An algorithm for computing Grobner basis and the complexity evaluation
Yong-Jin Kim, Hyon-Song Paek, Nam-Chol Kim, Chong-Il Byon
本文提出了一种新的有效算法，以便在已知的计算Grobner基的算法中快速计算S-多项式约简，并与其他算法的复杂性进行了比较。
In this paper, we suggest a new efficient algorithm in order to compute S-polynomial reduction rapidly in the known algorithm for computing Grobner bases, and compare the complexity with others.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Signature-Based Gröbner Basis Algorithms --- Extended MMM Algorithm for computing Gröbner bases
基于签名的算法是计算格罗布纳基的一类常用算法，近年来已有许多相关的论文发表。在本文中，没有新的基于签名的算法和新的证明。相反，基于签名的算法的观点，即基于签名的算法可以被视为著名的MMM算法的扩展版本。通过这种观点，本文旨在提供一种更容易理解基于签名的格罗布纳基算法的方法。
An Algorithm for Computing a Minimal Comprehensive Gröbner\, Basis of a Parametric Polynomial System
给出了由任意的忠实综合Gröbner系统生成参数多项式系统的最小综合Gröbner基的算法.参数多项式理想的基是综合Gröbner基当且仅当对于给定域中参数的每个特化，该基的特化是相关特化多项式理想的Gröbner基。用于确保极小的关键思想是，一个多项式是必不可少的全面Gröbner\，基础。必要性检查是通过确定一个多项式是否可以在一个综合的Gröbner系统中的相关分支中被其他多项式覆盖以用于各种专门化来执行的。该算法已被实现，并成功地尝试了许多例子从文献。
A Generic and Executable Formalization of Signature-Based Gröbner Basis Algorithms
我们提出了一个通用的和可执行的形式化的基于签名的算法（如Faugère的$F_5$）计算格罗布纳基，以及他们的数学背景，在伊莎贝尔/HOL证明助手。就计算效率而言，所述算法是目前最公知的用于计算格罗布纳基的算法。正式的开发试图尽可能通用，推广大多数已知的基于签名的算法的变体，但同时实现的功能是有效地执行具体的输入，有效地计算机械验证的格罗布纳基。除了正确性外，形式化还证明了在一定条件下算法先验地检测和避免所有无用的归零，并返回最小的签名格罗布纳基.据我们所知，这里提出的形式化是唯一的形式化的签名为基础的格罗布纳基算法存在至今。
Extended Hardness Results for Approximate Gröbner Basis Computation
最近提出了两个模型来探索格罗布纳基计算的鲁棒性。给定一个多项式系统，这两个模型都允许算法选择性地忽略一些多项式：算法只负责返回剩余多项式生成的理想的格罗布纳基。对于$q$ -分数格罗布纳基问题，允许算法忽略多项式的常数$(1-q)$ -分数（受一个自然结构约束）。在这里，我们证明了一个新的最强参数结果：即使允许算法选择要忽略的多项式的$(3/10-ε)$分数，并且仅需要相对于剩余多项式的某些词典顺序计算格罗布纳基，这也无法在多项式时间内完成（除非$P=NP$）。即使每个多项式的最大阶数为3，这个命题也成立。接下来，我们证明了最大次数为2的多项式系统的第一个鲁棒硬度结果：对于$q$ -分数模型，可以忽略多项式的$(1/5-ε)$分数而不丢失可证明的NP-硬度。这两个定理成立，即使每个多项式包含最多三个不同的变量。最后，对于De Loera等人的强$c$ -部分格罗布纳基问题，我们给出了依赖于Khot和Dinur等人的著名（未解决）解的条件结果.
On the Complexity of the F5 Gröbner basis Algorithm
我们研究了格罗布纳基计算的复杂性，特别是在一般的情况下，变量是在同时Noether位置的系统。本文给出了在一般情况下用Faugère的$F_5$算法~（Fau 02）计算的格罗布纳基中$d$次数多项式的个数的一个界（这也是约化格罗布纳基的多项式个数的一个界，与所用算法无关）。接下来，我们更精确地分析了$F_5$计算的具有签名的格罗布纳基中的多项式的结构，并使用它来限制算法的复杂性。我们的估计表明，版本的~ $F_5$，我们分析，它只使用标准的高斯消除技术，优于行减少的麦考利矩阵与最知名的算法为中等程度，甚至度高达数千，如果使用Strassen的乘法。在度固定的情况下，改进因子随变量的数量呈指数增长。
GBLA -- Gröbner Basis Linear Algebra Package
这是一篇关于一个新的GPLv 2开源C库GBLA实现和改进Faugère和Lachartre（GB减少）思想的系统论文。我们进一步利用在F4或F5等算法中的格罗布纳基计算过程中生成的矩阵中的底层结构，通过使用称为多行的特殊数据结构来利用块模式。此外，我们讨论了一个新的操作顺序的减少过程。在各种不同的实验结果中，我们表明GBLA在顺序计算中的表现优于GB减少或Magma（快40%），并且对于更多的核心数量，其扩展性能远远优于GB减少：在32个核心上，我们达到了26的扩展。GBLA比GB缩减快7倍。此外，我们还比较了GBLA可以使用的不同并行处理器。我们还开发了一种新的高级存储格式，该格式利用了我们的矩阵来自格罗布纳基计算的事实，将存储空间缩小了4倍。我们的矩阵的一个巨大的数据库是免费提供与GBLA。
A Monomial-Oriented GVW for Computing Gröbner Bases
Gao等人提出的GVW算法，是一个基于签名的算法，用于计算格罗布纳基。在本文中，GVW的一个变种。这种新的算法被称为单名导向的GVW算法或mo-GVW算法。mo-GVW算法提出了一种新的GVW算法框架，并将{ \em标号单项式}代替{ \em标号多项式}作为算法的基本元素。与原始GVW算法不同，mo-GVW算法对于每个标记单项式，努力寻找能够生成该单项式的最小签名。mo-GVW算法还避免了生成J-对，并使用有效的方法来搜索约简和检查准则。因此，mo-GVW算法在实际应用中具有较好的性能。
A new conception for computing gröbner basis and its applications
本文提出了一种计算格罗布纳基的概念。我们转换了一些gröbner计算算法，例如，F5，将F5和GWV算法推广为一类特殊的算法。新算法的有限终止问题可以用等价条件描述，从而可以确定上述算法何时终止。最后，提出了一种新的判据。它是对重写和签名准则的改进。
A Generalized Criterion for Signature Related Gröbner Basis Algorithms
本文提出了一种计算格罗布纳基的签名相关算法的广义准则。签名相关算法是计算格罗布纳基的一类常用算法，包括著名的F5算法、扩展的F5算法和GVW算法。本文的主要目的是从理论上研究在签名相关算法中什么样的准则是正确的，并提供一种通用的方法来开发新的准则。为此，提出了一个广义准则。广义准则只依赖于定义在一组多项式上的一般偏序。当将偏序特殊化为适当的特定序时，广义准则可以特殊化到几乎所有现有的签名相关算法的准则。对于{ \em容许}偏序，给出了基于该广义准则的算法正确性的完整证明。该证明对临界对的计算顺序没有额外的要求，对非齐次多项式系统也是有效的。更重要的是，现有标准所隐含的偏序是可接受的。此外，还可以在签名相关算法中检验新准则的正确性，甚至可以利用广义准则中的其他可容许偏序来构造新的准则。
Existence and Construction of a Gröbner Basis for a Polynomial Ideal
该研究针对交换环R上多项式环的理想，提出一种Gröbner基算法的提升构造方法，前提是R自身每个理想都有Gröbner基，推进了多项式理想Gröbner基的存在性与构造研究。
A Signature-based Algorithm for computing Computing Gröbner Bases over Principal Ideal Domains
基于签名的算法已经成为域上多项式系统的格罗布纳基计算的标准方法，但如何将这些技术扩展到一般环中的系数还没有很好地理解。在本文中，我们提出了一个概念证明的签名为基础的算法计算格罗布纳基交换整环上。它改编自Möller算法（1988）的一般版本，该算法考虑在每一步通过多个多项式进行约简。该算法使用非递减签名执行约简，并且特别地，不会发生签名丢弃。当系数是从一个主要的理想域（例如，环的整数或环的一元多项式在一个字段），我们证明了正确性和终止的算法，我们展示了如何使用签名属性来实现经典的基于签名的标准，以消除一些冗余的减少。特别地，如果输入是规则序列，则算法在没有任何减少到0的情况下操作。我们已经在Magma中编写了该算法的玩具实现。早期的实验结果表明，该算法甚至可能是正确的，并终止于一个更一般的设置，多项式在一个唯一的因式分解域（例如，环的多元多项式在一个字段或PID）。
Fast Gröbner Basis Computation for Boolean Polynomials
我们介绍Macaulay 2包BooleanGB，它使用二进制表示而不是符号表示来计算布尔多项式的Gröbner基。我们比较了几个布尔模型在生物系统中的运行时间，并给出了一个应用数独。
A New Type of Gröbner Basis and Its Complexity
本文引入的新型理想基是基于Buchberger算法的格罗布纳基和基于吴方法的特征集之间的折衷.它降低了传统格罗布纳基的复杂性，并在很大程度上克服了著名的中间表达式膨胀问题和中间系数膨胀问题。新基的$S$ -多项式的计算最多需要$O(m\ln^2m\ln\ln m)$字操作，而在Buchberger算法中需要$O(m^6\ln^2m)$字操作。这里，$m$表示前导系数和其余多项式中的项数的上限。新的基地是零维多项式理想和基于单变量伪司。然而，在对比的伪部门在吴的方法的特征集，新的基地保留了原来的理想，特别是代数信息，解决理想的成员问题。为了确定消元的真实因子，我们分析了伪除的乘子，并在因子为零的主商环上给出了一个算法。
A Variant of the Gröbner Basis Algorithm for Computing Hilbert Bases
Gröbner基可以用来计算数值子幺半群的希尔伯特基。通过使用这些技术，我们提供了一种算法，该算法计算作为矩阵核的有限素域上的有限维向量空间的子空间的基。
Reducing the size and number of linear programs in a dynamic Gröbner basis algorithm
计算Gröbner基的动态算法已经有将近20年的历史了，但它似乎已经胎死腹中;除了两个最初的出版物外，没有发表后续文章。其中一个原因可能是，乍一看，增加的开销似乎超过了好处;该算法必须解决许多具有许多线性约束的线性规划。本文介绍了两种大幅度降低成本的方法，有效地解决了这一问题。
On the Complexity of Computing Critical Points with Gröbner Bases
计算多项式函数$q\in\mathbb Q[X_1,\ldots,X_n]$限制到多项式$f_1,\ldots, f_p\in\mathbb Q[X_1,\ldots, X_n]$的消失轨迹$V\subset\mathbb R^n$的临界点在最优化和实代数几何中的几个应用中是第一重要的。这些点是一个高度结构化的多元多项式方程系统的解决方案，涉及雅可比矩阵的最大未成年人。我们调查的复杂性，解决这个问题，通过使用Gröbner基础算法下的输入多项式的系数的泛型假设。主要结果改进了已知的复杂度界（其取决于最大值$D=\max(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$）到取决于度列表$(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$的界限：我们证明了Gröbner基的计算可以在$\mathbb Q$的$δ^{O(\log(A)/\log(G))}$算术运算中进行，其中$δ$是临界点上理想消失的代数次数，$A$和$G$是从度序列构造的多集的算术和几何平均。作为一个副产品，我们证明，解决这种通用的优化问题与格罗布纳基需要在最多的$D^{O(n)}$算术运算在$\mathbb Q$，这符合最知名的复杂性约束这个问题。最后，我们用实验说明了这些复杂性结果，证明这些界限与应用程序相关。
A divide-and-conquer algorithm for computing Gröbner bases of syzygies in finite dimension
设$f_1,\ldots,f_m$是作为$K$ -向量空间的有限维商$R^n / N$中的元素，其中$R = K[X_1,\ldots,X_r]$和$N$是$R^n$的$R$ -子模.我们解决的问题计算的Gröbner基础的模块的syzygies的$(f_1,\ldots,f_m)$，即向量$(p_1,\ldots,p_m) \in R^m$，使$p_1 f_1 + \cdots + p_m f_m = 0$。Marinari，Möller，and Mora（1993）给出了这个问题的迭代算法，使用$R^n / N$的对偶表示作为线性泛函集合的核。根据这一观点，我们设计了一个分治算法，它可以被解释为一个推广到多个变量的Beckermann和Labahn的递归方法矩阵Padé和有理插值问题。为了突出这种方法的兴趣，我们专注于二元Padé近似的特定情况下，并表明它提高了最知名的复杂性界限。
On the Complexity of Computing Gröbner Bases for Quasi-homogeneous Systems
设$\K$是一个域，而$(f_1, \ldots, f_n)\subset \K[X_1, \ldots, X_n]$是一个关于权系统$(w_{1},\dots,w_{n})$的相应加权次数$(d_1, \ldots, d_n)$的拟齐次多项式序列。这样的系统可能会出现在很多应用中，包括物理学或密码学。我们设计的策略，计算格罗布纳基的准齐次系统，通过调整现有的算法，齐次系统的准齐次的情况。总体而言，在一般性假设下，我们表明，对于一个通用的零维准齐次系统，在加权Bézout界$\prod_{i=1}^{n}d_{i} / \prod_{i=1}^{n}w_{i}$的完整的战略的复杂性是多项式。我们提供了一些实验结果的基础上通用系统以及系统所产生的密码学问题。他们表明，利用系统的准均匀结构，使我们能够解决系统，否则是遥不可及的。
A survey on signature-based Gröbner basis computations
本文综述了Faugère的F5算法在2002年提出的基于签名的Gröbner基算法。我们解释了签名使用背后的一般思想。我们将展示如何通过3种不同的排序对各种已知变体进行分类。为此，我们给不同的符号之间的翻译，并表明，除了符号，许多方法都是一样的。此外，我们给出了一个一般性的描述，如何的想法签名是很自然的，当使用线性代数进行还原过程。这项调查将有助于概述这一活跃的研究领域。
Middle-Solving Grobner bases algorithm for cryptanalysis over finite fields
代数密码分析通常需要通过求解多项式方程组来恢复秘密密钥。Grobner基算法是解决这一问题的一种著名方法。然而，基于Grobner基的代数攻击存在一个严重的缺陷，即如果不能求出多项式方程组的Grobner基，就无法得到任何信息。本文首先给出了Grobner基算法的一个广义模型，为分析和解决算法中的常见问题提供了一个平台。其次，我们给出并证明了在Grobner基的计算过程中，在增加域多项式后，所出现的多项式的次数界。最后，通过在Grobner基的计算过程中检测临时基，提取临时基中包含唯一解的一元多项式，提出了一种启发式策略Middle-Solving，在算法的每次迭代中求解这些多项式。在此基础上，分别给出了增量Grobner基算法和非增量Grobner基算法中间求解策略的两种具体应用模式。通过中间求解策略，即使我们不能计算出最终的Grobner基，但在计算过程中仍然会泄漏一些变量的信息。
On Computing the Elimination Ideal Using Resultants with Applications to Gröbner Bases
结式和Gröbner基是研究多项式消去理论的重要工具。研究了两个多项式结式的簇与它们所生成的理想的簇之间的关系。然后，我们专注于二元的情况下，其中消除理想是主要的。我们研究-通过基本的工具-之间的差异的多重因素的发电机的消除理想和多重因素的结果。
Signature Gröbner bases, bases of syzygies and cofactor reconstruction in the free algebra
基于签名的算法已经成为计算交换多项式环中格罗布纳基的标准方法。然而，如何将这一概念推广到自由代数中的非交换多项式的情形，至今还不清楚。在本文中，我们提出了一个基于签名的算法计算格罗布纳基正是在这种情况下。该算法是一个适应的Buchberger的算法，包括签名。我们证明了我们的算法正确地枚举了一个签名格罗布纳基以及一个格罗布纳基的模块所产生的领导项的生成器的syzygies，并终止时，理想允许一个有限的签名格罗布纳基。此外，我们适应众所周知的基于签名的标准，消除冗余的减少，如合朔标准，F5标准和奇异标准，非交换多项式的情况下。我们还概括了重建方法，允许从交换设置，从部分信息签名，坐标的格罗布纳基的元素的输入多项式，以及一个基础的syzygy模块的发电机。我们已经写了一个玩具实现的Mathematica包OperatorGB中的所有算法，我们比较我们的基于签名的算法的经典Buchberger算法的非交换多项式。
New efficient algorithms for computing Gröbner bases of saturation ideals (F4SAT) and colon ideals (Sparse-FGLM-colon)
本文提出了计算饱和理想（F4SAT）和商理想（Sparse-FGLM-colon）Gröbner基的新高效算法，其实现比现有最先进软件快几个数量级，解决了多项式系统求解中的几何计算问题。
Predicting zero reductions in Gröbner basis computations
自1965年Buchberger的计算Gröbner基地的初始算法以来，已经采取了许多尝试来提前检测零减少。Buchberger的产品和链标准可能是最为人所知的，特别是在Gebauer和Möller的装置中。一个相对较新的方法是基于签名的标准，它在2002年首次用于Faugère的F5算法。对于规则输入序列，这些标准已知根本不计算零约简。本文详细讨论了零约化及相应的合偶。我们解释了如何不同的方法来预测它们相互比较，并显示在理论和实践中的优点和缺点。有了这个新的洞察代数结构的基础Gröbner基地和他们的计算可能会实现。
Modular Algorithms For Computing Gröbner Bases in Free Algebras
针对自由代数中 Gröbner 基可能无限导致经典模方法失效的问题，本文利用基于签名的算法设计实用模算法，并在 SageMath 中实现，实验显示其较非模方法显著加速。
A complexity analysis of the F4 Gröbner basis algorithm with tracer data
本文基于Moreno-Socías猜想，提出了一种新的通用零维情况下的Gröbner基计算复杂度界，并推导了F4 Tracer算法的精确复杂度公式及其渐进行为。
Faster change of order algorithm for Gröbner bases under shape and stability assumptions
使用格罗布纳基求解零维多项式系统通常是这样做的，首先，计算一个格罗布纳基的程度反字典顺序，然后计算字典格罗布纳基的顺序变化算法。目前，对于许多通用实例，顺序更改现在占用了整个求解时间的很大一部分。像已知的最快的顺序变化的算法，这项工作的重点是由系统定义的理想满足自然属性，可以恢复在通用坐标的情况下。第一，理想有一个\emph{shape}字典式的Gröbner基。第二，相对于度逆字典序的前导项集合具有\emph{stability}性质;特别地，乘法矩阵可以在输入Gröbner基础上读取。目前最快的算法依赖于这个矩阵的稀疏性。实际上，这种稀疏性是代数结构的结果，可以利用代数结构将矩阵简洁地表示为一元多项式矩阵。我们表明，该矩阵的Hermite规范形式产生所寻求的字典式Gröbner基础，覆盖形状位置的情况下的假设。在对$n \le t$进行适当假设的情况下，算法的复杂度为$O\tilde{~}(t^{ω-1}D)$，其中$n$为变量个数，$t$为矩阵的稀疏性指标，$D$为零维理想的度，$ω$为矩阵乘法的指数.这改进了现有技术的复杂度界限$O\tilde{~}(tD^2)$和$O\tilde{~}(D^ω)$，因为$ω< 3$和$t\le D$。基于msolve库和PML库的实际实验证实了高的实用效益。
Computing zero-dimensional tropical varieties via projections
我们提出了一个算法计算零维热带品种使用投影。我们的主要工具是快速么模变换的字典序Gröbner基地。我们证明，我们的算法只需要一个多项式数量的算术运算，如果给定一个Gröbner的基础上，我们证明了我们的实现相比，有利的其他现有的实现。将其应用到一般正维热带品种的计算，我们认为，计算热带链接的复杂性是由Gröbner步行的复杂性。
Optimized Gröbner basis algorithms for maximal determinantal ideals and critical point computations
针对多项式在代数簇上的临界点计算问题，利用 Eagon-Northcott 复形分析 syzygy 模，提出优化的 $F_5$ 型判据以避免零约化，并给出了增强 $F_5$ 算法的算术复杂度上界。
Extracting Linear Relations from Gröbner Bases for Formal Verification of And-Inverter Graphs
本文提出一种正交方法，通过重写Gröbner基以提取线性多项式，用于重写线性化规格说明，从而避免单项式爆炸，并在乘法器验证基准上取得良好效果。
Learning Fast Monomial Orders for Gröbner Basis Computations
本文提出利用深度强化学习学习快速单项式顺序以提高格雷勃纳基计算效率，通过领域指导的奖励信号和高效估计方法，在系统生物学和计算机视觉任务中实现计算成本的显著降低。
On the arithmetic complexity of computing Gröbner bases of comaximal determinantal ideals
本文研究计算互极大行列式理想的Gröbner基的算术复杂度，通过分析反字典序理想的约化Gröbner基规模，为DetGB算法建立了零维情形下的渐近下界与上界。
Implementing Gröbner bases for operads
我们提出了一个实现的算法计算Groebner基的运算由于第一作者和A。霍罗什金我们讨论了实际的算法，选择的实施平台和数据表示，我们的方法的优点和缺点。
The Hilbert Zonotope and a Polynomial Time Algorithm for Universal Grobner Bases
我们提供了一个多项式时间算法，用于计算任意多项式理想的泛Gröbner基，该理想具有固定变量个数的公共零点的有限集。我们的算法的一个组成部分是一个有效的结构的任何成员的希尔伯特方案Hilbert ^d_n的n-长d-变量理想的状态多面体，使通过引入希尔伯特zonotope H^d_n，并表明，它同时细化所有状态多面体的理想在Hilbert ^d_n。
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