首页/论文/2003.07957

arXiv 2003.079572020-03-17cs.SC

参数多项式系统的最小综合Gröbner基的一种算法

An Algorithm for Computing a Minimal Comprehensive Gröbner\, Basis of a Parametric Polynomial System

Deepak Kapur, Yiming Yang

备注：: 8 pages

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

给出了由任意的忠实综合Gröbner系统生成参数多项式系统的最小综合Gröbner基的算法.参数多项式理想的基是综合Gröbner基当且仅当对于给定域中参数的每个特化，该基的特化是相关特化多项式理想的Gröbner基。用于确保极小的关键思想是，一个多项式是必不可少的全面Gröbner\，基础。必要性检查是通过确定一个多项式是否可以在一个综合的Gröbner系统中的相关分支中被其他多项式覆盖以用于各种专门化来执行的。该算法已被实现，并成功地尝试了许多例子从文献。

英文摘要：

An algorithm to generate a minimal comprehensive Gröbner\, basis of a parametric polynomial system from an arbitrary faithful comprehensive Gröbner\, system is presented. A basis of a parametric polynomial ideal is a comprehensive Gröbner\, basis if and only if for every specialization of parameters in a given field, the specialization of the basis is a Gröbner\, basis of the associated specialized polynomial ideal. The key idea used in ensuring minimality is that of a polynomial being essential with respect to a comprehensive Gröbner\, basis. The essentiality check is performed by determining whether a polynomial can be covered for various specializations by other polynomials in the associated branches in a comprehensive Gröbner\, system. The algorithm has been implemented and successfully tried on many examples from the literature.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

半群代数上的Gr {ö} bner基：稀疏多项式系统的算法与应用

Gr{ö}bner Basis over Semigroup Algebras: Algorithms and Applications for Sparse Polynomial Systems

Gr {<$} bner基是算法非线性代数中最有力的工具之一。它们的计算是一个本质上很难的问题，其复杂性至少是变量数量的单指数。然而，在大多数情况下，来自应用程序的多项式系统具有某种结构。例如，计算机辅助设计、机器人、视觉、生物学、运动学、密码学和优化中的几个问题涉及稀疏系统，其中输入多项式具有一些非零项。我们利用稀疏性的方法是将系统嵌入到一个半群代数中，并计算这个代数上的Gr {<$} bner基。到目前为止，遵循这种方法的算法仅在所有多项式具有相同的稀疏结构（即相同的牛顿多面体）的情况下才受益于稀疏性。我们介绍的第一个算法，克服了这一限制。在正则性假设下，它不执行冗余计算。进一步，我们将该算法推广到计算标准代数中的Gr {<$} bner基和求解环面$(C*)^n$上的稀疏多项式系统.算法的复杂度取决于牛顿多面体。

2019-02-01cs.SC

混合Gr{<$}bner基算法：多齐次稀疏情形

Towards Mixed Gr{ö}bner Basis Algorithms: the Multihomogeneous and Sparse Case

计算代数中最大的开放问题之一是设计有效的Gr{<$}bner基计算算法，该算法考虑了输入多项式的稀疏性。我们可以在非混合多项式系统的情况下执行这样的计算，即具有相同支持的多项式的系统，使用Faug{è}re，Spaenlehauer和Svartz [ISSAC'14]的方法。我们提出了两个算法的稀疏Gr{<$}bner基计算的混合系统。第一种方法利用混合稀疏系统进行计算，并利用多项式的支持。在正则性假设下，它不执行归零。对于混合，平方和0维多齐次多项式系统，我们提出了一个专用的，可能更有效的，算法，利用不同的代数属性，不执行减少到零。我们给出了计算中出现的最大度的显式界。

2018-05-15cs.SC

关于热带格罗布纳基的FGLM算法

On FGLM Algorithms with Tropical Gröbner bases

设K是一个具有赋值的域。K上的热带变种可以用考虑K估值的Gr{ö}bner基理论来定义。由于赋值的使用，热带Gr{<$}bner基理论已被证明为p进域上的多项式环上的计算提供了比经典Gr{<$}bner基更稳定的设置。在这篇文章中，我们研究如何FGLM的变化排序算法可以适应热带设置。由于考虑了多项式系数的赋值，经典的FGLM算法的逐单式递增方式计算乘法矩阵和基矩阵的变换根本不能转置到热带环境。我们通过开发新的线性代数算法来缓解这个问题，并将其应用于我们新的热带FGLM算法。动机是双重的。首先，为了计算热带变种，通常要计算许多为不同权重（然后是不同项阶）定义的热带Gr{<$}bner基。对于维数为0的理想，热带FGLM算法提供了一种有效的方法，从一个权重的热带Gr{<$}bner基到另一个权重的热带Gr{<$}bner基。其次，FGLM策略可以应用于从热带Gr{<$}bner基到经典Gr{<$}bner基的转换。我们提供了工具来链接热带Gr{<$}bner基的稳定计算（对于权重[0，. ..，0]）与[RV 16]的FGLM的p-adic稳定化变体一起计算字典或形状位置基础。我们所有的算法都已经在SageMath中实现。我们提供数值例子来说明时间复杂度。然后，我们说明了我们的策略的优越性，关于稳定的p-adic数值计算。

2020-09-04cs.SCmath.AC

序列关系的结构理想的Gr{<$}bner基的猜测

Guessing Gr{ö}bner Bases of Structured Ideals of Relations of Sequences

假设一个域上定义的n维表中有足够多的项，我们的目标是猜测它们满足的具有常数或多项式系数的线性递归关系。在许多应用中，表项伴随着一个结构：例如，它们可能在锥外为零，它们可能在有限群作用下从理想不变量的Gr{<$}bner基构建。因此，我们展示了如何利用这种结构来减少表查询的数量和基本字段中的操作数量，以恢复表的理想关系。在像组合数学这样的应用中，所有这些零项使我们猜测许多假关系，这使我们能够大大减少这些错误的猜测。这些算法已经实现，并且在实验上，它们让我们处理我们无法管理的示例。此外，我们证明了哪种锥和格结构被保留的斜多项式乘法。这使得我们可以通过计算斜多项式环中有限群作用下的理想不变量的稀疏Gr{<$}bner基或Gr{<$}bner基来加快多项式系数的线性递归关系的猜测。

2021-11-18cs.SC

关于FGLM算法的p-adic稳定性

On the p-adic stability of the FGLM algorithm

目前，许多求解多项式系统的策略都是先计算Gr{<$}bner基，然后再通过变序算法得到Gr{<$}bner基。排序算法的改变是这些策略的关键。研究了主要的变序算法FGLM的p-adic稳定性。我们证明了FGLM是稳定的，并给出了其执行过程中精度损失的上界。FGLM的变体被设计成在形状位置上从grevlex排序传递到Gr{<$}bner基也是稳定的。我们的研究依赖于Smith范式计算在线性代数中的应用。

2016-02-02cs.SCmath.AC

通用解析Gr{ö}bner基与Tropical几何

Universal Analytic Gr{ö}bner Bases and Tropical Geometry

本文提出一种通过遍历Gr{ö}bner扇计算多项式理想通用解析Gr{ö}bner基的算法，为计算tropical簇提供新视角，并探讨了凸多面体收敛约束下的局部基计算。

2024-01-11cs.SCmath.AGmath.NT

更多相关论文收起更多论文

基于多项式除法的线性递推关系计算算法

Polynomial-Division-Based Algorithms for Computing Linear Recurrence Relations

稀疏多项式插值、稀疏线性系统求解或模有理重构是计算机代数中的基本问题。它们归结为用Berlekamp-Massey算法计算序列的线性递归关系。同样，稀疏多元多项式插值和多维循环码译码也需要猜测多元序列的线性递归关系，有几种算法可以解决这个问题。所谓的Berlekamp-Massey-Sakata算法（1988）使用多项式加法和单项式移位。Scalar-FGLM算法（2015）依赖于多汉克尔矩阵上的线性代数运算，这是汉克尔矩阵的多变量推广。Artinian Gorenstein边界基算法（2017）使用了Gram-Schmidt过程。我们提出了一种新的算法，用于计算仅基于多元多项式算术的序列关系理想的Gr{<$}bner基。该算法既可以通过多项式除法来重新审视Berlekamp-Massey-Sakata算法，又可以完全修正Scalar-FGLM算法，而不需要线性代数运算。作为在ISSAC会议上发表的论文的补充，我们给出了这种算法的一个自适应变体，它考虑了最终Gr{<$}bner基的形状，随着它的逐渐发现。该算法的主要优点是它的复杂性方面的操作和序列查询只依赖于输出Gr{<$}bner basis.All这些算法已实现在Maple和我们的比较报告。

2021-07-06cs.SC

Tate代数中的多项式理想与过收敛

On Polynomial Ideals And Overconvergence In Tate Algebras

本文研究了Tate代数中由多项式或过收敛级数张成的理想。使用最先进的计算Tate Gr{bner基的算法，即使输入是多项式，输出的大小也会随着所需的精度而增长，无论是系数的大小还是级数支持的大小。证明了由多项式张成的理想可以有一个由多项式构成的Tate Gr{<$}bner基，并利用Mora的弱范式算法给出了一个计算它的算法，结果表明，该算法的输出大小随精度线性增长.根据同样的思想，我们提出了一个算法，计算一个理想的超收敛的基础，跨越超收敛级数。最后，我们证明了Tate代数中多项式理想的泛解析Gr{<$}bner基的存在性，它与所有收敛半径相容.

2022-02-15cs.SCmath.AGmath.NT

Tate代数上的FGLM算法

On FGLM Algorithms with Tate Algebras

泰特介绍了在[Ta 71]的概念泰特代数服务，在解析几何的背景下，adics，作为一个对应的多项式代数在古典代数几何。在[CVV 19，CVV 20]中，我们介绍了Tate代数上Gr{<$}bner基的形式，并提出了基于签名的改进算法。本文将文献[FGLM 93]的FGLM算法推广到Tate代数。除了允许快速更改顺序之外，这种策略还有另外两个重要的好处。首先，它提供了一个有效的算法来改变收敛半径，特别是，它有效地架起了多项式集和Tate集之间的桥梁，有助于加快Tate代数上Gr{<$}bner基的计算.其次，它为设计一个快速的内归约算法提供了基础，该算法可以作为我们以前算法的基本原语，并大大加快了它们的速度。

2021-02-10cs.SC

有限精度完备离散赋值域上的Matrix-F5算法

Matrix-F5 algorithms over finite-precision complete discrete valuation fields

令$(f\_1,\dots, f\_s) \in \mathbb{Q}\_p [X\_1,\dots, X\_n]^s$是具有$p$ -adic系数的齐次多项式序列。例如，这种系统可能发生在算术几何中。然而，由于$\mathbb{Q}\_p$不是有效域，经典算法并不适用，本文给出了关于单项式阶$w.$的近似Gr{<$}bner基的定义，并设计了一种计算这种基的策略，当精度足够时，假设输入序列是正则的，理想$\langle f\_1,\dots,f\_i \rangle$是弱- $w$ -理想。Moreno-Socias的猜想指出，对于grevlex排序，这样的序列是通用的。该策略有两种变体，取决于一种更倾向于精度还是时间复杂度。为了分析这些算法，我们研究了高斯行阶梯算法的精度损失，并将其应用到一个改进的矩阵F5算法中。此外，在这种假设下，Gr{<$}bner基可以稳定地计算，这一事实具有许多应用。首先，将$(f\_1,\dots,f\_s)$映射到它们所生成的理想的约化Gr{<$}bner基上的映射是可微的，并且它的微分可以显式给出.其次，这些假设允许在Grobner基上执行提升，从$\mathbb{Z}/p^k \mathbb{Z}$到$\mathbb{Z}/p^{k+k'} \mathbb{Z}$或$\mathbb{Z}.$。最后，在入口多项式的最高阶齐次分量上要求相同的假设允…

2015-09-25cs.SCmath.AC

零维理想的含参代数局部上同调与含参标准基

Algebraic Local Cohomology with Parameters and Parametric Standard Bases for Zero-Dimensional Ideals

给出了含参数零维理想的含参数代数局部上同调的一种计算方法。这种计算方法特别为我们提供了取决于代数局部上同调类结构的参数空间分解。这种分解告诉我们输入理想的几个属性，我们的算法的输出完全描述了输入理想的多重性结构。一个有效的算法计算一个给定的零维理想的参数标准基，相对于一个任意的局部项顺序，也被描述为计算方法的应用。该算法对于给定的零维理想，即使零维理想含有参数，也总是能输出其“约化”标准基。

2015-08-27cs.SC

有限域上参数理想的根计算

On the Radical Computation of Parametric Ideals over Finite Fields

Tokyo Metropolitan University（东京都立大学）

该研究将Matsumoto的多项式理想根计算算法推广到参数情形，利用有限域上的综合格罗比纳系统，提出有限域上参数理想的根计算算法。

2026-08-10cs.SCmath.AC

参数多项式系统的一般正则分解

Generic Regular Decompositions for Parametric Polynomial Systems

本文是我们在[19]中的工作的推广。本文将文[19]中引入的一般零维系统的一般正则分解（GRD）和正则分解不稳定簇（RDU）的概念推广到参数系统不一定是零维系统的情形。在文献[19]中提出的一般零维系统算法的基础上，给出了一种同时计算参数系统的GRD和相关RDU的算法。然后，任何参数系统的解决方案可以表示的解决方案，许多正规系统和分解是稳定的，在任何参数值在相关的RDU簇的补充参数空间。本文还推广了文[19]中的有关定义和结果，并从实验的角度对RDU簇作了进一步的讨论。新算法已实现的基础上，发现与Maple 16和实验的基准从文献中的数量。

2013-01-17cs.ITcs.SCmath.IT

欠定线性常微分方程的参数解

The Parametric Solution of Underdetermined linear ODEs

本文件有两个目的。所提出的算法的一个直接的实际用途是它的适用性欠定线性常微分方程（ODE）的系数是任意的解析函数的自变量的参数解。第二个概念性的目标是提出一种算法，在某种意义上是双重的基本欧几里德算法，因此替代的特殊情况下的Groebner基础算法，因为它是用于解决线性常微分方程系统。本文将欧氏算法与新的对偶算法进行了比较，分析了它们在求解欠定常微分方程问题上的互补性。所描述的算法的实现可以在http://lie.math.brocku.ca/crack/demo下交互地访问。

2011-08-23cs.SCmath.CA