性的收敛率下降。这种经验收敛的转变与空间和时间上的名义截断误差一致…
2020-06-13 cs.NA math.NA
Parallel stochastic methods for PDE based grid generation
Department of Mathematics and Statistics, Memorial University of Newfoundland（纪念大学数学与统计系）
本文提出一种基于域分解的并行随机方法，用于高效生成高质量网格，通过概率解在子域界面处确定网格点，并利用插值和平滑技术进一步优化网格质量。
2014-06-11 cs.NA math.NA
A parallel solver for random input problems via Karhunen-Loève expansion and diagonalized coarse grid correction
针对标准parareal算法求解随机初值问题收敛慢的问题，提出结合KL展开与粗网格校正的KLE-CGC混合并行算法，通过gPC代理模型提升初始迭代精度，在保持收敛阶的同时减少迭代、提升并行扩展性。
2025-10-30 cs.NA math.AP math.NA
$k\ell$-refinement: An adaptive mesh refinement scheme for hiearchical hybrid grids
本文提出一种用于层次混合网格的自适应细化方案，通过仅在粗层使用非结构化细化并利用全多重网格生成廉价误差估计器，在保持高性能和可扩展性的同时实现局部细化，并在HyTeG框架中验证了其有效性。
2025-08-08 cs.NA math.NA
Efficient multigrid reduction-in-time for method-of-lines discretizations of linear advection
偏微分方程（PDE）的时间离散方法在近几十年来得到了迅速的发展，特别是对于扩散问题。它已被广泛报道，在文献中，然而，许多这些方法执行相当差的对流为主的问题。在这里，我们分析了特定的迭代并行时间算法的多重网格减少时间（MGRIT）的离散化的恒定波速线性平流问题。我们专注于共同的直线法离散，采用迎风有限差分空间和龙格-库塔法的时间。使用收敛框架，我们在以前的工作中开发的，我们证明了这些离散化的子类，如果使用的标准方法重新离散的细网格问题的粗网格，强大的MGRIT收敛CFL数和粗化因子是不可能的。这种差的收敛性和非鲁棒性是造成的，至少在一定程度上，由一个不充分的粗网格校正平滑傅立叶模式称为特征components.We提出了一个替代粗网格，提供了更好的校正这些模式。这个粗网格运营商是与以前的工作，并使用半拉格朗日离散相结合的隐式处理的截断误差校正。理论和数值实验表明，粗网格算子产生快速MGRIT收敛的直线法离散考虑，包括隐式和显式离散的高阶。并行结果表明，大量的速度比顺序时间步进。
2023-03-20 cs.NA math.NA
Towards a Parallel-in-Time Calculation of Time-Periodic Solutions with Unknown Period
本文提出了一种新的时间并行算法，能够计算问题的时间周期解的周期不给定。该方法利用多次打靶法的思想，迭代计算每个子区间的初值以及相应的周期。与Parareal方法一样，在时域中使用两级网格上的离散化来执行并行化。为了提高计算速度，在粗网格上对时间周期系统进行了特殊的线性化处理。通过对Colpitt振子模型的应用，验证了迭代算法的有效性.
2020-07-07 cs.CE cs.NA math.NA
Multigrid Reduction in Time for Chaotic Dynamical Systems
由于CPU时钟速度停滞不前，高性能计算机继续拥有更高的核心数量，因此需要增加并行性以利用这些新架构。传统的串行时间推进方案可能是一个显著的瓶颈，因为许多类型的模拟需要大量的时间步长，必须顺序计算。并行时间计划，如多重网格减少时间（MGRIT）的方法，纠正这一问题的并行跨时间步长，并已显示出可喜的成果抛物问题。然而，混沌问题已被证明是更困难的，因为混沌初值问题（IVP）是固有的病态。MGRIT依赖于一个层次结构的连续粗时间网格迭代校正的最好的时间网格上的解决方案，但由于混沌系统的性质，小的不准确的粗水平可以大大放大，并导致穷人粗网格校正。在这里，我们介绍了一个修改的MGRIT算法的基础上现有的二次收敛的非线性扩展的多重网格全近似方案（FAS），以及一个新的时间粗化计划。总之，这些方法可以更好地捕获粗网格上的长期混沌行为，并大大提高混沌IVP的MGRIT收敛性。此外，我们引入了一种新的低记忆变体的算法求解混沌偏微分方程与MGRIT不仅解决了IVP，但也提供了系统的不稳定的李雅普诺夫向量的估计。我们提供了支持数值结果的洛伦兹系统，并展示了并行加速的混沌仓本- Sivashinsky偏微分方程在一个显着更长的时域比以前的作品。
2022-08-26 cs.NA math.NA
Reducing Parallel Communication in Algebraic Multigrid through Sparsification
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出通过稀疏化减少代数多网格中并行通信成本，通过移除粗网格矩阵中的弱连接或不重要条目，提升求解效率，同时平衡通信成本与收敛性。
2015-12-15 cs.DC cs.NA math.NA
Multigrid reduction-in-time convergence for advection problems: A Fourier analysis perspective
针对MGRIT求解平流主导型PDE收敛性差的问题，推导了局部傅里叶分析收敛理论，揭示了其源于对特征分量粗网格校正不足，并证明改进空间多网格的技术可用于构建更稳健的并行时间求解器。
2024-11-17 cs.NA math.NA
Scaling Structured Multigrid to 500K+ Cores through Coarse-Grid Redistribution
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
本文提出通过增量聚类实现粗网格问题的重分布算法，提升结构化多网格的并行扩展性，通过二维扩散问题验证性能提升，并在大规模计算系统上展示可扩展性。
2018-03-06 cs.MS cs.NA cs.PF
Multithreaded Filtering Preconditioner for Diffusion Equation on Structured Grid
针对结构网格上扩散方程的线性方程组，提出了一种频率滤波预条件子的并行嵌套形式。所提出的预条件被认为是强大的扩散系数的跳跃。预处理器的存储要求是O（N），其中N是矩阵的行数，因此，在具有64GB RAM的四核机器上解决了一个相当大的问题，其大小超过4200万个未知数。并行性是通过扭曲因子分解和SIMD操作实现的。该预处理器在4.2 GHz的四核处理器上实现了3.3倍的加速比，与众所周知的代数多重网格方法相比，它在设置和求解跳跃扩散方程的时间上都要快得多。
2021-09-20 cs.DC cs.MS cs.NA
Solving Large-Scale Optimization Problems with a Convergence Rate Independent of Grid Size
UCLA（加州大学洛杉矶分校）
本文提出一种原问题-对偶问题方法，用于求解L1型非光滑优化问题，且不依赖网格大小。通过Rudin-Osher-Fatemi图像去噪模型和L1最优运输地球移动距离问题验证，证明方法收敛性与网格大小无关，可在4096x4096网格上快速求解。
2018-05-23 cs.NA math.NA math.OC
Implementation and performance analysis of efficient grid-free integral wall models in unstructured-grid LES solvers
本文在非结构网格LES求解器中实现了两种无网格积分壁面模型，其中谱求积实现的ODE平衡壁面模型在保持相当计算成本的同时，比传统有限体积方法性能更优且对并行负载不均衡更不敏感。
2023-07-12 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Discontinuous Galerkin scheme for elliptic equations on extremely stretched grids
针对数值相对论中极端拉伸网格上的椭圆方程，本文提出一种兼容穿刺与XCTS表述的原始DG格式，可拉伸网格约10^9倍并实现指数收敛。
2024-10-24 cs.NA gr-qc math.NA
