Polynomial-Division-Based Algorithms for Computing Linear Recurrence Relations
稀疏多项式插值、稀疏线性系统求解或模有理重构是计算机代数中的基本问题。它们归结为用Berlekamp-Massey算法计算序列的线性递归关系。同样，稀疏多元多项式插值和多维循环码译码也需要猜测多元序列的线性递归关系，有几种算法可以解决这个问题。所谓的Berlekamp-Massey-Sakata算法（1988）使用多项式加法和单项式移位。Scalar-FGLM算法（2015）依赖于多汉克尔矩阵上的线性代数运算，这是汉克尔矩阵的多变量推广。Artinian Gorenstein边界基算法（2017）使用了Gram-Schmidt过程。我们提出了一种新的算法，用于计算仅基于多元多项式算术的序列关系理想的Gr{<$}bner基。该算法既可以通过多项式除法来重新审视Berlekamp-Massey-Sakata算法，又可以完全修正Scalar-FGLM算法，而不需要线性代数运算。作为在ISSAC会议上发表的论文的补充，我们给出了这种算法的一个自适应变体，它考虑了最终Gr{<$}bner基的形状，随着它的逐渐发现。该算法的主要优点是它的复杂性方面的操作和序列查询只依赖于输出Gr{<$}bner basis.All这些算法已实现在Maple和我们的比较报告。
2021-07-06 cs.SC
On Polynomial Ideals And Overconvergence In Tate Algebras
本文研究了Tate代数中由多项式或过收敛级数张成的理想。使用最先进的计算Tate Gr{bner基的算法，即使输入是多项式，输出的大小也会随着所需的精度而增长，无论是系数的大小还是级数支持的大小。证明了由多项式张成的理想可以有一个由多项式构成的Tate Gr{<$}bner基，并利用Mora的弱范式算法给出了一个计算它的算法，结果表明，该算法的输出大小随精度线性增长.根据同样的思想，我们提出了一个算法，计算一个理想的超收敛的基础，跨越超收敛级数。最后，我们证明了Tate代数中多项式理想的泛解析Gr{<$}bner基的存在性，它与所有收敛半径相容.
2022-02-15 cs.SC math.AG math.NT
On Affine Tropical F5 Algorithms
设$K$是一个具有赋值的域。$K$上的热带簇可以用考虑$K$赋值的Gr{<$}bner基理论来定义。由于赋值的使用，热带Gr{<$}bner基理论已被证明为$p$ -adic域上的多项式环上的计算提供了比经典Gr{<$}bner基更稳定的设置。然而，这些策略仅适用于齐次多项式。在这篇文章中，我们将F5策略推广到仿射集上热带Gr{<$}bner基的一个新定义，并通过数值例子说明了这种热带F5算法的时间复杂度和$p$ -adic稳定性，同时也说明了它作为FGLM算法计算$p$ -adic上（经典）lex基的第一步的优点.
2018-05-16 cs.SC math.AC
On FGLM Algorithms with Tate Algebras
泰特介绍了在[Ta 71]的概念泰特代数服务，在解析几何的背景下，adics，作为一个对应的多项式代数在古典代数几何。在[CVV 19，CVV 20]中，我们介绍了Tate代数上Gr{<$}bner基的形式，并提出了基于签名的改进算法。本文将文献[FGLM 93]的FGLM算法推广到Tate代数。除了允许快速更改顺序之外，这种策略还有另外两个重要的好处。首先，它提供了一个有效的算法来改变收敛半径，特别是，它有效地架起了多项式集和Tate集之间的桥梁，有助于加快Tate代数上Gr{<$}bner基的计算.其次，它为设计一个快速的内归约算法提供了基础，该算法可以作为我们以前算法的基本原语，并大大加快了它们的速度。
2021-02-10 cs.SC
A Tropical F5 algorithm
设K是一个具有赋值的域。K上的热带簇可以用考虑K的赋值的Gr{<$}bner基理论来定义。虽然推广了经典的Gr{<$}bner基理论，但目前还不清楚计算Gr{<$}bner基的现代算法如何适用于热带情况。其中最有效的算法是著名的Faug{è}re的F5算法。在这篇文章中，我们证明了，对于齐次理想，它可以适用于热带的情况。我们证明终止和正确性。由于赋值的使用，热带Gr{<$}b-ner基理论对于p-adic域上多项式环上的稳定计算是有希望的。我们提供了数值例子来说明这个热带F5算法的时间复杂度和p-adic稳定性。
2017-05-16 cs.SC math.AC
Matrix-F5 algorithms over finite-precision complete discrete valuation fields
令$(f\_1,\dots, f\_s) \in \mathbb{Q}\_p [X\_1,\dots, X\_n]^s$是具有$p$ -adic系数的齐次多项式序列。例如，这种系统可能发生在算术几何中。然而，由于$\mathbb{Q}\_p$不是有效域，经典算法并不适用，本文给出了关于单项式阶$w.$的近似Gr{<$}bner基的定义，并设计了一种计算这种基的策略，当精度足够时，假设输入序列是正则的，理想$\langle f\_1,\dots,f\_i \rangle$是弱- $w$ -理想。Moreno-Socias的猜想指出，对于grevlex排序，这样的序列是通用的。该策略有两种变体，取决于一种更倾向于精度还是时间复杂度。为了分析这些算法，我们研究了高斯行阶梯算法的精度损失，并将其应用到一个改进的矩阵F5算法中。此外，在这种假设下，Gr{<$}bner基可以稳定地计算，这一事实具有许多应用。首先，将$(f\_1,\dots,f\_s)$映射到它们所生成的理想的约化Gr{<$}bner基上的映射是可微的，并且它的微分可以显式给出.其次，这些假设允许在Grobner基上执行提升，从$\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}$到$\mathbb{Z}/p^{k+k'} \mathbb{Z}$或$\mathbb{Z}.$。最后，在入口多项式的最高阶齐次分量上要求相同的假设允…
2015-09-25 cs.SC math.AC
An algorithm for computing Grobner basis and the complexity evaluation
本文提出了一种新的有效算法，以便在已知的计算Grobner基的算法中快速计算S-多项式约简，并与其他算法的复杂性进行了比较。
2015-07-12 cs.SC
On the Complexity of the F5 Gröbner basis Algorithm
我们研究了格罗布纳基计算的复杂性，特别是在一般的情况下，变量是在同时Noether位置的系统。本文给出了在一般情况下用Faugère的$F_5$算法~（Fau 02）计算的格罗布纳基中$d$次数多项式的个数的一个界（这也是约化格罗布纳基的多项式个数的一个界，与所用算法无关）。接下来，我们更精确地分析了$F_5$计算的具有签名的格罗布纳基中的多项式的结构，并使用它来限制算法的复杂性。我们的估计表明，版本的~ $F_5$，我们分析，它只使用标准的高斯消除技术，优于行减少的麦考利矩阵与最知名的算法为中等程度，甚至度高达数千，如果使用Strassen的乘法。在度固定的情况下，改进因子随变量的数量呈指数增长。
2014-07-17 cs.SC
Change of basis for m-primary ideals in one and two variables
在van der Hoeven和Lecerf（ISSAC 2017）最近的工作之后，我们讨论了线性映射的复杂性，这些作者称之为解纠缠和纠缠，这是在单变量多项式计算的背景下出现的。我们给出了一个稍微快一点的缠结算法，并讨论了这些技术的新应用。我们将展示如何将这些想法扩展到二元设置，并使用它们来给出某些代数的算术复杂性的界限。
2019-05-12 cs.SC
Computation of the Hilbert Series for the Support-Minors Modeling of the MinRank Problem
本文针对MinRank问题的Support-Minors建模，通过将行列式理想理论适配到特定子式子集生成的理想，首次给出并证明了一般实例下完整希尔伯特级数的公式，弥补了以往仅靠启发式与实验获得前几项的不足。
2025-07-21 cs.CR cs.SC
Fast Conversion Algorithms for Orthogonal Polynomials
我们讨论了正交多项式的有效转换算法。本文描述了一个已知的从任意正交基到单项式基的转换算法，并推导出一个同样复杂的逆运算的新算法。
2008-04-15 cs.SC
A complexity analysis of the F4 Gröbner basis algorithm with tracer data
Sorbonne Université, CNRS, LIP6（索邦大学，法国国家科学研究中心，LIP6）
本文基于Moreno-Socías猜想，提出了一种新的通用零维情况下的Gröbner基计算复杂度界，并推导了F4 Tracer算法的精确复杂度公式及其渐进行为。
2026-03-17 cs.SC math.AC
On the Complexity of Computing Critical Points with Gröbner Bases
计算多项式函数$q\in\mathbb Q[X_1,\ldots,X_n]$限制到多项式$f_1,\ldots, f_p\in\mathbb Q[X_1,\ldots, X_n]$的消失轨迹$V\subset\mathbb R^n$的临界点在最优化和实代数几何中的几个应用中是第一重要的。这些点是一个高度结构化的多元多项式方程系统的解决方案，涉及雅可比矩阵的最大未成年人。我们调查的复杂性，解决这个问题，通过使用Gröbner基础算法下的输入多项式的系数的泛型假设。主要结果改进了已知的复杂度界（其取决于最大值$D=\max(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$）到取决于度列表$(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$的界限：我们证明了Gröbner基的计算可以在$\mathbb Q$的$δ^{O(\log(A)/\log(G))}$算术运算中进行，其中$δ$是临界点上理想消失的代数次数，$A$和$G$是从度序列构造的多集的算术和几何平均。作为一个副产品，我们证明，解决这种通用的优化问题与格罗布纳基需要在最多的$D^{O(n)}$算术运算在$\mathbb Q$，这符合最知名的复杂性约束这个问题。最后，我们用实验说明了这些复杂性结果，证明这些界限与应用程序相关。
2014-05-23 cs.SC
Matrix Multiplication with Less Arithmetic Complexity and IO Complexity
自Strassen提出了第一个次立方矩阵乘法算法以来，人们又提出了许多类Strassen算法。大多数低渐近代价的方法具有较大的隐前导系数，因而是不实用的。Cenk和Hasan给出了一种降低前导系数的一般方法，将$<2,2,2;7>$ -算法的前导系数降低为$5$，但增加了IO复杂度。在2017年，Karstadt和Schwartz还通过交替基矩阵乘法方法将$<2,2,2;7>$ -算法的前导系数降低到$5$。同时，他们的方法降低了IO复杂度和低阶单项式的算术复杂度。在2019年，Beniamini和Schwartz推广了替代基矩阵乘法方法，降低了算术复杂度中的前导系数，但增加了IO复杂度。本文提出了一种新的矩阵乘法算法，该算法在运算复杂度和IO复杂度上都降低了前导系数。我们将我们的方法应用于Strassen类算法，提高了算法复杂度和IO复杂度（与以前的结果比较见表1和表2）。令人惊讶的是，我们的$<3,3,3;23>$ -算法的IO复杂度是$14n^{\log_323}M^{-\frac{1}{2}} + o(n^{\log_323})$，这打破了Ballard的IO复杂度下限（$Ω(n^{\log_323}M^{1-\frac{\log_323}{2}})$）递归类Strassen算法。
2022-03-30 cs.DM cs.SC
A Rank 23 Algorithm for Multiplying 3 x 3 Matrices with an Arithmetic Complexity of 59
Lund University（隆德大学）；Advenica AB（阿维尼卡有限公司）；Imperial College London（帝国理工学院）
本文提出了一种3x3矩阵乘法算法，通过优化方法将加法次数降至59次，不改变基，改进了现有基变换方法。
2025-12-18 cs.DM cs.SC
On the arithmetic complexity of computing Gröbner bases of comaximal determinantal ideals
本文研究计算互极大行列式理想的Gröbner基的算术复杂度，通过分析反字典序理想的约化Gröbner基规模，为DetGB算法建立了零维情形下的渐近下界与上界。
2024-05-02 cs.SC math.AC
On the Complexity of Toric Ideals
我们研究了复曲面理想问题的计算复杂性，如范式，格罗布纳基和Graver基。我们证明了这些问题在一般情况下都是强NP-困难的。尽管如此，我们可以通过利用矩阵的稀疏模式来导出有效的算法。我们用图来描述这种稀疏模式，并研究了环面理想的参数化复杂性，如树宽和树深。特别是，我们表明，范式问题可以解决在参数易于处理的时间的树深度。这一结果的一个重要应用是在多元理想中产生的代数统计。我们还给出了一个参数易处理的隶属度测试的约化格罗布纳基。这个测试导致一个有效的程序计算约化格罗布纳基。类似的结果也适用于Graver基计算。
2019-02-04 cs.SC math.AC math.AG
Determination of the basis of the space of all root functionals of a system of polynomial equations and of the basis of its ideal by the operation of the extension of bounded root functionals
在已知多项式的理想是0维的情况下，当多项式的个数等于变量的个数时，利用有界根泛函的扩张运算，给出了求理想的一个基和所有根泛函空间的一个基的算法.该算法的渐近复杂度为d^{O（n）}次运算，其中n为多项式个数和变量个数，d为多项式的最大多项式的次数。扩张运算与多元Bezoutian构造有关。
2008-05-30 cs.SC math.AC math.AG
On the complexity of computing integral bases of function fields
设$\mathcal{C}$是由方程$f(x,y)=0$给出的平面曲线，其中$f\in K[x][y]$是一元无平方多项式。研究了代数函数域$K(\mathcal{C})$的积分基的计算问题，并给出了三种已知算法的新的复杂性界。对于每个算法，我们研究它的子程序，并在可能的情况下，我们修改或替换它们，以便利用更快的原语。然后，我们结合复杂度的结果，得出每个算法的整体复杂度估计。特别是，我们修改了一个算法，由于Böhm等人。并实现了准最优的运行时间。
2020-05-08 cs.SC math.AC math.AG
