Rainbow connection in $3$-connected graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文证明了$rc(G)\leq 3(n+1)/5$对所有$3$ -连通图都成立.
2010-10-29 math.CO
Erdös-Gallai-type results for conflict-free connection of graphs
边有色图中的一条路称为\emph{a conflict-free path}，如果只在它的一条边上使用一种颜色.一个边有色图称为\emph{conflict-free connected}，如果在每对不同的顶点之间存在一条无冲突的路。连通图$G$的\emph{conflict-free connection number}，用$\mathit{cfc}(G)$表示，定义为使$G$无冲突连通所需的最小颜色数。本文给出了图的无冲突联络数的Erdös-Gallai-型结果。
2018-12-27 math.CO
Determining the Locating Rainbow Connection Number of Vertex-Transitive Graphs
本研究围绕顶点传递图的定位彩虹连通数展开，明确该参数的定义内涵，推导出三个针对部分顶点传递图的相关定理，为该类图的彩虹连通性定位问题提供了理论结果。
2024-03-09 math.CO
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
2011-10-26 math.CO
Proper vertex connection and graph operations
一个顶点着色图中的路是{ \it顶点固有路}，如果任意两个内部邻顶点的颜色不同。一个顶点着色图是{ \it真点$k$ -连通}的，如果图的任意两个顶点由图的$k$不相交的点-真路连通.对于$k$ -连通图$G$，定义$G$的{ \it真点$k$ -连通数}（记为$pvc_{k}(G)$）为使$G$真点$k$ -连通所需的最小颜色数.一个点着色图是{ \it强真点连通}，如果对图的任意两个点$u,v$，存在一条点真$u$ - $v$测地线.对于连通图$G$，$G$的{ \it强真点连通数}，记为$spvc(G)$，是使$G$强真点连通所需的最小颜色数.本文研究了两个图的并图的真点$k$ -连通数和强真点-连通数，以及图的笛卡尔积、字典序积、强积和直积，给出了图的这些运算的精确值或上界.
2017-05-06 math.CO
Rainbow Connection of Random Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条路相连，且该路的边具有不同的颜色.连通图$G$的彩虹连接，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文研究了$n$阶随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通性，其中$r\ge 4$为常数.证明了当$n$趋于无穷大时，概率趋于1时，$G$的彩虹连接满足$rc(G)=O(\log n)$，这是直到一个隐藏常数的最佳可能.
2014-12-02 math.CO
New concept of connection in signed graphs
在有符号图中，每条边都有一个符号，$+1$或$-1$。本文利用点间正负链的存在性，给出了符号图中连通度的一个新定义。我们证明了这个定义的一些结果和性质，如符号组件，符号关节顶点，和符号峡，我们比较相应的图和符号图形拟阵的性质。我们将我们的结果应用到没有正圈的符号图。对于每条边都是负的符号图，我们的性质变成了奇偶性。
2017-08-05 math.CO
The rank of connection matrices and the dimension of graph algebras
Freedman，Lovasz和Schrijver [1]引入了连接矩阵，并用它来刻画图的同态函数。本说明的目标是确定这些矩阵的确切秩。这个结果可以用图代数的形式来表示（也在[1]中介绍过）。另一个版本证明，如果两个节点的k元组从图同态的角度来看行为相同，那么它们在自同构群下是等价的。
2004-08-18 math.CO
Total proper connection and graph operations
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的一条路是{ \it全真路}，如果$(i)$路上的任意两条相邻边颜色不同，$(ii)$路上的任意两个内部邻顶点颜色不同，和$(iii)$.全着色图称为{ \it全真连通}如果图的任何两个顶点由图的全真路连接。对于连通图$G$，$G$的{ \it全真连通数}定义为使$G$全真连通所需的最小颜色数，记为$tpc(G)$.本文研究了图运算的全真连通数。我们发现$3$是几乎所有图的联图、字典积图和强积图的全真连通数。此外，我们还研究了三类单因子可迹于笛卡儿积的图以及星图和可迹图的置换图。这些图的总真连通数的值都是$3$。
2017-05-06 math.CO
The rainbow connection number of enhanced power graph
设$G$是一个有限群，若存在$z\in G$使得$x,y\in\langle z\rangle$，则$G$的增强幂图$Γ_G^e$是顶点集为$G$且两个顶点$x,y$在$Γ_{G}^e$中边连通的图.设$ζ$是$Γ_G^e$的边着色。本文计算了增强幂图$Γ_G^e$的彩虹连接数。
2017-08-25 math.CO
Rainbow connection of bridgeless outerplanar graphs with small diameters
本文研究直径为2或3的无桥外平面图$G$的彩虹联系数$rc(G)$.证明了：若$G$有直径$2,$则$rc(G)=3$，对于$F_{n}$有$n\geq 7$或$C_5,$，否则$rc(G)=2;$若$G$有直径$3,$则$rc(G)\leq 4$且界是尖锐的.
2016-09-08 math.CO
A connection between the bipartite complements of line graphs and the line graphs with two positive eigenvalues
1974年，Cvetković和Simić证明了哪些图$G$是线图的二部补图。在2002年Borovietanin表明，其中线图$L(H)$有第三大特征值$λ_3\leq0$。我们的第一个观察结果是，Borovietanin发现的两个图是Cvetković和Simić发现的两个图的补图。使用的Courant-Weyl不等式，我们表明为什么这是和reprove Borovietanin的结果，突出了一些功能的图形都发现。
2012-04-13 math.CO
Proper connection numbers of complementary graphs
边着色图$G$中的一条路$P$称为真路，如果$P$的相邻两条边都不着色相同;如果$G$的每两个顶点都由$G$中的真路连接，则$G$是真连通的.连通图$G$的真连通数，记为$pc(G)$，是使$G$真连通所需的最小颜色数。本文根据图$G$本身的一些约束条件，研究了图$G$的补图的适当联系数。此外，我们还刻画了$n$顶点上具有适当连接数$n-2$的图。利用这个结果，我们给出了一个关于真联络数的Nordhaus-Gaddum型定理。我们证明了如果$G$和$\overline{G}$都是连通的，则有$4\le pc(G)+pc(\overline{G})\le n$，并且唯一达到上界的图是最大度的树$Δ=n-2$ .
2015-04-29 math.CO
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
2011-12-02 math.CO
Conflict-free (vertex)-connection numbers of graphs with small diameters
一个（a）边（点）着色图中的一条路称为无冲突路，如果只在它的一条边（点）上使用一种颜色。一个（A）边（顶点）着色图称为无冲突（顶点）连通图，如果对于每对不同的顶点，都有一条无冲突路连接它们。对于连通图$G$，$G$的无冲突（顶点）连接数，记为$cfc(G)(\text{or}~vcfc(G))$，定义为使$G$无冲突（顶点）连接所需的最小颜色数。本文首先对直径为$2,3$和$4$的树$T$给出了精确值$cfc(T)$。基于该结果，确定了除具有直径$4$和$h(G)=2$的那些图$G$之外的任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$的无冲突连接数。在这种情况下，我们分别给出了具有无冲突连接数$2$和$3$的图。对于无冲突的点连接数，对于任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$，都确定了$vcfc(G)$的精确值.
2019-04-10 math.CO
The Rainbow Connection Number of The Commuting Graph of a Finite Nonabelian Group
本文研究有限非交换群交换图的彩虹连通数，给出其确定方法，并揭示该数与极大交换子群数或特殊对合数之间的关系。
2024-10-27 math.CO
The number of cut-edges and conflict-free connection number in planar graphs
Hanoi National University of Education（河内国家师范大学）；Hanoi Architectural University（河内建筑大学）
研究平面图中割边数的条件，并利用主要结果分析有色平面图的无冲突连接数有界条件。
2026-05-30 math.CO
Rainbow vertex connection of digraphs
如果边具有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。一个边色连通图如果任意两个顶点由彩虹路连接则称为PDMATHAMN，如果任意两个顶点由彩虹测地线连接则称为\emph{strongly rainbow connected}。连通图的（\emph{strong}）\emph{rainbow connection number}是使图（强）彩虹连通所需的最小颜色数。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。作为扩展，Krivelevich和Yuster提出了\emph{rainbow vertex-connection}的概念。图中的彩虹连通问题引起了人们的广泛关注，各种相似参数被引入，主要是针对无向图的。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）彩虹点连通数。给出了图的双定向、圈有向图、循环有向图和竞赛图的（强）彩虹点连通数。
2017-07-16 math.CO
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
2011-10-26 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
On the maximum value of conflict-free verex-connection number of graphs
顶点有色图中的一条路称为{ \it conflict-free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为{ \it无冲突顶点连通}，如果图的任意两个顶点通过无冲突路径连接，则称该图为{ \it无冲突顶点连通数}，记为$vcfc(G)$，定义为使$G$无冲突顶点连通所需的最小颜色数. Li等证明了对于$n$阶的连通图$G$，$vcfc(G)\leq vcfc(P_n)$ .我们确认该猜想是正确的，并提出了一个相关的猜想Czap等人介绍的无冲突连接数。
2017-09-05 math.CO
Formulas in connection with parameters related to convexity of paths on three vertices: caterpillars and unit interval graphs
本文给出了毛毛虫的P3-测地数、P3-壳数和渗流时间的计算公式，并给出了单位区间图的渗流时间与单位区间图直径参数之间的关系，最后给出了由禁止诱导子图定义的遗传图类，使得其渗透时间等于一。
2020-02-25 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Distance proper connection of graphs
设$G$是边着色连通图。如果在$P$上没有两条相同颜色的边出现，且它们之间的边少于$\ell$，则$G$中的路径$P$称为距离$\ell$ -适当路径。图$G$称为$(k,\ell)$ -真连通的，如果$G$的每一对不同的顶点都是由$G$中的$k$两两内点不交距离$\ell$ -真路连通的.对于$k$ -连通图$G$，使$G$ $(k,\ell)$ -真连通所需的最少颜色数称为$G$的$(k,\ell)$ -真连通数，记为$pc_{k,\ell}(G)$ .本文证明了对任何$2$ -连通图$G$，都有$pc_{1,2}(G)\leq 5$.考虑到图的运算，我们发现$3$是几乎所有图的联和笛卡尔积的$(1,2)$ -真连通数的一个精确上界.此外，我们还得到了$(k,\ell)$ -真联系数的一些基本性质，并确定了$pc_{1,\ell}(G)$的值，其中$G$是可迹图、树、完全二部图、完全多部图、轮、立方体或非平凡可迹图的置换图.
2016-06-21 math.CO
Erdős-Gallai-type results for total monochromatic connection of graphs
一个图称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个图的全染色是{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点通过一条路连接，且该路的边和内部顶点具有相同的颜色.对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，用$tmc(G)$表示，定义为$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。本文研究了$tmc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了它们.
2016-12-16 math.CO
Some Bounds on the Rainbow Connection Number of 3-, 4- and 5-connected Graphs
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是指对连通图的边进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点都至少有一条路径连接，并且没有两条边的颜色相同。我们证明了对于$κ=3$或$κ= 4$，每个$κ$ -连通图$G$在$n$的顶点上且直径为$\frac{n}κ-c$，满足$rc(G) \leq \frac{n}κ + 15c + 18$ .我们还证明了对每个极大平面图$G$，$rc(G) \leq \frac{n}κ + 36$ .这证明了Li等人关于大直径图和极大平面图的一个猜想。
2012-12-24 math.CO
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
On a question on graphs with rainbow connection number 2
对于连通图$G$，图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}由Chartrand等人引入。彩虹连接的硬度和算法，J. Combin。Optim。21（2011），330- 347”，Chakraborty等人证明了对于直径为2的图$G$，要确定$rc(G)$是NP-完全的，他们在最后留下了4个开放问题，其中最后一个是下面的：假设我们给了一个图$G$，我们被告知，$rc(G)=2$ .我们能用$o(n)$颜色在多项式时间内给它涂上彩虹色吗？本文给出了一个更强的结果，证明了对任何具有$rc(G)=2$的图$G$，我们可以在多项式时间内用至多5种颜色对$G$进行彩虹着色.
2011-09-26 math.CO
On (strong) proper vertex-connection of graphs
一个顶点着色图中的路是{ \it顶点适当路}，如果任何两个内部相邻顶点的颜色不同。一个点着色图是{ \it真点$k$ -连通}的，如果图的任意两个点由图的$k$不相交的点-真路连通.对于$k$ -连通图$G$，定义$G$的{ \it真点$k$ -连通数}为使$G$真点$k$ -连通所需的最小颜色数，记为$pvc_{k}(G)$.一个点着色图是{ \it强真点连通的}，如果对图的任意两个点$u,v$，存在一条点真$u$-$v$测地线.对于连通图$G$，$G$的{ \it强真点连通数}，记为$spvc(G)$，是使$G$强真点连通所需的最小颜色数.这些概念的灵感来自彩虹顶点$k$ -连接数$rvc_k(G)$、强彩虹顶点连接数$srvc(G)$和$k$ -连接图$G$的适当$k$ -连接数$pc_k(G)$。首先，我们确定了一般图的$pvc(G)$值和某些特殊图的$pvc_k(G)$值。我们还比较了$pvc_k(G)$和$pc_k(G)$的值。然后，对$n$阶连通图$G$，即$0\leq spvc(G)\leq n-2$，给出了$spvc(G)$的精确界.此外，我们还刻画了阶$n$的图，使得$spvc(G)=n-2,n-3$，分别。最后，我们研究了连通图$G$的三个顶点着色参数，即$spvc(G), \ srvc(G)$和色数$χ(G)$之间的关系。
2015-05-19 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Hardness result for the total rainbow $k$-connection of graphs
全着色图中的一条路称为\emph{total rainbow}，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色.对于$\ell$连通图$G$和具有$1\leq k \leq\ell$的整数$k$，$G$的\emph{total rainbow $k$-connection number}，记作$trc_k(G)$，是在$G$的全着色中使$G$成为\emph{total rainbow $k$-connected}所用的最少颜色数，即$G$的任意两个顶点由$k$内部顶点不相交的全彩虹路连接.本文研究了图的全彩虹$k$ -联系数的计算复杂性。证明了判定是否为$trc_k(G)=3$是NP完全的。
2015-11-19 math.CO
Proper connection number and graph products
边有色图$G$中的一条路$P$称为\emph{a proper path}，如果$P$中没有两条邻边着色相同; $G$称为\emph{proper connected}，如果$G$中的每两个顶点都由$G$中的一条真路连接.连通图$G$的\emph{proper connection number}，用$pc(G)$表示，是使$G$正确连通所需的最小颜色数。本文研究了字典积图、强积图、笛卡尔积图和直积图的真联络数，并给出了这些积图的真联络数的几个上界。
2015-05-09 math.CO
Conflict-free connection number and independence number of a graph
一个边有色图$G$是无冲突连通的，如果它的任意两个顶点由一条路连接，并且该路只包含在它的一条边上使用的颜色。连通图$G$的无冲突连接数，用$cfc(G)$表示，定义为使$G$无冲突连接所需的最小颜色数。本文研究了图的无冲突联络数与图的独立数之间的关系。本文首先证明了对任意连通图$G$，都有$cfc(G)\le α(G)$，并给出了一个例子，证明了它的界是尖锐的。利用这一结果，我们证明了：如果$T$是一棵树，它有$Δ(T)\ge \frac{α(T)+2}{2}$，那么$cfc(T)=Δ(T)$ .
2020-12-09 math.CO
Total proper connection of graphs
一个图被称为{\it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的一条路是{\it全真路}，如果$(i)$路上的任意两条相邻边颜色不同，$(ii)$路上的任意两个内部相邻顶点颜色不同，和$(iii)$，路的任何内部顶点的颜色都不同于它在路上的关联边，全着色图称为{\it全真连通}如果图的任何两个顶点由图的全真路连接。对于连通图$G$，定义$G$的{\it全真连通数}（用$tpc(G)$表示）为使$G$全真连通所需的最小颜色数.这些概念是受连通图$G$的真连接数$pc(G)$、真顶点连接数$pvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的启发而提出的.本文首先确定了某些特殊图$G$的全真连通数$tpc(G)$的值。其次，我们得到了任何$2$-连通图$G$的$tpc(G)\leq 4$，并举例说明了$4$的上界是尖锐的。对于一般的图，我们也得到了一个上界的$tpc(G)$。进一步证明了对于阶为$n$且度为最小$δ$的连通图$G$，有$tpc(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+1$.最后，我们将$tpc(G)$与$pvc(G)$和$pc(G)$分别进行了比较，得到了对于任意非平凡连通图$G$，$tpc(G)>pvc(G)$是$tpc(G)>pvc(G)$;对于$0\leq t\leq 2$，$tpc(G)$和$pc(G)$可以相差$t$.
2015-12-02 math.CO
The (strong) rainbow connection numbers of Cayley graphs of Abelian groups
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是存在$G$的$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的强彩虹联系数$src(G)$是存在$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的着色，使得$G$的每两个不同顶点$u$和$v$通过长度为$d(u,v)$的彩虹路径连接。本文给出了阿贝尔群的（强）彩虹连通Cayley图的上界和下界.此外，我们确定了一些特殊情况下的（强）彩虹联系数。
2010-12-03 math.CO
Optimal proper connection of graphs
一个边有色图$G$称为恰当着色图，如果在$G$中没有两个邻边共享同一颜色.一个边着色连通图$G$称为恰当连通图，如果在每对不同的顶点之间存在一条恰当着色的路。本文讨论了如何有效地使一个连通图正确连通。更确切地说，我们考虑的问题，转换成适当连接的$p$边缘与$q$颜色，使$p+q$是尽可能小的给定的单色图。我们讨论了如何有效地做到这一点的一些限制图，如树，完全二部图和图的独立数$2$。
2019-03-08 math.CO
Proper connection number of random graphs
边着色图中的一条路称为真路，如果这条路的两条相邻边都不着色相同。对于连通图$G$，定义$G$的真连通数$pc(G)$为使$G$的每对不同顶点至少由$G$中的一条真路连通所需的最少颜色数.本文证明了几乎所有的图都有真连通数2。更准确地说，让$G(n,p)$表示Erdös-Rényi随机图模型，其中每个$\binom{n}{2}$顶点对都以概率$p$独立于其他顶点对的方式显示为边。我们证明了，对于足够大的$n$，$pc(G(n,p))\le2$如果$p\ge\frac{\log n +α(n)}{n}$，其中$α(n)\rightarrow \infty$。
2015-06-23 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
A note on graph compositions and their connection to minimax of set partitions
图的合成是顶点集的一个划分，使得该划分的每个成员导出一个连通子图，图的合成数是可能的图合成的个数。一个连续标号顶点集S的一个划分被称为在S中有一个极小极大顶点v，如果v的标号是划分的所有成员上的所有最大标号的集合中的最小标号。本文给出了一类图的合成数的递推公式，并建立了这类图的合成数与标号集（划分的每个成员上的所有最大标号的集合的最小标号）的划分的极大极小的合成数之间的联系。
2017-09-01 math.CO
Total monochromatic connection of graphs
一个图被称为{ \it total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。全着色图中的路径是{ \it全单色路径}，如果路径上的所有边和内部顶点具有相同的颜色。一个图的全染色是一个{ \it全单色连通染色}（简称{ \it TMC-染色}），如果图的任意两个顶点由图的全单色路连通。对于连通图$G$，{ \it总单色连接数}，记为$tmc(G)$，定义为在$G$的TMC着色中使用的最大颜色数。这些概念的灵感来自连通图$G$的单色连接数$mc(G)$、单色顶点连接数$mvc(G)$和全彩虹连接数$trc(G)$的概念。令$l(T)$表示树$T$的叶子数，并且令$l(G)=\max\{ l(T) | $ $T$是连通图$G$的$G$ $\}$的生成树。本文证明了存在许多图$G$使得$tmc(G)=m-n+2+l(G)$，并且证明了对几乎所有的图$G$，$tmc(G)=m-n+2+l(G)$成立.进一步，我们将$tmc(G)$与$mvc(G)$和$mc(G)$分别进行了比较，得到了存在图$G$使得$tmc(G)$不小于$mvc(G)$，反之亦然，并且$tmc(G)=mc(G)+l(G)$对几乎所有的图都成立.最后，证明了$tmc(G)\leq mc(G)+mvc(G)$和等式成立当且仅当$G$是完全图.
2016-01-13 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection number of a graph with diameter 2
设$G$是一个连通图.图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}是最近由Chartrand等人引入的，Li等人证明了对直径为2的无桥图$G$，有$rc(G)\leq 5$ .他们给出了$rc(G)\leq 4$ .然而，他们不能证明上界5是尖锐的。已知对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解对于这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文用不同的方法得到了同一个上界，并举例说明了这个上界是最好的。
2011-09-23 math.CO
Proper connection number and connected dominating sets
连通图$G$的真连通数$pc(G)$定义为给其边着色所需的最小颜色数，使得$G$的每对不同顶点至少由$G$中的一条路连接，使得该路的任何两个相邻边都不被相同着色，这样的路称为真路。本文证明了对于直径为2且最小度至少为2的连通图，其真连通数为2。然后，我们对每一个阶为$n$且度为$δ$的连通图给出了一个上界$\frac{3n}{δ+ 1}-1$.我们还证明了对于每一个连通图$G$，最小度至少为$2$，适当的连接数$pc(G)$的上界是$pc(G[D])+2$，其中$D$是$G$的连通双向（两步）控制集。对于许多特殊的图类，$pc(G)\leq 4$或$pc(G)=2$的形式的界是这个结果的简单推论，这些图包括连通区间图、星形无三重图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为$2$。通过对区间图和圆弧图的结构分析，得到了区间图和圆弧图的真连通数的一个精确上界3。
2015-01-23 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
Upper bound for the rainbow connection number of bridgeless graphs with diameter 3
边着色图$G$中的一条路径，其中相邻的边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是$G$存在$G$的$k$ -边染色使得$G$的每对不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$k$.已知对于每个整数$k\geq 2$，判定图$G$是否具有$rc(G)\leq k$是NP-困难的，且具有$rc(G)\leq k$的图$G$具有直径$diam(G)\leq k$ .在前面的文章中，我们证明了直径为2的无桥图的彩虹连接数至多为5。本文证明了直径为3的无桥图的彩虹连通数至多为9。我们还证明了对于任何半径为$r$的无桥图$G$，如果$G$的每条边都包含在三角形中，则$rc(G)\leq 3r$。作为应用，我们得到了对任意最小度至少为3的图$G$，有$rc(L(G))\leq 3 rad(L(G))\leq 3 (rad(G)+1)$ .
2011-10-13 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
Graph Universal Cycles: Compression and Connections to Universal Cycles
本文提出图泛部分环这一更紧凑的图类表示方法，并为带标签图、阈值图和置换图给出构造，同时揭示了其与泛环及压缩泛环的联系，还证明了置换图和无标签图上相关泛环形式的存在性。
2022-09-28 math.CO
On two conjectures about the proper connection number of graphs
边着色图有色图中的一条路称为真路，如果这条路的任何两条连续边都不具有相同的颜色。对于连通图$G$，$G$的真连通数$pc(G)$被定义为使$G$的每对不同顶点至少由$G$中的一条真路连通所需的最少颜色数.本文研究了图的真连通数的两个问题。第一个猜想指出，如果$G$是一个具有连通度$κ(G) = 2$和最小度$pc(G) = 2$的不完全图，则Borozan等人~在[Discrete Math.312（2012），2550-2560]中。我们给出了一族反例来反驳这个猜想。然而，从一个结果，它遵循3-边连通不完全图有正常的连接数2。利用这个结果，我们可以证明，如果$G$是一个具有$diam(G)=3$的2-连通不完全图，则$pc(G) = 2$，它解决了我们要提到的第二个猜想，由Li和Magnant在[Theory \& Appl. Graphs 0（1）（2015），Art.2]中提出。
2016-03-28 math.CO
Conflict-free connection number of random graphs
一个边着色图$G$是无冲突连通的，如果它的任意两个顶点由一条路连接，而该路恰好包含在它的一条边上使用的颜色。连通图$G$的无冲突连接数，记为$cfc(G)$，是使$G$无冲突连接所需的最小颜色数。在本文中，我们证明了几乎所有的图都有无冲突连接数2。更准确地说，让$G(n,p)$表示Erdens-Rényi随机图模型，其中每个$\binom{n}{2}$顶点对都以概率$p$独立于其他顶点对的方式显示为边。我们证明了，对于足够大的$n$，$cfc(G(n,p))\le 2$如果$p\ge\frac{\log n +α(n)}{n}$，其中$α(n)\rightarrow \infty$。这意味着，一旦$G(n,p)$以高概率连接，$cfc(G(n,p))\le 2$。
2018-09-10 math.CO
On a connection between the switching separability of a graph and that of its subgraphs
一个$n>3$阶图称为交换可分图，如果它与同一顶点集上的某个完全二部图的模2和被分成两个相互独立的子图，每个子图至少有两个顶点.我们证明如下：如果去掉一个图的任意一个或两个顶点总是得到一个交换可分子图，那么这个图本身就是交换可分的。另一方面，对于每一个大于4的奇数阶，都有一个图不是交换可分的，但是去掉任何一个顶点总是会得到一个交换可分的子图。我们显示了类似的事实上的分离布尔函数和约简的$n$ -ary拟群的连接。关键词：二图，约简，可分性，图切换，Seidel切换，图连通度，$n$ -元拟群
2011-03-31 math.CO
Conflict-free vertex-connections of graphs
顶点有色图中的一条路称为\emph{conflict free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为\emph{conflict-free vertex-connected}，如果它的任意两个顶点都由一条无冲突的路连接.本文研究了这样一个问题：对于一个连通图$G$，为了使$G$成为无冲突的顶点连通的，它的顶点着色所需的最少颜色数是多少.结果表明，对于$2$ -连通图，这一问题的求解是容易的，而对于割点数较多的连通图，包括树，这一问题的求解是非常困难的。
2017-05-20 math.CO
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
2019-11-04 math.CO
Note on two results on the rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。Caro等人在“On rainbow connection，Electron. J. Combin. 15（2008），R57”。最近，Shiermeyer在“Bounds for the rainbow connection number of graphs，Discuss.数学图论31（2011），387- 395”，其中$σ_2$是最小度和。两个结果的证明几乎相同，都是先确定$δ$的最小度，然后再对$n$进行归纳。这个简短的说明指出，这种证明技术并不严格。幸运的是，Caro等人的结果仍然是正确的，但在我们改进的证明下。然而，我们不知道Shiermeyer的结果是否仍然成立。
2011-10-23 math.CO
Degree sum conditions for a graph to have bounded conflict-free connection number
Hanoi Architectural University（河内建筑大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科学技术大学）；Hanoi National University of Education（河内国家教育大学）
本文针对图的无冲突连接数问题，提出了保证该参数有界的4个独立顶点最小度和的尖锐条件。
2026-08-11 math.CO
