关于高阶Ehrlich型迭代方法同时近似多项式所有零的收敛性
On the convergence of high-order Ehrlich-type iterative methods for approximating all zeros of a polynomial simultaneously
AI总结：
本文研究了高阶Ehrlich型方法同时近似多项式所有零的收敛性，提出两个新的局部收敛定理和一个半局部收敛定理，改进了已有结果并扩展了应用范围。
摘要：
我们研究了一类高阶Ehrlich型方法，用于同时近似多项式所有零。令T^(1)表示著名的Ehrlich方法（1967）。从T^(1)出发，Kjurkchiev和Andreev（1987）递归地引入了一个序列{T^(N)}_{N=1}^∞的迭代方法。对于给定的N≥1，Ehrlich型方法T^(N)的收敛阶为2N+1。本文建立了两个新的局部收敛定理以及一个半局部收敛定理（在可计算的初始条件下，并带有后验误差估计）。我们的第一个局部收敛定理推广了Proinov（2015）的结果并改进了Kjurkchiev和Andreev（1987）的结果。第二个局部收敛定理推广了Proinov（2015）的另一个近期结果，但仅在最大范数情况下。我们的半局部收敛定理是该方向的第一个结果。
英文摘要：
We study a family of high order Ehrlich-type methods for approximating all zeros of a polynomial simultaneously. Let us denote by $T^{(1)}$ the famous Ehrlich method (1967). Starting from $T^{(1)}$, Kjurkchiev and Andreev (1987) have introduced recursively a sequence ${(T^{(N)})_{N=1}^\infty}$ of iterative methods for simultaneous finding polynomial zeros. For given $N \ge 1$, the Ehrlich-type method $T^{(N)}$ has the order of convergence ${2 N + 1}$. In this paper, we establish two new local convergence theorems as well as a semilocal convergence theorem (under computationally verifiable initial conditions and with a posteriori error estimate) for the Ehrlich-type methods $T^{(N)}$. Our first local convergence theorem generalizes a result of Proinov (2015) and improves the result of Kjurkchiev and Andreev (1987). The second local convergence theorem generalizes another recent result of Proinov (2015), but only in the case of maximum-norm. Our semilocal convergence theorem is the first result in this direction.
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