Rainbow connection in $3$-connected graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文证明了$rc(G)\leq 3(n+1)/5$对所有$3$ -连通图都成立.
2010-10-29 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Strong rainbow connection numbers of toroidal meshes
在2011年，Li等人\cite{LLL}得到了$r$维无向环面网格的强彩虹连接数的上界。本文改进了这一界。因此，我们对他们的问题给予否定的回答。
2017-03-01 math.CO
A solution to a conjecture on the rainbow connection number
对于图$rc(G)$，Chartrand等人在“G. Charand，G.L.约翰，K.A. Mckeon，P. Zhang，图中的彩虹连接，Mathematica Bohemica，133（1）（2008）85-98”。他们提出了如下猜想：对两个给定的正$a$和$b$，存在连通图$G$使得$rc(G)=a$和$src(G)=b$当且仅当$a=b\in\{1,2\}$或$ 3\leq a\leq b$“.在这篇短文中，我们将证明这个猜想是正确的。
2010-12-14 math.CO
Hardness result for the total rainbow $k$-connection of graphs
全着色图中的一条路称为\emph{total rainbow}，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色.对于$\ell$连通图$G$和具有$1\leq k \leq\ell$的整数$k$，$G$的\emph{total rainbow $k$-connection number}，记作$trc_k(G)$，是在$G$的全着色中使$G$成为\emph{total rainbow $k$-connected}所用的最少颜色数，即$G$的任意两个顶点由$k$内部顶点不相交的全彩虹路连接.本文研究了图的全彩虹$k$ -联系数的计算复杂性。证明了判定是否为$trc_k(G)=3$是NP完全的。
2015-11-19 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
2011-10-26 math.CO
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph
一个顶点有色图$G$是彩虹点连通的，如果任意一对不同的顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路相连。$G$的彩虹顶点连接数，用$rvc(G)$表示，是使$G$彩虹顶点连接所需的最小颜色数。本文给出了彩虹点连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。证明了当$G$和$\bar{G}$都连通时，则$2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$ .给出的例子表明，上界和下界是最好的可能所有$n\geq 5$。
2011-03-17 math.CO
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
2011-12-02 math.CO
The Rainbow Connection Number of The Commuting Graph of a Finite Nonabelian Group
本文研究有限非交换群交换图的彩虹连通数，给出其确定方法，并揭示该数与极大交换子群数或特殊对合数之间的关系。
2024-10-27 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接. $G$的彩虹连接数，表示为$rc(G)$，是用于使$G$彩虹连接的最小颜色数。本文给出了彩虹联系数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明了如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$ .通过实例证明了该上界对所有$n\geq 4$都是尖锐的，下界对所有$n\geq 8$都是尖锐的.对于其余的小型$n=4,5,6,7,$，我们也给出了精确的界限。
2010-12-14 math.CO
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
2019-11-04 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Rainbow vertex-connection and forbidden subgraphs
顶点着色图中的一条路称为\emph{vertex-rainbow}，如果它的内部顶点具有两两不同的颜色.一个图$G$是\emph{rainbow vertex-connected}，如果对于$G$的任何两个不同的顶点，有一个顶点彩虹路连接它们。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-connection number}，用$rvc(G)$表示，定义为使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。在本文中，我们找到了所有具有$|\mathcal{F}|\in\{1,2\}$的连通图族$\mathcal{F}$，对于这些连通图族，存在一个常数$k_\mathcal{F}$，使得对于每个连通的无$\mathcal{F}$的图$G$，$rvc(G)\leq diam(G)+k_\mathcal{F}$，其中$diam(G)$是$G$的直径.
2016-02-02 math.CO
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
2011-10-26 math.CO
Algorithm on rainbow connection for maximal outerplanar graphs
本文在算法方面研究了极大外平面图的彩虹连通数。对于（MOP）$G$，给出了保证$rc(G) = diam(G).$的充分条件，并给出了给定直径的图$d$在线性时间内的彩虹染色. X.Deng等人的$\cite{XD}$利用极大扇形划分方法给出了一个计算MOPs彩虹连接数的多项式时间算法，但只得到了一个紧致的上界. J. Lauri $\cite{JL}$证明了，对于给定边染色的弦外平面图，在边染色下，判定其是否彩虹连通是NP-完全的，对于MOP也是NP-完全的.因此，我们构造了MOP $G,$的中心割脊，并利用它设计了一个在多项式时间内用最多$2rad(G)+2+c,0\leq c\leq rad(G)-2$颜色进行彩虹边着色的算法。
2016-05-06 math.CO
The hitting time of rainbow connection number two
在给定边着色的图$G$中，彩虹路径是所有边都具有不同颜色的路径。给$G$的边着色以使每对顶点至少由一条彩虹路径连接所需的最小颜色数称为图$G$的彩虹连接数$rc(G)$。对于任何图形$G$，$rc(G) \ge diam(G)$。我们将证明，对于Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$接近直径2阈值，如果$diam(G)=2$，则$rc(G)=2$的概率很高。事实上，进一步加强这一结果，我们将表明，在随机图过程中，以高概率的首中时的直径2和彩虹连接数2一致。
2012-09-13 math.CO
Rainbow connection of bridgeless outerplanar graphs with small diameters
本文研究直径为2或3的无桥外平面图$G$的彩虹联系数$rc(G)$.证明了：若$G$有直径$2,$则$rc(G)=3$，对于$F_{n}$有$n\geq 7$或$C_5,$，否则$rc(G)=2;$若$G$有直径$3,$则$rc(G)\leq 4$且界是尖锐的.
2016-09-08 math.CO
On a question on graphs with rainbow connection number 2
对于连通图$G$，图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}由Chartrand等人引入。彩虹连接的硬度和算法，J. Combin。Optim。21（2011），330- 347”，Chakraborty等人证明了对于直径为2的图$G$，要确定$rc(G)$是NP-完全的，他们在最后留下了4个开放问题，其中最后一个是下面的：假设我们给了一个图$G$，我们被告知，$rc(G)=2$ .我们能用$o(n)$颜色在多项式时间内给它涂上彩虹色吗？本文给出了一个更强的结果，证明了对任何具有$rc(G)=2$的图$G$，我们可以在多项式时间内用至多5种颜色对$G$进行彩虹着色.
2011-09-26 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
Rainbow connection in some digraphs
一个边着色图$G$是{ \it彩虹连通}，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.这个概念由Chartrand等人在\cite{ch01}中引入，并由Dorbec等人在\cite{DI}中扩展到定向图。在本文中，我们提出了一些结果，关于这种扩展，主要是循环有向图的情况下。
2015-04-07 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
Rainbow connection numbers of complementary graphs
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文根据图$G$的补图$\bar{G}$的一些约束条件，给出了一种研究图$G$的彩虹连通数的新方法.首先证明了对于连通图$G$，如果$\bar{G}$不属于以下两种情况：$(i)$ ~ $diam(\bar{G})=2,3$，$(ii)~\bar{G}$恰好包含两个连通分支且其中一个连通分支是平凡的，则有$rc(G)\leq 4$，其中$diam(G)$是$G$的直径.给出的例子表明，这个界限是最好的可能。接下来，我们推导出对于连通图$G$，如果$\bar{G}$是无三角形的，则$rc(G)\leq 6$。
2010-12-23 math.CO
Hardness and Algorithms for Rainbow Connection
一个边有色图$G$是{ \em彩虹连通}，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的{ \em rainbow connection}，记作$rc(G)$，是使$G$ rainbow连通所需的最小颜色数。在本文的第一个结果中，我们证明了计算$rc(G)$是NP-难的解决一个开放的问题从\cite{Ca-Yu}。事实上，我们证明了判定$rc(G)=2$是否为彩虹连通的问题是NP完全的，并且证明了判定一个给定的边着色图（颜色数无限）是否为彩虹连通的问题也是NP完全的。在积极的一面，我们证明了对每一个$ε>0$，最小度至少为$εn$的连通图有{ \em有界}彩虹连通，其中界仅依赖于$ε$，并且相应的着色可以在多项式时间内构造.额外的非平凡的上限，以及开放的问题和programmures也提出。
2008-09-15 math.CO
On strong rainbow connection number
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。对于$G$的任意两个顶点$u$和$v$，$G$中的彩虹$u-v$测地线是长度为$d(u,v)$的彩虹$u-v$路径，其中$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离。图$G$是强彩虹连通的，如果对$G$中的任意两个顶点$u$和$v$存在彩虹测地线$u-v$. $G$的强彩虹连接数，记为$src(G)$，是为了使$G$强彩虹连接所需的最小颜色数。本文首先研究了具有大强彩虹连通数的图。Chartrand等人得到了$G$是树的充要条件是$src(G)=m$，我们将证明$src(G)\neq m-1$，所以$G$不是树的充要条件是$src(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。此外，我们还用$src(G)=m-2$刻画了图$G$。然后根据图$G$中边不相交三角形的个数给出了$src(G)$的一个精确上界，并给出了等式成立的一个充分必要条件.
2010-10-29 math.CO
The strong rainbow vertex-connection of graphs
一个顶点着色图$G$称为彩虹点连通图，如果$G$的每两个顶点之间有一条内部顶点具有不同颜色的路相连，这样的路称为彩虹路，连通图$G$的彩虹点连通数（记为$rvc(G)$）是使$G$彩虹点连通所需的最小颜色数.如果对于每对$u, v$不同的顶点，$G$包含彩虹$u-v$测地线，则$G$是强彩虹顶点连通的。使$G$的$k$ -点染色能产生强彩虹点连通图的最小数$k$称为$G$的强彩虹点连通数，记为$srvc(G)$ .观察到对于任何非平凡连通图$G$，都有$rvc(G)\leq srvc(G)$。本文对$n$阶连通图$G$，即$0\leq srvc(G)\leq n-2$，给出了$srvc(G)$的精确上、下界.图的顺序$n$，使$srvc(G)= 1, 2, n-2$的特点，分别。本文还证明了，对于每一对具有$a\geq 5$和$b\geq (7a-8)/5$的整数$a, b$，存在一个连通图$G$，使得$rvc(G)=a$和$srvc(G)=b$ .
2012-01-07 math.CO
Characterize graphs with rainbow connection number $m-2$ and $m-3$
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。Chartrand等人得到了$G$是树当且仅当$rc(G)=m$，并且很容易看出$G$不是树当且仅当$rc(G)\leq m-2$，其中$m$是$G$的边数。因此，有一个有趣的问题：用$rc(G)=m-2$刻画图$G$。在本文中，我们解决这个问题。此外，我们还用$rc(G)=m-3$刻画了图$G$.
2013-12-11 math.CO
Note on two results on the rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。Caro等人在“On rainbow connection，Electron. J. Combin. 15（2008），R57”。最近，Shiermeyer在“Bounds for the rainbow connection number of graphs，Discuss.数学图论31（2011），387- 395”，其中$σ_2$是最小度和。两个结果的证明几乎相同，都是先确定$δ$的最小度，然后再对$n$进行归纳。这个简短的说明指出，这种证明技术并不严格。幸运的是，Caro等人的结果仍然是正确的，但在我们改进的证明下。然而，我们不知道Shiermeyer的结果是否仍然成立。
2011-10-23 math.CO
List rainbow connection number of graphs
本文引入图的列表彩虹连通数与列表强彩虹连通数，确定若干特定图的相应参数，刻画参数对可实现的正整数值，并提出列表彩虹连通数是否总等于彩虹连通数的公开问题。
2025-03-12 math.CO
Upper Bounding Rainbow Connection Number by Forest Number
一个边着色图中的一条路是彩虹的，如果它的两条边都不是相同着色的;如果它的每对顶点之间都有一条彩虹路，那么这个图是彩虹连通的。彩虹连接图$G$所需的最小颜色数是$G$的彩虹连接数，用$\text{rc}(G)$表示。彩虹连接图$G$的一个简单方法是用不同的颜色来着色生成树的边，然后重用这些颜色中的任何一种来着色$G$的其余边。这证明了$\text{rc}(G) \le |V(G)|-1$.我们要问的是，在树状结构和彩虹着色之间，是否存在比上述琐碎论证所暗示的更强的联系。例如，是否有可能找到$\text{rc}(G)$的$t(G) -1$的上界，其中$t(G)$是$G$的最大导出树中的顶点数？答案是否定的，因为有反例表明，对于任何给定的常数$c$，即使$c\cdot t(G)$也不是$\text{rc}(G))$的上限。在这项工作中，我们表明，如果我们考虑森林数$f(G)$，$G$的最大诱导森林中的顶点数，而不是$t(G)$，那么令人惊讶的是，我们确实得到了一个上界。更具体地说，我们证明了$\text{rc}(G) \leq f(G) + 2$。我们的结果表明，彩虹连接和树状结构之间的联系比简单的基于生成树的上限所建议的更强。
2020-06-11 math.CO
Upper bound for the rainbow connection number of bridgeless graphs with diameter 3
边着色图$G$中的一条路径，其中相邻的边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是$G$存在$G$的$k$ -边染色使得$G$的每对不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$k$.已知对于每个整数$k\geq 2$，判定图$G$是否具有$rc(G)\leq k$是NP-困难的，且具有$rc(G)\leq k$的图$G$具有直径$diam(G)\leq k$ .在前面的文章中，我们证明了直径为2的无桥图的彩虹连接数至多为5。本文证明了直径为3的无桥图的彩虹连通数至多为9。我们还证明了对于任何半径为$r$的无桥图$G$，如果$G$的每条边都包含在三角形中，则$rc(G)\leq 3r$。作为应用，我们得到了对任意最小度至少为3的图$G$，有$rc(L(G))\leq 3 rad(L(G))\leq 3 (rad(G)+1)$ .
2011-10-13 math.CO
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
2020-01-06 math.CO
A sharp upper bound for the rainbow 2-connection number of 2-connected graphs
边着色图中的一条路称为{ \em rainbow}，如果它的两条边都不着色相同.对于$\ell$ -连通图$G$和具有$1\leq k\leq \ell$的整数$k$，定义$G$的{ \em彩虹$k$ -连接数} $rc_k(G)$为给$G$的边着色所需的最小颜色数，使得$G$的每两个不同的顶点至少由$k$内部不相交的彩虹路径连接. Fujita et.等人提出了一个问题：什么是最小常数$α>0$，使得对于所有2-连通图$G$在$n$顶点上，我们有$rc_2(G)\leq αn$ .本文证明了$α=1$和$rc_2(G)=n$当且仅当$G$是$n$阶圈，从而解决了这个问题.
2012-04-11 math.CO
Rainbow connection of graphs with diameter 2
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$的$i$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$.对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文证明了如果$G$是直径为2的无桥图，则$rc(G)\leq 5$是$rc(G)\leq 5$;如果$G$是直径为2的有$k$桥的连通图，则$rc(G)\leq k+2$是$rc(G)\leq k+2$，其中$k\geq 1$ .
2011-03-08 math.CO
Rainbow connection number and the number of blocks
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果$G$的每对顶点都由一条边具有不同颜色的路连接.将$G$的彩虹连接数$rc(G)$定义为最小整数$t$，使得存在使$G$彩虹连接的具有$t$颜色的$G$的边着色。对于没有割点的图$G$，即，对$n$阶的2连通图，证明了它是$rc(G)\leq \lceil\frac n 2 \rceil$，并且它的界是紧的.本文证明了：对于阶为$n$的连通图$G$，有割点，有$rc(G) \leq\frac{n+r-1} 2$，其中$r$是$G$的偶数阶块的个数，且其上界是紧的.此外，我们还获得了无桥图的紧上界，即，2-边连通图。
2012-11-05 math.CO
Note on rainbow connection number of dense graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。根据Caro等人的想法，本文还研究了稠密图的彩虹连通数。证明了对$k\geq 2$，若$G$是阶$n$的非完全图，且最小度为$δ(G)\geq \frac{n}{2}-1+log_{k}{n}$，或最小度和为$σ_{2}(G)\geq n-2+2log_{k}{n}$，则$rc(G)\leq k$ ;若$G$是阶$n$的图，且直径为2，且$δ(G)\geq 2(1+log_{\frac{k^{2}}{3k-2}}{k})log_{k}{n}$，则$rc(G)\leq k$ .我们还证明了，如果$G$是一个阶为$n$的非完全二部图，且同一顶点类中的任意两个顶点在另一顶点类中至少有$2log_{\frac{k^{2}}{3k-2}}{k}log_{k}{n}$公共邻居，则$rc(G)\leq k$ .
2011-10-05 math.CO
Some Bounds on the Rainbow Connection Number of 3-, 4- and 5-connected Graphs
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是指对连通图的边进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点都至少有一条路径连接，并且没有两条边的颜色相同。我们证明了对于$κ=3$或$κ= 4$，每个$κ$ -连通图$G$在$n$的顶点上且直径为$\frac{n}κ-c$，满足$rc(G) \leq \frac{n}κ + 15c + 18$ .我们还证明了对每个极大平面图$G$，$rc(G) \leq \frac{n}κ + 36$ .这证明了Li等人关于大直径图和极大平面图的一个猜想。
2012-12-24 math.CO
Rainbow connections of graphs -- A survey
彩虹连接的概念由Chartrand等人在2008年提出。彩虹连接数是一个非常有趣的概念，最近发表了很多关于它的论文，本文试图将与彩虹连接数有关的研究成果和论文集中起来，首先介绍彩虹连接数，然后将彩虹连接数分为五类，包括（强）彩虹连接数，彩虹$k$ -连接数，$k$ -彩虹指数，彩虹顶点连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹顶点连接数，彩虹连接数，彩虹算法和计算复杂性。本调查还包含一些建议、未决问题或问题。
2011-02-01 cs.DM math.CO
Asymptotic value of the minimal size of a graph with rainbow connection number 2
一个边（顶点）着色图$G$中的路径，其中相邻的边（顶点）可以有相同的颜色，如果路径的任何一对边（内部顶点）都没有相同的颜色，则称为彩虹路径。彩虹（顶点）连接数$rc(G)$ $G$的（$rvc(G)$）是存在$G$的$i$ -边（顶点）-染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路径连接的最小整数$\mathcal{G}_d(n)$。（$\mathcal{G'}_d(n)$）是具有彩虹（顶点）连接数$d$的阶$n$的所有图的集合，并定义了$e_d(n)=\min\{e(G)\,|\, G\in \mathcal{G}_d(n)\}$（$e_d'(n)=\min\{e(G)\,|\, G\in \mathcal{G'}_d(n)\}$），其中$e(G)$表示$G$中的边的数目。本文研究了$e_2(n)$的上界，得到了其精确渐近值.也就是说，$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{e_2(n)}{n\log_2 n}=1$。同时，我们得到了$d\geq 2$的$e'_d(n)=n-1$，等式成立当且仅当$G$是这样一个图，使得删除$G$的所有叶子导致一棵树的顺序$d$。
2011-05-22 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection number of a graph with diameter 2
设$G$是一个连通图.图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}是最近由Chartrand等人引入的，Li等人证明了对直径为2的无桥图$G$，有$rc(G)\leq 5$ .他们给出了$rc(G)\leq 4$ .然而，他们不能证明上界5是尖锐的。已知对于直径为2的图$G$，确定$rc(G)$是NP-困难的.因此，了解对于这样的图$G$的$rc(G)$的最佳上界是有趣的。本文用不同的方法得到了同一个上界，并举例说明了这个上界是最好的。
2011-09-23 math.CO
Two rainbow connection numbers and the parameter $σ_k(G)$
图$G$的彩虹连通数$rc(G)$和彩虹点连通数$rvc(G)$分别由Chartrand等人和Krivelevich和Yuster引入。关于最小程度$δ$的良好上限由Reynran等人报道，克里维列维奇和尤斯特，还有李和史。然而，如果一个图有一个小的最小度$δ$和大量的顶点$n$，这些上界是非常大的，在$n$中是线性的。因此，人们可能会考虑寻找一个好的参数来取代$δ$，并显着降低上限。这样一个自然参数就是$σ_k$。本文对彩虹连通数证明了：若$G$是$n$阶连通图，且$k$是独立顶点，则$rc(G)\leq 3k\frac{n-2}{σ_k+k}+6k-4$ .对于彩虹顶点连接数，证明了$rvc(G)\leq \frac{(4k+2k^{2})n}{σ_k+k}+5k $当$σ_k\leq 7k$和$σ_k\geq 8k$，$rvc(G)\leq \frac{(\frac{38k}{9}+2k^{2})n}{σ_k+k}+5k$当$7k<σ_k< 8k$ .给出的例子表明，我们的界限是远远优于现有的，即，对于这些例子，$δ$非常小，但$σ_k$非常大，并且边界是$rc(G)< 9k-3$和$rvc(G)\leq 9k+2k^{2}$或$rvc(G)\leq\frac{83k}{9}+2k^{2}$，这意味着$rc(G)$和$rvc(G)$都可以由来自我们的上界的常数来上界，但是在$…
2011-03-21 math.CO
Upper bounds involving parameter $σ_2$ for the rainbow connection
对于图$G$，我们定义了$σ_2(G)=min \{d(u)+d(v)| u,v\in V(G), uv\not\in E(G)\}$，或者简单地用$σ_2$表示。一个边着色图是彩虹边连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接，这是由Chartrand等人提出的。连通图$G$的彩虹连通，记作$rc(G)$，是使$G$彩虹边连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rc(G)\leq 6\frac{n-2}{σ_2+2}+7$ .此外，通过Caro等人提出的一个构造，可以看出该界对加性因子是紧的。Krivelevich和Yuster最近引入的一个顶点着色图是彩虹顶点连通的，如果任何两个顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路连接。连通图$G$的彩虹顶点连通度，用$rvc(G)$表示，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rvc(G)\leq 8\frac{n-2}{σ_2+2}+10 $对于$2\leq σ_2\leq 6, σ_2\geq 28 $，而对于$ 7 \leq σ_2\leq 8, 16\leq σ_2\leq 27$，$ rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+10$，以及对于$9 \leq σ_2\leq 15, rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+A…
2011-01-17 math.CO
Rainbow Connection for Complete Multipartite Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；University of North Carolina Wilmington（北卡罗来纳大学温斯顿-塞勒姆分校）
本文针对完全多部图的彩虹k-连通数问题，求解得到阈值函数f(k,t)的精确表达式，同时给出了更低彩虹k-连通数上界的判定条件，解答了相关公开问题。
2023-02-20 math.CO
The Locating Rainbow Connection Number of the Edge Corona of a Graph with a Complete Graph
本文研究了图与完全图的边冠图的定位彩虹连接数，确定了该图类定位彩虹连接数的上下界，并证明了这些边界是紧的。
2024-10-11 math.CO
The complexity of determining the rainbow vertex-connection of graphs
Krivelevich和Yuster提出了一个顶点有色图，如果任意两个顶点之间有一条内部顶点颜色不同的路连通，则称该图为{ \it rainbow vertex-connected}.连通图$G$的{ \it rainbow vertex-connection}，记为$rvc(G)$，是为了使$G$ rainbow vertex-connected所需的最小颜色数。本文研究了图的点彩虹连通的计算复杂性，证明了计算$rvc(G)$是NP-困难的.此外，我们表明，它已经是NP完全决定是否$rvc(G)=2$。我们还证明了以下问题是NP完全的：给定一个顶点有色图$G$，检查给定的着色是否使$G$彩虹点连通。
2011-01-17 cs.DM math.CO
On the rainbow vertex-connection
Krivelevich和Yuster引入了一个顶点着色图，如果任意两个顶点之间有一条路连通，且该路的内部顶点具有不同的颜色，则称该图为{ \it rainbow vertex-connected}。连通图$G$的{ \it rainbow vertex-connection}，记作$rvc(G)$，是为了使$G$ rainbow vertex-connected所需的最小颜色数。Krivelevich和Yuster证明了：如果$G$是一个阶为$n$的图，其最小度为$δ$，则$rvc(G)<11n/δ$ .在本文中，我们表明，$rvc(G)\leq 3n/(δ+1)+5$为$δ\geq \sqrt{n-1}-1$和$n\geq 290$，而$rvc(G)\leq 4n/(δ+1)+5$为$16\leq δ\leq \sqrt{n-1}-2$和$rvc(G)\leq 4n/(δ+1)+C(δ)$为$6\leqδ\leq 15$，其中$C(δ)=e^{\frac{3\log(δ^3+2δ^2+3)-3(\log 3-1)} {δ-3}}-2$。我们还证明了$rvc(G)\leq 3n/4-2$为$δ=3$，$rvc(G)\leq 3n/5-8/5$为$δ=4$和$rvc(G)\leq n/2-2$为$δ=5$。此外，一个例子表明，当$δ\geq \sqrt{n-1}-1$和$δ=3,4,…
2010-12-16 math.CO
Good upper bounds for the total rainbow connection of graphs
全着色图是一个图$G$，使得$G$的所有边和所有顶点都是着色的.全着色图$G$中的一条路是全彩虹路，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色。一个全着色图$G$是全彩虹连通的，如果$G$的任意两个顶点由$G$的全彩虹路连通。$G$的总彩虹连接数，用$trc(G)$表示，定义为使$G$全彩虹连接所需的最小颜色数。这些概念是由Liu等人引入的。注意，对于连通图$G$，$2diam(G)-1\leq trc(G)\leq 2n-3$，其中$diam(G)$表示$G$的直径，$n$是$G$的阶。本文证明了，对于$n$阶连通图$G$，若$G$的最小度为$δ$，则$trc(G)\leq6n/{(δ+1)}+28$为$δ\geq\sqrt{n-2}-1$，$n\geq 291$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+32$为$16\leqδ\leq\sqrt{n-2}-2$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+4C(δ)+12$为$6\leqδ\leq15$，其中$C(δ)=e^{\frac{3\log(δ^3+2δ^2+3)-3(\log3-1)}{δ-3}}-2$ .这意味着当$δ$与$n$成线性时，则总彩虹数$trc(G)$是常数。我们还表明，$trc(G)\leq 7n/4-3$为$δ=3$，$trc(G)\leq8n/5-13/5$为$δ=4$和$trc(G)\leq3n/2-…
2015-01-08 math.CO
The size of graphs with restricted rainbow $2$-connection number
设$k$是正整数，$G$是$k$连通图.边着色路径是\emph{rainbow}，如果它的所有边都有不同的颜色。$G$的\emph{rainbow $k$-connection number}，用$rc_k(G)$表示，是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任何两个顶点通过$k$内部顶点不相交的彩虹路径连接。$rc_k(G)$函数是由Chartrand、Johns、McKeon和Zhang在2009年提出的，并引起了广泛的兴趣。设$t_k(n,r)$表示$k$连通图$G$中$n$顶点上的最小边数为$rc_k(G)\le r$ .令$s_k(n,r)$表示$k$连通图$G$中$n$顶点上的最大边数为$rc_k(G)\ge r$ .函数$t_1(n,r)$和$s_1(n,r)$先前已由多位作者研究过。本文研究了函数$t_2(n,r)$和$s_2(n,r)$。我们确定的界限$t_2(n,r)$这意味着，$t_2(n,2)=(1+o(1))n\log_2 n$，和$t_2(n,r)$是线性的$n$ $r\ge 3$。我们还提供了一些关于函数$s_2(n,r)$的注释。
2020-09-07 math.CO
Rainbow connections for planar graphs and line graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了计算$rc(G)$是NP-困难问题，甚至判定一个图是否有$rc(G)=2$也是NP-完全问题。已知判定给定边着色图是否彩虹连通是NP-完全的。我们将证明，即使边着色图是平面二部图，它仍然是NP-完全的。我们还给出了小直径外平面图的彩虹连通数的上界。一个点着色图是彩虹点连通的，如果任意两个点通过一条路相连，且该路的内部顶点具有不同的颜色。连通图$G$的彩虹顶点连接数，记为$rvc(G)$，是使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。已知判定给定的点着色图是否是彩虹点连通图是NP-完全的。我们将证明，即使顶点着色图是线图，它仍然是NP-完全的。
2011-11-14 cs.CC math.CO
Further hardness results on the rainbow vertex-connection number of graphs
一个顶点有色图$G$是{ \it rainbow vertex-connected}，如果$G$中的任何一对顶点都由一条内部顶点具有不同颜色的路连接，这是Krivelevich和Yuster引入的.连通图$G$的{ \it彩虹顶点连接数}，记为$rvc(G)$，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。在以前的论文中，我们证明了它是NP-完全决定是否一个给定的图$G$有$rvc(G)=2$。本文证明了对任意整数$k\geq 2$，判定$rvc(G)\leq k$是否为NP-难问题.我们还表明，对于任何固定的整数$k\geq 2$，这个问题属于NP-类，所以它成为NP-完全。
2011-10-10 cs.CC math.CO
